平面的投影
平面的投影
由初等几何学可知，不在一条直线上的三点、一条直线和线外一点、两平行直线、两相交直线可决定一平面；在投影图上可利用几何元素来表示平面。但是形体上任何一个平面图形都有一定的形状、大小和位置。从形状上看，常见的平面图形有三角形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面图形。
平面的表示方法
1．不在一条直线上的三点；
2．一条直线和线外一点；
3．两平行直线；
4．两相交直线；
5．任意一平面图形。
图2—21几何元素表示平面
平面形在三面投影体系中的特性
平面形的投影一般仍为平面形，特殊情况下为一条直线。
平面形投影的作图方法是将图形轮廓线上的一系列点（多边形则是其顶点）向投影面投影，即得平面形投影。三角形是最简单的平面形，如图2—25所示，将△ABC三顶点向三投影面进行投影的直观图和三面投影图。其各投影即为三角形之各顶点的同面投影的连线。其它多边形的作法与此类似。又此可见，唨平面形的投影，实质上仍是以点的投影为基础而得的投影。
图2—22一般位置平面的投影
图2—23投影面平行面的投影特性
平面形在三面投影体系中的位置可分为三种：
1．一般位置平面——对于三个投影面都倾斜平面
对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面，如图图2—22所示。一般位置的三角形平面的投影情况，由于它对三个投影面都倾斜，所以三个投影仍为三角形，且不反映实形，都比实形缩小了。
由此得到一般位置平面的投影特性：
（1）类似性——在三个投影面上的投影均为相仿的平面图形，且形状缩小；
（2）判断——平面的三面投影都是类似的几何图形，该平面一定是一般位置平面。
2．投影面平行面——平行于一个投影面的平面
平行于一个投影面也即同时垂直于其它两个投影面的平面，称为投影面平行面。如图2—23所示，投影面平行面有三种：水平面（∥H面）、正平面（∥V面）、侧平面（∥W面）。
三种投影面平行面的投影特征：
（1）真实性——如平面用平面形表示，则在其所平行的投影面上的投影，反映平面形的实形；
（2）积聚性——在另外两个投影面上的投影为直线段（有积聚性）且平行于相应的投影轴；
（3）判断——若在平面形的投影中，同时有两个投影分别积聚成平行于投影轴的直线，而只有一个投影为平面形，则此平面平行于该投影所在的那个投影面。该平面形投影反映该空间平面形的实形。
1．投影面垂直面——垂直于一个投影面的平面
图2—24投影面垂直面的投影特性
仅垂直于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。如图2—24所示。投影面垂直面有三种：铅锤面（⊥H面）、正垂面（⊥V面）、侧垂面（⊥W面）。
三种投影面垂直面的投影特征：
（1）积聚性——在其所垂直的投影面上的投影为倾斜直线段，该倾斜直线段与投影轴的夹角，反映该平面对相应投影面的倾角；
（2）相仿性——若平面用平面形表示，则在另外两个投影面上的投影仍为平面形，但不是实形；
（3）判断——若平面形在某一投影面上的投影积聚成一条倾斜于投影轴的直线段，则
此平面垂直于积聚投影所在的投影面。平面内的直线和点
地图投影复习资料
地图投影复习资料 基本概念 地图投影是在平面上建立与地球曲面上相对应的经纬网的数学法则。 任务 （1）研究将地球面上的地理坐标描写到平面上，建立地图数学基础的各种可能的方法； （2）讨论这些方法的理论、变形规律、实用价值以及不同投影坐标的相互换算等问题。 大地水准面与大地体（Geoid ） 大地水准面设想当海水面完全处于静止状态下，并延伸到大陆内部，使它成为一个处处与铅垂线（重力线）正交的连续的闭合曲面，这个曲面叫做。由它所包围的球体，叫做大地体。 地球椭球面与地球椭球体(Ellipsoid) 地球椭球体选择一个大小和形状同大地水准面极为接近的，以椭圆短轴为旋转轴的旋转椭球面。这个旋转椭球面可代表地球的形状，又称为地球椭球面或参考椭球面（原面）。由它所围成的球体，称为或地球椭球。 地球椭球体的形状和大小 扁率(Flattening or Compression) 第一偏心率(First Eccentricity) 第二偏心率(Second Eccentricity) 地球椭球面的基本点、线、面和地理坐标 点 两极 (pole) 线 经线(meridian) 纬线(parallel) 面 平行圈(parallel) 子午圈(meridian) : 长半径为ae ，短半径为 be 的椭圆 地理坐标 地理纬度(latitude ) 地理经度(longitude) 子午圈：通过地面任一点的法线可以有无数法截弧，它们 与椭球面相交则形成无数法截弧，其中有一对互相垂直的法截弧，称为主法截弧。主法截弧都是椭圆，其中一个是子午圈。 卯酉圈：与子午圈垂直的另一个圈称为卯酉圈。地球椭球面上的子午圈始终代表南北方向；卯酉圈除了两个极点外，代表东西方向。 子午圈曲率半径：地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最小的曲率半径
投影定义与坐标转换
GIS/RS在地理学中的应用 一、作业题目：基础03 坐标定义与投影变换 时间：2018 年9 月20 日 一、作业内容及要求概述 基础03 坐标定义与投影变换 1.数据文件 ① idll.shp，（Idaho 州的轮廓图） ② stationsll.shp，（Idaho 州的滑雪道） ③ snow.txt，（Idaho 州 40 个滑雪场的经纬度值） 2．GIS操作 ①按要求更改文件投影的 ②给文件定义投影 ③用经纬度信息文本生成指定投影地点分布图 3. 作业报告总结以下内容 ①将 idll.shp 的投影变换为Idaho 州横轴麦卡托坐标系（ Idaho Transverse Mercator, IDTM）IDTM参数设置如下： Projection Transverse Mercator Datum NAD83 Units meters Parameters scale factor: 0.9996 central meridian: -114.0 reference latitude: 42.0
