高等数学期末复习之常微分方程部分

第11章常微分方程习题课

一. 内容提要

1.基本概念

含有一元未知函数)(x y (即待求函数)的导数或微分的方程,称

为常微分方程;其中出现的)(x y 的最高阶导数的阶数称为此微分方程的阶;使微分方程在区间I 上成为恒等式的函数=y )(x ?称为此微分方程在I 上的解;显然一个微分方程若有解,则必有无穷多解;若n 阶微分方程的解中含有n 个不可合并的任意常数,则称其为此微分方程的通解;利用n 个独立的附加条件(称为定解条件)定出了所有任意常数的解称为特解;微分方程连同定解条件一起,合称为一个定解问题;当定解条件是初始条件(给出)1(,,,-'n y y y 在同一点

0x 处的值)时,称为初值问题.

2.一阶微分方程),(y x f y ='的解法

(1)对于可分离变量方程

)()(d d y x x

ψ?=, 先分离变量(当0)(≠y ψ时)得

x x y ψy

d )()

(d ?=, 再两边积分即得通解

C x x y y

+=??d )()(d ?ψ.

(2)对于齐次方程d d y y f x x ??= ???

, 作变量代换x

u =,即xu y =,可将其化为可分离变量的方程,分离变量后,积分得C x x u u f u +=-??

d )(d ,再以x

y 代替u 便得到齐次方

程的通解. (3)形如

)(1

11d d c y b x a c by ax f x y ++++=的方程, ①若1,c c 均为零,则是齐次方程; ②若1,c c 不全为零,则不是齐次方程,但

当k b b a a ==1

1时,只要作变换y b x a v 11+=,即可化为可分离变量的方程11

1)(d d a c v c kv f b x v +++=;

当11b b a a ≠时,只要作平移变换???-=-=00y y Y x x X ,即???+=+=0

0y Y y x X x (其中),(0

0y x 是线性方程组???=++=++0

0111c y b x a c by ax 的惟一解),便可化为齐次方程

)(d d 11Y b X a bY aX f X Y ++=.

(4)全微分方程

若方程0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 之左端是某个二元函数

),(y x u u =的全微分,则称其为全微分方程,显然C y x u =),(即为通

解,而原函数),(y x u 可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得.

通常用充要条件x Q

y P ??=??来判定0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 是否

为全微分方程.对于某些不是全微分方程的

0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P ,可乘上一个函数),(,y x μ使之成为全微分

方程

0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P μμ

(注意到当0),(≠y x μ时0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P μμ与原方程同解),并称),(,y x μ为积分因子;一般说来,求积分因子比较困难,但有时可通过观察得到.

(5)一阶线性微分方程)()(x Q y x p y =+'的通解公式

当)(x Q 不恒为零时,称其为一阶线性非齐次微分方程;当)(x Q 恒为零,时,即0)(=+'y x p y 称为一阶线性齐次微分方程,这是一个

可分离变量的方程,易知其通解为?=-x

x p C Y d )(e ;由此用“常数变易

法”即可得到非齐次微分方程的通解

)(d e )(e d )(d )(??+?=-x x Q C y x x p x

x p .

(6)对于Bernoulli 方程n y x Q y x p y )()(=+' (1,0≠n ),只需作变换

n y z -=1,即可化为一阶线性方程)()1()()1(d d x Q n z x p n x

z -=-+.

3.高阶方程的降阶解法

以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解:

(1)对于方程)()(x f y n =,令)1(-=n y z 化为)(x f z =';在实际求解中,只要对方程连续积分n 次,即得其通解

n n n n C x C x C x x f x y ++++=--??111d )(d

次

(2)对于),(y x f y '=''(不显含y ),作变换y P '=,则P y '='',于是化一阶方程),(P x f P =';显然对),()1()(-=n n y x f y 可作类似处理. (3)对于),(y y f y '=''(不显含x ),作变换y P '=,则y P P y d d ='',于是

可化为一阶方程),(d d P y f y

P P =.

4.线性微分方程解的结构

(1)线性齐次微分方程解的性质

对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解. (2)线性齐次微分方程解的结构

若n y y y ,,,21 是n 阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其通解为

n n y c y c y c Y +++= 2211.

