数据结构实验五矩阵的压缩存储与运算

第五章矩阵的压缩存储与运算

【实验目的】

1. 熟练掌握稀疏矩阵的两种存储结构(三元组表和十字链表)的实现；

2. 掌握稀疏矩阵的加法、转置、乘法等基本运算；

3. 加深对线性表的顺序存储和链式结构的理解。

第一节知识准备

矩阵是由两个关系（行关系和列关系）组成的二维数组，因此对每一个关系上都可以用线性表进行处理；考虑到两个关系的先后，在存储上就有按行优先和按列优先两种存储方式，所谓按行优先，是指将矩阵的每一行看成一个元素进行存储；所谓按列优先，是指将矩阵的每一列看成一个元素进行存储；这是矩阵在计算机中用一个连续存储区域存放的一般情形，对特殊矩阵还有特殊的存储方式。

一、特殊矩阵的压缩存储

1. 对称矩阵和上、下三角阵

若n阶矩阵A中的元素满足 = （0≤i，j≤n-1 ）则称为n阶对称矩阵。对n阶对称矩阵，我们只需要存储下三角元素就可以了。事实上对上三角矩阵（下三角部分为零）和下三角矩阵（上三角部分为零），都可以用一维数组ma[0.. ]来存储A的下三角元素（对上三角矩阵做转置存储），称ma为矩阵A的压缩存储结构，现在我们来分析以下，A和ma之间的元素对应放置关系。

问题已经转化为：已知二维矩阵A[i，j]，如图5-1，

我们将A用一个一维数组ma[k]来存储，它们之间存在着如图5-2所示的一一对应关系。

任意一组下标(i,j)都可在ma中的位置k中找到元素m[k]= ；这里：

k=i(i+1)/2+j (i≥j)

图5-1 下三角矩阵

a00 a10 a11 a20 … an-1,0 … an-1,n-1

k= 0 1 2 3 … n(n-1)/2 … n(n+1)/2-1

图5-2下三角矩阵的压缩存储

反之，对所有的k=0,1，2,…,n(n+1)/2-1，都能确定ma[k]中的元素在矩阵A中的位置（i,j）。这里，i=d-1，（d是使sum= > k的最小整数），j= 。

2. 三对角矩阵

在三对角矩阵中，所有的非零元素集中在以主对角线为中心的带内状区域中，除了主对角线上和直接在对角线上、下方对角线上的元素之外，所有其它的元素皆为零，见图5-3。

图5-3 三对角矩阵A

与下三角矩阵的存储一样，我们也可以用一个一维数组ma[0..3n-2]来存放三对角矩阵A，其对应关系见图5-4。

a00 a01 a10 a11 a12 … an-1,n-2 an-1,n-1

k= 0 1 2 3 4 … 3n-3 3n-2

图5-4下三角矩阵的压缩存储

A中的一对下标(i,j)与ma中的下标k之间有如下的关系：

公式中采用了C语言的符号，int()表示取整，‘%’表示求余。

二、稀疏矩阵

在m×n的矩阵中，有t个非零元。令δ= ,称δ矩阵的稀疏因子，常认为δ≤0.05时称为稀疏矩阵。稀疏矩阵在工程中有着大量的应用，不少工程问题都可以转化为对稀疏矩阵的计算问题。如何进行稀疏矩阵的压缩存储呢？

为节省存储空间，应只存储非零元素。除了存储非零元的值之外，还必须记下所在行和列的位置（i,j），即一个三元组（i,j, ）唯一确定了矩阵A的一个非零元素。

1. 三元组顺序表

以顺序存储结构来表示三元组表，则可称稀疏矩阵的一种压缩存储方式。

//稀疏矩阵的三元组顺序表存储表示。

#define MaxSize 10 //用户自定义

typedef int Datatype; //用户自定义

typedef struct{ //定义三元组

int i； //非零元的行下标

int j; //非零元的列下标

Datatype v; //非零元的数据值

}TriTupleNode;

typedef struct{

TriTupleNode data[MaxSize]; //非零元的三元组表

int m,n,t; //矩阵行，列及三元组表长度

}TriTupleTable;

