大学线性代数必过复习资料

复习重点：

第一部分行列式

1．排列的逆序数（P .5例4；P .26第2、4题）

2．行列式按行（列）展开法则（P .21例13；P .28第9题） 3．行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）

第二部分矩阵 1．矩阵的运算性质

2．矩阵求逆及矩阵方程的求解（P .56第17、18题；P .78第5题） 3．伴随阵的性质（P .41例9；P .56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P .116） 4．矩阵的秩的性质（P .69至71；P .100例13、14、15）

第三部分线性方程组

1．线性方程组的解的判定（P .71定理3；P.77定理4、5、6、7），带参数的方程组的解的

判定（P.75例13；P .80第16、17、18题）

2．齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3．非齐次线性方程组的解的结构（通解）

第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换） 1．向量组的线性表示 2．向量组的线性相关性 3．向量组的秩

第五部分方阵的特征值及特征向量 1．施密特正交化过程

2．特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题）

3．矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P .135第15、16、19、23题）

要注意的知识点：

线性代数

1、行列式

1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、ij A 和ij a 的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-

4. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2

(1)n n -? -；

③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2

(1)n n -? -；

⑤、拉普拉斯展开式：

A O A C A

C B O B ==、(1)m n C A O A

A B B O B C

==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值 5. 证明0A =的方法：

①、A A =-； ②、反证法；

③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

A 是n 阶可逆矩阵：

?0A ≠（是非奇异矩阵）；

?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价；

?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵；

?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；

1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***

111()()()T T T

AB B A AB B A AB B A ---===

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：

若12

s A A A A ?? ?

?= ? ??

，则： Ⅰ、12s A A A A = ；

Ⅱ、11112

1s A A A A ----??

?= ? ? ??

； ②、1

11A O A O O B O B ---????

? ????? ③、1

11O A O B B O A O ---??

??= ? ?

???? ④、11111A C A A CB O B O

B -----??

-??=

? ?????

⑤、1111

1A O A O C B B CA

B -----????= ? ?-????

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：

m n

E O

F O

O ???

= ???；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、若(,)(,)r

A E E X ，则A 可逆，且1X A -=；

②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)c

A B E A B - ~ ； ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)r

A b E x ，则A 可逆，且1x A b -=；

4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、12

n ??

?Λ= ? ??

λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，i

λ乘A 的各列元

素；

③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1

111111-????

? ?

= ? ? ? ?????

； ④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11

(())(())E i k E i k

-=，例如：

11(0)11k k k -????

? ?=≠ ? ? ? ???

； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：1

11(0)11k k k --???? ? ?

=≠ ? ? ? ?????

； 5. 矩阵秩的基本性质：

①、0()min(,)m n r A m n ?≤≤；

②、()()T r A r A =；

③、若A B ，则()()r A r B =；

④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）

⑧、如果A 是m n ?矩阵，B 是n s ?矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、()()r A r B n +≤

⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；

6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

②、型如101001a c b ?? ?

? ???

的矩阵：利用二项展开式

③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：

①、伴随矩阵的秩：*()()1

()10()1

r A n r A r A n r A n = ??

==-??<-?

； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)A

AX X A A A A X X λλ

- == ? =

；

③、*1A A A -=、1

*n A A -=

8. 关于A 矩阵秩的描述：

①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话） ②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；

9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ?矩阵，则：

①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；

②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：

①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；

11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：

①、11112211211222221122n n n n m m nm n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++= ??+++= ??

??+++=? ； ②、111211121

222221

n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ??????

??? ?

??? ?=?= ??? ?

??? ?

??????

（向量方程，A 为m n ?矩阵，m 个方程，n 个未知数）

③、()121

n n x x a

a a x β

? ?= ?

（全部按列分块，其中12n b b b β?? ? ?= ? ??? ）； ④、1122n n a x a x a x β+++= （线性表出）

⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα 构成n m ?矩阵12(,,,)m A = ααα； m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T T

m βββ 构成m n ?矩阵12T T T m B βββ??

? ?= ? ? ???

