高数下册第十一章第七次作业答案
第七次作业
1.函数3
2z
xy u =
在点A )2,1,5(处沿到点B )14,4,9(的方向
→
AB 上的方向导数为 。
解 填13
992
802,8)2,1,5(3
)2,1,5()2,1,5(32)2,1,5(====xyz u z y u y x {}12,3,4,603)
2,1,5(22
)2,1,5(====→AB T z
xy u z
,13
12
cos ,133cos ,134cos ===γβα
则u 在点A 处沿→
AB 的方向导数为：
13
992131260133801348)2,1,5(=?+?+?=??T u
2.函数
()2
2
2
ln z
y x u -+=在点
M
)1,1,1(-处的梯度
=M gradu 。
解 填{}2,2,2--
2
22222222z y x z 2z u ,z y x y 2y u ,z y x x 2x u -+-=??-+=??-+=??
2,2,2)
1,1,1()1,1,1()1,1,1(=??-=??=??∴---z u y u x u {}2,2,2-=∴M gradu
3.对二元函数(,)z f x y =而言（ ）
。 A.,x y f f 存在且连续，则(,)f x y 沿任一方向的方向导数存在；
B.
(,)f x y 的偏导数都存在，则(,)f x y 沿任一方向的方向导
数存在；
C.沿任一方向的方向导数存在，则函数(,)f x y 必连续；
D ．以上结论都不对。 解 填（A ）
x y f f ，存在且连续f ?可微?沿任一方向的方向导数存在。
4.若函数(,,)u u x y z =
在点(,,)x y z 处的三个偏导数都存在
且不全为0，则向量,,u u u x y z ????????????的方向是函数u 在点
(,,)x y z 处的（ ）
。 A ．变化率最小的方向； B ．变化率最大的方向；
C ．可能是变化率最小的方向，也可能是变化率最大的方向；
D ．既不是变化率最小的方向，也不是变化率最大的方向。 解 填（B ）
方向{,,}u u u x y z
??????，即梯度方向，沿梯度方向变化率最大。
5.求由方程e xyz e
z
=-确定的隐函数),(y x z z =在点)
1,0(处沿)4,3(-=l
方向的方向导数。
解 令xz F yz F e xyz e z y x F x x z
-=-=--=,,),,
(
xy
e xz
F F y z xy e yz F F x z xy e F z
z y z z x z
z -=-=??-=-=??-=,, 5
4
cos ,53cos ,0,1)1,0()1,0(-=
==??=??∴βαy z e x z e
e l z 53540531)1,0(=??? ??-?+?=??∴ 6.求函数2
22z
y x u ++=
在曲线3
2,,t
z t y t x ===上点
)1,1,1(-处，沿曲线在该点的切线方向（对应于t 增大的方向）
的方向导数。 解 2
3,2,1t
z t y x t t t
='='='
∴曲线在点)1,1,1(-处的切线方向的方向向量为{}3,2,1=T
，
14
3
cos ,142cos ,141cos ===γβα
22,22)1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,1,1(==??==??----y y u
x x u
,22)1,1,1()
1,1,1(-==??--z z u
014
3
214221412)1,1,1(=?-?+?=??-T u
7.求函数
22
221()x y
z a b =-+在
点(
,)a b 处沿曲线2
2
221x y
a b
+=在这点的内法线方向的方向导数。 解
z x
a ?=-?