2. 十字链表

当矩阵的非零元个数和位置在操作过程中变化较大时，就不宜采用顺序存储结构来表示三元组的线性表，采用纵横交叉的十字链表就比较好。

在十字链表中，每个非零元可用一个含五个域的结点表示，其中i, j和e三个域分别表示该非零元所在的行、列和非零元的值，向右域right用以链接同一行中下一个非零元。向下域down用以链接同一列中下一个非零元。同一行中的非零元通过right域链接成一个线性链表，每个非零元既是某个行链表中的一个结点，又是某个列链表中的一个结点，整个矩阵构成了一个十字交叉的链表，故称这样的存储结构为十字链表，如图5-5所示。

图5-5 稀疏矩阵M的十字链表

typedef int Datatype; //用户自定义

typedef struct OLNode{

int i,j; //该非零元的行和列下标

Datatype v;

Struct OLNode *right,*down //该非零元所在行表和列表的后继链域

}OLNode;*OLink;

typedef struct {

OLink *rhead,*chead

int mu,nu,tu;

}CrossList;

第二节用三元组表实现稀疏矩阵的基本操作

【问题描述】用三元组表实现稀疏矩阵的按列转置。

【数据描述】

typedef int Datatype; //用户自定义

typedef struct

{ //定义三元组

int i,j; // 非零元素的行下标和列下标

Datatype v;

}TriTupleNode;

typedef struct{ //定义三元组表

TriTupleNode data[MaxSize];

int m,n,t; //矩阵行，列及三元组表长度

}TriTupleTable;

【算法描述】

按照列序来进行转置。为了找到每一列中所有的非零元素，需要对其三元组表从第一行起整个扫描一遍。Status TransposeSMatrix(TriTupleTable a, TriTupleTable &b){

b.m=a.n;b.n=a.m;b.t=a.t;

if(b.t){

q=0;

for(col=1;col<=a.n;++col)

for(p=0;p<=a..t;++p)

if(a.data[p].j==col){

b.data[q].i=a.data[p].j;b.data[q].j=a.data[p].i;

b.data[q].v=a.data[p].v;++q;}

}

return OK;

}

【C源程序】

#include

#include

#define Ok 1

#define Maxsize 10 //用户自定义三元组最大长度

typedef struct{ /*定义三元组表*/

int i，j;

int v;

}TriTupleNode;

typedef struct{ /*定义三元组表*/

TriTupleNode data[Maxsize];

int m;

int n;

int t; /*矩阵行，列及三元组表长度*/

}TriTupleTable;

void InitTriTupleNode (TriTupleTable *a){ /*输入三元组表*/ int i,j,k,val,maxrow,maxcol;

char contiue;

maxrow=0;

maxcol=0;

i=j=0;

k=0;

while(i!=-1&&j!=-1){ /*rol=-1&&col=-1结束输入*/

printf("input row \n");

scanf("%d",&i);

printf("input col \n");

scanf("%d",&j);

printf("input value\n");

scanf("%d",&val);

a->data[k].i=i;

a->data[k].j=j;

a->data[k].v=val;

if (maxrow

if (maxcol

}

a->m=maxrow;a->n=maxcol;a->t=k-1;

}

void showMatrix(TriTupleTable *a){ /*输出稀疏矩阵*/ int p,q;

int t=0;

for(p=1;p<=a->m;p++)

{for(q=1;q<=a->n;q++)

{ if (a->data[t].i==p&&a->data[t].j==q)

{printf("%d ",a->data[t].v);

t++;

}

else printf("0 ");

}

printf("\n" );

}

}

TransposeSMatrix(TriTupleTable *a,TriTupleTable *b) {int q,col,p;

b->m=a->n;b->n=a->m;b->t=a->t;

if(b->t)

{q=0;

for(col=1;col<=a->n;++col)

for(p=0;pt;++p)

if(a->data[p].j==col)

{ b->data[q].i=a->data[p].j;

b->data[q].j=a->data[p].i;

b->data[q].v=a->data[p].v;++q;

}

}

void main( void)

{TriTupleTable *a,*b;