(3)线性非齐次微分方程解的结构

线性非齐次微分方程的通解y ,等于其对应的齐次方程的通解

Y 与其自身的一个特解*y 之和,即*+=y Y y .

(4)线性非齐次微分方程的叠加原理

1 设*

k y (m k ,,2,1 =)是方程

)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y k n n n n =+'+++--

的解,则∑=*m

k k y 1是方程

∑=--=+'+++m

k k n n n n x f y x p y x p y

x p y 1

1(1)

()()()()(

的解.

2 若实变量的复值函数)(i )(x v x u +是方程

=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n )()()(1)1(1)( )(i )(21x f x f +

的解,则此解的实部)(x u 是方程

)()()()(11)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--

的解;虚部)(x v 是方程

)()()()(21)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--

的解.

(5)线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系

线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解.

5.常系数线性微分方程的解法

(1)求常系数线性齐次微分方程通解的“特征根法” 1 写出01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n 的特征方程

0111=++++--n n n n p r p r p r ，

并求特征根；

2 根据特征根是实根还是复根以及重数写出通解中对应的项(见

(2)下列两种情况可用“待定系数法”求常系数线性非齐次方程的特解

1对于x m x P x f λe )()(=,应设特解

x m k x Q x y λe )(=*x m m m m k a x a x a x a x λ)e (1110++++=-- , 其中k 等于λ为特征根的重数(n k ≤≤0),01,,,m a a a 是待定系数.

将*y 代入原方程,可定出01,,

,m a a a ,从而求得*y .

2对于()e [()cos sin ]x l s f x P x x P x λωω=+ (0≠ω),应设特解

]s i n )(c o s )([e x x T x x R x y m m x k ωω

λ+=*, 其中k 等于i μλω=+为特征根的重数(20n k ≤≤),)(),(x T x R m m 是

待定的},m a x {s l m =次多项式.将*y 代原方程,即可定出

)(),(x T x R m m ,从而求得*y .

或因为()e [()cos ()sin ]x l s f x P x x P x x λωω=+

Re e (()i ())(cos isin )x

l s P

x P x x x λωω??=-+?? (i )Re ()e x

m Q x λω+??=??

（其中()m Q x ()i ()l s P x P x =-是max{,}m l s =次的复系数多项式）.

对于方程

()(1)11n n n n y p y p y p y --'++

++=(i )()e x m Q x λω+

可设其特解 (i )

()e k x m Y x Z x λω*+=，

（()m Z x 是m 次待定复系数多项式，k 等于i μλω=+为特征根的重数），将(i )()e k x m Y x Z x λω*+=代入方程

()(1)11n n n n y p y p y p y --'++

++=(i )()e x m Q x λω+

中，可定出()m Z x ，于是(i )()e k x m Y x Z x λω*+=，从而原方程的特解

Re y Y **=.

3特例

(i )()(1)(i )11()e ()cos ()e ()sin ()e ,()e x x l l x l n n x n n l f x P x x f x P x x Y Z x y p y p y p y P x λλλωλωωω*+-+-==='++

++= 当或时,设将其代入 ,

求得,Re Im .Y y Y y Y *****==则原方程的一个特解或

6.Euler 方程的解法

(1) 形如

)(1)1(11)(x f y p y x p y x p y x n n n n n n =+'+++---

的线性变系数微分方程称为Euler 方程,是一种可化为常系数的变系数微分方程. (2) 解法

只需作变换 t x e =,即x t ln =,即可将其化为常系数线性微分方程.

若引入微分算子t

d d D =,则

y y x D =',y y x )1D(D 2-='',, y n y x n n )1(D )1D(D )(+--= ,

于是很容易写出对应的齐次方程的特征方程.

7. 应用常微分方程解决实际问题的一般步骤

(1) 在适当的坐标系下,设出未知函数)(x y y =,据已知条件写出相关的量;

(2) 根据几何、物理、经济及其它学科的规律（往往是瞬时规律或局部近似规律）建立微分方程; (3) 提出定解条件; (4) 求定解问题的解;

(5) 分析解的性质，用实践检验解的正确性.