，z y b ?=-? 曲线2
2
221x y
a b
+=的切线的斜率是tan b a α=-,
从而内法线的斜率为tan a
b
θ=，由此得内法线的方向余弦：
cos b θ-=
sin a
θ-=
所以，
z l
?=
?()b
a -?-（
()()b
a
+-?-
ab =
高数第五版答案(同济)12-2
习题12-2 1. 求下列微分方程的通解: (1)xy '-y ln y =0; 解 分离变量得 dx x dy y y 1ln 1=, 两边积分得 ??=dx x dy y y 1 ln 1, 即 ln(ln y )=ln x +ln C , 故通解为y =e Cx . (2)3x 2+5x -5y '=0; 解 分离变量得 5dy =(3x 2+5x )dx , 两边积分得 ? ?+=dx x x dy )53(52, 即 123255C x x y ++=, 故通解为C x x y ++=232151, 其中151C C =为任意常数. (3)2211y y x -='-; 解 分离变量得 2 211x dx y dy -=-, 两边积分得 ??-=-2 211x dx y dy 即 arcsin y =arcsin x +C , 故通解为y =sin(arcsin x +C ). (4)y '-xy '=a (y 2+y '); 解 方程变形为(1-x -a )y '=ay 2, 分离变量得 dx x a a dy y --=112 ,
两边积分得 ??--=dx x a a dy y 112, 即 1)1ln(1C x a a y ----=-, 故通解为)1ln(1x a a C y --+=, 其中C =aC 1为任意常数. (5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0; 解 分离变量得 dx x x y y y tan sec tan sec 22-=, 两边积分得 ??-=dx x x y y y tan sec tan sec 22, 即 ln(tan y )=-ln(tan x )+ln C , 故通解为tan x tan y =C . (6)y x dx dy +=10; 解 分离变量得 10-y dy =10x dx , 两边积分得 ? ?=-dx dy x y 1010, 即 10 ln 10ln 1010ln 10C x y +=--, 或 10-y =10x +C , 故通解为y =-lg(C -10x ). (7)(e x +y -e x )dx +(e x +y +e y )dy =0; 解 方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1-e y )dx , 分离变量得 dx e e dy e e x x y y +=-11, 两边积分得 ??+=-dx e e dy e e x x y y 11, 即 -ln(e y )=ln(e x +1)-ln C , 故通解为(e x +1)(e y -1)=C .
最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案6-3
同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案6-3
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 习题6-3 1. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功. 解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为 18216026 0===?s k ksds W k(牛?厘米). 2. 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？ 解 由玻-马定律知: ππ80000)8010(102=??==k PV . 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则 ππ80000)]80)(10[()(2=-?x x P , π -=80800)(x P . 功元素为dx x P dW )()10(2?=π, 所求功为 2ln 8008018000080800)10(400400 2 πππππ=-=-??=??dx dx W (J). 3. (1)证明: 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 h R mgRh W +=, 其中g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径; (2)一颗人造地球卫星的质量为173kg , 在高于地面630km 处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g =9.8m/s 2, 地球半径R =6370km . 证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m 的物体升高的功元素为 dy y kMm dW 2=, 所求的功为 ) (2h R R mMh k dy y kMm W h R R +?==?+. (2)533324111075.910 )6306370(106370106301098.51731067.6?=?+???????=-W (kJ). 4. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为3ct x =, 所以 23)(cx t x v ='=, 阻力4 229t kc kv f -=-=. 而32)(c x t =, 所以 3432342 9)(9)(x kc c x kc x f -=-=.
(完整)同济版高等数学下册练习题(附答案)
第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥r r r r 面； 面面面 5、2 ()αβ→ → ±=( ) (A)22αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=； (B)222 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2 2 2 1x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线 122 232 x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .
高等数学：第11章无穷级数自测题答案
《高等数学》单元自测题答案 第十一章 无穷级数 一．选择题： 1.B ； 2. D ； 3.A ； 4.B ； 5.B ； 6.B ； 7. C ； 8.C . 二．填空题： 1. () ∑∞=-021n n n x ，()1,1-∈x ；2. ()x +1ln ； 3. [)6,0； 4. 2 k . 三．判断题： 1. 解 因为02121lim ≠=+∞ →n n n ，故级数发散. 2. 解 因为n n n n n n n 1)3(3)3(32=++>++，而∑∞=11n n 发散，故原级数发散. 3. 解 设n n n n u )13( +=，因为13113lim lim <=+=∞→∞→n n u n n n n ，故级数收敛. 4. 解 因为()∑∞=-+1 212n n n ∑∑∞=∞=--+=111)21()21(n n n n ,并且级数∑∑∞=∞=--111)21()21(n n n n 和均收敛,故级数()∑∞=-+1212n n n 收敛. 四．判断题： 1. 解 ()∑∑∞=-∞=--=-11111221n n n n n n n ，因为12121lim 221lim lim 11<=+=?+=∞→-∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n 故∑∞=-112n n n 收敛，从而()∑∞=---11121n n n n 绝对收敛. 2. 解 ∑∞=-+-=++-+++-1 212221)1(14413312221n n n n ， ∑∑∞=∞=-+=+-1212111)1(n n n n n n n ，因为11lim 11lim 222=+=+∞→∞→n n n n n n n ，而级数∑∞=11n n 发散，故绝对值级数∑∞=-+-121 1 )1(n n n n 发散，因此所给级数不是绝对收敛的.由于所给级数是交错级数，且满足1 )1(11,01lim 222+++>+=+∞→n n n n n n n ，据莱布尼兹判别法知，
高数下典型习题及参考答案
第八章典型习题 一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为 ； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（ ） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知 ，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。 第九章、第十章典型习题 一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式 中正确的是（ ）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（ ）
高数第9章答案
高数第9章答案
高等数学（化地生类专业）（下册） 姜作廉主编 《习题解答》 习题9
1,{6,6,3},6(2)6(1)3(2)0,2280.3(2,3,n AB x y z x y z π==---++-=-+-=v v u u u v 指出下列平面与坐标系的位置关系，并作图：（1）x-2y+1=0;(2)3z+2=0;(3)x+2y+3z=1;(4)2y+z=0. 2已知A(2,-1,2)和B(8,-7,5),求一平面通过A 且垂直于线段AB. 解：设所求平面的法向量为n 由点法式方程，有：故平面方程为：求过点0),(2,3,4),(0,6,0)0,230 230,,,.46460 Ax By Cz D A B D D D D A B c D A B C B D --+++=++=?? --++==-=-=-? ?+=? ≠的平面方程。 解：设所求平面方程为将已知三点带入，解得：显然，由题意D 0,故所求方程为：3x+2y+6z-12=0 4求过点(-1,-1,2)且在三个坐标轴上有相同截距的平面方程。解：设平面在三个坐标轴上的截距为t ，则平面方程由截距式1,,0,3 y z t t D x ++=?≠≠=可得：x 将点（1,-1,2）代入，1-1+2=t t=2.t 故平面方程：x+y+z-2=0.5(1)通过x 轴和M(2,-1,1) 解：设所求过x 轴平面方程为By+Cz+D=0,将M 代入：-B+C+D=0,又D=0,故B=C(0),平面方程y+z=0(2)平行于yOz 平面且经过点（3,0,5） D 解：设平面为Ax+D=0,将点代入：3A+D=0,A=-显然 3 故平面方程(0) ,202. 6(1,2,1),(3,2,1)31,,3121 133,3,.32121 3D B C y A B y x y z A B A C A C A C A C ? =-≠???? ???=?=--++=?+-=??=-=-? ?-++=??(3)通过(1,2,-1)和(-5,2,7)且平行于x 轴。解：设平面方程为By+Cz+D=0, 2B-C+D=0故平面方程：2B+7C+D=0平面过在轴的截距为解：设平面方程 将代入解得：故平面方程为21,230333 x y z x y z -+-=-++=：即：
同济第五版高数习题答案
习题11?1 1. 写出下列级数的前五项: (1); 解. 解. (2); 解. 解. (3); 解. 解. (4). 解. 解. 2. 写出下列级数的一般项: (1); 解一般项为. (2);
解一般项为. (3); 解一般项为. (4). 解一般项为. 3. 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性: (1); 解因为 , 所以级数发散. (2); 解因为 , 所以级数收敛. (3). 解
. 因为不存在,所以不存在,因而该级数发散. 4. 判定下列级数的收敛性: (1); 解这是一个等比级数,公比为 ,于是 ,所以此级数收敛. (2); 解此级数是发散的,这是因为如此级数收敛,则级数 也收敛,矛盾. (3); 解因为级数的一般项 , 所以由级数收敛的必要条件可知,此级数发散. (4); 解这是一个等比级数,公比 ,所以此级数发散. (5). 解因为和都是收敛的等比级数,所以级数 是收敛的.
