高考数学复习专题14计数原理与概率统计二项式定理考点剖析

二项式定理

主标题：二项式定理

副标题：为学生详细的分析二项式定理的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：二项式定理，二项式系数，项系数

难度：2

重要程度：4

考点剖析：

1．能用计数原理证明二项式定理．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

命题方向：

1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．

2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度：

(1)求二项展开式中的第n项；

(2)求二项展开式中的特定项；

(3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数．

规律总结：

1个公式——二项展开式的通项公式

通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点：

(1)C r n a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项；

(2)通项公式中a，b的位置不能颠倒；

(3)通项公式中含有a，b，n，r，T r＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”．

3个注意点——二项式系数的三个注意点

(1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”；

(2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；

(3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．

知识梳理

1．二项式定理

二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n

n b n (n ∈N *)

二项展开式

的通项公式 T r ＋1＝C r n a

n －r b r ，它表示第r ＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C 0n ，C 1n ，…，C n

n 2.二项式系数的性质

(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －k

n .

(2)二项式系数先增后减中间项最大 当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为2n n C ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32

项的二项式系数最大，最大值为21-n n C

或21+n n C . (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，

C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2

n －1.