；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ?=有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出 Ax b ?=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ?=是否有解；（矩阵方程）

3. 矩阵m n A ?与l n B ?行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；

(101P 例14) 4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)

n 维向量线性相关的几何意义：

①、α线性相关 ?0α=；

②、,αβ线性相关

?,αβ坐标成比例或共线（平行）；

③、,,αβγ线性相关 ?,,αβγ共面；

6. 线性相关与无关的两套定理：

若12,,,s ααα 线性相关，则121,,,,s s αααα+ 必线性相关；

若12,,,s ααα 线性无关，则121,,,s ααα- 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：

若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤；

向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；

向量组A 能由向量组B 线性表示

AX B ?=有解；

()(,)r A r A B ?= 向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ? ==

8. 方阵A 可逆?存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P = ；

①、矩阵行等价：~r

A B PA B ?=（左乘，P 可逆）0Ax ?=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~c A B AQ B ?=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ?=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ?与l n B ?：

①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；

②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ???=，则：

①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；

②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）

11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证

明；

①、0ABx = 只有零解0Bx ? =只有零解；

②、0Bx = 有非零解0ABx ? =一定存在非零解；

12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ? 可由向量组12:,,,n s s A a a a ? 线性表示为：

1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K = （B AK =）

其中K 为s r ?，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ?=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴= ；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；

13. ①、对矩阵m n A ?，存在n m Q ?，m AQ E = ()r A m ?=、Q 的列向量线性无关；

②、对矩阵m n A ?，存在n m P ?，n PA E = ()r A n ?=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα 线性相关

?存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++= 成立；（定义）

?1212(,,,)0s s x x x ααα?? ?

?= ? ???

有非零解，即0Ax =有非零解；

?12(,,,)s r s ααα< ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15. 设m n ?的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：

()r S n r =-； 16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ- 为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ- 线

性无关；

5、相似矩阵

1. 正交矩阵T A A E ?=或1T A A -=（定义），性质：

①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0

T i j i j

a a i j n i j

=?==?

≠? ； ②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a

11b a =；

1222111[,][,]b a b a b b b =-

121

112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----

=---- ; 3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

线性代数典型例题

线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行（列）展开公式求代数余子式已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?

3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+

线性代数期末试题及答案

工程学院2011年度（线性代数）期末考试试卷样卷一、填空题（每小题2分，共20分） 1.如果行列式233 32 31 232221 131211 =a a a a a a a a a ，则=---------33 32 31 232221 13 1211222222222a a a a a a a a a 。 2.设2 3 2 6219321862 131-= D ，则=+++42322212A A A A 。 3.设1 ,,4321,0121-=??? ? ??=???? ??=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组??? ?? ??=????? ??????? ??000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则 =a 。、B 均为5阶矩阵，2,2 1 == B A ，则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。 7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为。 8.若31212322 212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是。

9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。

二、单项选择（每小题2分，共10分） 1.若齐次线性方程组??? ??=λ++=+λ+=++λ0 00321 321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（） A .1或2 B . －1或－2 C .1或－2 D .－1或2. 2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-，则=A （） A .5 B .-5 C .-3 D .3 3.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（） A .0=+ B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是（） A ．21+ββ B ． ()21235 1 ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ- 5. 若二次型3231212 3222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （） A . 1 B .2 C . 3 D . 4 三、计算题 (每题9分，共63分) 1.计算n 阶行列式a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=

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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 诚信应考 ,考试作弊将带来严重后果！线性代数期末考试试卷及答案号位座注意事项： 1. 考前请将密封线内填写清楚；线 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上 )； 3．考试形式：开（闭）卷； 4. 本试卷共五大题，满分100 分，考试时间 120 分钟。题号一二三四五总分业得分专评卷人 ) 一、单项选择题（每小题 2 分，共 40 分）。题封答1．设矩阵A为2 2矩阵, B 为2 3矩阵 , C为3 2矩阵，则下列矩阵运算无意义的是院不内【】学线封密 A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB ( 2.设 n 阶方阵 A 满足 A2＋ E =0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有【】 A. 矩阵 A 不是实矩阵 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 3.设 A 为 n 阶方阵，且行列式det(A)= 1 ,则 det(-2A)= 【】 n C. －2n A. －2 D. 1 B. －2 号密 4.设 A 为 3 阶方阵，且行列式det(A)=0 ，则在 A 的行向量组中【】学 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量，其对应分量成比例 C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 5．设向量组a1,a2, a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】名A．a1 a2 , a2 a3 , a3 a1 B. a1, a2 ,2a1 3a2 姓

