单因素方差分析

综合性课程设计

题目: 某校学生成绩单因素

方差分析

学院：理学院

班级：统计13-2班

学生姓名：黄克韬胡远亮贺鹏杰

学生学号： 27 23 24 指导教师：姚君

2016年 12月 1日

课程设计任务书

目录

摘要.................................................... I

1 问题重述 (1)

2 模型假设 (3)

3 模型建立 (4)

3.1 单因素方差分析前提条件 (4)

3.2 单因素方差分析步骤 (5)

3.3 模型推导 (9)

4 模型求解 (12)

4.1 做出直方图 (12)

4.2 做假设检验 (15)

4.3 检验原假设 (17)

4.4 计算平方和 (19)

4.5 比较F值和临界值 (20)

5 模型检验 (20)

6 模型评价 (27)

7 结论与体会 (28)

8 参考文献 (29)

9 源程序 (30)

摘要

方差分析用于多个样本均数差别的显著性检验。它的基本思想是通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。本文研究学生成绩与课设等级之间的关系，其中可明确观测变量为学生成绩，控制变量为课设等级。由于仅研究单个因素（课设等级）对观测变量（学生成绩）的影响，因此称为单因素方差分析。

本文利用了假设检验和方差分析来对学生成绩进行分析，首先对学生汇编成绩的分布进行假设，其次利用皮尔逊2 对所得的分步进行检验，结合spss数据处理软件求出想要得到的结果，最后用单因素的方差分析判断学生汇编课设等级对学生汇编成绩的影响，从而得出汇编成绩与学生人数之间呈正态分布，学生汇编课设等级对学生汇编成绩有着显著影响。

关键词：假设检验；单因素方差分析；Spss、卡方检验

1 问题重述

从网络搜取某大学信息学院学生的汇编成绩，并对其进行分析，要求如下： 1、分析汇编成绩与学生人数之间的关系（取显著性水平05.0=α）；

2、为了查看学生动手操作能力与理论结合的情况，分析汇编课程设计等级对汇编成绩之间的影响。

1.1问题背景

在科学研究和生产实践中，常常需要同时研究两个以上因素对试验结果的影响，t 检验法使用于样本平均数及两个样本平均数间的差异显著性检验，但是在生产和科学研究中经常会遇到比较多个处理优劣的问题，即需进行多个平均数间的差异显著性检验。这时t 检验不合适是因为（1）检验过程繁琐（2）无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低。（3）判断的可靠性低。方差分析法常用于解决此类问题。

方差分析是由英国统计学家R.A. Fisher 与1923年提出的。其用于多个样本均数差别的显著性检验。它的基本思想是通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。其目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。

方差分析又分为单因素方差分析、双因素试验方差分析、多因素方差分析和协方差分析等。单因素方差分析是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差分析。例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响。单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。方差分析认为：观测变量值得变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分，用数学形式表述为SST=SSA+SSE 。单因素方差分析的第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。

在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方和所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平方和所占比例小，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同水平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。

单因素方差分析基本步骤是提出原假设，

无差异；F> a F 有

显著差异。选择检验统计量，方差分析采用的检验统计量是F 统计量，即F 值检验。计算检验统计量的观测值和概率P 值：该步骤的目的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P 值。给定显著性水平，并作出决策。因此本论文主要运用单因素方差分析解决汇编课程设计与汇编成绩的关系。

1.2数据

表1.21 不同学生课设等级下的学生汇编成绩表

表1.22 不同汇编成绩段下学生人数分布表

2 模型假设

2.1假设

学生汇编成绩与学生人数之间呈正态分布，学生的汇编课程设计等级与汇编成绩之间存在相关性，可以用单因素方差分析方法解决。

2.2符号说明

i m ：频数

i A ：水平等级 ni X :样本数据

i c : 各个偏差i i p f 的权

3 模型建立

3.1单因素方差分析前提条件

假设检验方法被用来对两个总体的参数之间可能出现的差异进行判断。但

是通常情况下，需要判断数个总体的参数之间的差异。在这种情况下，总体被称为组别。这些组别可能根据所关心的因素层级进行分类。如果在分析过程中，各组别的数据是连续的，而且特定假设条件得到满足，就可以使用一种叫做方差分析的方法对两组的均值进行比较。当仅涉及单因素分析时的方差分析叫做单向方差分析。

