人教版高中数学必修二精品讲义

空间几何体的结构

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掌握棱柱、棱锥、棱台等多面体结构特征．

掌握圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征．

概括简单组合体的结构特征．

1．几何体

只考虑一个物体占有空间部分的________和________，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个________．

2．构成空间几何体的基本元素

(1)构成空间几何体的基本元素：

________、________、________是构成空间几何体的基本元素．

(2)平面及其表示方法：

①平面的概念：

平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．

②平面的表示方法：

图形表示：在立体几何中，通常画平行四边形表示一个平面并把它想象成无限延展的符号表示：平面一般用希腊字母________，________，________…来命名，还可以用表示它的平行四边形________顶点的字母来命名．

深刻理解平面的概念，搞清平面与平面图形的区别与联系是解决相关问题的关键．平面与平面图形的区别与联系为：平面是没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是无限延展的，无厚薄，无大小的一种理想的图形．平面可以用三角形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形是平面，只能说平面可以用平面图形来表示．

(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：

①点动成线：运动方向始终不变得到直线或线段；运动方向时刻变化得到的是曲线或者曲线的一段．

②线动成面：直线平行移动可以得到平面或者曲面；固定射线的端点，让其绕一个圆弧转动，可以形成锥面．

③面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 3．棱柱 (1)棱柱的定义

一般地，由一个平面多边形（凸多边形）沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。平移起止位置的两个平面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面． 两侧面的公共边叫做棱柱的________，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的________． (2)棱柱的本质特征：

①两个底面是全等的多边形，且互相平行； ②其余各面每相邻两个面的公共边都互相平行． (3)正棱柱

底面是________，每个侧面都是矩形的棱柱叫正棱柱．

4.棱锥 (1)棱锥的定义

当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥。由棱柱的一个底面 收缩而成的点叫棱锥的________。原棱柱的底面叫棱锥的________。原棱柱的侧面收缩后的面

叫做棱锥的侧面。相邻侧面的公共边叫棱锥的侧棱． (2)棱锥的本质特征：

①有一个面是多边形； ②其余各面是有一个公共顶点的三角形． (3)正棱锥

如果一个棱锥的底面是________，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥． 5.棱台 (1)棱台的定义

用平行于棱锥底面的平面去截________，截面和底面之间的部分叫棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。其它各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱．

F 1E 1D 1

C 1

B 1

A 1

F

E

D

C

B

A

(2)棱台的本质特征

①上、下底面平行，且是相似多边形； ②各侧面是梯形； ③各侧棱延长后交于一点． (3)正棱台

用正棱锥截得的棱台叫做正棱台． 6.多面体

(1)多面体的定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体． (2)几面体：多面体有几个面就称为几面体． 7.圆柱 (1)圆柱的定义

以矩形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体叫做圆柱． 如右图，旋转轴叫圆柱的________；垂直于的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱的________． (2)圆柱的简单性质

①平行于底面的截面是与底面大小相同的圆； ②过轴的截面（轴截面）是全等的矩形； ③圆柱的侧面展开图是________．

8.圆锥

(1)圆锥的定义

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，直角三角形旋转一周形成的几何体叫圆锥．

如右图，轴为SO ，底面为O ，母线为SA 或SB ,S 叫做圆锥的顶点，OA (或OB ) 叫底面O 的半径，线段SO 是圆锥的________． (2)圆锥的简单性质

①平行于底面的截面都是圆； ②过轴的截面是全等的________； ③圆锥的侧面展开图是扇形． 9.圆台

(1)圆台的定义

以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周所形成的集合体叫做圆台． 如右图，旋转轴叫圆台的轴（即上、下底面圆心的连线）；在轴上这条边 的长度叫圆台的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面；不垂 于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，无论旋转到什么位置，这条边 都叫做圆台的母线． (2)圆台的简单性质

①平行于底面的截面都是圆面；

②过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形；

底面

B '

A '

O '底面

母线高、轴

侧面B

O

A

D 1

C 1B 1

A 1

D

C

B

A

③圆台的侧面展开图是________．

10.球

(1)球的定义

半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球．

叫球的球心；半圆的半径叫做球的半径；

半圆的直径叫做球的直径；半圆弧旋转而成的曲面叫做球面．

(2)球的简单性质

用一个平面去截球，截面是圆面，而且球心和截面圆心的连线

垂直于截面，球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有下面

的关系：________

11.旋转体

一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的________

定直线叫做旋转体的________；封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．

12.简单组合体

常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；

多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合.其基

本形式实质上有两种：一种是由简单几何体拼接而成

的简单组合体，如图（1）和（3）所示的组合体；另

一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组

合体，如图（2）所示的组合体．

类型一平面概念的理解

例1：下列说法中正确的是________．

(1)平行四边形是一个平面；

(2)任何一个平面图形都是一个平面；

(3)平静的太平洋面就是一个平面；

(4)圆和平行四边形都可以表示平面．

练习1：有下列结论：(1)平面是处处平直的；(2)平面是无限延展的；(3)平面的形状是平行四边形；(4)一个平面的厚度可以为0.001mm.其中正确结论的个数是()