习题11?2 1. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收 敛性: (1); 解因为 ,而级数发散,故所给级数发散. (2); 解因为 ,而级数发散, 故所给级数发散. (3); 解因为 ,而级数收敛,故所给级数收敛. (4); 解因为 ,而级数收敛, 故所给级数收敛. (5). 解因为 , 而当a>1时级数收敛,当0 所以级数当a>1时收敛,当0 第十一章 曲线积分与曲面积分 (09级下学期用) § 1 对弧长的曲线积分 1设 L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x f ,关于y 是偶函数时， ()=? L ds y x f ,（ B ） ()?1 ,2L ds y x f C. ()?-1 ,2L ds y x f D.ABC 都不对 2、设L 是以点()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A 为顶点的正方形边界, 则? +L y x ds =( C ) 2 4 D. 2 2 3、有物质沿曲线L ：()103 ,2 ,3 2 ≤≤= ==t t z t y t x 分布，其线密度为, 2y = μ，则它 =m ( A ) ?++1 4 2 1dt t t t B.?++1 4 2 2 1dt t t t C.? ++1 4 2 1dt t t D.? ++1 4 2 1dt t t t 4．求,?L xds 其中L 为由2 ,x y x y == 所围区域的整个边界 解：,?L xds =() 2 2155 12 124111 1 + -= + + ? ? xdx dy y y 5．, ds y L ? 其中L 为双纽线) 0)(() (2 2 22 22 >-=+a y x a y x 解：原积分=()()2 22sin 4sin 4 42 2 2 '2 4 4 1 - ==+=? ? ? a d a d r r r ds y L χπ π θθθθ θ 6．? +L ds y x ,22 其中L 为()02 2>=+a ax y x 原积分2 2 2cos 2a adt t a ==?π 7．,2 ?L ds x 其中L 为球面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线 解：将y x =代入方程2 2 2 2 a z y x =++得2 2 22a z x =+于是 L 的参数方程：t a z t a y t a x sin ,sin 2 ,cos 2 == = ，又adt ds = 习题12?1 1. 试说出下列各微分方程的阶数: (1)x (y ′)2 ?2yy ′+x =0; 解 一阶. (2)x 2 y ′?xy ′+y =0; 解 一阶. (3)xy ′′′+2y ′+x 2 y =0; 解 三阶. (4)(7x ?6y )dx +(x +y )dy =0; 解 一阶. (5) ; 解 二阶. (6) . 解 一阶. 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: (1)xy ′=2y , y =5x 2 ; 解 y ′=10x . 因为xy ′=10x 2 =2(5x 2)=2y , 所以y =5x 2 是所给微分方程的解. (2)y ′+y =0, y =3sin x ?4cos x ; 解 y ′=3cos x +4sin x . 因为y ′+y =3cos x +4sin x +3sin x ?4cos x =7sin x ?cos x ≠0, 所以y =3sin x ?4cos x 不是所给微分方程的解. (3)y ′′?2y ′+y =0, y =x 2e x ; 解 y ′=2xe x +x 2e x , y ′′=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x . 因为y ′′?2y ′+y =2e x +4xe x +x 2e x ?2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0, 所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解. (4)y ′′?(λ1 +λ2 )y ′+λ1λ2 y =0, . 解 , . 因为 =0, 所以是所给微分方程的解. 3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解: 第八章：空间解析几何与向量代数 一、向量),,(),,,(),,,(c c c b b b a a a z y x c z y x b z y x a === 1.向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 的数量积:b a b b b a z z y x x x b a b a ++==??cos ; 2。向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 的向量积:b b b a a a z y x z y x k j i b a =?。 ?sin b a b a =?的几何意义为以b a ,为邻边的平行四边形的面积. 3。向量),,(z y x r = 的方向余弦： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos ,cos ,cos z y x y z y x y z y x x ++= ++= ++= γβα, 1cos cos cos 222=++γβα；2sin sin sin 222=++γβα. 4.向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 垂直的判定： 00=++?=??⊥b a b b b a z z y x x x b a b a . 5.向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 平行的判定： k z z y x x x k b k a b a b a b a b b b a ===?≠=?=??0,0// 。 6。三向量共面的判定：?=++0 c n b m a k c b a ,,共面。 7.向量) ,,(a a a z y x a = 在),,(b b b z y x b = 上的投影:222Pr a a a b a b b b a a z y x z z y x x x a b a b j ++++=?= 。 二、平面 1。过点),,(000z y x P ,以),,(C B A n = 为法向量的平面的点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 。 