运用单因素方差分析法解决问题有以下前提：

（1）在每一个水平上的实验结果是一个随机变量ij x （i 为第i 个水平，j 为j 次实验），且服从于正态分布1i x ，2i x ，···，in x 是第i 个水平的正态总体中抽取的一个简单随机样本，样本容量为n 。

（2）所有的k 个不同水平对应的k 个正态总体的方差是相等的，具有方差齐性，ij x ~N （i μ，2δ）。

（3）k 个总体是相互独立的，样本与样本之间也是相互独立的。要检验的假设是：0H :A μ=2μ=···=k μ；A H ：不是所有的i μ ()1,2i k = 都相等。

若拒绝0H ,则认为至少有两个水平之间的差异是显著的，因素A 对实验结果有显著影响；反之，若接受Ho ，则认为因素A 对实验结果无显著影响，实验结果在各水平之间的不同仅仅是由于随机因素引起的。

3.1.2单因素方差分析解决问题

单因素方差分析又称一元方差分析，它是讨论一种因素对试验结果有无显著影响。

设某种单因素A 有r 种水平123,,,r A A A A ，在每种水平下的试验结果服从正态分布。如果在各水平下分别作了i n ()1,2i r = 次试验，通过单因素试验方差分析可以判断因素A 对试验结果是否有显著影响。单因素方差分析数据如下

1A 2A i A r A 11x 21x 1i x 1r x

12x 22x 2i x 2r x

1j x 2j x ij x rj x

11n x 22n x j in x r rn x

3.2单因素方差分析步骤

1.计算平均值

将每种水平看成一组，令i x 为第i 种水平上所有试验的算术平均值，称为组内平均值。即：

i x =

1i

n 1

i

n ij

j x

=∑，（1,2,i r = ） (1)

所以组内和为：

i T =1

i

n ij j x =∑=i n i x (2)

总平均x 为试验值得算术平均值，即

x =1n 11

i

n r ij i j x ==∑∑ (3) 如果将（2）带入（3），可以得到总平均另两种计算式

x =

1

n 1

r

i

i n

=∑i x

1

1r

i i x T n ==∑

其中n 表示总试验数，可以用下式计算：

n=1

r

i i n =∑

2.计算离差平方和

在单因素试验中，各个试验结果存在差异，这种差异可用离差平方和来表示。

（1）离差平方和。因为在零假设下，c 个组别的总体均值假设相等，可以

先求出单个观测值与所有组别观测值的全局均值X 之间的差异，然后将其平方求和，从而得到所有观测值的总离差。总离差平方和用T ss （sum of square for total ） 表示，其计算式为

T ss =2

11

()r a ij i j x x -==∑∑=21

()a

i ij i n x x =-∑

式中

ij X =组j 的第i 个观测值

j n =组j 的观察值得数量 n=总观测值数量 c=相关因素的组别的数量

它表示了各个试验值与总平均值的偏差的平方和，反映了试验之间存在的总差异。

(2)组间离差平方和。先求出每一组别的样本均值j X 与全局均值X 之间的差异，然后以每一组的样本容量j n 为权重将其平方加总，就得到了组间离差。组间离差平方和可以用A ss （sum of square for factor A ）表示，

A ss 计算公式如下：

A ss =2

11

()i n a i i j x x ==-∑∑ =21

()a

i i i n x x =-∑

式中

C=所比较的组别数

j n =组j 的观察值得数量

j

X =组j 的样本均值

X =全局均值

由上式可知，组间离差平方和反映了各组内平均值的差异程度，这种差异由于因素A 不同水平的不同作用造成的，所以组间离差平方和又称为水平向离差平方和。

(3)组内离差平方和。它度量了每一观测值与本组均值之间的差异，以及所有组别这些差异的平方和。组内离差平方和可以用e ss （sum of square for error ）表示，e ss 计算公式如下：

