湖南省2017年学业水平考试数学(真题含答案)
2017年湖南省学业水平考试（真题）
数 学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可
以是（）
A 、正方体
B 、圆柱
C 、三棱柱
D 、球
2.已知集合{0,1},{1,2}A B == ，则B A 中元素的个数
为（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
3.已知向量，若，则(,1),(4,2),(6,3)a x b c === ，若c a b =+ ，则x = （ ）
A 、-10
B 、10
C 、-2
D 、2
4.执行如图2所示的程序框图，若输入x 的值为-2，则输
出的y =( )
A 、-2
B 、0
C 、2
D 、4
5.在等差数列{}n a 中，已知12311,16a a a +== ，则
公差d = （ ）
A 、4
B 、5
C 、6
D 、7
6.既在函数12
()f x x = 的图象上，又在函数1()g x x -= 的
图象上的点是
A 、（0，0）
B 、（1，1）
C 、（12,2 ）
D 、（1,22
） 7.如图3所示，四面体ABCD 中，E,F 分别为AC,AD 的中点，则
直线CD 与平面BEF 的位置关系是( )
A 、平行
B 、在平面内
C 、相交但不垂直
D 、相交且垂直
8.已知sin 2sin ,(0,)αααπ=∈ ，则cos α=（ ）
A 、
2-、12- C 、12 D 、2
9.已知1
4222log ,1,log a b c === ，则
A 、 a b c <<
B 、b a c <<
C 、c a b <<
D 、c b a <<
10.如图4所示，正方形的面积为1，在正方形内随机撒1000
粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方
法计算得阴影部分的面积为（ ）
A 、 45
B 、35
C 、12
D 、25
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11.已知函数()cos ,f x x x R ω=∈ （其中0ω>）的最小正周期为π ，则ω= .
12.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区服务，则抽出的学生中男生比女生多 人。
13.在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4,3,sin 1a b C === ，则ABC ?的面积为 。
14.已知点(1,)A m 在不等式组0,0,4x y x y >??>??+
表示的平面区域内，则实数m 的取值
范围为 。
15.已知圆柱及其侧面展开图如图5所示，则该圆柱
的体积为 。
三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分6分）
已知定义在区间[,]ππ-上的函数()sin f x x = 的部分图象如图6所示.
（1）将函数()f x 的图象补充完整；
（2）写出函数()f x 的单调递增区间.
17.(本小题满分8分)
已知数列{}n a 满足13(*)n n a a n N +=∈ ，且26a = .
（1）求1a 及n a ；
（2）设2n n b a =- ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18.（本小题满分8分）
为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图。
（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；
（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的2人来自同一组的概率.
19（本小题满分8分）
已知函数22,0,()2(1),0
x x f x x m ?
（2）若函数()f x 的值域为[2,)-+∞ ，求实数m 的值.
20.(本小题满分10分)
已知O
为坐标原点，点(1p 在圆22:410M x y x ay +-++= 上，
（1）求实数a 的值；
（2）求过圆心M 且与直线OP 平行的直线的方程；
（3）过点O 作互相垂直的直线121,,l l l 与圆M 交于,A B 两点，2l 与圆M 交于,C D 两点，求||||AB CD ? 的最大值.
2017年湖南省学业水平考试（参考答案）
数 学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以
是（A ）
A 、正方体
B 、圆柱
C 、三棱柱
D 、球
2.已知集合{0,1},{1,2}A B == ，则B A 中元素的个数为
（C ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
3.已知向量，若，则(,1),(4,2),(6,3)a x b c === ，若c a b =+ ，则x = （ D ）
A 、-10
B 、10
C 、-2
D 、2
4.执行如图2所示的程序框图，若输入x 的值为-2，则输
出的y =( B )
A 、-2
B 、0
C 、2
D 、4
5.在等差数列{}n a 中，已知12311,16a a a +== ，则
公差d = （ D ）
A 、4
B 、5
C 、6
D 、7
6.既在函数12
()f x x = 的图象上，又在函数1()g x x -= 的
图象上的点是( B )
A 、（0，0）
B 、（1，1）
C 、（12,2 ）
D 、（1,22
） 7.如图3所示，四面体ABCD 中，E,F 分别为AC,AD 的中点，则
直线CD 与平面BEF 的位置关系是( A )
A 、平行
B 、在平面内
C 、相交但不垂直
D 、相交且垂直
8.已知sin 2sin ,(0,)αααπ=∈ ，则cos α=（ C ）
A 、 、12- C 、12 D
9.已知1
4222log ,1,log a b c === ，则( A )
A 、 a b c <<
B 、b a c <<
C 、c a b <<
D 、c b a <<
10.如图4所示，正方形的面积为1，在正方形内随机撒1000
粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方
法计算得阴影部分的面积为（ B ）
A 、 45
B 、35
C 、12
D 、25
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11.已知函数()cos ,f x x x R ω=∈ （其中0ω>）的最小正周期为π ，则 ω= 2 .