二.课堂练习(除补充题外,均选自复习题12)

1.填空题

(1)已知2e 1x y =及2

e 2x x y =是方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解,则其通解为 )(e 212

x C C x +.

解:因2

e 1x y =,2

e 2x x y =都是解,且线性无关,故)(e 212

x C C x +是通解.

(2)设一质量为m 的物体,在空气中由静止开始下落 .若空气阻力为v k R =,则其下落的距离s 所满足的微分方程是s g m ''=,

初始条件是 (0)0,(0)0 s s '==.

解:因为ma F =,而v k mg F -=,s v '=,s a ''=,故得方程

s m s k mg ''='-,化简得g s m

k ='+''s ;

在如图所示的坐标系下,初始条件为 0)0(,0)0(='=s s .

(3)微分方程x x y y y e 62=+'-''的特解*y 的形式为

)e ( 2x b ax x +.

解: 因为特征方程为0122=+-r r ,121==r r ,而1=λ是二重特征根,故应设x b ax x y )e (2+=*.

(4)若x x x x y x y x y 522322221e e ,e ,++=+==都是线性非齐次微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解,则其通解为

25212 e e x x C C x ++.

解:由线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系可

O s (0)s

()s t

知,x y y Y 2121e =-=, x y y Y 5232e =-=都是对应的齐次方程的解,且线性无关,故对应的齐次方程的通解为

x x C C Y C Y C Y 52212211e e +=+=;由非齐次方程解的结构得其通解252211e e x C C y Y y x x ++=+=.

(5)(补充)已知)(x f 满足?+=x

t t f t x xf 0 2

d )(1)(,则2

1() e

x f x x

解:两边对x 求导得)()()(2x f x x f x x f ='+,整理得

()

1()()f x x f x x

'=-,

分离变量后积分得c x x x f ln ln 2

)(ln 2+-=,即22

e )(x x c x

f =,0≠x ;

又当1=x 时,)1e (1d e 1)1(21

0 2

-+=+=?c t t

c t f t ,即c

c c -+=21

1e 1e 故1=c ,所以22

e 1)(x x

x f =. (6)(补充)设)(x f 有连续导数,且1)0(=f .若曲线积分

-+L

y x x f x x yf 2d ])([d )(与路径无关,则 22e 3 )(--=x x f x .

解: 记2)(),(x x f Q x yf P -==.因为积分与路径无关,故有

x Q y P ??=??,即x x f x f 2)()(-'=,亦即x x f x f 2)()(=-'.它的通解为 ]d e 2[e ]d e 2[e )(d d c x x c x x x f x x x

+=+?

?=??--x c x e 22+--=.

由1)0(=f 得3=c ,于是22e 3)(--=x x f x .

π4

(),=()1(0)π,(1) πe .

y x

y y x x y o x x y y αα?=?=+?+==(7)(补充)已知在任意点处的增量其中，则解：由题设知，

d .d 1y y x x =+ arctan 12π4

d d ln arctan ,

e .1(0)ππ,(1)πe .

x y

x y x C y C y x

y C y ==+=+===分离变量得

，积分得即由得故

2.选择题

(1)函数221e c x c y +=(21,c c 为任意常数)是微分方程02=-'-''y y y 的

(A) 通解. (B)特解.

(C)不是解. (D)解,但不是通解,也不是特解.

答( D )

解:因为221e c x c y +=x c 2e =,经检验是解,但含有任意常数,故不是特解,又因为只含一个独立的任意常数,故也不是通解. (2)微分方程x y y 2sin 222='-'',其特解形式为=*y

(A)x C x B A 4sin 4cos ++. (B)x Cx x Bx A 4sin 4cos ++. (C)x C x B Ax 4sin 4cos ++. (D)x Cx x Bx Ax 4sin 4cos ++. 答( C)

解:x y y 2sin 222='-''1cos 4x =-,特解为***+=21y y y .

因为022=-r r ,2,021==r r ,而0=λ是特征方程的单根,故应设Ax y =*1;而i 4i =+ωλ不是特征方程根,故应设

x C x B y 4sin 4cos 2+=*,因此*

**+=21y y y x C x B Ax 4sin 4cos ++=.

(3)微分方程x y x y y x d )45(d )2(+=-是

(A)一阶线性齐次方程. (B)一阶线性非齐次方程. (C)齐次方程. (D)可分离变量方程.

