准高三数学(理)入学测试卷

准高三数学（理）入学测试卷

时间:120分钟 满分:150分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、设i 为虚数单位，则复数

i

2i

+等于( ) A 、12i 55+ B 、12i 55-+ C 、12i 55- D 、12i 55

--

2、命题:p 2,11x x ?∈+≥R ，则p ?是( ) A 、2,11x x ?∈+

3．已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k =( )

A 、2

B 、8

C 、2-

D 、8-

4、一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A 、9 B 、10 C 、11 D 、

232

5、为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是( ) A 、x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 B 、x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 C 、x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛

D 、x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛

6、已知实数,x y 满足11y x x y y ≤??

+≤??≥-?

，则目标函数2z x y =-的最大值为( )

A 、3-

B 、

1

2

C 、5

D 、6 7、已知集合{}

|4||1|5M x x x =-+-<，{}

6N x a x =<< ,且()2,M

N b =,则a b +=( )

A 、6

B 、7

C 、8

D 、9

第5题图

1 1 正视图

侧视图

俯视图

第4题图

8、对于函数()y f x =，如果存在区间[,]m n ，同时满足下列条件：①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．若函数

11

()(0)a f x a a x

+=

->存在“和谐区间”，则a 的取值范围是( ) A 、(0,1) B 、(0,2) C 、15

(,)22 D 、(1,3)

二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)

9、已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()f x =2log x ，则1(())4

f f 的值等于 ． 10、已知抛物线2

4x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是____________ ． 11、函数sin sin 3y x x π??

=+- ??

?

的最小正周期为 ，最大值是 ．

12、某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，

取得A 等级的概率分别为54、53、5

2

，且三门课程的成绩

是否取得A 等级相互独立.记ξ为该生取得A 等级的课程

数，其分布列如表所示，则数学期望ξE 的值为______________.

13、观察下列不等式：

1<

<

<；…则第5个不等式为 ．

(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)

14、（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3

π

θ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极

坐标方程为 ．

15、（几何证明选讲）如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的 中点，直线l 过点M 分别交,AD AC 于点,E F ．

若3AD AE =，则:AF FC = ．

第15题图

F A

B

C

D E M

l

如图，在△ABC 中，45C ∠=，D 为BC 中点，2BC =.记锐角ADB α∠=．且满足7

cos 225

α=-

． （1）求cos α； （2）求BC 边上高的值． 17、（本题满分12分）

数列{}n a 的前n 项和为122n n S +=-，数列{}n b 是首项为1a ，公差为(0)d d ≠的等差数列，且

1311,,b b b 成等比数列．

（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设n

n n

b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 第16题图

B

D A

如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且1

3

AD DB =，点C 为圆O 上一点，

且BC =．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD DB =． （1）求证：PA CD ⊥；

（2）求二面角C PB A --的余弦值．

19、（本题满分14分）

某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式

35, (06)8

14, (6)

k x x S x x ?++<

=-??≥? 已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =．

（1）求k 的值；

（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．

第18题图

设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率e =

过该椭圆上任一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||QP PC =． （1）求椭圆的方程；

（2）求动点C 的轨迹E 的方程；

（3）设直线AC （C 点不同于,A B ）与直线2x =交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论． 21、（本题满分14分）

设()x

g x e =，()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ，其中,a λ是常数，且01λ<<．

（1）求函数()f x 的极值；

（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式1

1x e a --<成立；

（3）设12,λλ∈+R ，且121λλ+=，证明：对任意正数21,a a 都有：12121122a a a a λλ

≤λ+λ．

准高三数学（理）入学测试

参考答案

一、选择题：每小题5分，满分40分．

1—8: A 、C 、B 、C 、D 、C 、B 、A ；

二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

9、1- 10、4± 11、2π（2分）

（3分） 12、

5

9

13

<14、2sin()16π

ρθ+

=（或2cos()13

π

ρθ-=

、cos sin 1ρθθ=）

15、1:4

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分） 解析：（1）∵2

7cos 22cos 125

αα=-=-，∴2

9cos 25α=，

∵(0,

)2π

α∈，∴3

cos 5

α=

． -----------------5分

（2）方法一、由（1

）得4sin 5

α==，

∵45CAD ADB C α∠=∠-∠=-，

∴sin sin()sin cos

cos sin

4

4

4

CAD π

π

π

ααα∠=-

=-=

-----------------9分 在ACD ?中，由正弦定理得：

sin sin CD AD

CAD C

=∠∠，

∴1sin 5sin CD C

AD CAD

?∠=

=

=∠， -----------------11分 则高4

sin 545

h AD ADB =?∠=?