2。以向量),,(C B A n = 为法向量的平面的一般式方程：0=+++D Cz By Ax 。 3.点),,(111z y x M 到平面 0=+++D Cz By Ax 的距离2 2 2 111C B A D cz By Ax d +++++= 。 高等数学（下） 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M（0，0， 14 9 ）. 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：()() ++=++ a b c a b c. 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解： 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D 1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接， 试以AB=c，BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解： 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M'，则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量 第十一章第一节曲线积分习题 一、填空题: 1、已知曲线形构件Ｌ的线密度为),(y x ρ,则Ｌ的质量Ｍ=_______________； 2、 ?L ds =_______________； 3、对________的曲线积分与曲线的方向无关； 4、 ? L ds y x f ),(=?'+'β α φ?φ?dt t t t t f )()()](),([22中要求α ________β. 5、计算下列求弧长的曲线积分: 1、 ?+L y x ds e 2 2,其中Ｌ为圆周222a y x =+,直线ｙ＝ｘ及ｘ轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界； 2、?Γ yzds x 2 ,其中Ｌ为折线ＡＢＣＤ,这里Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3、?+L ds y x )(2 2 ,其中Ｌ为曲线? ??-=+=)cos (sin ) sin (cos t t t a y t t t a x π20≤≤t ； 4、计算?L ds y ,其中Ｌ为双纽线 )0()()(2 22222>-=+a y x a y x . 三、设螺旋形弹簧一圈的方程为 t a x cos =,t a y sin =,kt z =,其中π20≤≤t ,它的线密度222),,(z y x z y x ++=ρ,求: 1、它关于Z 轴的转动惯量Z I ； 2、它的重心 . 答案一、1、?L ds y x ),(ρ； 2、L 的弧长； 3、弧长； 4、<. 二、1、2)4 2(-+ a e a π ；2、9；3、)21(2232ππ+a ； 4、)22(22-a . 三、)43(3 22 22222k a k a a I z ππ++=；222 2436k a ak x π+=； 2222436k a ak y ππ+-=； 2 2222243) 2(3k a k a k z πππ++= . 第二节对坐标的曲线积分习题 一、填空题: 1、 对______________的曲线积分与曲线的方向有关； 2、设0),(),(≠+?dy y x Q dx y x P L ,则 =++??-L L dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(____________； 3、在公式=+?dy y x Q dx y x P L ),(),(?'+'β α φφ??φ?dt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{中,下限a 对应于L 的____点,上限β对应 于L 的____点； 4、两类曲线积分的联系是______________________________________________________. 二、计算下列对坐标的曲线积分: 1、? L xydx ,其中L 为圆周)0()(222>=+-a a y a x 及X 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)； 2、?+--+L y x dy y x dx y x 22)()(,其中L 为圆周2 22a y x =+(按逆时针方向饶行)； 3、?Γ +-ydz dy dx ,其中为有向闭折线ABCD ,这里的C B A ,,依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)； 4、 ?++ABCDA y x dy dx ,其中ABCDA 是以)0,1(A ，)1,0(B ,)0,1(-C ,)1,0(-D 为顶点的正方形正向边界线 . 三、设z 轴与重力的方向一致,求质量为m 的质点从位置),,(111z y x 沿直线移到),,(222z y x 时重力所作的功. 四、把对坐标的曲线积分?+L dy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的积分, 其中L 为:1、在xoy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；2、 沿抛物线2 x y =从点(0,0)到点(1,1)；3、沿上半圆周x y x 222 =+从点(0,0)到点(1,1). 答案 一、1、坐标； 2、-1； 3、起,点； 4、 dz R Qdy Pdx ?Γ ++ds R Q P )cos cos cos (γβα?Γ ++=. 二、1、;2 3a π - 2、π2-； 3、 2 1 ； 4、0.三、{})(,,0,012z z mg W mg F -==. 习题8-1 1. 设u =a -b +2c , v =-a +3b -c . 试用a 、b 、c 表示2u -3v . 解 2u -3v =2(a -b +2c )-3(-a +3b -c ) =2a -2b +4c +3a -9b +3c =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形. 证 →→→-=OA OB AB ; →→→-=OD OC DC , 而 →→-=OA OC , →→-=OB OD , 所以 →→→→→→-=-=+-=AB OA OB OB OA DC . 