概率统计模型
概率统计公式、符号汇总表
《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点 （共3页） 第一章 第二、三章 一维随机变量及分布：X ， i P ， )(x f X ， )(x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ),(y x f ， ),(y x F *注意分布的非负性、规范性 （1）边缘分布：∑=j ij i p P ，? +∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与 或)()()(y f x f y x f Y X =， ),,(11n X X Λ与),,(21n Y Y Λ独立),,(11n X X f Λ?与),,(21n Y Y g Λ独立 （3）随机变量函数的分布（离散型用列表法） 一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布-------连续型用分布函数法 二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、{}Y X N ,m in =的分布- M 、N 的分布---------连续型用分布函数法 第四章 （1）期望定义：离散：∑=i i i p x X E )( 连续：???+∞∞-+∞ ∞-+∞∞-==dxdy y x xf dx x xf X E ),()()( 方差定义：)()(]))([()(222X E X E X E X E X D -=-= 离散：∑-=i i i p X E x X D 2))(()( 连续：?+∞ ∞--=dx x f X E x X D X )())(()(2 协方差定义：)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E V X COV -=--= 相关系数定义：) ()(),(Y D X D Y X COV XY = ρ
概率统计公式大全(复习重点)
第一章随机事件和概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的
数学建模案例分析—主成分分析的应用--概率统计方法建模
§8 主成分分析的应用 主成分分析的基本思想是通过构造原变量的适当的线性组合，以产生一系列互不相关的新变量，从中选出少数几个新变量并使它们尽可能多地包含原变量的信息（降维），从而使得用这几个新变量替代原变量分析问题成为可能。即在尽可能少丢失信息的前提下从所研究的m 个变量中求出几个新变量，它们能综合原有变量的信息，相互之间又尽可能不含重复信息，用这几个新变量进行统计分析（例如回归分析、判别分析、聚类分析等等）仍能达到我们的目的。 设有n 个样品，m 个变量（指标）的数据矩阵 (1)1112 1(2)21222()12m m n m n n n nm x x x x x x x x X x x x x ??? ?? ? ? ? ?== ? ? ? ? ????? 寻找k 个新变量12,,,()k y y y k m ≤ ，使得 1、1122,(1,2,,)l l l lm m y a x a x a x l k =+++= 2、12,,k y y y 彼此不相关 这便是主成分分析。主成分的系数向量12(,,,)l l l lm a a a a = 的分量lj a 刻划出第j 个变量关于第l 个主成分的重要性。 可以证明，若12(,,,)T m x x x x = 为m 维随机向量，它的协方差矩阵V 的m 个特征值为 120m λλλ≥≥≥≥ ，相应的标准正交化的特征向量为12,,,m u u u ，则 12(,,,)T m x x x x = 的第i 主成分为(1,2,,)T i i y u x i m == 。 称1 / m i j j λλ =∑为主成分(1,2,,)T i i y u x i m == 的贡献率， 1 1 /k m j j j j λλ ==∑∑为主成分 12,,k y y y 的累计贡献率，它表达了前k 个主成分中包含原变量12,,,m x x x 的信息量大 小，通常取k 使累计贡献率在85%以上即可。当然这不是一个绝对不变的标准，可以根据实 际效果作取舍，例如当后面几个主成分的贡献率较接近时，只选取其中一个就不公平了，若都选入又达不到简化变量的目的，那时常常将它们一同割舍。 计算步骤如下： 1、由已知的原始数据矩阵n m X ?计算样本均值向量12?(,,,)T m x x x x μ== ； 其中1 1(1,2,,)n i ij j x x i m n ===∑
数学建模案例分析消费分布规律的分类概率统计方法建模