A．1B．2C．3D．4

练习2：1．构成空间几何体的基本元素为()

A．点B．线

C．面D．点、线、面

类型二构成几何体的基本元素

例2：试指出下列各图中几何体的基本元素．

练习1：指出所给两个几何图形的面、顶点、棱，并指出它们分别由几个面围成，各有多少条棱？多少个顶点？

练习2：下列说法：

①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；

②一个几何体可以没有顶点；

③一个几何体可以没有棱；

④一个几何体可以没有面．

其中正确的个数是()

A．1B．2C．3D．4

例3：下列说法错误的是________(填序号)．

(1)射线运动后的轨迹不可能是整个平面；

(2)直线绕着一个点转动，只能形成曲面；

(3)将一个矩形沿同一方向移动一段距离，其轨迹是长方体．

练习1：如图所示，画出①②③中线段L绕着直线l旋转一周形成的曲面．

类型三多面体与旋转体的问题

例4：下列几何体中是棱柱的个数为()

A．1B．2C．3D．4

练习1：下面没有体对角线的一种几何体是()

A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱

练习2：棱柱的侧面都是()

A．三角形B．四边形

C．五边形D．矩形

练习3：给出下列三个命题，其中正确的有()

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的

部分是棱台；

②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多

面体是棱台；

③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．

A．0个B．1个

C．2个D．3个

例5：下列说法不正确的是()

A．圆柱的平行于轴的截面是矩形

B．圆锥的过轴的截面是等边三角形

C．圆台的平行于底面的截面是圆面

D．球的任意截面都是圆面

练习1：(2014·江西丰城三中高一期末测试)半圆绕着它的直径所在直线旋转一周所得的轨迹是()

A．球B．球面

C．球或球面D．以上均不是

练习2：(2014·甘肃庆阳市西峰育才中学高一期末测试)如图(1)所示的几何体是由如图(2)所示的哪个平面图形绕虚线旋转一周得到的？()

例6：请描述如图所示的组合体的结构特征.

练习1：（1）说出下列物体可以近似地看作由哪几种几何体组成？

(2)如图（1）、（2）所示的两个组合体有什么区别？

练习2：（1）如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征．

（2）如图所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线l旋转180°，说出它形成的几何体的结构特征

1.下面没有体对角线的一种几何体是

A 三棱柱

B 四棱柱

C 五棱柱

D 六棱柱

2．下列平面图形旋转后能得到下边几何体的是

（1） (2) (3) (4)

A （1）

B （2）

C （3） D（4）

3．下列说法中不正确的是

A 棱柱的侧面不可以是三角形

B 有六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体

的展开图 C 正方体的各条棱都相等 D 棱柱的各条侧棱都相等

4. 指出下图分别包含的几何体

（1）（2）（3）

（1）（2）

（3）

5．用一个平面去截正方体，得到的截面可能是、、、、边形。

6. （2014·杭州模拟）下列命题中，不正确的是( )

A.棱长都相等的长方体是正方体

B.有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱

C.有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱

D.底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体

7. 根据下面对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.

(1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的六边形,其他各面都是平行四边形.

(2)由五个面围成,其中一个是正方形,其他各面都是有一个公共顶点的三角形.

8. 下列命题中正确的有（）

A、有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C、有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥

D、棱台各侧棱的延长线交于一点

9、如下图，图（1）截得的下半部分是否为棱台？图（2）是否是棱柱？图（3）是否是棱台？

（1）（2）（3）

10、如下图，分析下面几何体是由何种基本几何体构成的.

（1）（2）（3）

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基础巩固

1. 如图所示是平行四边形ABCD所在的平面，下列表示方法中不正确的是( )

①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④AC；⑤平面α.

A．④ B．③⑤ C．②③④ D．③④

2. 一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是________(填序号)．

3. 下列几何体中是棱柱的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

4. 下列关于长方体的说法中，正确的是________．

①长方体中有3组对面互相平行；

②长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD、BC和AA1；

③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；

③长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、

DD1平行且相等．

5. 设有四个命题：

①底面是矩形的平行六面体是长方体；

②棱长相等的直四棱柱是正方体；

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；

④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．

以上命题中，真命题的是________．(填序号)

6. 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的不可能图形是( )

能力提升

7. 斜四棱柱的侧面最多可有几个面是矩形( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

8. 下列命题中，错误的是( )

A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的

B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的

C．圆台的轴截面一定是等腰梯形

D．圆锥的轴截面是全等的等腰三角形

9. 图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________(填序号)．

10．四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有_____个．

11．下列命题中为假命题的是（）

A、以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆柱

B、以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥

C、以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥

D、以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥

12．(2014·湖南邵阳一中月考)棱台不具备的性质是( )

A．两底面相似

B．侧面都是梯形

C．侧棱都相等

D．侧棱延长后都相交于一点

13．（2015贵州六校联考）下列结论正确的是 ( )

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

14. （2014·杭州模拟）下列命题中，不正确的是( )

