左下方，及直线x －1＝0的右侧，所以所求不等式组为???? ? x －y ＋1≤0，x ＋y －5≤0， x －1≥0. 5．若不等式组???? ? x ≤0，y ≥0， y －x ≤2 表示的平面区域为Ⅰ，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y －a ＝0 扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为( ) A.7 2 B.7 3 C.74 D.12 解析：选C 如图所示，Ⅰ为△BOE 所表示的区 域，而动直线x ＋y ＝a 扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形BOCD ，而B (－2,0)，O (0,0)，C (0,1)，D ????－12，3 2，E (0,2)，△CDE 为直角三角形． ∴S 四边形BOCD ＝12×2×2－12×1×12＝7 4. 6．不等式组???? ? x ＋2y ≤8，0≤x ≤4， 0≤y ≤3 表示的平面区域的面积为________．
高考数学向量与三角不等式等
第19讲：向量与三角、不等式等知识综合应用 一、高考要求 平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之 一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读 考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力． 考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练 1．把曲线y cos x +2y -1=0先沿x 轴向右平移2 π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ C ） (A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=0 2．函数y =sin x 的图象按向量a =（32 π-，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ D ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +2 3．已知向量 = (1，sin θ)，= (1，cos θ)，则 | - | 4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2 π)的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点， M 、N 是图象与x 轴的交点，则PM PN 与的夹角余弦 值为1517
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域练习题及答案解析
1．不在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0) 答案：D 2．不等式组???? ? x －y ＋5≥0x ＋y ≥0 2≤x ≤3表示的平面区域是一个( ) A ．三角形 B ．直角梯形 C ．梯形 D ．矩形 解析：选C.画出不等式组所表示的平面区域即可． 3．原点O (0,0)与点集A ＝{(x ，y )|x ＋2y －1≥0，y ≤x ＋2,2x ＋y －5≤0}的关系是________，点M (1,1)与集合A 的关系是________． 解析：将点(0,0)代入集合A 中的三个不等式，不满足x ＋2y －1≥0，故O ?A ，同样将M 点代入，得M ∈A . 答案：O ?A M ∈A 4．画出下列不等式组表示的平面区域： (1)? ???? 4x －2y －2＞0，x －2y －5≤0； (2)? ???? x ＋3y ≥0，x ＋3y －3＜0. 解： 一、选择题 1．图中表示的区域满足不等式( ) A ．2x ＋2y －1＞0 B ．2x ＋2y －1≥0 C ．2x ＋2y －1≤0 D ．2x ＋2y －1＜0 答案：B 2．不等式组? ???? x ≥2 x －y ＋3≤0表示的平面区域是下列图中的( )
答案：D 3．如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( ) A.? ???? y ≤2，2x －y ＋4≥0 B.????? 0≤y ≤2x ≤02x －y ＋4≥0 C.????? y ≤2，x ≤02x －y ＋4≥0 D.???? ? 0≤y ≤22x －y ＋4≤0x ≤0 解析：选B.2x －y ＋4≤0在直线2x －y ＋4＝0上及左上方，故D 错，A 、C 均缺y ≥0，A 还缺x ≤0. 4．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，则满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( ) A ．10 B ．9 C ．3 D ．无数 解析：选A.当x ＝0时，y 可取0,1,2,3有4个点； 当x ＝1时，y 可取0,1,2有3个点； 当x ＝2时，y 可取0,1有2个点； 当x ＝3时，y 可取0，有1个点，故共有10个点，选A. 5．已知点(－3,1)和(0，－2)在直线x －y －a ＝0的一侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－2,4) B ．(－4,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞) 解析：选D.(－3－1－a )(0＋2－a )＞0， 即(a ＋4)(a －2)＞0，∴a ＞2或a ＜－4.