答( C )

解:原方程可化为

x y

x y y

x y x x y -

?+=-+=245245d d .

(4)(补充)具有特解x y -=e 1,x x y -=e 22, x y e 33=的三阶常系数线性齐次微分方程是

(A)0=+'-''-'''y y y y . (B)0=-'-''+'''y y y y . (C)0=-'+''-'''y y y y . (D)0=+'-''+'''y y y y .

答( B )

解: 由方程的特解可知,其特征根为1,1321=-==r r r ,于是特征方程为0)1()1(2=-+r r 即0123=--+r r r ,故方程为

0=-'-''+'''y y y y .

(5)(补充)方程09=+''y y 通过点)1,(-π且在该点处与直线

1πy x +=-相切的积分曲线为

(A)x C x C y 3sin 3cos 21+=. (B)x C x y 3sin 3cos 2+=. (C)x y 3cos =. (D)x x y 3sin 3

13cos -=.

答( D) 解:因为092=+r ,i 32,1±=r ,故通解为x C x C y 3sin 3cos 21+=.由初始条件1)(,1)(='-=ππy y 得31,121-==C C ,所以所求积分曲线

为 x x y 3s i n 3

13c o s -=.

(6)(补充) 方程x y y x sin 3e )4(+=-的特解应设为 (A)x B A x sin e +.

(B)x C x B A x sin cos e ++.

(C)x C x B Ax x sin cos e ++. (D))sin cos e (x C x B A x x ++.

答(D)

解:对应的齐次方程的特征方程为014=-r ,特征根为 i ,i ,1 ,14321-==-==r r r r .

令)()(sin 3e )(21x f x f x x f x +=+=.对于x x f e )(1=,因1=λ是单特征根,故设x Ax y e 1=*;对于x x f sin 3)(2=,因i i μλω=+=是单特征根,故设

)sin cos (2x C x B x y +=*

；从而)sin cos e (21

x C x B A x y y y x ++=+=***. (7)(06考研)函数212e e e x x x y C C x -=++满足的一个微分方程是 (A)23e x y y y x '''--=. (B) 23e x y y y '''--=. (C) 23e x y y y x '''+-=. (D) 23e x y y y '''+-=.

答(D)

解:因为121,2r r ==-，即特征方程为220r r +-=，故排除（A ）、（B ）.由1λ=是特征方程的单根，知()e x f x A =，故排除（C ）. 3.求下列方程的通解

(2) ()

x y y x y -=ln 2d d ; 解:方程化为y y

x y y x ln 22d d =+,是一阶线性方程.

????+??

=?-C y y y x y y y

d e ln 2e d 2

d 12??????+?=?C y y y y y d ln 2122 ??

????+???

??-=C y y y y 22241ln 2121221ln -+-=Cy y .

(5)0d d d d 2

=+-++y x y

x x y y y x x ;

解:原方程可化为()()

0arctan d 21d 21d 22=???

?++y x y x ,故通解为

C y

x y x =++arctan 212122. (10) y x x y +=+'2.

解:设y x u +=2,即y x u +=22,则

x x

u u x y

2d d 2d d -=.代入原方程得 ??? ??+=121d d u x x u .此为齐次方程,再设x

u v =,则x v x v x u d d d d +=,故方程化为v v x v x v 21d d +=+.分离变量为 x x v v v v d 11

2d 22

-=--，两边积分得 ()()()12ln ln 1ln 3112ln 3112ln 21C x v v v v +-=??

????-++---.

代回原变量并整理得 ()

C xy x y x ++=+2333

4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解

(1)()0d 2d 223=-+y xy x x y ,11

==x y

;

解:原方程化为()

2232d d x xy y x y -=,即2322d d x y

x y y x -=-.

令1-=x Z ,得322d d y

Z y y Z =+.

???

? ??+??

=?-C y y Z y y

d e 2e

d 23 d 2()C y y +=ln 212,即 ()C y y x +=ln 2112,故通解为()C y x y +=ln 22.