§7 消费分布规律的分类 为研究辽宁、浙江、河南、甘肃、青海5省份在某年城镇居民生活消费的分布规律，需要用调查资料对这5个省分类.数据见下表： 其中，X 1：人均粮食支出； X 2：人均副食品支出； X 3：人均烟、酒、茶支出； X 4：人均其它副食品支出； X 5：人均衣着商品支出； X 6：人均日用品支出； X 7：人均燃料支出； X 8：人均非商品支出. 在科学研究、生产实践、社会生活中，经常会遇到分类的问题.例如，在考古学中，要将某些古生物化石进行科学的分类；在生物学中，要根据各生物体的综合特征进行分类；在经济学中，要考虑哪些经济指标反映的是同一种经济特征；在产品质量管理中，要根据各产品的某些重要指标而将其分为一等品，二等品等等. 这些问题可以用聚类分析方法来解决. 聚类分析的研究内容包括两个方面，一是对样品进行分类，称为Q 型聚类法，使用的统计量是样品间的距离；二是对变量进行分类，称为R 型聚类法，使用的统计量是变量间的相似系数. 设共有n 个样品，每个样品i x 有p 个变量，它们的观测值可以表示为 n i x x x x pi i i i ,,2,1),,,,(21 == 一、样品间的距离 下面介绍在聚类分析中常用的几种定义样品i x 与样品j x 间的距离. 1、 Minkowski 距离 m m p k kj ki j i x x x x d 11 ][),(∑=-= 2、绝对值距离 ∑=-=p k kj ki j i x x x x d 1),( 3、欧氏距离 21 21][),(∑=-=p k kj ki j i x x x x d 二、变量间的相似系数 相似系数越接近1，说明变量间的关联程度越好.常用的变量间的相似系数有 1、 夹角余弦
概率论与数量统计-公式
第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题 （4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算 ①关系： 如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：如果同时有， ，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ： A=B 。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。 属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也 可表示为A-AB 或者 ，它表示A 发生而B 不发生的事件。 A、B 同时发生：A B ，或者AB 。A B=?，则表示A 与B 不可能同时发 生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
概率统计公式大全汇总
第一章
n Pm ?
随机事件和概率
（1）排列 组合公式
n Cm ?
m! (m ? n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 n!(m ? n)!
（2）加法 和乘法原 理
加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 m 种方法完成， 第二个步骤可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但 在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如 下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 ? 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 ? 表示。 一个事件就是由 ? 中的部分点（基本事件 ? ）组成的集合。通常用大写字母 A， B，C，…表示事件，它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件，? 为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生） ：
（3）一些 常见排列 （4）随机 试验和随 机事件
（5）基本 事件、样本 空间和事 件
（6）事件 的关系与 运算
A? B
如果同时有 A ? B ， B ? A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A ? B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表 示为 A-AB 或者 A B ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
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概率论模型
《概率论与数理统计》课程时间报告 题目：《非诚勿扰》女生的最优选择问题 学院：经济与管理学院 班级：会计二班 姓名：蔡静静，吴宇平，代学甜，蒋燕，陈阿慧学号：20151016208；20151016075；20151016196；20151016181；20151016183； 指导老师：夏宝飞 《非诚勿扰》女生的最优选择问题 一、研究背景（研究意义是什么） ①人们在生活中常常面临选择，而选择会带来不 同的结果，有些好，有些坏，这时候就需要人们 去估计不同选择的风险与概率，进而做出选择。 而在我们的周围就有一些事情的概率往往呈现 出一个定值，并且这个定值可以用概率论的知识 求出，从而达到方便人们作出更优选择的目的。 ②介绍黄金比例以及它在生活中的体现。黄金比