2-1 平面向量的实际背景及基本概念
能 力 提 升 一、选择题 1．下列命题中正确的是( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B ．模相等的两个平行向量是相等向量 C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝b D ．两个相等向量的模相等 [答案] D 2．下列说法中，不正确的是( ) A ．向量A B →的长度与向量BA → 的长度相等 B ．任何一个非零向量都可以平行移动 C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同 [答案] D [解析] 很明显选项A ，B ，C 正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 不正确． 3．已知非零向量a 、b 满足a ∥b ，则下列说法错误的是( ) A ．a ＝b B ．它们方向相同或相反 C ．所在直线平行或重合 D ．都与零向量共线 [答案] A 4．数轴上点A 、B 分别对应－1、2，则向量AB → 的长度是( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．3 [答案] D
5．(2011～2012·临沂高一检测)以下说法错误的是( ) A ．零向量与任一非零向量平行 B ．零向量与单位向量的模不相等 C ．平行向量方向相同 D ．平行向量一定是共线向量 [答案] C 6．下列说法正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相等且方向相同或相反 B ．若向量AB →、CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD → C ．若a ≠b ，则a 与b 可能是共线向量 D ．若非零向量AB →与CD → 平行，则A 、B 、C 、D 四点共线 [答案] C 二、填空题 7．如图ABCD 是菱形，则在向量AB →、BC →、CD →、DA →、DC →和AD → 中，相等的有________对． [答案] 2 [解析] AB →＝DC →，BC →＝AD → .其余不等． 8．(海南三亚调研)把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向
20高考数学平面向量的解题技巧
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
获奖课件二元一次不等式表示平面区域说课稿
二元一次不等式表示平面区域说课稿 浙江省永嘉县上塘中学陈重阳 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是新教材高二（上）第七章第4节第一课时内容，教学大纲对这部分内容的要求是了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用。这是《新大纲》中增加的新内容，不仅为传统的高中数学注入了新鲜的血液，而且给学生提供了学数学、用数学的机会，体现了新课程理念。 在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系，同时也学习了数形结合的思想方法。为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。这一节内容，是介绍直线方程的简单应用（即简单的线性规划）的基础，起到承前启后的作用。 2、教材的重点、难点和关键 教学重点：二元一次不等式(组)表示平面区域； 教学难点：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域； 关键：理解掌握口诀“直线定界，取点定域”，“系数化正、左小右大”。 二、学生情况分析 1、对象：重点中学的高二理科学生，有一定的思维能力； 2、学情：学生前三节学习的基础上，对解析几何的理性思维能力已经有了初步形成，但存在个别差异。 3、心理：厌倦教师的单独说教，希望教师能创设便于他们进行思考探索的空间，给他们发表自己见解和表现才华的机会。 三、教学目标分析 1、知识目标：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域； 2、能力目标：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力， 1
会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力； 3、情感目标：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质，通过自主探索、合作交流，增强数学的情感体验，提高创新意识。 四、教学策略分析 1、教学方法：引导发现法、探索讨论法、题组教学法等等； 2、教学手段：利用多媒体技术优化课堂教学，体现辅助功能； 3、学法指导：这是一节抽象的概念作图课，教师应注重创设认知情境，引导学生进 行尝试、猜想、证明、归纳，帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习。 五、教学过程设计 2
2019年人教版及高中数学平面向量知识点易错点归纳
§5.1 平面向量的概念及线性运算 三角形法则 3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 方法与技巧 1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD → 且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ； 若AB →∥BC → ，则A 、B 、C 三点共线．
失误与防范 1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. §5.2 平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. 其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋ b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 2 1. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB → |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. 方法与技巧 1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是a ＝λb ，这与x 1y 2－x 2y 1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同． (2)三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定． 失误与防范 1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况． 2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1 y 2 ，因为x 2，y 2有可能等 于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.