由11

==x y

,得1=C ,所以特解为 ()1ln 22+=y x y . (3)02sin 2=-''y y ,()2

0π=y ,()10='y ;

解:令y P '=,则y P P y d d ='',原方程化为 y y y

P P cos sin 2d d 2=,即

y y P P sin d sin 2d 2=.积分得 C y P +=22sin .由()2

0π=y ,()10='y ,

得0=C ,故y P y sin =='.解之得C x y

+=2

tan ln .由()20π=y ,0=C .

故特解为 x y e arctan 2=.

5(补充).设x y e =是微分方程x y x p y x =+')(的一个解,求此微分方

程满足条件0)2(ln =y 的特解.

解:将x y e =代入微分方程得)(e x p x x +x x =e ,解之得

x x x p x -=-e )(,于是此微分方程为x y x x y x x =-+'-)e (,即1)1e (=-+'-y y x .

其对应的齐次方程的通解为x

C Y +-=e

e ,于是此微分方程的通

解为x

x C y e e

e +=+-.由0)2(ln =y 得2

--=C ,故特解为

e e

e -+--=x x

x y .

6(补充).设)(:x y y L =是一条向上凸的连续曲线,其上任意一点

),(y x 处的曲率为

11y '

+,且此曲线上点)1,0(处的切线方程为1+=x y ,求该曲线的方程.

解:因为曲线向上凸,故0<''y ,于是有

'+''-3

2)1(y y 2

11y '

+,化简得二阶方程)1(2y y '+-=''.令y P '=,则P y '='',故方程化为

)1(2P P +-='.分离变量后积分得x C P -=1arctan .由题设有1)0()0(='=y P ,于是可定出4

1π=C ,所以πtan()4y P x '==-,再积分

得2πln cos()4y x C =-+.由1)0(=y 得2ln 2

112+=C ,因此该曲线

:L π1ln cos()1ln 242

y x =-++. 7(补充).某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内含污染物A 的污水量

为6V ,流入湖泊内不含A 的水量为6V ,流出湖泊的水量为3V .已知1999年底湖中A 的含量为05m ,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过

m 0

.问至少需经过多少年,湖泊中污物A 的含量降至0m 以内?(注:设湖水中A 的浓度是均匀的.)

解:设2000年初(记此时0=t )开始,第t 年湖泊中污物A 的总量为m ,浓度为V m ,则在时间间隔]d ,[t t t +内,排入湖泊中污染物A 的量为

t m

t V V m d 6d 600=?,流出湖泊的水中A 的量为t m t V V m d 3

d 3=?,因而在此间隔内湖泊中污染物A 的改变量为t m m

m d )3

6(d 0-=,005m m t ==.

分离变量解得30

e 2t C m m --=,由005m m t ==得02

9m C -=,故

)e 91(230

t m m -+=.

令0m m =,解得 3ln 6=t ,即至少需经过3ln 6年湖泊中污物A 的含量降至0m 以内.

8.求下列Euler 方程的通解

(2)x y y x y x =+'-''642.

解:设t

x e =,方程化为 t y t y

y e 6d d 5d d 22=+-.………………….（*）

0652=+-r r ?21=r ,32=r . t t C C y 32 21e e +=. 设t a y e =*,代入方程（*），得 ()t t a a a e 65e =+-.由此定出

1=a ,故t

y e 21=*.从而原方程的通解为 x x C x C y 213221++=.

9.设对于半空间0>x 内任意的光滑有向封闭曲面S , 都有

0d d e d d )(d d )(2=--??

y x z x z x xyf z y x xf x

，其中()x f 在()+∞,0内具有连续的一阶导数,且()1lim 0

=+→x f x ,求

()x f .

解:由曲面积分与曲面无关的条件0=??+??+

??z

y Q x P ,有 ()()()0e 2=--+'x x xf x f x f x ,即()()x x x f x x f 2e 111=??

? ??--'.

所以 ()??

????+??=???

? ??--??? ??-C x x x f x x x x x d e e 1e d 112d 11

??????+??=?-C x x x x x x x d e e 11e 2()C x

x x +=e e 1.

由()1lim 0=+→x f x ,即()1e e 1lim 0=++→C x

x x x ,可求出1-=C ,故 ()()

1e e 1-=x x x

x f .