例是指达芬奇黄金比例，其比值为1：0．618。 0．618被公认为最具有审美意义的比例数字。它 由古希腊数学家欧多克索斯在公元前4世纪研究 并建立起相关的比例理论。不仅如此，和黄金比 例相同或相近的事物，往往能给人们带来美的享 受，这也让黄金比例成为美好的代名词，譬如本 次问题中女生找到最心仪男生的概率就为37%， 相当接近于黄金比例。所以每当我们遇到机遇时，美好的事情发生的比例也极有可能是37%哦。 二、研究内容 1、理论基础（基本知识点） 古典概型、微积分、均匀分布、泊松分布 2、实际应用（建模及数据整理） 策略：总共面试n人，不选择其中 前k人，从第k+1人起，一旦有比前面更优秀的男生，则选择。 问：如何决定k,使选到最中意的男生的概率最大？对于某个固定点值k,能选到最中意男生的总概率为 k i?1=k n 1 i?1 n i=k+1
概率论中几种概率模型方法总结
概率论中几种概率模型方法总结 绪论：概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型.本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结。 1 古典概型 古典概型及其概率是概率论的基础知识,它既是进一步学习概率的基础,下面就一些典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。古典概型的概率计算可以分为三个步骤:确定所研究的对象为古典概型;计算样本点数;利用公式计算概率。即如果随机试验只有有限个可能结果,而且每一个可能结果出现的可能性相同,那么这样的随机试验就是古典概型问题。若设Ω是一个古典概型样本空间, 则对任意事件A 有: A m P ( A ) ==Q n 中的样本点数中的样本点数。在计算m 和n 时,经常使用排列与组合计算公式。在确定一个试验的每个基本事件发生的可能性相同时,经常根据问题本身所具有的某种“对称性”,即利用人们长期积累的关于“对称性”的实际经验,认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或偏小。关于古典概型的数学模型如下: 1.1 袋中取球问题 1.1.1 随机地同时从袋中取若干球问题 随机地同时从袋中取若干球问题是古典概型中的一类最基本问题,其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及取球的先后顺序,计算样本点数时只需考虑组合数即可。概率中的很多问题常常可以归结为此类问题来解决。 事件1 一袋中有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从袋中取出k 个球( k ≤m + n) ,求其中恰好有l 个白球( l ≤n)的概率。 分析:随机地从袋中取出k 个球有k m+n C 种可能的结果,其中“恰好有l 个白球”这 一事件包含了l k-l n m C C 种结果,因此所求概率为l k - l n m k m + n C C P =C 这个结论可以作为一个公式来应用。用它可以解决一些类似的问题。 1.1.2 随机地从袋中不放回地取球若干次 随机地从袋中不放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后不再放回袋中,连续进行若干次。这样的取球过程实际上是按顺序取的,所考虑的事件也会涉及到取球的顺序,所以要用排列数计算样本点数。 事件2 一袋中装有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从中每次取出一
概率统计文献综述
文献综述 概率论在经济中的应用 概率论在经济中的应用 摘要 概率统计是一门相当有趣的数学分支学科.随着科学技术的发展和计算机的普及,它最近几十年来在自然科学和社会科学中得到了比较广泛的应用,在社会生产和生活中起着非常重要的作用.当今概率统计与经济的关系可以说是息息相关的,几乎任何一项经济学的研究、决策都离不开它的应用,例如:实验设计、多元分析、质量控制、抽样检查、价格控制等都要用到概率统计知识.实践证明,概率统计是对经济学问题进行量的研究的有效工具,为经济预测和决策提供了新的手段.本文主要讲解概率统计的一些方法、理论研究以及对其经济应用进行一些简单的描述. 关键词：概率统计，多元分析，价格控制，经济预测和决策 引言 经济学的数学化已经成为不可否认的事实，而R数学化的趋势愈演愈烈.特别是近十几年来，由于金融学、保险学等经济学分支学科越来越普遍的应用，研究
随机事件的概率论在经济学中得到越来越快的发展，而且近几年诺贝尔奖也授予在经济学的随机处理方面做出突出贡献的学者，比如1990年奖获的证券组合选择理论，1994年获奖的博弈理论(王文华，2007)；同时由于概率论考虑了样本与总体之间的关系的这一特性，对实证经济学特别是经济计量学可以说起到-r非常大的推动作用.甚至可以说，当代实证经济学的发展就是概率统计知识在经济模型中的实际应用．如果考虑在实证经济学领域的诺贝尔获奖者，那概率论对经济学的影响就更大了，包括第一届诺贝尔奖获得者丁博根、第二届诺贝尔获奖者萨谬尔森等在内，前前后后大约有20名经济学家研究和应用概率论在经济学中的作用(史树中，2002)，因此概率论在经济学巾有十分广泛的作用. 依据文献对概率统计在经济中的应用的相关知识进行归纳整理，并有条理的系统阐述出来，为更好地完成论文做充分的准备． 1概率论与经济相结合的背景简介 从理论研究角度看，借助概率论方法研究经济问题至少有三个优势：其一是前提假定用概率论语言描述得一清二楚，概率论强调事物处于不可能事件和必然事件之间，即事物出现的概率在(0，1)之间，这符合经济现象的现实．