等比数列教案经典

《等比数列》教学设计（共2课时）

第一课时

1、创设情境，提出问题 （阅读本章引言并打出幻灯片）

情境1：本章引言内容

提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？

引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为：

1，2，,2,2,2432 ……，632 （1）

于是发明者要求的麦粒总数是

情境2：某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r ，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，……，还款数额依次满足什么规律？

10000(1+r),100002)1(r +,100003)1(r +,…… （2） 情境3：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，……各次取得的木棒长度依次为多少？,8

1,41,21…… （3） 问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得7)2

1( 2、自主探究，找出规律：

学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q )0(≠q 表示，即1:(,2,0)n n a a q n N n q -=∈≥≠。

如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r,2

1 点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。

??????23631+2+2+2++2

3、观察判断，分析总结：

观察以下数列，判断它是否为等比数列，若是，找出公比，若不是，说出理由，然后回答下面问题：

1，3，9，27，……

,8

1,41,21,1----…… 1，-2，4，-8，……

-1，-1，-1，-1，……

1，0，1，0，……

思考：①公比q 能为0吗？为什么？首项能为0吗？

②公比1=q 是什么数列？

③0 q 数列递增吗？0 q 数列递减吗？

④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式：

这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。

选题分析；因为等差数列公差d 可以取任意实数，所以学生对公比q 往往忘却它不能取0和能取1的特殊情况，以致于在不为具体数字（即为字母运算）时不会讨论以上两种情况，故给出问题以揭示学生对公比q 有防患意识，问题③是让学生明白0 q 时等比数列的单调性不定，而0 q 时数列为摆动数列，要注意与等差数列的区别。

备选题：已知R x ∈则,,,32x x x ……n x ，……成等比数列的从要条件是什么？

4、观察猜想，求通项：

方法1：由定义知道,,,3134212312q a q a a q a q a a q a a =====……归纳得：等

比数列的通项公式为：11-=n n q a a )(*∈N n

（说明：推得结论的这一方法称为归纳法，不是公式的证明，要想对

这一方式的结论给出严格的证明，需在学习数学归纳法后完成，现阶

段我们只承认它是正确的就可以了）

方法2：迭代法

根据等比数列的定义有

23123n n n n a a q a q a q ---=?=?=?=……2121n n a q a q --=?=?

方法3：由递推关系式或定义写出：,,,342312q a a q a a q a a ===……q a a n n =-1

，通过观察发现???342312a a a a a a ……q q q a a n n ??=-1

……1-=n q q 11

-=∴n n q a a ，即：11-=n n q a a )(*∈N n （此证明方法称为“累商法”，在以后的数列证明中有重要应用） 公式11-=n n q a a )(*∈N n 的特征及结构分析：

（1） 公式中有四个基本量：n a q n a ,,,1，可“知三求一”，体现方程思想。

（2） 1a 的下标与的1-n q 上标之和n n =-+)1(1，恰是n a 的下标，即q 的指数比

项数少1。

5、问题探究：通项公式的应用

例、已知数列{}n a 是等比数列，64,283=-=a a ，求14a 的值。

备选题：已知数列{}n a 满足条件：n n p a )54(=，且25

44-=a 。求8a 的值 6、课堂演练：教材138页1、2题

备选题1：已知数列{}n a 为等比数列，4

5,106431=+=+a a a a ，求4a 的值 备选题2：公差不为0的等差数列{}n a 中，632,,a a a 依次成等比数列，

则公比等于

7、归纳总结：

（1）等比数列的定义，即11

n n a q a -=)0(≠q （2）等比数列的通项公式11-=n n q a a )(*∈N n 及推导过程。

选作：1、已知数列{}n a 为等比数列，且1231237,8a a a a a a ++==，求n a

2、已知数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+

（1）求证：{}1n a +是等比数列；。

（2）求{}n a 的通项n a 。

第二课时

1、复习回顾：

上节课，我们学习了……（打出幻灯片）

（1） 等比数列定义：1:(,2,0)n n a a q n N n q -=∈≥≠

（2） 通项公式：11-=n n q a a (,0)n N q *∈≠

（3）若11n n a n a n --=，数列{}n a 是等比数列吗？111()n n n a a n

--=?对不对？ （注意：考虑公比q 为常数）

2、尝试练习：

在等比数列{}n a 中

（1）2418,8a a ==，求1,a q

（2）514215,6,a a a a -=-=求n a

（3）在－2与－8之间插入一个数A ，使－2，A ，－8成等比数列，求A

（鼓励学生尝试用不同的方法求解，相互讨论分析不同的解法，然后归纳出等比数列的性质）

3、性质探究：

（1）若a,G,b 成等比数列，则2G ab =有，称G 为a,b 的等比中项，

即G =(a b 与同号）；

思考：2a 是谁的等比中项？3a 呢？n a 呢？

总结归纳得到性质（2）

（2）211(2)n

n n a a a n -+=?≥ 逆向思考：若数列{}n a 满足211(2)n

n n a a a n -+=?≥，它一定是等比数列吗？ （3）若m n p q +=+，则(,,,m n p q a a a a m n p q ?=?为正整数）

（4）(,,)n m n m a a q n

m n m N -*=?∈

4、灵活运用： 下面我们来看应用等比数列性质可以解决那些问题。

例1、 在等比数列{}n a 中，35100a a ?=，求4a

变式1、等比数列{}n a 中，若262,162a a ==，则10a =

变式2、等比数列{}n a 中，若7125a a ?=，则891011a a a a ???=

变式3、等比数列{}n a 中，若1231237,8a a a a a a ++=??=，则n a ＝ 例2、 已知数列{}{},n n a b 是项数相同的等比数列，求证：{}n n a b ?是等比数列。

变式1、已知数列{}{},n n a b 是项数相同的等比数列，问数列{}n n a b +是等比数列吗？ 变式2、已知数列{}n a 是等比数列，若取出所有偶数项组成一个新数列，此数列还

是等比数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？

变式3、已知数列{}n a 是等比数列，若取出102030,,,a a a ……组成一个新数列，此数列

还是等比数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？

变式4、已知数列{}n a 是等比数列，若每一项乘以非零常数C 组成一个新数列，此

数列还是等比数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？

（通过上述问题的讨论求解，归纳、总结、推广得出等比数列的一些性质）

例3、 三个数成等比数列，它们的和为14，它们的积为64，求这三个数。

备选题、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和

为12，求这四个数。

5、课堂演练：

教材138页3、4、5

备选题：已知数列{}n a 为等比数列，且2435460,225n a a a a a a a ++=则35a a += 备选题：有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，

中间两项的和为18，求这四个数。

6、归纳总结：

（1）等比中项的概念

（2）等比数列有关性质

7、课后作业：

必作：教材139页习题6、7、10、11 选作：1、在数列{}{},n n a b 中，0,0n n a b ，且1,,n n n a b a +成等差数列，11

,,n n n b a b ++成等比数列，1121,2,3a b a ===，求:n n a b 的值。

2、设2x y ，且,,,y x y x y xy x

+-能按某种顺序构成等比数列，求这个等比数列。