false easting: 2,500,000 false northing: 1,200,000 ②将IDTM坐标系统应用到stationsll.shp 上 用snow.txt 生成一个UTM投影（Nad 1983UTM Zone11N）的滑雪场分布图 二、工作方法及技术流程 （思路、方法、主要操作步骤、技术流程等） ①将 idll.shp 的投影变换为Idaho 州横轴麦卡托坐标系 1：右键单击属性，查看idll属性其坐标系统信息。元数据页中坐标系统已经为GCS_North_American_1927 2：接下来将idll.shp投影到IDTM坐标系统。在ArcToolbox中Data Manager Tools =>Projections and Transformations=>Features=>Project
平面的投影练习题
平面的投影 一、填空题 1．当平面平行于投影面时，其投影，这种性质叫性； 2.当直平面线垂直于投影面时，其投影，这种性质叫性； 3.当平面倾斜于投影面时，其投影，这种性质叫 性。 4.平面按其对投影面的相对位置不同，可分为、和 三种。 5．与一个投影面平行的平面，一定与其他两个投影面，这样的平面称为投影面的线，具体又可分为、、。 6. 与一个投影面垂直，与其他两个投影面倾斜的直线，称为投影面的线，具体又 可分为、、。 二、选择题 1.正垂面一定()。 A.与V面垂直 B.与W面垂直 C.与H面平行 D.与W面倾斜 2.水平面一定()。 A.与V面垂直 B.与W面倾斜 C.与H面平行 D.与V面平行 3. 直线在所垂直的投影面上的投影是（）。 A、实长不变; B、长度缩短; C、聚为一点 D.都不对 4. 平面在所平行的投影面上的投影是（）。 A、平面; B、直线 C、聚为一点 D.都不对 5.铅垂面的水平投影为（）。 A、点 B、直线 C、都不对 6.和正立投影面平行的平面叫（）。 A铅垂面B、正平面C、侧垂面D、一般位置平面 7.侧垂面的水平投影和正面投影为（）。 A、点 B、直线 C、点和直线 8. 若平面在W面和V面的投影均为一条垂直于Z轴的直线，则它是投影面的（）。 A、正平面 B、水平面 C、铅垂面 D、侧垂面 9. 一般位置平面在三个投影面上的投影具有（） A、真实性 B、积聚性 C、扩大性 D、收缩性 10.下列哪一个平面能在V面内反映实长（）。 A、正平面 B、水平面 C、侧平面 D、一般位置平面 三、名词解释 1水平面 2 正平面3侧平面4铅垂面5正垂面6侧垂面 四、简答题 1平面有何投影特性举例说明正垂面、水平面投影特性 2已知三角形ABC，顶点坐标A(5、10、15)B(8、10、16)C(12、16、20)，求作它的三面投影。
全息投影定义、原理及分类介绍
全息投影定义、原理及分类介绍 在科技快速发展的今天，人们对视觉要求越来越高，由此能实现裸眼立体3D 显示的全息投影技术的应用也是越来越多，在给人们带来新鲜有趣的视觉体验的同时，也为众多商家提供新的宣传营销方式，打开市场新大门。 全息投影技术在展览展示方式，采用全息投影技术的全息成像柜可以使立体影像不借助任何屏幕或介质而直接悬浮在设备外的自由空间，任意角度看都是三维影像展现。产品种类多样分有全息展示柜、180度全息展示柜、270度全息展示柜、360度全息展示柜、全息金字塔、大中小型全息金字塔定制、全息投影设备、3D投影成像设备、全息玻璃柜等，可根据用户使用需求使用场地进行定制。未来全息投影技术市场发展潜力将是无可估量的。 一、什么是全息投影全息投影技术是近些年来流行的一种高科技技术，它是采用一种国外进口的全息膜配合投影再加以影像内容来展示产品的一种推广手段。它提供了神奇的全息影像，可以在玻璃上或亚克力材料上成像。这种全新的互动展示技术将装饰性和实用性融为一体，在没有图像时完全透明，给使用者以全新的互动感受，成为当今一种最时尚的产品展示和市场推广手段。全息投影设备包括：全息投影仪，全息投影幕，全息投影膜，全息投影内容制作等。航天科工数字展示事业部提供3D全息投影成像系统项目策划、3D全息投影成像展示内容制作、 二、全息技术的原理全息投影技术是利用干涉和衍射原理记录并再现物体真实的三维图像的记录和再现的技术。 其第一步是利用干涉原理记录物体光波信息，此即拍摄过程：被摄物体在激光辐照下形成漫射式的物光束；另一部分激光作为参考光束射到全息底片上，和物光束叠加产生干涉，把物体光波上各点的位相和振幅转换成在空间上变化的强度，从而利用干涉条纹间的反差和间隔将物体光波的全部信息记录下来。记录着干涉条纹的底片经过显影、定影等处理程序后，便成为一张全息图，或称全息照片；其第二步是利用衍射原理再现物体光波信息，这是成象过程：全息图犹如一个复杂的光栅，在相干激光照射下，一张线性记录的正弦型全息图的衍射光波一般可给出两个象，即原始象（又称初始象）和共轭象。再现的图像立
平面的投影
平面的投影 由初等几何学可知，不在一条直线上的三点、一条直线和线外一点、两平行直线、两相交直线可决定一平面；在投影图上可利用几何元素来表示平面。但是形体上任何一个平面图形都有一定的形状、大小和位置。从形状上看，常见的平面图形有三角形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面图形。 平面的表示方法 1．不在一条直线上的三点； 2．一条直线和线外一点； 3．两平行直线； 4．两相交直线； 5．任意一平面图形。 图2—21几何元素表示平面 平面形在三面投影体系中的特性 平面形的投影一般仍为平面形，特殊情况下为一条直线。 平面形投影的作图方法是将图形轮廓线上的一系列点（多边形则是其顶点）向投影面投影，即得平面形投影。三角形是最简单的平面形，如图2—25所示，将△ABC三顶点向三投影面进行投影的直观图和三面投影图。其各投影即为三角形之各顶点的同面投影的连线。其它多边形的作法与此类似。又此可见，唨平面形的投影，实质上仍是以点的投影为基础而得的投影。