12.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区服务，则抽出的学生中男生比女生多 1 人。
13.在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4,3,sin 1a b C === ，则ABC ?的面积为 6 。
14.已知点(1,)A m 在不等式组0,0,4x y x y >??>??+
表示的平面区域内，则实数m 的取值范围为 30< 15.已知圆柱及其侧面展开图如图5所示，则该圆柱 的体积为 π4 。 三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分6分） 已知定义在区间[,]ππ-上的函数()sin f x x = 的部分图象如图6所示. （1）将函数()f x 的图象补充完整； （2）写出函数()f x 的单调递增区间. 解：（1）图象如图： （2）由图象可知，函数()sin f x x =在区间[,]ππ-上的单调增区间为]2 ,2[ππ- 。 17.(本小题满分8分) 已知数列{}n a 满足13(*)n n a a n N +=∈ ，且26a = . （1）求1a 及n a ； （2）设2n n b a =- ，求数列{}n b 的前n 项和n S . 解：2 6331121=∴==∴=+a a a a a n n }{31n n n a a a ∴=∴+为等比数列，公比3=q ； 132-?=∴n n a （2）由已知可知，2321-?=-n n b n n b b b b S n n n n n 21323 1312) 2222()3333(21210321--=---?=++++-++++?=++++=∴- 18.（本小题满分8分） 为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图。 （1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数； （2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2 人，求选出的2人来自同一组的概率. 解:(1)由题可知，本次测试成绩的众数为 752 8070=+ （2）成绩在]90,80[的频率为15.010015.0=?， 学生人数为315.020=?人，设为c b a ,,，成绩 在]100,90[的频率为1.010010.0=?，学生人数为21.020=?人，设为B A ,,则从5人中任选2人的基本事件如下： ),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(B A B c A c B b A b c b B a A a c a b a 共10个，其中2人来自同一组的基本事有),(),,(),,(),,(B A c b c a b a ,其4个基本件。 (P ∴2人来自同一组）5 2104== 19（本小题满分8分） 已知函数22,0,()2(1),0 x x f x x m x ? [2,)-+∞ ，求实数m 的值. 解：(1),1)1(,1112)0(0 ,1)1(20,2)(12-==-?=∴???≥--<=∴-=f f x x x x x f m 0)1()0( (2)当0 20.(本小题满分10分)已知O 为坐标原点，点(1P 在圆 22:410M x y x ay +-++= 上， （1）求实数a 的值； （2）求过圆心M 且与直线OP 平行的直线的方程； （3）过点O 作互相垂直的直线121,,l l l 与圆M 交于,A B 两点，2l 与圆M 交于,C D 两点，求||||AB CD ? 的最大值. 解：（1 ）把(1P 点代入圆22:410M x y x ay +-++=得0=a ； （2) 圆心坐标为(2,0)M ，2=O P k ，∴过圆心且与OP 平行的直线方程为)2(20-=-x y ，即222-=x y （3）设直线AB 的方程为0=-y kx ，直线CD 的方程为0=+ky x ，圆心到直线AB 的距离为2112 k d +=，21432||k AB +-=∴，同理可22 1432||k k CD +-= 42 242)1414(64)143)(143(4||||22 2222=?=+++-?≤+-+-=?∴k k k k k k CD AB