e ss =211

()i

n r ij i i j x x ==-∑∑

式中

ij X =组j 的第i 个观测值

j

X =组j 的样本均值

由上式可知，组内离差平方和反映老了在各个水平内，各试验值之间的差异程度，这种差异是由于随机误差的作用产生的，所以组内离差平方和又称为误差项离差平方和。

可以证明T ss =A ss +e ss

说明了试验值之间的差异来自于两个方面；一方面是由因素中不同水平造成的，例如反应温度的不同导致不同的产品得率，这种差异是系统性的；另一方面是由于试验的随机误差产生的差异，例如在相同的温度下，产品得率也不一定相同。

3．计算自由度

由离差平方和的计算公式可以看出，在同样的误差程度下，测得数据越多，计算出的离差平方和就越大，因此仅用于离差平方和反映试验值间差异大小还是不够多的，还需要考虑试验数据的多少对离差平方和带来的影响，为此需要考虑自由度（degree of freedom ）.

总离差平方和对应的自由度分别如下。

T ss 对应的自由度称为总自由度，即： T df =n —1

A ss 对应的自由度成为组间自由度，即： A df =r —1

e ss 对应的自由度称作组内自由度，即： e d

f =n —r

显然，以上3个自由度的关系为： T df = A df + e df

4.计算平均平方

利用离差平方和除以对应的自由度即可得到平均平方（mean square ）,简称均方。将A SS ，e SS 分别除以A df ，d e f 就可以得到： A MS =A SS / A df e MS =e SS / d e f

称A MS 为组间均方（mean square between groups ）, e MS 为组内均方（meansquares within group), e MS 也被称为误差的均方（error mean square ）。

5.F 检验

组间（也称水平间）均方和组内（也称水平内）均方之比F 是一个统计量，即;

A F =组间均方/组内均方=

A

e

MS MS 它服从自由度为（A df ，e df ）的F 分布（F distribution ）,对于给定的显

著性水平α，查临界值F α（A df ，e df ），如果A F >F α（A df ，e df ）,则认为因素A 对试验结果有显著影响，否则认为因素A 对试验结果没有显著影响。

为了将方差分析主要过程表现的更清楚，将有关的计算结果列成方差分析表，如下所示。

表3.21单因素计算结果

通常，若A F >0.01F (A df , e df ),就称因素A 对试验结果有非常显著的影响，用两个（*）号表示；若0.05F （A df ,e df ）

拒绝域判定：

如果零假设为真，STAT F 统计值有望接近于1，这是因为分子和分母上的均方项都是对数据内在全局方差的估计。若0H 不为真（即均值间实际存在差异），

STAT F 统计值有望比1大很多，因为分子MSA 除了是对数据内在变化性的估计之外，还是对处理效应或组间差异的估计，而分母MSW 仅仅度量了内在变化性。因此，单因素方差分析过程所提供的F 检验中，选定显著性水平α，只有当STAT F 检验统计量大于F 分布（分子自由度为r-1,分母自由度为n-r ）的右侧临界值F α时，零假设才被拒绝，如上图所示。

3.3模型推导

首先用Excel 做出该组数据的直方图，由图大致分析一下两者之间的关系，认为其大致服从正态分布，设总体X 服从N ),(2σμ，其中μ和σ>0都是未知参数，样本观测值为n x x x .....21，似然函数

∏

=--

=n

i x i e

L 1

2)(2

221),(σμσ

πσμ

取对数得

∑=----=n

i i x n n L 1

22)(21ln )2ln(2),(ln μσσπσμ

对μ及σ求偏导数，并让他们等于零，得

0)(1

ln 12

=-=??∑=n

i i

x

L μσμ

0)(1

ln 1

2

3=--=??∑=n i i

n x L σ

μσ

μ

借此方程组得μ及σ的最大释然估计值分别是

x x n n

i i ==∑=∧

1

1μ，

~12

)(1σσ=-=∑=∧

n i i x x n 。 接着将x 以及~

σ算出，然后在计算X 落在各个子区间内的概率

)...3,2,1(l i p i =。为了检验原假设0H ，即检验理论分布与统计分布是否符合，我们把偏差)...2,1(l i p f i i =-

的加权平方和作为理论分布与统计分布之间的差异度：

∑=-=l

i i i i p f c Q 12)(，

其中i c 为各个偏差i i p f -的权，如果取i

i p n

c =

，则当∞→n 时，统计量Q 的分布趋于自由度为1--=r l k 的2χ分布，其中l 十分不自取间的个数，r 是理论分布中需要利用样本观测值估计的未知参数的个数。通常把统计量Q 记作2χ，即