图2—22一般位置平面的投影 图2—23投影面平行面的投影特性 平面形在三面投影体系中的位置可分为三种： 1．一般位置平面——对于三个投影面都倾斜平面 对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面，如图图2—22所示。一般位置的三角形平面的投影情况，由于它对三个投影面都倾斜，所以三个投影仍为三角形，且不反映实形，都比实形缩小了。 由此得到一般位置平面的投影特性： （1）类似性——在三个投影面上的投影均为相仿的平面图形，且形状缩小；
（2）判断——平面的三面投影都是类似的几何图形，该平面一定是一般位置平面。 2．投影面平行面——平行于一个投影面的平面 平行于一个投影面也即同时垂直于其它两个投影面的平面，称为投影面平行面。如图2—23所示，投影面平行面有三种：水平面（∥H面）、正平面（∥V面）、侧平面（∥W面）。 三种投影面平行面的投影特征： （1）真实性——如平面用平面形表示，则在其所平行的投影面上的投影，反映平面形的实形； （2）积聚性——在另外两个投影面上的投影为直线段（有积聚性）且平行于相应的投影轴； （3）判断——若在平面形的投影中，同时有两个投影分别积聚成平行于投影轴的直线，而只有一个投影为平面形，则此平面平行于该投影所在的那个投影面。该平面形投影反映该空间平面形的实形。 1．投影面垂直面——垂直于一个投影面的平面 图2—24投影面垂直面的投影特性 仅垂直于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。如图2—24所示。投影面垂直面有三种：铅锤面（⊥H面）、正垂面（⊥V面）、侧垂面（⊥W面）。 三种投影面垂直面的投影特征： （1）积聚性——在其所垂直的投影面上的投影为倾斜直线段，该倾斜直线段与投影轴的夹角，反映该平面对相应投影面的倾角； （2）相仿性——若平面用平面形表示，则在另外两个投影面上的投影仍为平面形，但不是实形； （3）判断——若平面形在某一投影面上的投影积聚成一条倾斜于投影轴的直线段，则
投影法的基本概念
第一节投影法的基本概念 在工程技术中，人们常用到各种图样，如机械图样、建筑图样等。这些图样都是按照不同的投影方法绘制出来的，而机械图样是用正投影法绘制的。 1、投影法的概念 举例：在日常生活中，人们看到太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物的 影子，这就是一种投影现象。我们把光线称为投射线(或叫投影线)，地面或墙壁称为投影面，影子称为物体在投影面上的投影。 下面进一步从几何观点来分析投影的形成。设空间有一定点S和任一点A，以及不通过点S和点A的平面P，如图所示，从点S经过点A作直线SA，直线SA必然与平面P相交于一点a，则称点a为空间任一点A在平面P上的投影，称定点S为投影中心，称平面P为投影面，称直线SA为投影线。据此，要作出空间物体在投影面上的投影，其实质就是通过物体上的点、线、面作出一系列的投影线与投影面的交点，并根据物体上的线、面关系，对交点进行恰当的连线。 如图所示，作△ABC在投影面P上的投影。先自点S过点A、B、C分别作直线SA、SB、SC与投影面P的交点a、b、c，再过点a、b、c作直线，连成△abc ，△abc即为空间的△ABC在投影面P上的投影。 上述这种用投射线（投影线）通过物体，向选定的面投影，并在该面上得到图形的方法称为投影法。 投影法的概念中心投影法 2、投影法的种类及应用 （1）中心投影法 投影中心距离投影面在有限远的地方，投影时投影线汇交于投影中心的投影法称为中心投影法，如图所示。 缺点：中心投影不能真实地反映物体的形状和大小，不适用于绘制机械图样。 优点：有立体感，工程上常用这种方法绘制建筑物的透视图。 （2）平行投影法 投影中心距离投影面在无限远的地方，投影时投影线都相互平行的投影法称为平行投影法，如图所示。 根据投影线与投影面是否垂直，平行投影法又可以分为两种： 1）斜投影法——投影线与投影面相倾斜的平行投影法，如图所示。 2）正投影法——投影线与投影面相垂直的平行投影法，如图所示。
向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)
向量的数量积——数量积的投影定义 一、基础知识 1、向量的投影： （1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段 AB 的值。 （2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。所以说，投影往往伴随着垂直。 （3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在 b 上的投影向量。 2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角 （1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ=