经济学强调经济现象要用数学来描述，由于概率论引进概率的概念，使得数学描述成为概率论描述的一个特例，因此概率论能够穷尽各种可能，能够更加清楚地描述经济现象；其二是逻辑推理严密精确，可以防止漏洞和谬误．通过内生化经济现象出现的概率，同时依据概牢论的严密逻辑，推导经济运行的各种轨迹．再结合现有的经济理论，查看概率论的逻辑是否符合经济的行为规律，使得概率论与经济学达到共同解释问题的目的；其三是可以应用已有的概率论模型或概率论定理推导新的结果，得到仅凭直觉无法或不易得出的结论，传统的经济学假定经济现象或者经济行为在确定性的条件下发生，因此运用现有的经济理论能够清楚阐述经济现象的本质，概率论的引进使得经济学能够研究在不确定性条件下的行为，扩大了经济学的视野，得出的结论也更加具有概括性.运用概率论方法讨论经济问题，学术争议便可以建立在这样的基础上：或不同意对方前提假设；或找出对方论证错误；或是发现修改原模型假设会得出不同的结论.因此，运用概率论方法做经济学的理论研究可以减少尤用争论，并且让后人较容易在已有的研究工作上继续
数学建模案例分析消费分布规律的分类概率统计方法建模
§ 7消费分布规律的分类 为研究辽宁、浙江、河南、甘肃、青海 5省份在某年城镇居民生活消费的分布规律，需要用 调查资料对这5个省分类?数据见下表： 指标 省份、\ X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 辽宁 7.90 39.77 8.49 12.94 19.27 11.05 2.04 13.29 浙江 7.68 50.37 11.35 13.30 19.25 14.59 2.75 14.87 河南 9.42 27.93 8.20 8.14 16.17 9.42 1.55 9.76 甘肃 9.16 27.98 9.01 9.32 15.99 9.10 1.82 11.35 青海 10.06 28.64 10.52 10.05 16.18 8.39 1.96 10.81 其中，X 1 :人均粮食支出； X 2 ： 人均副食品支出； X 3:人均烟、酒、茶支出； X 4 ： 人均其它副食品支出； X 5：人均衣着商品支出； X 6 : 人均日用品支出； X 7：人均燃料支出； X 8： 人均非商品支出. 在科学研究、生产实践、社会生活中，经常会遇到分类的问题 ?例如，在考古学中，要将某些 古生物化石进行科学的分类；在生物学中，要根据各生物体的综合特征进行分类；在经济学中， 要考虑哪些经济指标反映的是同一种经济特征；在产品质量管理中，要根据各产品的某些重要指 标而将其分为一等品，二等品等等 ? 这些问题可以用聚类分析方法来解决 ? 聚类分析的研究内容包括两个方面，一是对样品进行分类，称为 Q 型聚类法，使用的统计量 是样品间的距离；二是对变量进行分类，称为 R 型聚类法，使用的统计量是 变量间的相似系数. 设共有n 个样品，每个样品 人有p 个变量，它们的观测值可以表示为 x i - (x ii , x 2i , ,x pi ), i =1 2 ,n 、样品间的距离 、变量间的相似系数 相似系数越接近i ,说明变量间的关联程度越好.常用的变量间的相似系数有 1、夹角余弦 F 面介绍在聚类分析中常用的几种定义样品 x i 与样品X j 间的距离. 1、Mi nkowski 距离 d(X i ,X j )=[》X ki — Xq ] km 2、绝对值距离 p d(X i ,X j )=送 X ki -Xq k=1 3、欧氏距离 p d(X i ,X j )珂' X ki km X kj
概率统计模型
第五章概率统计模型 一、主要内容 1、利用初等概率知识建立几个初等概率模型，它们都是实际生活中常碰到的问题。 2、利用存储知识建立随机存储模型。 3、利用决策论知识建立随机性决策模型。 4、利用排队论知识建立排除类问题的模型，这里仅探讨其中M/M/1排除模型中较简单的部分。 二、学习目标 1、掌握初等概率模型建模方法，熟悉常用的随机变量的分布及数字特征。 2、了解随机性存储论概念，理解随机性存储模型的建立与简单分析。 3、掌握随机性决策模型，会建立实际问题的随机性决策模型，并能进行相关分析。 4、了解排除论基本知识，会求解简单的排队问题模型。 三、本章知识结构 四、重点和难点： 重点：初等概率模型、存储模型、决策模型、排队模型的建立思路与解法。 难点：存储模型、排队模型的建立 五、学习方法建议 一是要大量阅读、思考别人做过的模型，二是要亲自动手，认真地做上几个实际题目我们的具体建议如下： （1）学习中随时翻阅相关数学专业知识方面的书籍，《概率论与数理统计》、与《运筹学》专业书籍，应放在身边随时备查 （2）开始时可能感到无从入手，不必担扰，随着学习过程逐渐展开，只要你是认真的，定会一步一步解脱困惑. （3）尽早复习一下概率统计知识，熟悉不确定事物的处理勤动脑，勤思考与勤动手是学好数学建模课的关键，务求落实 六、重点难点辅导：