C. a 2 ,2a 3 ,2a 2 a 3 D. a 1－ a 3 , a 2 ,a 1 6.向量组 (I): a 1 , ,a m (m 3) 线性无关的充分必要条件是【】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量 ,它不能由其余 m-1 个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数 k 1 , , k m , 使 k 1 a 1 k m a m 0 7．设 a 为 m n 矩阵，则 n 元齐次线性方程组 Ax 0存在非零解的充分必要条件是【】 A ． A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 0 8.设 a i 、 b i 均为非零常数（ i =1， 2， 3），且齐次线性方程组 b 2 x 2 b 3 x 3 b 1 x 1 的基础解系含 2 个解向量，则必有【】 a 1 a 2 B. a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a 1 a 3 0 A. b 1 b 2 0C. b 2 b 3 D. b 2 b 3 b 1 b 1 b 2 9.方程组 2x 1 x 2 x 3 1 x 1 2x 2 x 3 1 有解的充分必要的条件是【】 3 x 1 3x 2 2 x 3 a 1 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η 1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【】 A. 可由 η 1， η2， η3 线性表示的向量组 B. 与 η1， η2 ， η3 等秩的向量组 C.η 1－η2， η2－ η3， η3－ η1 D. η 1， η1-η3， η1-η 2-η 3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0 ，则【】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有 n 个【】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间 R n 的子空间的是【】 n A. {( a 1 , a 2 , ,a n ) | a 1a 2 0} B. {( a 1 , a 2 , , a n ) | a i 0} C. {( a 1, a 2 , , a n ) | a i z,i 1,2, , n} D. {( a 1 , a 2 , i n 1 1} , a n ) | a i 1 0 i 1 14.若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B - 3 ,E 为 2 阶单位矩阵 ,则方阵 E –A 必相似于矩阵 2

线性代数期末考试试卷+答案合集

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程

第五章相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个）二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ）（A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例（B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例（C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例（D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于（ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;

三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试《线性代数》试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （密） … … … … … … … … … … … … （封） … … … …… … … … … … … … （线） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数典型例题

线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行(列)展开公式求代数余子式已知行列式41 234334461 5671122 D ==-,试求4142A A +与4344A A +、三、利用多项式分解因式计算行列式 1.计算2211 23122313 1513 19x D x -=-、 2.设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x =,则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1、设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2、设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且1||2 A =,试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-???? 3、设A 就是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等,求行列式

||.A 4、设矩阵210120001A ????=?????? ,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5、设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =,那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式 1、若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为1111,,,2345 ,则行列式1||________.B E --= 2、设A 为四阶矩阵,且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E + 第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵 1、设,,A B A B +都就是可逆矩阵,求:111().A B ---+ 2、设0002100053123004 580034600A ????????=???????? ,求1.A -

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍，，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

线性代数期末考试试题含答案

线性代数期末考试试题含答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（）

8线性代数练习题(带解题过程)

０线性代数试题一填空题 ◆1．设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ；【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意：为什么是3 )1(- ◆2．设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β，如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘

１法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==，切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！ ◆3．设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数）是多少，通解是如何构造的。其次要知道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（）（A ）任意r 个列向量线性无关

历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++2 21 12 1 c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++2 12 12121 221121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关

2020线性代数试题(带解题过程)