（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ= （3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ= 综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）： 向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ?=，可变形为() cos a b a b θ?=?或 () cos a b b a θ?=?，进而与向量投影找到联系 （1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→?=?（记a b λ→为a 在b 上的投影） （2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： a b a b b λ→?= 即数量积除以被投影向量的模长 5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题：
投影的基本知识
第2章 投影的基本知识 2．1投影法概述 2．1．1投影的概念 在日常生活中，人们经常可以看到，物体在日光或灯光的照射下，就会在地面或墙面上留下影子，如图2-1a 所示。人们对自然界的这一物理现象经过科学的抽象，逐步归纳概括，就形成了投影方法。在图2-1b 中，把光源抽象为一点，称为投射中心，把光线抽象为投射线，把物体抽象为形体（只研究其形状、大小、位置，而不考虑它的物理性质和化学性质的物体），把地面抽象为投影面，即假设光线能穿透物体，而将物体表面上的各个点和线都在承接影子的平面上落下它们的投影，从而使这些点、线的投影组成能够反映物体形状的投影图。这种把空间形体转化为平面图形的 a)影子 b)投影 a)影子 b)投影 图2-1 影子与投影 要产生投影必须具备：投射线、形体、投影面，这是投影的三要素。 2．1．2投影的分类 根据投射线之间的相互关系，可将投影法分为中心投影法和平行投影法。 1．中心投影法 当投射中心S 在有限的距离内，所有的投射线都汇交于一点，这种方法所得到的投影，称为中心投影，如图2-2所示。在此条件下，物体投影的大小，随物体距离投射中心S 及投影面P 的远近的变化而变化，因此，用中心投影法得到物体的投影不能反映该物体真实形状和大小。 图2-2 中心投影 2．平行投影法
把投射中心S 移到离投影面无限远处，则投射线可看成互相平行，由此产生的投影称为平行投影。因其投射线互相平行，所得投影的大小与物体离投影中心及投影面的远近均无关。 在平行投影中，根据投射线与投影面之间是否垂直，又分为斜投影和正投影两种：投射线与投影面倾斜时称为斜投影，如图2-3a 所示；投射线与投影面垂直时称为正投影，如图2-3b 所示。 a)斜投影法 b)正投影法 a)斜投影法 b)正投影法 图2-3 平行投影 2．1．3平行投影的特性 1．同素性 在通常情况下，直线或平面不平行（垂直）于投影面，因而点的投影仍是点，直线的投影仍是直线。这一性质称为同素性。 2．显实性（真形性） 当直线或平面平行于投影面时，它们的投影反映实长或实形。如图2-4a 所示，直线AB 平行于H 面，其投影ab 反映AB 的真实长度，即ab=AB 。如图2-4b 所示，平面ABCD 平行于H 面，其投影反映实形，即三角形abc ≌三角形ABC 。这一性质称为显实性。 a) b) a) b) 图2-4 平行投影的显实性 3．积聚性 当直线或平面平行于投射线（同时也垂直于投影面）时，其投影积聚为一点或一直线。这样的投影称为积聚投影。如图2-5a 所示，直线AB 平行于投影线，其投影积聚为一点a(b)；如图2-5 b 所示；平面三角形ABC 平行于投影线，其投影积聚为一直线ac 。投影的这种性质称为积聚性。
五.已知平面体两面投影,求第三面投影。
五．已知平面体两面投影，求第三面投影。 （一）平面体 1．平面体的投影特点： （1）平面体的投影，实质上就是点、直线和平面投影的集合。 （2）投影图中的线条，可能是直线的投影，也可能是平面的积聚投影。 （3）投影图中线段的交点，可能是点的投影，也可能是直线的积聚投影。 （4）投影图中任何一封闭的线框都表示立体上某平面的投影。 （5）当向某投影面作投影时，凡看得见的直线用实线表示，看不见的直线用虚 线表示。 （6）在一般情况下，当平面的所有边线都看得见时，该平面才看得见。 2．平面体投影图的识读： （1）棱柱的三个投影，其中一个投影为多边形，另两个投影分别为一个或若干个矩形，满足这样条件的投影图为棱柱体的投影。 （2）棱锥的三个投影，一个投影外轮廓线为多边形，另两个投影为一个或若干个有公共顶点的三角形，满足这样条件的投影是棱锥体的投影。 （3）棱台的三个投影，一个投影为两个相似的多边形，另两个投影为一个或若干个梯形，满足这样条件的投影为棱台的投影。 3．平面体表面上的点和线 平面体表面上点和直线的投影实质上就是平面上的点和直线的投影，不同之处是平面体表面上的点和直线的投影存在着可见性的判断问题。 （二）曲面体 1．曲面体投影图的识读
（1）圆柱体的三个投影图分别是一个圆和两个全等的矩形，且矩形的长度等于圆的直径。满足这样三个投影图的立体是圆柱。 （2）圆锥体的三个投影图分别是一个圆和两个全等的等腰三角形，且三角形的底边长等于圆的直径，满足这样要求的投影图是圆锥体的投影图 （3）球体的三个投影都是圆，如果满足这样的要求或者已知一个投影是圆且所注直径前加注字母“S”则为球体的投影。 2．曲面体表面上的点和线 曲面体表面上的点和平面体表面上的点相似。为了作图方便，在求曲面体表面上的点时，可把点分为两类： （1）特殊位置的点，如圆柱、圆锥的最前、最后、最左、最右、底边，球体上平行于三个投影面的最大圆周上等位置上的点，这样的点可直接利用线上点的方法求得。 （2）其他位置的点可利用曲面体投影的积聚性、辅助素线法和辅助圆等方法求得。
投影矩阵的定义