1、初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类 问题： (1) 可靠性模型 计算抓住一点：元件串通则可靠度相乘；元件并联则不可靠度相乘。 设某种机器的工作系统由N个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失 灵，整个系统就不能正常工作.为了提高系统的可靠性，在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作)明显地，可以把问题当作并联来处理，备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大，?但是，备 用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低?因此，配置 的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量，使整个系统的工作可靠性最大？这就有了约束条件。 易见，问题的目标函数为非线性的，决策变量又取整数，故为非线性整数规划问题. (2) 传染病流行估计的数学模型 假定人群中有病人或更确切地说是带菌者，也有健康人，即可能感染者，任何两人之间的接 触是随机的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的?问题在于一旦掌握了随 机规律，那么如何去估计平均每天有多少健康人被感染，这种估计的准确性有多大？ ?设人群只分病人和健康人两类，病人数和健康人数分别记为i和s，总数n不变，即 i +s=n (1) ?人群中任何二人的接触是相互独立的，具有相同概率P,每人每天平均与m人接触； 当健康人与一病人接触时，健康人被感染的概率为入. 由假设2知道一个健康人每天接触的人数服从二项分布，且平均值是m则 m= ( n -1) p 于是 n -1 又设一健康人被一名指定病人接触并感染的概率为口，则由假设3及⑵式得 r 入m P"! =，P = n T 那么一健康人每天被感染的概率P2为 肖(4) 由于健康人被感染的人数也服从二项分布，其平均值卩为, —sp =(n - i)p2 标准差二为
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第1章随机事件及其概率 （1） 排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2） 加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3） 一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4） 随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5） 基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6） 事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Φ，则表示A与B不可能同时发
数学建模案例分析3-随机性人口模型--概率统计方法建模
§3 随机性人口模型 如果研究对象是一个自然村落或一个家族人口，数量不大，需作为离散变量看待时，就利用随机性人口模型来描述其变化过程。 记 ()t Z —时刻t 的人口数（只取整数值） ()()()n t Z p t p n ==—人口为n 的概率 模型假设 1、在[]t t t ?+, 出生一人的概率与t ? 成正比，记作t b n ?，出生二人及二人以上的概 率为()t o ?； 2、在[]t t t ?+, 死亡一人的概率与t ? 成正比，记作t d n ?，死亡二人及二人以上的概率为()t o ?； 3、出生与死亡是相互独立的随机事件； 4、进一步设n b 和n d 均为与n 成正比，记, ,n d n b n n μλ==λ和μ分别是单位时间内 1=n 时一个人出生和死亡的概率。 模型建立 由假设3~1，可知()n t t Z =?+可分解为三个互不相容的事件之和：()1-=n t Z 且t ?内出生一人；()1+=n t Z 且t ? 内死亡一人；()n t Z =且t ?内无人出生或死亡。按全概率公式 ()()()()t d t b t p t d t p t b t p t t p n n n n n n n n ?-?-+?+?=?+++--1)(1111 即 ()() ()()())(1111t p d b t p d t p b t t p t t p n n n n n n n n n +-+=?-?+++-- 令0→?t ，得关于()t p n 的微分方程 ()()()()t p d b t p d t p b dt dp n n n n n n n n +-+=++--1111 又由假设4，方程为 ()()()()()()t np t p n t p n dt dp n n n n μλμλ+-++-=+-1111 （1）
概率论与数理统计公式总结【已整理 可直接打印】