InitTriTupleNode(a);

showMatrix(a); /*转置前*/

TransposeSMatrix(a,b);

showMatrix(b); /*转置后*/

}

【测试数据】

输入：输出：

1 2 0 0 1 4 0

4 3 0 7 2 3 0

0 0 0 8 0 0 0

0 7 8

【说明】

分析算法,主要的工作是在p和col的两重循环中完成，算法的时间复杂度为O(n*t)。如果非零元素个数t 和m*n同数量级时，算法的时间复杂度变为O(m*n2)。

【实验题】

1. 稀疏矩阵按行序进行转置。

2. 两个稀疏矩阵的相加运算。

第三节十字链表表示稀疏矩阵的基本操作

【问题描述】两个相同行数和列数的稀疏矩阵用十字链表实现加法运算

【数据描述】

typedef struct ele {/* 十字链表结点类型*/

int row, col;

double val;

struct ele *right, *down;

}eleNode;

【算法描述】

(1) 若q->j>v->j，则需要在C矩阵的链表中插入一个值为bij的结点,，修改v=v->right。

(2) 如q->jj，则需要在C矩阵的链表中插入一个值为aij的结点，修改q=q->right。

(3) 若q->j = = v->j且q->e + v->e ! = 0，则需要在C矩阵的链表中插入一个值为aij+bij的结点，修改q=q->right,v=v->right。

重复（1）--（3）完成一行的操作。修改p=p->down,u=u->down后，再继续下一行。【C源程序】

#include

#include

typedef struct ele {/* 十字链表结点类型*/

int row,col;

int val;

struct ele *right,*down;

}eleNode;

/*建立一个元素全为零的稀疏矩阵的十字链表*/

eleNode *createNullMat(int m,int n) / * m行n列 */

{eleNode *h,*p;

int k;

h=(eleNode *)malloc(sizeof(eleNode)); /*十字链表头结点 */

h->row=m;h->col=n;h->val=0; / * 行数、列数和非零元素个数 */

h->right=(eleNode *)malloc(sizeof(eleNode)*n);

h->down=(eleNode *)malloc(sizeof(eleNode)*m);

for(p=h->down,k=0;k

p->col=1000; / * 设矩阵不会超过1000列 */

p->right=p; / * 每个行链表是一个环 * /

p->down=kdown; / * 使全部行链表头结点构成环*/

}

for(p=h->right,k=0;k

p->row=1000; / * 设矩阵不会超过1000行 * /

p-＞down = p; / * 每个列链表是一个环 * /

p-＞right = k＜n-1 ? p+1 : h-＞right; / *使全部列链表头结点构成环 * /

}

return h;

}

//

int insertNode(eleNode *a ,int row,int col,double val){

/* 在十字链表中插入一个结点*/

eleNode *p,*q,*r,*u,*v;

if(row>=a->row||col>=a->col) return -2; / * 不合理的行列号 * / r=(eleNode *)malloc(sizeof(eleNode));

r->row=row;r->col=col;r->val=val;

p=a->down+row;q=p->right;

while(q->colright;}

if(q->col==col) return -1; / * 该行已有col列元素 * /

u=a->right+col;v=u->down;

while(v->rowdown;}

if(v->row==row) return -1; / * 该列已有row行元素 * /

p-＞right = r; r-＞right = q; / * 插入到行链中 * /

u-＞down = r; r-＞down = v; / * 插入到列链中 * /

a->val=val;

return 0; / * 插入成功 * /

}

eleNode *readMat(){

/*输入数据建立十字链表*/

eleNode *h;

int i,j,m,n;

int v;

printf("输入稀疏矩阵的行数和列数");

scanf("%d%d",&m,&n);

h=createNullMat(m,n);

printf("输入有非零元素的行号")；

scanf("%d",&i);

while(i>=0) / * 逐行输入非零元素 * /

{ printf("输入非零元素的列号")；

scanf("%d",&j);

while(j>=0) / * 输入一行非零元素 * /

{ printf("输入非零元素的值");

scanf("%d",&v);

insertNode(h,i,j,v);

printf("输入当前行下一个非零元素的列号（-1表示当前行一组数据结束）")；scanf("%d",&j);

}

printf("输入下一行有非零元素的行号（-1表示输入结束）")；

scanf("%d",&i);

}

return h;

}

void showMat(eleNode *a)

{int row,col,i,j;

eleNode *p;

row=a->row;

col=a->col;

for (i=0;i

{ p=a->down+i;

p=p->right;

for(j=0;j

{ if(p->row==i&&p->col==j) {printf("%d ",p->val);p=p->right;}

else

printf("0 ");