视锥就是场景中的一个三维空间，它的位置由视口的摄像机来决定。这个空间的形状决定了摄像机空间中的模型将被如何投影到屏幕上。透视投影是最常用的一种投影类型，使用这种投影，会使近处的对象看起来比远处的大一些。对于透视投影，视锥可以被初始化成金字塔形，将摄像机放在顶端。这个金字塔再经过前、后两个剪切面的分割，位于这两个面之间的部分就是视锥。只有位于视锥内的对象才可见。 视锥由凹视野（ 在上图中，变量 投影矩阵是一个典型的缩放和透视矩阵。投影变换将视锥变换成一个直平行六面体的形状。因为视锥的近处比远处小，这样就会对靠近摄像机的对象起到放大的作用，也就将透视应用到了场景当中。 在视锥中，摄像机与空间原点间的距离被定义为变量 视矩阵将摄像机放置在场景的原点。又因为投影矩阵需要将摄像机放在 将两个矩阵相乘，得到下面的矩阵： 下图显示了透视变换如何将一个视锥变换成一个新的坐标空间。注意：锥形体变成了直平行六面体，原点从场景的右上角移到了中心。 在透视变换中，
这个矩阵基于一定的距离（这个距离是从摄像机到邻近的剪切面）对对象进行平移和旋转，但是它没有考虑到视野（ 在这个矩阵中， 在程序中，使用视野角度来定义x和y缩放系数比使用视口的水平和垂直尺寸（在摄像机空间中）并不方便多少。下面两式使用了视口的尺寸，并且与上面的公式相等： 在这些公式中，Zn表示邻近的剪切面的位置，变量Vw和Vh表示视口的高和宽。这两个参数与 D3DVIEWPORT2结构中的dwWidth和dwHeight成员相关。 不管你使用那个公式，将同世界和视变换一样，可以调用下面的 D3DMATRIX ProjectionMatrix(const float near_plane,// distance to near clipping plane const float far_plane,// distance to far clipping plane const float fov_horiz,// horizontal field of view angle, in radians const float fov_vert)// vertical field of view angle, in radians { float h, w, Q; w = (float)cot(fov_horiz*0.5); h = (float)cot(fov_vert*0.5); Q = far_plane/(far_plane - near_plane); D3DMATRIX ret = ZeroMatrix(); ret(0, 0) = w; ret(1, 1) = h; ret(2, 2) = Q; ret(3, 2) = -Q*near_plane; ret(2, 3) = 1; return ret; } // end of ProjectionMatrix()
投影法概念.点的投影
点、直线和平面>> 点>> 点在两投影面体系中的投影 1 点 1.1 点在两投影面体系中的投影 1.1.1 两投影面体系的建立 两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成，如图1所示，其中一个为水平投影面（简称水平面），以H表示，另一个为正立投影面（简称正面），以V表示。两投影面的交线称为投影轴，以OX表示。 水平投影面H与正立投影面V将空间分为四个部分，称为四个分角，即第一分角、第二分角、第三分角、第四分角。 (1) 投影如图2所示，空间点A处于第一分角，按正投影法将点A向正面和水平面投射，即由点A向正面作垂线，得垂足a′，则a′称为空间点A的正面投影；由点A向水平面作垂线，得垂足a ，则a称为空间点A的水平投影。画出点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′与V、H面的交线a′a x和aa x 。 图2 点在两投影面体系中的投影 (2) 注写规定空间点用大写字母表示，如A、B、C…；点的水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c…；点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′…。 (3) 投影面展开为了把空间点A的两个投影表示在一个平面上，保持V面不动，将H 面的前半部分绕OX轴向下旋转90°、后半部分绕OX轴向上旋转90°与V面重合。则得到点A的两面投影图。 (4) 擦去边界,得到点的两面投影图投影面可以看作是没有边界的平面，故符号V、H及投影面的边界线都不需画出。 1.1.3 点在两投影面体系中的投影规律
(a) (b) 图3 点在两投影面体系中的投影规律 (1) 一点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴。 在图3(a)中，点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′垂直于V 和H平面。根据初等几何知识，若三个平面互相垂直，其交线必互相垂直，所以有aa x⊥a′a x、aa x⊥OX和a′a x⊥OX。当a随H面旋转重合于V面时，aa x⊥OX的关系不变。因此，在投影图上，aa′⊥OX。 (2) 一点的水平投影到OX轴的距离等于该点到V面的距离；其正面投影到OX轴的距离等于该点到H面的距离，即aa x=Aa′；a′a x=Aa。 在图3(a)中，因为Aaa x a′是矩形，所以aa x=Aa′; a′a x=Aa。 图4 分角内点的投影
赤平投影原理及讲解