第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义 ● E(a)=a ，其中a 为常数 ● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 ) () ()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑ ==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑ ==n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 )|()()|()()|() ,...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ 1)(=? +∞ ∞ -dx x f )(b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()() 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()() ,(y x f ) ,(y x F 0 ),(≥y x f 1),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f 1),(0≤≤y x F } ,{),(y Y x X P y x F ≤≤=?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()(?+∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()(} {}{},{j Y P i X P j Y i X P =====) ()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞ -∞ =?= k k k P x X E )(? +∞ ∞ -?=dx x f x X E )()(∑ =k k k p x g X g E )())((∑∑=i j ij i p x X E )(dxdy y x xf X E ??=),()() (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F =
概率论经典模型
第七章 参数估计典型题解 1．设总体X 具有分布列 1 ()(1) ,1,2,k P X k p p k -==-= ，求p 的矩估计 和极大似然估计． 解 （1）矩估计 1 1 2 1 1 1(1) (1) k k k k p EX k p p p kq q p ∞ ∞ --=== -== = -∑ ∑． 令 X EX =，即 1X p = ，解之得p 的矩估计为 1?p X =． 注：这里用到了 12 1 11, 1(1) k k kx x x p ∞ -== = <-∑． 事实上，令∑∞ =-= 1 1 )(k k kx x S 逐项积分得 x x x dt t k dt t S x k k k x k -= = = ?∑ ? ∑ ∞ =-∞ =1)(0 1 1 1 ， 两边对x 求导得 2 ) 1(1)(x x S -= ． （2）极大似然估计 ()1 1 121 12(,,,;)(1) (1)(1) , ln (,,,;)1)ln(1)ln . n i i i n x n x n nx n n n i n L x x x p p p p p p p L x x x p n x p n p =---=∑= -=-=-=--+∏ 令 12ln (,,,;) 0n d L x x x p dp = ，即 (1)01n x n p p --+ =-， 解之得p 的极大似然函数估计为 1?p X =． 2．总体X 的密度函数 1 12 2 1,[,], ()0,x f x θθ∈- - ?=? ?其他. 求θ的矩估计与极大似 然估计． 解 （1）矩估计 1 212 1?()22 E X xf x dx xdx X θθ θθθ+∞+-∞ - = = = ?=?=? ?． （2）极大似然估计
概率和统计公式大全
第一章 随机事件和概率 （1）排列组合公式 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种 方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 （3）一些常 见排列 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A ，B ，C ，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的 关系与运算 ①关系： 如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）： 如果同时有 ， ，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ：A=B 。 A 、 B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。 属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示
概率论公式总结
概率论公式总结 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机 变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 )(b X a P ≤≤∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(?∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F