10(补充).设函数)0)((≥x x y 二阶可导且1)0(,0)(=>'y x y .过曲线

)(x y y =上任意一点),(y x P ,作该曲线的切线及Ox 轴的垂线,上

述二直线与Ox 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间] ,0[x 上以

)(x y y =为曲边的曲边梯形面积记为2S ,并设212S S -恒为1,求

此曲线)(x y y =的方程.

解:曲线)(x y y =上点),(y x P 处的切线方程为))((x X x y y Y -'=-.切线与Ox 轴的交点为)(0 ,)

()

(x y x y x '-

.由1)0(,0)(=>'y x y ,知0)(>x y ,于是

211()()

()2()2()y x y x S y x x x y x y x ??=--= ?''??

;而?=x t t y S 0 2d )( (0≥x );故由条件1221≡-S S 得

1d )( 0

=-'?x t t y y y ,由此还可得1)0(='y .

将

1d )( 0

=-'?x t t y y y 两边对x 求导并整理得2)(y y y '=''.令P y =',则y P P y d d ='',于是方程化为P y

P y =d d ,解之得y C P y 1==',由

1)0(='y 和1)0(=y 得11=C ,于是y y =',从而x C y e 2=.再由1

)0(=y 得12=C ,故所求曲线方程为x y e =.

11(06考研).设函数()f u 在(0, )+∞内具有二阶导数，且

z f =满足等式2

222

z x y ??+=??. （1）验证()

()0f u f u u

'''+

=；（2）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式. 解: （1

）由(),z f u u ==

()2222223222

()()()y z z x f u f u f u x x x y x y ??''''==?+???++，

()222

2223222()()()y z z x f u f u f u y y x y x y ??''''==?+???++. 因为22220z z x y ??+=??

，所以有()0f u ''+=，即 ()

()0f u f u u

'''+

=. （2）由（1）得11()f u C u '=+，由(1)1f '=知10C =，即1()f u u

'=；

于是得2()ln f u u C =+，由(1)0f =，得20C =，所以()ln f u u =.

12(07考研).解初值问题2(),

(1)1,(1) 1.

y x y y y y ''''?+=?'==?

解：令2,,(),y P y P P x P P '''''==+=则原方程化为即d 1.d x x P P P

于是()

11d d 111e e d d ().P

P x C P P P C P P C P ---???

?=+=+=+????

由11d (1)1,0,d x y

P y C P x

='=====得且即

解得3

22221,(1)1,33y x C y C =+==又由得故3

221.33

y x =+

12（07考研）. 设幂级数0

n n n a x ∞

=∑在(, )-∞+∞内收敛，其和

函数()y x 满足 240,(0)0

,(0

y x y y y y ''''--=== （I ）证明22,1,2,;1

n n a a n n +==+

（II ）求()y x 的表达式.

解：（I ）对0n n n y a x ∞

==∑求一、二阶导数，得

,(1),n n n n n n y na x

y n n a x ∞

∞

--=='''==-∑∑

代入240y xy y '''--=并整理得

(1)(2)240.n

n n n n n n n n a x n a x

a x ∞

∞

+===++

--=

∑∑∑ 于是 202240,

(1)(2)2(2)0,1,2,,n n a a n n a n a n +-=??++-+==?

从而有 22,1,2,.

1n n a a n n +==+ （II ）因为01(0)0,(0)1,y a y a '====故 20,0,1,2

;k a k ==

212121*********,0,1,2,.21

k k k k a a a a a k k k k k k k +---====

===-

所以

222121

210

()e ,(, ).

!!k k n

k x n k n k k k x x y a x a x

x x x k k ∞

∞

∞+++=========∈-∞+∞∑∑∑∑213().()()3()6,()1().

f x xf x f x x y f x x x D x f x '-=-==补充设满足且由曲线与直线及轴所围的平面图形绕轴旋转一周得到的旋转体的体积最小,求

33d d 3232.()36,

1()e

6e d 6d 6.

x x

x f x y y x x y f x C x x x C x x Cx x ---??'-=-????

==+-=-??????????