一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多,但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法,还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》(GB５0０2１－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面(包括结构面和坡面、坡顶面)或直线（包括平面的法线）的地质产状,以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐,也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数,那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 ? 二、极射赤平投影的基本原理 (一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具,其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括: 1.投影球（也称投射球):以任意长为半径的球。 2.球面:投影球的表面称为球面。 3．赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆:通过球心的平面与球面相交而成的圆,统称为大圆(如图一（a)中ＡＳBN、PSFN、ＮＥSW)，所有大圆的直径相等,且都等于投影球的直径。当平面直立时,与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一(a）中PSＦN）;当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESＷ）;当平面倾斜时,与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一(a)中AＳBN)。 ５.小圆:不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b)、（c）中AＢ、ＣD、ＦG、PAＣB)。当平面直立时,与球面相交成的小圆称为直立小圆(如图一（b)中DＣ);当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆(如图一(b)中ＡB)；当平面倾斜时,与球面相交成的小圆称为倾斜小圆(如图一（b)中FG或图一（c）中PACB)。 6．极射点：投影球上两极的发射点(如图一），分上极射点（P）和下极射点(F）。由上极射点(P)把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影;由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上
ARCGIS中坐标系的定义及投影转换方法
ArcGIS中坐标系的定义及投影转换方法 张卫东 （安徽省环境信息中心 合肥 230001 ） 摘 要：本文就我省GIS项目中地理数据所涉及的多种坐标系及地图投影转换等问题作了详细分析,并在ESRI公司的ArcGIS软件平台上介绍了不同坐标系的定义及投影转换方法。 关键词：坐标系; 地图投影 一、问题的提出 GIS技术在我省环保工作中已应用多年，现有多套基于不同坐标系的地理数据，如全省1：5万的北京54坐标系数据，主要城市1：1万的西安80坐标系数据，GPS采集的WGS84坐标系数据以及同是北京54坐标系但不同投影的遥感解译数据等，这些不同坐标系的数据给我们的使用带来了困难：如何将遥感解译数据和不同的地理数据转换到一起，GPS采集的经纬度数据如何正确加载到地图上，以前在北京54坐标系上使用的数据又如何转换到新的西安80坐标系上来？通过摸索，本人找到了解决问题的一些方法，现介绍如下，首先介绍一下相关的几个概念。 二、相关概念 由于GIS所描述是位于地球表面的空间信息，所以在表示时必须嵌入到一个空间参照系中，这个参照系统就是坐标系，它是根据椭球体等参数建立的。另外，为了能够将地图从球面转换到平面，还要进行投影。 1. 椭球体(Spheroid)、基准面(Datum)、坐标系（Coordinate System）及投影(Projection) 尽管地球是一个不规则的椭球，但为了将数据信息以科学的方法存放到椭球上，我们需要用一个可以量化计算的椭球体作为地球的模型。这样的椭球体用长半轴a(semimajor axis)，短半轴b(semiminor axis)，偏心率倒数1/f(Inverse flattening)来描述，这三个参数数学关系为：1/f=a/(a-b),实际中我们一般用长、短半轴二个参数来表示就可以了，根据需要人们定义了多种参考椭球体模型。然而有了这个椭球体还不够，还需要一个大地基准面将这个椭球定位，它的作用是来确定地球与椭球体之间的位置关系，由于每个国家或地区需要最大限度的贴合自己的那一部分不同，基准面也不同。 有了基于椭球体参数的基准面，再加上角度单位(Angular Unit)和本初子午线(Prime Meridian)，就定义了地理坐标系（Geographic Coordinate System），图2清楚地表明了这一点。 但地理坐标系是用经纬度表示球面的位置，很多时候我们精确分析需要在平面上来进行，这就要将地图从三维地理坐标通过投影转换成二维平面坐标，这样的坐标系叫投影坐标系（Projection Coordinate System），它是在地理坐标系上加上投影转换参数（参见图4）。 由于从球面到平面的转换会引起距离、面积、形状、方向一个或多个空间属性的变形失真，没有一种投影转换能保持所有的空间属性不变。所以一些地图投影通过损失其它空间属性来使某一属性失真最小，而另一些地图投影则努力平衡全部空间属性的失真，现有数百种地图投影，它们各自适合于表示整个地球表面或某些区域的不同需求，如我国1：50万和更大比例尺地形图使用的是高斯-克吕格 (Gauss-Kruger) 投影，它没有角度变形，在长度和面积上变形也很小，通过分带投影后能保证很高的精度（参见图4），而遥感解译数据常采用阿尔勃斯（Albers Equal-Area Conic）投影，它是等面积割圆锥投影，可以保持面积不变（参见图5）。
投影参数