联合密度 函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义 E(a)=a ，其中a 为常数 E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 方差 定义式 常用计算 式 常用公式 当X 、Y 相互独立时： 方差的性质 D(a)=0，其中a 为常数 D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数 ),(y x f ),(y x F ∑+∞-∞=?=k k k P x X E )([]22)()()(X E X E X D -=
概率图模型介绍与计算
概率图模型介绍与计算． 概率图模型介绍与计算 01 简单介绍概率图模型是图论和概率论结合的产物，它的开创者是鼎鼎大名的Judea
Pearl,我十分喜欢概率图模型这个工具，它是一个很有力的多变量而且变量关系可视化的建模工具，主要包括两个大方向：无向图模型和有向图模型。无向图模型又称马氏网络，它的应用很多，有典型的基于马尔科夫随机场的图像处理，图像分割，立体匹配等，也有和机器学习结合求取模型参数的结构化学习方法。严格的说他们都是在求后验概率:p(y|x)，即给定数据判定每种标签y的概率，最后选取最大的后验概率最大的标签作为预测结果。这个过程也称概率推理(probabilistic inference）。而有向图的应用也很广，有向图又称贝叶斯网络(bayes networks),说到贝叶斯就足以可以预见这个模型的应用范围咯，比如医疗诊断，绝大多数的机器学习等。但是它也有一些争议的地方，说到这就回到贝叶斯派和频率派几百年的争议这个大话题上去了，因为贝叶斯派假设了一些先验概率，而频率派认为这个先验有点主观，频率派认为模型的参数是客观存在的，假设先验分布就有点武断，用贝叶斯模型预测的结果就有点“水分”，不适用于比较严格的领域，比如精密制造，法律行业等。好吧，如果不遵循贝叶斯观点，前面讲的所有机器学习模型都可以dismiss咯，我们就通过大量数据统计先验来弥补这点“缺陷”吧。无向图和有向图的例子如（图一）所示：
图一 (a)无向图（隐马尔科夫） (b)有向图 概率图模型吸取了图论和概率二者的长处，图论在许多计算领域中扮演着重要角色，比如组合优化，统计物理，经济等。图的每个节点都可看成一个变量，个状态（取值范围），节点之间的边表示变量之间的关系，它除N每个变量有． 了可以作为构建模型的语言外，图还可以评价模型的复杂度和可行性，一个算法的运行时间或者错误界限的数量级可以用图的结构性质来分析，这句话说的范围很广，其实工程领域的很多问题都可以用图来表示，最终转换成一个搜索试问还有什么问题不是搜索问题？目标就是快速的定位到目标，或者查找问题，树是图，旅行商问题是基于图，染色问题更是基于图，他们具有不同的图的结 构性质。对于树的时间复杂度我们是可以估算出来的，而概率图模型的一开始
概率论模型
第三篇概率论模型 在概率论的应用实例中，通过对应用问题建模主要培养处理随机问题的能力，掌握归纳和处理随机现象的思想方法。学会应用期望值和标准差衡量随机现象的特征、归纳随机现象的基本规律和特征、解决在不确定环境下的风险管理和决策问题。 解决不确定问题首先遇到概率的计算问题，常用到的计算方法有古典概型、加法公式、条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式等。与此相关的应用实例有：彩票中奖概率的计算，至少两人生日在同一天，有趣的蒙特莫特（Montmort）问题，论掷骰子游戏中的概率计算，意料之外“数理”之中！敏感性问题调查，抽签（抓阄）公平吗，对于疑难病症要进行综合检查，说谎的孩子，如何追究责任等。 描述随机现象的常用方法是用随机变量，这样就便于用分析的方法来处理，许多不确定应用问题可以用常见的随机变量来描述，如二项分布、泊松分布、均匀分布和正态分布等；计算不确定性问题的平均值和波动程度用随机变量的数学期望与方差（或标准差）才比较客观。关于随机现象分布的归纳和随机变量的数学期望的应用实例有：泊松(Poisson)分布与突发事件概率的计算，选择题的给分标准，分赌本问题，奖品的诱惑下切勿上当，选择题能考出真实成绩吗？“摸大奖”真的免费吗？赌徒输完问题，考试成绩的标准分，几种保险理赔的概率分布及其在保险实务中的应用，计算机网络病毒随机传播的概率模型，求职面试问题(动态决策问题)，减少验血的工作量，报童的策略(随机存储问题)，建大厂还是建小厂？应该定购多少本挂历，可使总利润最大？正态分布的应用，如何有效安排人力等。 有些不确定性问题需要用多个随机变量来描述和解决，根据多维随机变量的分布与数字特征对所要解决问题进行优化，如组合证券投资决策的均值——方差模型等。应用多维随机变量解决应用问题的实例有：这样找庄家公平吗？配对问题——蒙特莫特问题的继续讨论，组合证券投资决策模型等。 大数定律反映相互独立的随机变量的平均值依概率收敛于一个常数的特征，中心极限定理反映的是一系列相互独立的随机变量和的极限分布为正态分布的特征，大数定律与中心极限定理在保险精算等方面有着广泛的应用。与大数定律和中心极限定理相关的应用实例有：中心极限定理的例子，蒲丰投针与蒙特卡洛（Monte—Carlo）方法，随机变量平均值的稳定性，大数定律在保险中的应用，人寿保险问题，电影院座位数的设定，价格预测，产品市场占有率的预测等。 130