=． -----------------12分 方法二、如图，作BC 边上的高为AH

在直角△ADH 中，由（1）可得3

cos 5

DB AD α=

=， 则不妨设5,AD m = 则3,4DH m AH m == -----------------8分 注意到=45C ∠，则AHC ?为等腰直角三角形，所以CD DH AH += ，

则134m m += -----------------10分

17．（本题满分12分）

解析：（1）当2n ≥，时11222n n n n n n a S S +-=-=-=， -----------------2分 又111112222a S +==-==，也满足上式，

所以数列{n a }的通项公式为2n n a =． -----------------3分

112b a ==，设公差为d ，则由1311,,b b b 成等比数列，

得2(22)2(210)d d +=?+， -----------------4分 解得0d =（舍去）或3d =， ----------------5分 所以数列}{n b 的通项公式为31n b n =-． -----------------6分 （2）由（1）可得3

12123

n

n n b b b b T a a a a =

++++

12325831

222

2

n

n -=++++

， -----------------7分 1

21

5831

2222

2

n n n T --=+

+++

， -----------------8分 两式式相减得

1213333122222n n n n T --=+

+++-， -----------------11分 131(1)

3135222512212

n n n n n n T ---+=+-=--， -----------------12分

18．（本题满分14分） 解析：（Ⅰ）法1：连接CO ，由

3AD DB =知，点D 为AO 的中点， 又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， BC =知，60CAB ∠=，

∴ACO ?为等边三角形，从而CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ?平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分

由PD

AO D =得，CD ⊥平面PAB ，

又PA ?平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分 （注：证明CD ⊥平面PAB 时，也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到，酌情给分．） 法2：∵AB 为圆

O 的直径，∴AC CB ⊥，

在Rt ABC ?中设1AD =，由3AD

DB =BC =得，3DB =

，4AB =，BC =

BD BC

∴BCA BDC ∠=∠，即CD AO ⊥． -----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ?平面ABC ，

∴PD CD ⊥， -----------------5分 由PD

AO D =得，CD ⊥平面PAB ，

又PA ?平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分

法3：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， 在Rt ABC ?

BC =得，30ABC ∠=， 设1AD =，由3AD DB =得，3DB =

，BC = 由余弦定理得，2

2

2

2cos303CD DB BC DB BC =+-?=，

∴222

CD DB BC +=，即CD AO ⊥． -----------------3分

∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ?平面ABC ，

∴PD CD ⊥， -----------------5分 由PD

AO D =得，CD ⊥平面PAB ，

又PA ?平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分

（Ⅱ）法1：（综合法）过点D 作DE PB ⊥，垂足为E ，连接CE ． -----------------7分 由（1）知CD ⊥平面PAB ，又PB ?平面PAB ， ∴CD PB ⊥，又DE CD D =， ∴PB ⊥平面CDE ，又CE ?平面CDE ， ∴CE PB ⊥，-----------------9分

∴DEC ∠为二面角C

PB A --的平面角． -----------------10分 由（Ⅰ）可知CD =3PD DB =

=，

（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1

∴PB =2PD DB DE PB ?=

==

， ∴在Rt CDE ?中，tan CD DEC DE ∠=

==

，

法2：（坐标法）以D 为原点，DC 、DB 和DP 的方向分别为x 轴、y 轴和z 轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系． -----------------8分

（注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CD AB ⊥，酌情给分．） 设1AD =，由3AD DB =

BC =得，3PD DB ==

，CD = ∴(0,0,0)D

，C ，(0,3,0)B ，(0,0,3)P ， ∴(3,0,3)PC =-，(0,3,3)PB =

-，(CD =，

由CD ⊥平面PAB

，知平面PAB 的一个法向量为(CD =． -----------------10分 设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则

PC PB ??=??