投影参数 仅有地图投影并不足以定义投影坐标系。可以声明数据集处于横轴墨卡托投影中，但这些信息并不充足。投影中心在哪？是否使用了比例尺因子？如果不知道投影参数的精确值，就无法重新投影数据集。 还可以了解投影对数据造成的变形程度。如果对澳大利亚感兴趣，但知道数据集的投影中心是 0,0（即赤道与格林尼治本初子午线的交点），那么您可能想要更改投影的中心。 每种地图投影都有一组必须定义的参数。参数用于指定原点以及为感兴趣区域自定义投影。角度参数使用地理坐标系单位，而线性参数使用投影坐标系单位。 线性参数 东移假定值是应用到 x 坐标原点的线性值。北移假定值是应用 到 y 坐标原点的线性值。 通常使用东移假定值和北移假定值来确保所有 x 值和 y 值都 是正数。也可以使用东移假定值和北移假定值参数来缩小 x 坐标值 或 y 坐标值的范围。例如，如果知道所有 y 值均大于 5,000,000 米，则可使用 -5,000,000 的北移假定值。 在垂直近侧透视投影中，高度定义球体或旋转椭球体表面上方的透视点。 角度参数
?方位角定义投影的中心线。旋转角度用于测量北偏东方向的角度。它在洪特尼斜轴墨卡托投影、改良斜正形投影和局部投影中与方位角配合使用。 ?中央子午线定义 x 坐标的原点。 ?起始经度定义 x 坐标的原点。中央子午线与起始经度参数同义。 ?中央纬线定义 y 坐标的原点。 ?起始纬度定义 y 坐标的原点。此参数可能并不在投影中心。特别地，圆锥投影使用此参数设置感兴趣区域下 y 坐标的原点。在这 种情况下，不需要设置北移假定值参数来确保所有 y 坐标都是正数。 ?中心经度与洪特尼斜轴墨卡托投影中心（两点和方位角）配合使用来定义 x 坐标的起点。它通常与起始经度和中央子午线参数同义。 ?中心纬度与洪特尼斜轴墨卡托投影中心（两点和方位角）配合使用来定义 y 坐标的原点。它几乎总是投影的中心。 ?标准纬线 1 和标准纬线 2 与圆锥投影配合使用来定义比例为1.0 的纬线。使用一条标准纬线定义兰勃特等角圆锥投影时，第一条标准纬线定义 y 坐标的原点。 对于其他圆锥投影来说，y 坐标原点由起始纬度参数确定。 ?第一点的纬度 ?第二点的经度
地图投影的概念解读
地图投影的概念 我们可以用一个特定的旋转椭球体面或球面代替地球的自然表面。但是，无论是椭球面或球面均为不可展平的曲面，即不能无裂隙、无重叠地描绘在地图平面上。就像桔皮剥下平铺在平面上，必然产生裂隙一样，如果硬将地球表面展成平面，也不可避免地会产生裂隙或重叠。 人们研究地球及地理环境时往往将其缩小数千万倍制成地球仪，我们研究如何把椭球体表面描写在平面上时，也不妨借助地球仪。假定按相同经差（例如30°）沿经线将地球仪切成若干等分，如图1。我们在一个极点将各等分结合平展在纸面上，则产生了裂隙。这些裂隙随着离开原点距离的增大而增大。假定仍按上述方法切割等分地球仪，如图2，我们在南北纬30°纬线上将各部分结合平展在纸面上，则既产生裂隙又产生重叠。在30°纬线以内，随着离该纬线的距离加大重叠度加大，在30°纬线以外，随着离纬线的距离加大裂隙加大。倘若按相同纬差沿纬线将地球仪切成若干等份，再将各等分沿同一条经线切开，如图3，我们沿某一经线将各部分结合平展在纸面上，同样产生裂隙，图1这些裂隙随着离结合经线距离的增大而增大。 图1 图2 众所周知，地图上一般不允许出现裂隙和重叠。为了消除地图上的裂隙和重叠，实现地球表面在地图上的正确描写，早在公元前600多年，希腊天文学家塞利斯就研制出日晷投影——球心方位投影编制天体图；在公元前200多年亚历山大天文学和地理学家埃拉托色尼研制出正轴等距投影编制世界图。随着社会生产及科学技术的进步，地图学不断发展，科学家们又探求了许多新的投影，以适用于不同内容、不同 用途、不同比例尺地图的需要。 要把它们绘制成地图，首先要将球面上的经纬线 展绘到平面上，然后按地理事物的坐标转绘到相应格 网中而构成地图。由此可见，经纬网在绘制地图的过 程中具有“骨架”作用。地图投影就是研究球面上经 纬网展绘到平面上的数学方法。 地图投影学是地图学的一个分支学科，它研究地 图投影的理论、方法、应用和变换等，也称为数学制 图学。图3 数学上“投影”是不同曲面之间点与点的对应关系。地图投影实质上是在地球面和平面之间建立这种关系。如图4，设球面上点A（、λ）投影后对应于平面上点A'（x、y），则A 与A'的坐标之间存在函数关系：
投影的概念
投影的概念 一、投影 在灯光或太阳光照射物体时，在地面或墙上酒会产生与原物体相同或相似的影子，人们根据这个自然现象，总结出将空间物体表达为平面图形的方法，即投影法在投影法中：投影线——在投影法中，向物体投射的光线，称为投影线； 投影面——在投影法中，出现影像的平面，称为投影面； 投影———在投影法中，所得影像的集合轮廓则称为投影或投影图。 二、投影法的分类 投影法依投影线性质的不同而分为两类： 1．中心投影法 投影线由由投影中心的一点射出，通过物体与投影面相交所得的图形，称为中心投影。投影线的出发点称为投影中心。这种投影方法，称为中心投影法；螦得的单面投影图，称为中心投影图。如图2—1所示。由于投影线互不平行，所得图形不能反映提的真实大小，因此，中心投影不能作为绘制工程图样的基本方法 图2—1中心投影法 图2—2平行投影法（a）图2—3平行投影法（b） 2．平行投影法 如果将投影中心移至无穷远处，则投影可看成互相平行的通过物体与投影面相交，所得的图形称为平行投影；用平行投影线进行投影的方法称为平行投影法。在平行投影法中，根据投射方向是否垂直投影面。平行投影法又可分为两种，（1）斜投影法：投影方向（投影线）倾斜于投影面，称为斜角投影法；（2）直角投影法：投影方向（投影线）垂直于投影面，称