平面向量的实际背景及基本概念
1 E F D C B 平面向量的实际背景及基本概念 一．学习目标： 1.理解平面向量的概念以及几何表示； 2.理解平行向量和共线向量的概念； 3.在解决问题的过程中体会向量是沟通代数与几何的工具。 二．教学过程： 1.各组展示学习的成果。 2．组内讨论以下问题： （1）有向线段是向量吗？ （2）两个向量可以比较大小吗？ （3）共线向量，平行向量，相等向量的关系是什么？ （4）向量的平行关系是可传递的吗？ （5）你能用向量描述四边形ABCD 为平行四边形的条件吗？ 3.随堂练习： （1）给出下列命题： ①物理中的位移，速度，加速度，力都是向量； ②温度有零上温度和零下温度，因此温度是向量； ③平面直角坐标系中的x 轴，y 轴都是向量； ④向量就是有向线段。 其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 （2）判断下列结论是否正确，并说明理由： ①任意两个单位向量都是平行向量； ②零向量是没有方向的； ③在三角形ABC 中，D,E 分别是AB,AC 的中点，则向量和是平行向量； ④对于向量,若//,//,则//; ⑤若非零向量与是平行向量，则直线AB 与直线CD 平行； ⑥非零向量与是模相等的平行向量。 (3)如图：D,E,F 分别是正三角形ABC 的各边中点 ①写出图中所示向量中与长度相等的向量； ②写出图中所示向量中与相等的向量；
③写出图中所示向量中分别与共线的向量。 (4)在等腰梯形ABCD 中，给出下列3个命题： ①与是共线向量，②=，③﹥ 其中正确的个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3 (5)B,C是线段AD的三等分点，分别以图中的各点为起点和终点，最多可以写出（）个互不相等的非零向量。 D B C A (6)四边形ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=, ①以C为终点的单位向量有（）； ②=( ) 4.小结 5.课后作业：77-78习题C A D O D B 2
二元一次不等式组与平面区域
y x O 二元一次不等式（组）与平面区域学案（第一课时） 教学过程 1、 情境导入 引例: 一家银行的信贷部计划年初投入2500 万元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来3万元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个人贷款中获益10%.那么,信贷部应 该如何分配资金呢？单位（万元） 问题：如果设用于企业、个人贷款的资金分别为x 万元、y 万元，你能用不等式刻画其中的不等关系吗？ （1）二元一次不等式（组）的解集：是由满足二元一次不等式（组）的 构成的有序实数对（x ,y ）构成的集合。 （2）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点构成的集合之间的关系？ （3）一元一次不等式（组）? ??<->+0403x x 的解集所表示的图形为 ： 探究：①二元一次方程6=-y x 表示什么图形? ②二元一次不等式6<-y x 的解集所表示的图形? ③二元一次不等式6>-y x 的解集所表示的图形?
y x O y y x O y x O 类比推广： 一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式0>++C By Ax 表示0=++C By Ax 某侧所有点组成的平面区域.直线画成虚线,表示区域不包括边界. 而不等式0≥++C By Ax 表示区域时则包括边界,应把边界画成实线 . 例1、画出不等式44<+y x 表示的平面区域 例2、用平面区域表示不等式组?? ???≤<+-<82123y y x x y 的解集 (1)画出不等式4x ―3y ≤12表示的平面区域。 (2)画出不等式2x+3y-6>0表示的平面区域。 课堂小结： 二元一次不等式组表示的平面区域： 练习：教材P86页
平面向量常见题型汇编2 向量基本定理与不等式
向量基本定理与不等式,、三角函数相结合 例题1： 在Rt ABC ?中，0 90A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =u u u v ,4AC =u u u v ,(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>u u u v u u u v u u u v ，则当λμ取得最大值时， AD u u u v 的值为 解析：由090A ∠=可将三角形放入平面直角坐标系中，建立如图坐标系， 其中()00A ，，()30B ，，()04C ， ∵(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>u u u v u u u v u u u v ∴1λμ+= ∵2λμλμ+≥1 4λμ≤当且仅当12 λμ==时取等号 ()()111133004222222AD AB AC AB AC λμ??=+=+=+= ??? u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，，， ∴2235222AD ??=+= ??? u u u r 变式1： 已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC --=u u u r u u u r u u u r r ,则221a b a b b +++的最小值是___________ 分析：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造21a b +=，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式. 解析：由20OA aOB bOC --=u u u r u u u r u u u r r 可得， 2OA aOB bOC =+u u u r u u u r u u u r ，根据A 、B 、C 三点共线可得21a b +=，且0,0a b >>， 所以()222222211222221222a b a b a a b b a b a b a b b a b a b b a b a b +++++++=-+-=+-≥+++++++ 所以最小值为222，故填222.