?=??n

n ，即30330y y z -=-=??，令1

y =，则x =1z =

， ∴,1)=n ，-----------------12分 设二面角C PB A --的平面角的大小为θ，

则cos 5||5CD CD θ?===?n |n

|---------------13分 ∴二面角C PB A --的余弦值为5

．-----------------14分 19．（本题满分14分）

解析：（Ⅰ）由题意可得：22,068

11,6

k x x L x x x ?

+

+<

k

=?+

+-. -----------------4分 解得18k =. -----------------5分 （Ⅱ）当06x <<时，18

22

8

L x x =+

+-，所以 18182818=[2(8)]1818688L x x x x =-+

+--++-=--≤（）．---------------8分 当且仅当18

2(8)8x x

-=-，即5x =时取得等号． -----------------10分 当6x ≥时，115L x =-≤． -----------------12分 所以当5x =时，L 取得最大值6．

所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元． -----------------14分

解析：（1）由题意可得2a =

，c e a ==

c = -----------------2分 ∴2

2

2

1b a c =-=，

所以椭圆的方程为2

214

x y +=． -----------------4分 （2）设(,)C x y ，00(,)P x y ，由题意得002x x y y =??=?，即0012

x x

y x =??

?=??， -----------------6分

又2

2

0014x y +=，代入得221()142

x y +=，即224x y +=． 即动点C 的轨迹E 的方程为224x y +=． -----------------8分 （3）设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ， ∵,,A C R 三点共线，∴//AC AR ，

而(2,)AC m n =+，(4,)AR t =，则4(2)n t m =+， ∴42

n

t m =

+， ∴点R 的坐标为4(2,

)2n m +，点D 的坐标为2(2,)2

n

m +， -----------------10分 ∴直线CD 的斜率为222(2)22244

n

n m n n mn m k m m m -

+-+=

==---， 而224m n +=，∴224m n -=-， ∴2

mn m

k n n

=

=--， -----------------12分 ∴直线CD 的方程为()m

y n x m n

-=-

-，化简得40mx ny +-=， ∴圆心O 到直线CD

的距离2d r =

=

==， 所以直线CD 与圆O 相切． -----------------14分

解析：（1）∵()[(1)]()f x g x a g x λλλλ'''=+--， -----------------1分 由()0f x '>得，[(1)]()g x a g x λλ''+->，

∴(1)x a x λλ+->，即(1)()0x a λ--<，解得x a <，-----------------3分 故当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<；

∴当x a =时，()f x 取极大值，但()f x 没有极小值．-----------------4分

（2）∵111x x e e x x x

----=

， 又当0x >时，令()1x h x e x =--，则()10x h x e '=->，

故()(0)0h x h >=，

因此原不等式化为

1

x e x a x

--<，即(1)10x e a x -+-<， -----------------6分 令()(1)1x g x e a x =-+-，则()(1)x

g x e a '=-+，

由()0g x '=得：1x

e a =+，解得ln(1)x a =+，

当0ln(1)x a <<+时，()0g x '<；当ln(1)x a >+时，()0g x '>．

故当ln(1)x a =+时，()g x 取最小值[ln(1)](1)ln(1)g a a a a +=-++， -----------------8分

令()ln(1),01a s a a a a =-+>+，则22

11()0(1)1(1)

a s a a a a '=-=-<+++． 故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0g a a a a +=-++<．

因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立． -----------------10分

（3）对任意正数12,a a ，存在实数12,x x 使11x

a e =，22x

a e =， 则121122

112212x

x x x a a e e

e λλλλλλ+=?=，12112212x x a a e e λλλλ+=+，

原不等式12121122a a a a λ

λ

λλ≤+1122

1212x x x x e e e λλλλ+?≤+，

11221122()()()g x x g x g x λλλλ?+≤+ -----------------14分

由（1）()(1)()f x g a λ≤-恒成立， 故[(1)]()(1)()g x a g x g a λλλλ+-≤+-， 取1212,,,1x x a x λλλλ===-=， 即得11221122()()()g x x g x g x λλλλ+≤+， 即11

22

1212x x x x e e e λλλλ+≤+，故所证不等式成立． -----------------14分