∑=-=l

i i i i p p f n 122

)(χ为了便于计算，上式可以写成∑=-=l

i i i i np np m n 122

)(χ。

对于给定的显著性水平

α，查表可知2χ的临界值)1(2

--r l αχ，使

αχχα=-->)]1([2

2r l P .

如果由实验数据计算得到的统计量2χ的内测之大于)1(2

--r l αχ，则在显著性水

平α下拒绝原假设0H ；否则，接受0H .

应当指出，利用2χ拟合检验准则检验关于总体分布假设时，要求样本容量

n 样本观测值落在各个子区间的频数i m 都相当大，一般要求50≥n ，而()l i m i ,...2,15=≥，如果某些字区间内的频数太小，则应适当地把响铃的两个或

{

几个子区间合并起来，使得合并后得到的子区间内的频数足够大。当然，这是必须相应地减少统计量2χ分布的自由度。

对于单因素方差分析，我们设因素A 有l 个水平,....,21l A A A 在水平i A 下的

总体i X 服从正态分布N ),(2σμi ，l i ,...

2,1=，在水平i A 下进行i n 次试验，l i ,...2,1=；假定所有的实验都是独立的，设得到的样本观测值ij x ，如下表：

因为在水平i A 下的样本ij X 与总体分布i X 服从相同的分布，所以有

ij X ~N ),(2σμ，l i ...2,1=，记μμα-=i i ，要检验的原假设是

0:210====l H ααα ，设第i 组样本的样本均值为),...2,1(l i x i =，即

∑==

i

n j ij i

i x n x 1

1

。于是，总的样本均值∑∑∑=====l

i i i l i n i ij x n n x n x i 11111 ∑∑==-=l

i n j ij T i

x x S 112)(,把T S 分解，得到

∑∑∑===+=-+-=l i e A n j i ij l

i i i T S S x x x x n S i

11

21

2

)()(，由于A S 和e S 独立，现在考虑统

计量).,1(~)

/()

1/(l n l F l n S l S F e A ----=

对于给定的显著性水平α，查表可知的临界值),1(l n l F --α，如果有样本观测值计算得到的统计量F 的观测值大于),1(l n l F --α，则在显著性水平α下拒绝原假设0H ，如果统计量F 的观测值不大于),1(l n l F --α，则接受原假设0H ，即认为因素A 的不同水平对总体无显著影响。

4 模型求解4.1 做出直方图

用Excel做出各成绩段学生人数分布直方图，

1）把汇编成绩学生人数表录入Excel如图4.1

表4.1学生成绩录入表

2)点击插入选择堆形柱状图

得到如下条形统计图

图4.1 各成绩段学生人数分布直方图

4.1.2 做出P-P图

1）把汇编成绩录入SPSS

2）选择分析，然后选择描述统计，再选P-P图按如图所示选择检验分布为正态

3）确定，输出如下图所示

图4.2汇编成绩的p-p图

由柱状图和P-P图可以看出学生成绩以及各成绩段中的学习人数大体上成正态分布。

4.2 做假设检验

要求检验的原假设是：

0H ：X ~N ),(2σμ

已知x =∧

μ，~1

2

)(1σσ=-=∑=∧

n i i x x n ，250=n ，把各个分数段的中点值取作i x ，计算参数μ 及σ 的最大释然估计值。 将数据输入到Excel 中利用公式，

得到9.69==∧

x μ，5.10)(11

2≈-=∑=∧

n

i i x x n σ，如下图

图4.2.1

图4.2.2

图4.2.3

图4.2.4

表4.1 Excel图注