线性代数试题一填空题 ◆1．设A 为3阶方阵且2=A ，则=-*-A A 231 ；【分析】只要与*A 有关的题，首先要想到公式，E A A A AA ==**，从中推你要的结论。这里11*2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意：为什么是3)1(- ◆2．设133322211,,α+α=βα+α=βα+α=β，如321,,ααα线性相关，则321,,βββ线性______(相关) 如321,,ααα线性无关，则321,,βββ线性______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ???? ??????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==，切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！你来做下面的三个题：（1）已知向量组m ααα,,,21 （2≥m ）线性无关。设 111322211,,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=--m m m m m 试讨论向量组m βββ,,,21 的线性相关性。（答案：m 为奇数时无关，偶数时相关）（2）已知321,,ααα线性无关，试问常数k m ,满足什么条件时，向量组 312312,,αααααα---m k 线性无关？线性相关？（答案：当1≠mk 时，无关；当1=mk 时，相关）（3）教材P103第2(6)题和P110例4和P113第4题 ◆3．设非齐次线性方程b x A m =?4，2)(=A r ，321,,ηηη是它的三个解，且

线性代数总结材料汇总情况+经典例题

线性代数知识点总结 1 行列式（一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

7、n阶（n≥2）德蒙德行列式数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开 9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：

（1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵（一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）

《经济数学》线性代数学习辅导与典型例题解析

《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。是同阶方阵，则有：若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。

⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。若为阶方阵，则下列结论等价可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。用初等行变换法求逆矩阵：用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵）可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。典型例题解析例1 设均为3阶矩阵，且，则。解：答案：72 因为，且

所以例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。解：答案：A 因为，所以A可进行。关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。例3 已知求。分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。解：因为得。

例4 设矩阵求。解：方法一：伴随矩阵法可逆。且由得伴随矩阵则=

方法二：初等行变换法注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。例4 设矩阵求的秩。分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。解：。

线性代数课后习题答案分析

线性代数课后题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油（1） 3811411 02 ---；（2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ；（4） y x y x x y x y y x y x +++. 解注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

线性代数题目及解析。

一. 判断题（正确打√，错误打×） 1若s α不能由121,,,-s ααα 线性表示，则s ααα,,,21 线性无关. (×) 解答：反例：取01=α，02≠α，则2α不能由1α线性表示，但21,αα线性相关. 2. 如果β可由321,,ααα唯一线性表示,则321,,ααα线性无关.(√) 解答：向量β能由向量组A 唯一线性表示的充分必要条件是 m R R m m ==),,,(),,,,(2121αααβααα ；所以3),,(321=αααR ，所以321,,ααα线性无关. 3. 向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数.(×) 解答：正确结论：向量组的秩就是它的极大线性无关组所含向量的个数. 4. 若向量组γβα,,只有一个极大无关组，则γβα,,线性无关. (×) 解答：反例：取0,0==≠γβα，则向量组γβα,,只有一个极大无关组α，但γβα,,线性相关. 正确命题：若γβα,,线性无关，则γβα,,只有一个极大无关组. 二. 单项选择题 1.设向量组（1）:321,,ααα与向量组（2）:21,ββ等价，则( A ). （A ）向量组（1）线性相关; （B ）向量组（2）线性无关; （C ）向量组（1）线性无关; （D ）向量组（2）线性相关.

解答：因为等价的向量组具有相同的秩，所以 32),(),,(21321<≤=ββαααR R ，所以向量组（1）线性相关. 2. 3维向量组1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，则向量组中（A ）（A ）每一个向量都能由其余三个向量线性表示; （B ）只有一个向量能由其余三个向量线性表示; （C ）只有一个向量不能由其余三个向量线性表示; （D ）每一个向量都不能能由其余三个向量线性表示. 解答：因为4个3维向量线性相关，所以1234,,,αααα线性相关，而1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，所以每一个向量都能由其余三个向量线性表示.所以选（A ） 3. 设n 维向量组m ααα,,,21 线性无关，则(B ). （A ）向量组中增加一个向量后仍线性无关; （B ）向量组中去掉一个向量后仍线性无关; （C ）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关; （D ）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关. 解答：根据“全体无关则部分无关”知选项（B ）正确. 注意（D ），“向量组中每个向量任意增加一个分量后”不是原来的接长向量组，所以不能保证还线性无关.