A.棱长都相等的长方体是正方体

B.有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱

C.有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱

D.底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体

15. 关于“两底面直径之差等于母线长”的圆台，下列判断中正确的有（）

A、是不存在的

B、其母线与下底面必成60角

C、其高与母线成60角

D、其母线与下地面所成的角不确定

空间几何体的三视图与直观图

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了解中心投影与平行投影；

能画出简单几何体的三视图；

能识别三视图所表示的空间几何体．

一、投影的相关定义

1.投影

光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法．2.中心投影

投射线交于一点的投影称为中心投影．

注意：

(1)中心投影也称透视投影；

(2)其优点是形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体；

(3)其缺点是投影中心、投影面、和物体相对位置发生改变时，直观图的大小和形状亦将改变

(4)用途：主要用于绘画领域．

3.平行投影

投射线相互___________的投影称为平行投影．

注意：按照投射方向是否正对着投影面，可分为_____投影和_____投影两种．

二、三视图

1.视图——是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形．

（1）光线自物体的前面向后投影所得的投影称为_____视图或正视图；

（2）光线自物体的__________投影所得的投影称为俯视图；

（3）光线自物体的_____投影所得的投影称为左视图；

以上三种视图刻画空间物体的结构，称为三视图． 2.三视图的画法规则

（1）“高平齐”：指_____视图和_____视图的高要保持平齐； （2）“宽相等”：指_____视图的宽和_____视图的宽度相等； （3）“长对正”：指_____视图和_____视图的长应对正； （4）看不到的棱应该用_____线． 三、直观图 1.定义

按平行投影法，把空间图形在纸上或黑板上画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的_____关系和度量关系，我把这种投影图叫直观图． 2.优点

（1）直观性强；（2）各主要部分的位置关系和度量关系明确；（3）画法较容易． 四、斜二测画法

1.在空间图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于O ，在取z 轴，使

90,90xOy yOz ∠=∠=；

2.画直观图时把它们画成对应的'x 轴、'

y 轴和'z 轴，它们相交与'O ，并使'

''

45

x O y ∠=（或135），'''

90x

O y ∠=，'

x 轴和'

y 轴所确定的平面表示水平平面．

3. 已知图中平行于x 轴、y 轴或z 的线段，在直观图中分别画成平行于'x 轴、'y 轴或'

z

轴的线段．

4. 已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．

类型一 投影

例1：下列说法正确的是________．

①直线或线段的平行投影仍为直线或线段；

②与投射面平行的平面图形，它的平行投影与这个图形一定全等； ③平行四边形的平行投影可能为矩形； ④两平行直线的平行投影一定平行；

⑤如果一条长为10的线段的平行投影为5，则长为20的线段的平行投影为10. 练习1：一条直线在平面上的投影是（ ）

A ．直线

B ．点

C ．线段

D ．直线或点 练习2：已知△ABC 是一个直角三角形，则经过平行投影后所得三角形是（ ）

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．以上都有可能 练习3：下列命题中正确的是( )

A ．矩形的平行投影一定是矩形

B ．梯形的平行投影一定是梯形

C ．两条相交直线的投影可能平行

D ．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点

类型二三视图

例2：(2014·山东文登高一期末测试)一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个()

A．三棱锥B．底面不规则的四棱锥

C．三棱柱D．底面为正方形的四棱锥

练习1：下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()

A．①②B．①③C．①④D．②④

练习2：在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为()

练习3：用若干块相同的小正方体搭成一个几何体（中间不能空），该几何体的三视图如下图所示，则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数是（）.

A．8 B．7 C．6 D．5

类型三直观图与斜二测画法

例3：(2014·山东潍坊高一检测)如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC中最长的边为________．

．

练习1：如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，B′O′＝O′C′＝C′A′，则原△

ABC是()

A．等边三角形

B．等腰非直角三角形

C．直角非等腰三角形

D．等腰直角三角形

练习2：水平放置的矩形ABCD 长AB ＝4，宽BC ＝2，以AB 、AD 为轴作出斜二测直观图A ′B ′C ′D ′，则四边形A ′B ′C ′D ′的面积为( )

A ．4 2

B ．2 2

C ．4

D ．2

练习3：水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．

1. 已知△ABC 是一个直角三角形，则经过平行投影后所得三角形是（ ）

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．以上都有可能

2．有下列说法：

①从投影的角度看，三视图和斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 3．如图所示的是一个简单几何体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．

4．(2014·甘肃庆阳市西峰育才中学高一期末测试)有一个几何体的三视图如下（依次为正视图、侧视图、俯视图），这个几何体应是一个（ ）

A ．棱台

B ．棱锥

C ．棱柱

D ．都不对

5．如图在平面直角坐标系中有一个边长为a 的正方形，利用斜二测画法得到正方形的直观图，则这个直观图的面积为（ ）

A ．22a

B ．422a

C ．222

a

D ．2

2a

6. (2014·山东枣庄第三中学高一期末测试)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱

7.如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图， 则这个平面图形的面积是______

8.

如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是

BB 1、BC 的中点，则图中阴影部分在平面ADD 1A 1上的射影为( )

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x ′