}

}

}

eleNode *matAdd(eleNode *a,eleNode *b)

{eleNode *r,*p,*q,*u,*v;

r=createNullMat(a->row,a->col);

p=a->down;u=b->down;

do { / * 逐行相加 * /

q=p->right;v=u->right;

while(q!=p||v!=u) / * 两矩阵中有一个一行未结束循环 */ if(q->col==v->col){ / * 有相同列的元素 * /

if(q->val+v->val!=0) / * 和非零插入 * /

insertNode(r,q->row,q->col,q->val+v->val);

q=q->right;v=v->right;

}

else if(q->colcol){ / * 插入a的元素 * /

insertNode(r,q->row,q->col,q->val);

q=q->right;

}

else{ / * 插入b的元素 * /

insertNode(r,v->row,v->col,v->val);

v=v->right;

}

p=p->down;u=u->down;

}while(p!=a->down);

return r;

}

void main()

{ eleNode *a,*b,*c;

printf("a\n");

showMat(a);

b=readMat();

printf("b\n");

showMat(b);

c= matAdd(a,b);

printf("c\n");

showMat(c);

}

【测试数据】

输入a 矩阵: 4 0 0 0 输入b矩阵: 0 1 0 1 输出:4 1 0 1

0 5 0 9 0 –5 0 0 0 0 0 9

0 0 1 0 1 0 9 0 1 0 10 0

输入数据注意事项：

（1）如上面a矩阵，应输入3行4列

（2）若某行有非零元素，则按下列格式（三元组格式）输入：

行号列号值列号值…列号值 -1，如a矩阵的第0行，应输入0 0 4 -1，最后的-1表示该行的一组数据输入结束。

（3）按以上格式逐行地输入数据，直到输入的行号的值为-1时，表示稀疏矩阵的全部数据输入结束。【说明】

从一个结点来看，进行比较、修改指针所需的时间是一个常数；整个运算过程在于对A和B的十字链表逐行扫描，其循环次数主要取决于A和B矩阵中非零元素的个数ta和tb；由此算法的时间复杂度为O(ta+tb)。【实验题】

1. 设矩阵采用十字链表存结构，试编写下列程序实现下列运算：

del(hm,i,j,x) 删除第i行第 j列的结点。

revise(hm,i,j) 修改第i行第 j列的结点的数据值。

2. 上述例子采用的是新开辟c十字链表存放a矩阵和b矩阵之和，试用a存放a矩阵和b矩阵之和，改写上述例子。

第四节思考题

1. 假设稀疏矩阵A的大小是m×n，稀疏矩阵B的大小是n×1（一维向量），A和B均采用三元组表示，编程实现C=A×B，其结果C也采用三元组表形式输出。

【简要分析】本题的关键是要确定i行j列的元素在三元组表中的位置，由于B是一个一维向量，在用三元组表进行矩阵相乘时并不方便，可以先将B做转置存放后，一遍扫描A就可以实现乘法。

2.如果矩阵A中存在这样的一个元素A[i][j]满足以下条件：A[i][j]是第i行中值最小的元素，且又是第j列中值最大的元素，则称A[i][j]为矩阵A的一个鞍点；假设稀疏矩阵A（大小是m×n）已经用三元组表存放，编程实现求鞍点的算法，如果没有鞍点，也给出相应信息。

【简要分析】如果A采用二维数组存放，本题的解法是很容易的，只需要求出每行的最小元素，放入

min[0..m-1]中，再求出每列的最大元，放入max[0..n-1]之中，如果某元素A[i][j]，既在min[i]中，又在max[j]中，则A[i][j]必是鞍点。对三元组存放的A，在求max数组时会有一些困难，可参考教材，增设一个cpot数组和一个num数组，用来记录A的列元素。

Chapter Five Compressed storage for Matrix and its algorithms

Objectives

1.

To understand implementation of two structures of sparse matrix, For example, Triple_Tuple_Tabl

e and Cross-List.

2.

To understand basic computation of addition, transformation, and multiplication for sparse matrix.

3. To be able to understand the structure of Order_List and Link_List in Linear_List.