这说明四边形ABCD 的对边AB =CD 且AB //CD , 从而四边形ABCD 是平行四边形. 3. 把?ABC 的BC 边五等分, 设 分点依次为D 1、D 2、D 3、D 4, 再把 各分点与点A 连接. 试以c =→AB 、 a =→BC 表示向量→A D 1、→A D 2、→ A D 3、→ A D 4. 解 a c 5111--=-=→→→BD BA A D , a c 5 222--=-=→→→BD BA A D , a c 5 333--=-=→→→BD BA A D , a c 5444--=-=→→→BD BA A D . 4. 已知两点M 1(0, 1, 2)和M 2(1, -1, 0). 试用坐标表示式表示向量→21M M 及→-212M M . 解 )2 ,2 ,1()2 ,1 ,0()0 ,1 ,1(21--=--=→M M , )4 ,4 ,2()2 ,2 ,1(2221-=---=-→M M . 5. 求平行于向量a =(6, 7, -6)的单位向量. 解 11)6(76||222=-++=a , 平行于向量a =(6, 7, -6)的单位向量为 )116 ,117 ,116(||1-=a a 或)11 6 ,11 7 ,116(||1--=-a a . 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？ A (1, -2, 3); B (2, 3, -4); C (2, -3, -4); D (-2, -3, 1). 解 A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限. 7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: A (3, 4, 0); B (0, 4, 3); C (3, 0, 0); D (0, -1, 0). 解 在xOy 面上, 点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 点的坐标为(x , 0, z ). 在x 轴上, 点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 点的坐标为(0, 0, z ). A 在xOy 面上, B 在yOz 面上, C 在x 轴上, D 在y 轴上. 8. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , -c ), 点(a , b , c ) 《高等数学教程》第十一章 重积分 习题参考答案 习题11－1 1.(,)D Q x y d μσ=??. 3.(1)0; (2)0; (3)124I =I 4.(1)12I ≥I ; (2) 12I ≤I ; (3)12I ≥I ; (4) 12I ≤I . 5.(1)02≤I ≤; (2)20π≤I ≤; (3)28≤I ≤; (4)36100ππ≤I ≤. 习题11－2(A) 1. (1)4 0(,)x dx f x y dy ?? 或240 4 (,)y y dy f x y dx ??； (2)122 20 1 2 2 (,)(,)x x x x dx f x y dy dx f x y dy +????或2122 1 2 2 (,)(,)y y y y dy f x y dx dy f x y dx +????； (3)2 2 4 (,)x x f x y dy -?或240 2 (,)(,)dy f x y dx dy f x y dx +??. 2. (1)4 2 (,)x dx f x y dy ??; (2) 10 1(,)y dy f x y dx ?? ; (3)1 10 2(,)y dy f x y dx -?? ; (4) 1 (,)y e e dy f x y dx ? ?. 3. (1) 203; (2)32π-; (3)655; (4)64 15; (5)1e e -- 4. (1)92； (2)211 22e e -+. 5. 335. 6. (1)20 (cos ,sin )b a d f r r rdr π θθθ??； (2)2cos 20 2 (cos ,sin )d f r r rdr π θ πθθθ- -?? ; (3)1 (cos sin )20 (cos ,sin )d f r r rdr π θθθθθ-+?? ; (4)3sec tan cot 44 4 (cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr π πθθ θ πθθθθθθ+++?? ?? 第八章 向量与解析几何 向量代数 两点间的距离公式： 2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, c a b =+ c a b =－ 0a ≠，则a a e a =x z a a a = = ，， 曲面、空间曲线及其方程 1、 曲面及其方程Σ : F (x , y , z ) = 0，旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有谁；作图时先画 母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母 线特点得柱面】，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】；要熟悉常见的曲面及其方程并会作 2、旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0 ),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 1、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 ),(z y x F 的柱面 2、 二次曲面:椭圆锥面：2 22 22 z b y a x =+ 椭球面：122 2222=++c z b y a x 旋转椭球面：122 222 2=++c z a y a x 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x 双叶双曲面： 122 2222=--c z b y a x 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-2222 椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-b y a x 抛物柱面：ay x =2 空间曲线及其方程: 一般方程：?????==0 ),,(0),,(z y x G z y x F 参数方程：???? ???