=+满足的方程解可写为其通解：

()

2322001265402

()π()d π(6)d π(1236)d 36 π2.75

V C f x x Cx x x C x Cx x x

C C ==+??=++?=++旋转体的体积为

()

2322π()π207,()0,77

7.()67.

C V C C V C C f x x x '''=+==-=>=-=-令，得惟一驻点且故是极小值点，也是最小值点于是

武汉大学大一上学期高数期末考试题

高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 2. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 3. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共 16分) 4. 　）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 5. ) ( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 6. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1) -二阶可导且'>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 7. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 8. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ．　求，，设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 ()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在 =0x 处的连续性. 13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1(1)9y 的解. 四、解答题（本大题10分） 14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线 x y ln =及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的 [,]∈01q ，1 ()()≥??q f x d x q f x dx . 17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且 )(0 =?π x d x f ， cos )(0 =? π dx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设 ?= x dx x f x F 0 )()(）

高数一总复习

第一章函数及其图形例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。

例4：设解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。例5： f(2)没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有。因此，所给函数是有界的，即应选择B。例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

常微分方程习题及答案

第十二章常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x y y dx dy x ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是。

8．x y y 2='的通解为。 9． 0=+x dy y dx 的通解为。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。

常微分方程第三版答案

常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.

常微分方程期末考试题大全东北师大

证明题：设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞ →lim ，又0>a ，求证：对于方程 ()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a b x y x =+∞→lim 。证明由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()?? ????+=?-x at ax dt e t f C e x y 0，即 ()()ax x at e dt e t f C x y ?+= 。由于b x f x =+∞ →)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而 ()dt e M dt e t f dt e t f x X at X at x at ??? +≥0 )( ())(0 aX ax X at e e a M dt e t f -+ = ? ，由0>a ，从而有()∞=?? ????+?+∞→x at x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞ →ax x e lim 。应用洛比达法则得 ()()ax x at x x e dt e t f C x y ?+=+∞ →+∞ →0 lim lim ()ax ax x ae e x f +∞→=lim ()a b a x f x ==+∞ →lim 。证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。证要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*）说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导）分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2，代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

高等数学上册,必背的知识点,期末考试备考的重点知识

高等数学上册,必背的知识点,期末考试备考的重点知识 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

高等数学上册，必背的知识点，期末考试备考的重点知识东西不多，但都是经典，多了也记不住，是吧。 (14)C x dx x +-=?csc cot csc (15)C x xdx x +=?sec tan sec (16)C x xdx +-=?|cos |ln tan (17)C x xdx +=?|sin |ln cot (18)C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec (19)C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc (20)C a x a dx x a +=+?arctan 112 2 (21)C a x a x a dx a x ++-=-?||ln 2112 2 (22)C a x dx x a +=-?arcsin 12 2 (23)C a x x a x dx +++=+? )ln(222 2 (24)C a x x a x dx +-+=-?||ln 222 2 用于三角函数有理式积分的变换: 把sin x 、cos x 表成2 tan x 的函数然后作变换2 tan x u = 2 22122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x x x x x x x +=+== =? 2 2 2222112 sec 2tan 12sin 2cos cos u u x x x x x +-=-=-=? 变换后原积分变成了有理函数的积分二泰勒多项式若)(x f 在点x 0处N 阶可导，称

高等数学基础期末复习资料

《高等数学基础》课程期末考试复习资料册一、单项选择题 1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 2.函数在x=0处连续，则k=(C）. A.1 B.5 D.0 3.下列等式中正确的是(C). 4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A). 5.下列无穷限积分收敛的是(D).

6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 7.当时，下列变量中( A)是无穷大量. 8.设f (x)在点x=1处可导，则=(B). 9.函数在区间(2,4)内满足(A). A.先单调下降再单调上升 B.单调上升 C.先单调上升再单调下降 D.单调下降 10.=(B). A.0 B. П C.2П D. П/2 11.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.

12.当，变量(C)是无穷小量. 13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A). 14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）. 15.下列无穷限积分收敛的是(C). 16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称. A.坐标原点 B.x轴 C.y轴 D. y=x 17.当时，变量(D)是无穷小量.