为直角投影法，简称正投影法。如上图所示。正投影法是工程制图中广泛应用的方法。 3．轴测投影 轴测投影是用平行投影法在单一投影面上取得物体立体投影的一种方法。用这种方法获得的轴测图直观性强，可在图形上度量物体的尺寸，虽然度量性较差，绘图也较困难，仍然是工程中一种较好的辅助手段。以后将有一章专门讲解有关部门轴测图的基本知识。 三、正投影的基本特性 图2—4正投影特性 以对直线、平面进行正投影来说明其特性，如图2—4所示。 1．真实性 当直线或平面图形平行于投面时，投影反映线段的实长和平面图形的真实形状； 2．积聚性 当直线或平面图形垂直于投面时，直线段的投影积聚成一点，平面图形的投影积聚成一条线； 3．类似性 当直线或平面图形倾斜于投面时，直线段的投影仍然是直线段，比实长短；平面图形的投影仍然是平面图形，但不反映平面实形，而是原平面图形的类似形。 由以上性质可知，在采用正投影画图时，为了反映物体的真实形状和大小及作图方便，应尽量使物体上的平面或直线对投影呒处于平行或垂直的位置。 四、三个投影面的建立（三面投影体系的建立） 如图2—5所示是三个形状不同的物体，它们在同一个投影面上的投影是相同的。很明显若不附加其它说明，仅凭这一个投影面上的投影，是不能表示物体的形状和大小的。
投影的定义与分类
1、地球的形状 2、地图投影 将地球椭球面上的点投影到平面上的方法称为地图投影。其实质是建立地球椭球面上的地理坐标（经纬度）和平面上直角坐标之间的函数关系。 是为解决由不可展的椭球面描绘到平面上的矛盾，用几何透视方法或数学分析的方法，将地球上的点和线投影到可展的曲面(平面、园柱面或圆锥面)上，将此可展曲面展成平面，建立该平面上的点、线和地球椭球面上的点、线的对应关系。 3、曲面到平面的过程
4、变形 确定变形的大小和形状，取决于： 地图的用途、比例尺、区域的大小、轮廓形状、其他特殊要求。 变形的种类：距离、面积、角度； 保持或减小其中的某一类变形,必会引起其他变形的加剧 变形的衡量： 保持或减小其中的某一类变形,必会引起其他变形的加剧 变形椭圆：假定地面上有个微小的圆（称为微分圆），其半径为r，一个圆经变形后总是一个椭圆 变形椭圆的长半轴是该点的最大长度比a，短半轴是该点的最小长度比b。
5、根据变形规律，地图投影可以分为： 等角投影：微分圆投影后仍然是一个圆（椭圆的特例），a=b
平面的投影
平面的投影 一、平面的表示法 平面的投影通常用确定平面的几何元素的投影表示，如图所示。 (a) (b) (c) (d) (e) 二、平面对投影面的各种相对位置及其投影特性 平面对投影面的相对位置有三种情况：投影面垂直面、投影面平行面和一般位置平面。前两种统称为特殊位置平面。 投影特性： 1.投影面垂直面 垂直于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的的平面称为投影面垂直面。其中，垂直于 V 面的平面称为正垂面；垂直于 H 面的平面称为铅垂面；垂直于 W 面的平面称为侧垂面。
2.投影面平行面 平行于某一投影面，必定会垂直于另外两个投影面的平面，称为投影面平行面。其中，平行于 V 面的平面称为正平面；平行于 H 面的平面称为水平面；平行于W 面的平面称为侧平面。 3.一般位置平面
对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面。一般位置平面在三个投影 面上的投影都是原空间平面图形类似形的。 例题 1 如图所示，完成平面的侧面投影。 分析：平面图形是由线围成的，故与点、直线一样，可根据两投影求第三投影。该平面为八边形，有八个顶点，只要作出顶点的侧面投影，然后连接起来即可。 作图：利用点的投影规律，求出各个点的投影。 三、用平面的迹线表示平面 平面除了用前面所述的几何元素表示外，也可以用迹线表示。平面与投影面的交线称为平面的迹线。如图所示，平面 P 与 V 面的交线，称为正面迹线，用P V 表示；平面 P 与 H 面的交线，称为水平迹线，用 P H 表示；平面 P 与 W 面的交线，称为侧面迹线，用 P W 表示。P V 和 P H、P W 和 P H、P V 和 P H 分别相交于 OX、OY、OZ 轴上的 P X、P Y、P Z 点。由于 P V 与 P H 是平面上的两条相交直线，因此，用迹线表示平面和用两相交直线表示平面实质上是一样的。 由于迹线是投影面上的直线，因此，它在该投影面上的投影与本身重合，另外两个投影分别在相应的投影轴上。为简化起见，在用迹线表示平面时，只需画出不与投影轴重合的那个投影，并加以标记。如图所示的 P V、P H、P W。
平面的投影教案
学科 备课人 课 题 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备
《机械制图》
邹化书
年级
职一年级 验收人
课时
1
投影面平行面
1.掌握投影面平行面的投影特性； 2.掌握立体图中投影面平行面的判断方法。 投影面平行面的投影特性 投影面平行面的判断
图纸 1 张、HB、2B 铅笔各 1 只，直尺、三角板、小 刀
一、复习巩固 1.直线的投影 a.空间直线与投影面的相对位置有三种，分别是 ， ， 。 b.投影面平行线的投影特性是： c.投影面垂直线的投影特性是： d.一般位置直线的投影特性是： 二、探求新知——投影面平行面的投影特性 1.概念：投影面平行面——平行于一个投影面，垂直于另外两个 投影面的平面。 2.投影面平行面的分类 正平面——平行于 V 面并垂直于 H、W 面的平面。 水平面——平行于 H 面并垂直于 V、W 面的平面。 侧平面——平行于 W 面并垂直于 V、H 面的平面。 3.投影面平行面的投影特性 3.1 正平面
教学流程
投影特性：正面投影反映实形，水平投影和侧面投影积聚成 一条直线，且平行于相应投影轴。 3.2 学生探讨（水平面和侧平面的投影特性） 3.2.1 水平面： 作出水平面的三面投影：
投影特性是：
3.2.2 侧平面： 作出侧平面的三面投影：
投影特性是： 3.2.3 小结：三种投影面平行面的投影特性： 三、知识应用 1.标出立体图上平面 P、Q 的三面投影并填空。
面P是 面Q是
面， 面。
Q
P 主视方向
四、课堂检测 1.投影面平行面分为 影面平行面的投影特性是
、
、
，投
。 2.在三视图上标出平面 A、B 的三面投影（用铅笔加深 A、B 面的投影轮廓） ，并填空。
面A是 面B是
A B
面， 面。