===) ()()(t z z t y y t x x 如螺旋线：??? ? ???===bt z t a y t a x sin cos 空间曲线在坐标面上的投影?? ???==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去 z ， 得到曲线在面xoy 上的投影?????==0 ),(z y x H 3:曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投谁便消去谁 高等数学（下）模拟试卷一 一、 填空题（每空3分，共15分） （1）函数 z x y x y = ++-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序，2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()L x y ds += ? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π 为4220x y z -+-=，则 （ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交 （2）设是由方程222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz = （ ） A.dx dy + B.2dx dy + C.22dx dy + D.2dx dy - （3）已知Ω是由曲面222 425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将 22()x y dv Ω+???在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.22 5 300 d r dr dz π θ??? B. 245 30 d r dr dz πθ? ?? C. 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ?? D. 22 5 2 d r dr dz πθ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（ ） A. 2 B. 1 C. 1 2 D. 2 （5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * = （ ） A . B.()x ax b xe + C.()x ax b ce ++ D.()x ax b cxe ++ 1 2 n n n n x ∞ = ∑ 一、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、( 本 大 题5分 ) 设L 由y =x 2及y =1所围成的区域D 的正向边界， 求 ?+++L dy y x x dx y x xy )()(2 4233 2、(本小题5分) 设f (x ,y )是连续函数，交换二次积分??2 3 ),(10x x dy y x f dx 的积分次序。 3、(本小题5分) 设()f x 是以2π为周期的函数，当 x ∈-?? ?? ?ππ232, 时， ()f x x =。又设()S x 是()f x 的 以2π为周期的Fourier 级数之和函数。试写出()S x 在 []-ππ,内的表达式。 二、解答下列各题(本大题共7小题，总计42分) 1、(本小题6分) 设z=z(x,y)由方程x 2 +y 2 +z 2 =ln(y z )确定，求z z x y ,。 2、(本小题6分) 设z y xy x =++232 ()，求z z x y ,。 3、(本小题6分) 设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。 利用极坐标计算二次积分 5、(本小题6分) 求微分方程''-'+=y y y x e x 22的一个特解。 6、(本小题6分) 求幂级数n n x n )3 2(11 -∑ ∞ =的收敛域。 7、(本小题6分) 求微分方程0)42()2(32=-+++dy y x y x dx y y 的通解。 三、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题7分) 求曲面x xy xyz ++=9在点(,,)123处的切平面和法线方程 。 2、(本小题6分) 试求由x 2+y 2+z 2≤4与x 2+y 2≤3z 所确定的立体的体积。 四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分) 第七次作业 1.函数3 2z xy u = 在点A )2,1,5(处沿到点B )14,4,9(的方向 → AB 上的方向导数为 。 解 填13 992 802,8)2,1,5(3 )2,1,5()2,1,5(32)2,1,5(====xyz u z y u y x {}12,3,4,603) 2,1,5(22 )2,1,5(====→AB T z xy u z ,13 12 cos ,133cos ,134cos ===γβα 则u 在点A 处沿→ AB 的方向导数为： 13 992131260133801348)2,1,5(=?+?+?=??T u 2.函数 ()2 2 2 ln z y x u -+=在点 M )1,1,1(-处的梯度 =M gradu 。 解 填{}2,2,2-- 2 22222222z y x z 2z u ,z y x y 2y u ,z y x x 2x u -+-=??-+=??-+=?? 2,2,2) 1,1,1()1,1,1()1,1,1(=??-=??=??∴---z u y u x u {}2,2,2-=∴M gradu 3.对二元函数(,)z f x y =而言（ ） 。 A.,x y f f 存在且连续，则(,)f x y 沿任一方向的方向导数存在； B. (,)f x y 的偏导数都存在，则(,)f x y 沿任一方向的方向导 数存在； C.沿任一方向的方向导数存在，则函数(,)f x y 必连续； D ．以上结论都不对。 解 填（A ） x y f f ，存在且连续f ?可微?沿任一方向的方向导数存在。 4.若函数(,,)u u x y z = 在点(,,)x y z 处的三个偏导数都存在 且不全为0，则向量,,u u u x y z ????????????的方向是函数u 在点 (,,)x y z 处的（ ） 。 A ．变化率最小的方向； B ．变化率最大的方向； C ．可能是变化率最小的方向，也可能是变化率最大的方向； D ．既不是变化率最小的方向，也不是变化率最大的方向。 解 填（B ）高数答案第11章
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