18.设f(x)在x。可导，则=（C）. 19.若则=（B）. 20. =（A）. 21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 22.当k=（C）时，在点x=0处连续. A. -1 B. 0 c.1 D.2 23. 函数在区间(2,4)内满足(B). A. 先单调下降再单调上升 B.单调上升

常微分方程课后答案

习题 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解；解：取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解；解：令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题求初值问题： ?????=-=0 )1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；解：因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;

)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解；解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续；而312 3y 在y 0φσ≥上连续由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解；故方程的解为：y =?????≥00023πx x x 或 y=0; 6题证明格朗瓦耳不等式：设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，

常微分方程期末历年考试(B)

广西师范大学漓江学院试卷课程名称：常微分方程课程序号：开课院系：理学系任课教师：年级、专业：07数学考试时间：120分钟考核方式：闭卷 ■ 开卷 □试卷类型：A 卷□B 卷■ 一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) (请在每小题地空格中填上正确答案，错填、不填均无分). 1、当_______________时，方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=称为恰当方程. 2、求(,)dy f x y dx =满足00()y x y =地解等价于求积分方程地连续解． 3、函数组t t t e e e 2,,-地朗斯基行列式值为． 4、二阶齐次线性微分方程地两个解)(),(21x y x y 为方程地基本解组充分必要条件是． 5、若矩阵A 具有n 个线性无关地特征向量n v v v ,,,21Λ，它们对应地特征值分别为n λλλΛ,,21，那么常系数线性方程组Ax x ='地一个基解矩阵)(t Φ=. 6、方程tan dy x y dx =地所有常数解是． 7、如果存在常数0L >,使得不等式对于所有12,),(,)x y x y R ∈（都成立，称函数),(y x f 在R 上关于y 满足利普希茨条件，其中L 为利普希茨常数． 8、)()(x Q y x P dx dy += 称为一阶线性方程，它有积分因子 ?-dx x P e )( ，其通解为 _________ . 9、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R:-222,2≤≤-≤≤y x 上，则经过点（0，0）地解地存在区间是． 10、若(),()t t Φψ是齐次线性方程组()X A t X '=地基解矩阵，则()t Φ与()t ψ具有关系．年级：专业：装订密封线考生答题不得出现红色字迹，除画图外，不能使用铅笔答题；答题留空不足时，可写到试卷背面；请注意保持试卷完整.

高数二期末复习题及答案.doc

《高等数学（二）》期末复习题一、选择题 1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?，则=（）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线（C ）圆 (D)圆柱面 3、设2 2()D I x y dxdy =+??，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（） (A) 22 4 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为（）（A ）发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ??-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 10 1 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面（B ）柱面（C ）圆锥面（D ）椭球面

常微分方程(第三版)课后答案

常微分方程 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为：

x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 322 32)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+?+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）

第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间

高等数学期末复习资料及答案

大学高等数学期末复习资料及答案课程名称：高等数学出题教师：岳健民适用班级：本科多学时（不含职教）一、单项选择题（15分，每小题3分） 1、当∞→x 时，下列函数为无穷小量的是（）（A ）x Cosx x - （B ）x Sinx （C ）121-x （D ）x x )11(+ 2．函数)(x f 在点0x 处连续是函数在该点可导的（）（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 3．设)(x f 在),(b a 内单增，则)(x f 在),(b a 内（）（A ）无驻点（B ）无拐点（C ）无极值点（D ）0)(>'x f 4．设)(x f 在][b a ，内连续，且0)()(

（C ）0=''）（ξf （D ））（）（）（）（a b f a f b f -?'=-ξ 5．广义积分)0(>?∞ +a dx a x p 当（）时收敛。（A ）1>p (B)1

+ =x x x y 在区间单减；在区间单增； 4、若x xe x f λ-=)(在2=x 处取得极值，则=λ ； 5、若dx x f dx x xf a ??=1 01 02 )()(，则=a ；三、计算下列极限。（12分，每小题6分） 1、x x x x )1(lim +∞→ 2、 2 00 )1(lim x dt e x t x ?-→

常微分方程第三版的课后答案

常微分方程 2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

(完整版)常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程期末考试试卷(6) 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一．填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。 1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。 7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。 8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（共6小题，每题10分）。 1、求解方程：dx dy =3 12+++-y x y x 2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

高等数学 期末复习之常微分方程部分