线性代数期末考试试卷+答案合集
×××大学线性代数期末考试题
一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分)
1. 若02
2
1
50
1
31
=---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组???
??=++=++=++0
00321
321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。
3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。
4.矩阵???
?
?
??=32312221
1211
a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032
=--E A A ,则=-1A 。
二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分)
1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( )
2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( )
3. 向量组m a a a ,,
, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( )
4. ?
?
???
????
???=010*********
0010
A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1
-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分)
1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。
① n
2
② 1
2
-n
③ 1
2
+n ④ 4
2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。
① s ααα,,
, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,
, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,
, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
④ s ααα,,
, 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关
4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。
① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆
④ 若B A +可逆,则 A ,B 均可逆
5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( )
① 解向量
② 基础解系
③ 通解 ④ A 的行向量
四、计算题 ( 每小题9分,共63分)
1. 计算行列式
x a
b c d a x b c d a b x c d a
b
c
x d
++++。
解·
3)(0
000000
01)(1111
)
(x d c b a x x
x x d
c b
d c b a x d x c
b d
c x b
d c b x d
c b
d c b a x d x c
b
d c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x c
b
a
d c x b a
d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=
++++
2. 设B A AB 2+=,且A ,410011103???
?
?
??= 求B 。
解.A B E A =-)2( ??????????-----=--111122112)
2(1
E A ,????
?
?????-----=-=-322234225)2(1A E A B
3. 设,1000110001100011??????
??---=B ?????
? ?
?=20
001200312
043
12C 且矩阵X 满足关系式'(),X C B E -= 求X 。
4. 问a 取何值时,下列向量组线性相关?123112211
,,221122a a a ααα????-?? ? ?- ? ? ?
? ? ?=-==- ? ? ?
? ? ?- ? ? ?-?? ?
????
。
5. λ为何值时,线性方程组???
??-=++-=++-=++2
23
321
321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无穷多
解时求其通解。
① 当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解; ②当2-=λ时方程组无解
③当1=λ时,有无穷多组解,通解为????
?
?????-+??????????-+??????????-=X 10101100221c c
6. 设.77
103 ,1301 ,3192 ,01414321????
??
?
??--=??????? ??--=??????? ??--=??????? ??=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。
7. 设100010021A ?? ?
= ? ???
,求A 的特征值及对应的特征向量。
五、证明题 (7分)
若A 是n 阶方阵,且,I AA =T
,
1-=A 证明 0=+I A 。其中I 为单位矩阵。
×××大学线性代数期末考试题答案
一、填空题 1. 5 2. 1≠λ
3. n n s s ??,
4. 相关
5. E A 3- 二、判断正误 1. × 2. √
3. √
4. √
5. ×
三、单项选择题 1. ③ 2. ③
3. ③
4. ②
5. ①
四、计算题 1.
3)(0
000000
01)(1111
)
(x d c b a x x
x x d
c b
d c b a x d x c
b
d c x b d c b
x d
c b
d c b a x d x c
b
d c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x c
b
a
d c x b a d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=
++++ 2.
A B E A =-)2( ??????????-----=--111122112)2(1
E A ,????
?
?????-----=-=-322234225)2(1A E A B
3.
()[]
()
[]
?????
???????---=-=?????
????
???---=-?????
??
?????=-??
???????
???=---12
1
0121001200011210012100120001
12
3
4
012
300120001
)(1000
21003210
4321
1
'1
''B C E X B C B C B C ,,
4.
)22()12(81
2
12
121212
1212321-+=-
---
--
=a a a
a a
a a a ,,当21-=a 或1=a 时,向量组321a a a ,,线性相
关。 5.
① 当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解; ②当2-=λ时方程组无解
③当1=λ时,有无穷多组解,通解为????
?
?????-+??????????-+??????????-=X 10101100221c c 6.
????
?
????
???-=?
?
???
?
??????------→????????????--------→?????????
???------=0000110020102001131300
161600241031
21713010430241031217130731110094312
1)(4321a a a a ,,,
则 ()34321=a a a a r ,,,,其中321a a a ,,构成极大无关组,321422a a a a ++-= 7.
0)1(1
2
1
001
3=-=----=-λλλλλA E
特征值1321===λλλ,对于λ1=1,??????????-=-020*******A E λ,特征向量为????
??????+??????????100001l k 五、证明题
()()'
+-='+-='+='+=+A I A I A I A A A A I A
∴()02=+A I , ∵()0=+A I
一、选择题(本题共4小题,每小题4分,满分16分。每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1、设A ,B 为n 阶方阵,满足等式0=AB ,则必有( )
(A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ; (C )0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。 2、A 和B 均为n 阶矩阵,且222()2A B A AB B +=++,则必有( ) (A) A E =; (B)B E =; (C ) A B =. (D) AB BA =。 3、设A 为n m ?矩阵,齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是( ) (A) A 的列向量线性无关; (B) A 的列向量线性相关; (C ) A 的行向量线性无关; (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是( ) (A) A 的秩小于n ; (B) 0A ≠;
(C) A 的特征值都等于零; (D) A 的特征值都不等于零; 二、填空题(本题共4小题,每题4分,满分16分)
5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-,A *是A 的伴随矩阵,则*A = 。
6、A 为n n ?阶矩阵,且220A A E --=,则1(2)A E -+= 。
7、已知方程组???
?
? ??=????? ??????? ??-+4312123212
1321x x x a a 无解,则a = 。
8、二次型222
12312
31213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的,则t 的取值范围是 。
三、计算题(本题共2小题,每题8分,满分16分)
9、计算行列式1111111111111
1
1
1x
x D y y
+-=+-
10、计算n 阶行列式
12121
2
33
3
n
n n n x x x x x x D x x x ++=
+
四、证明题(本题共2小题,每小题8分,满分16分。写出证明过程) 11、若向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关。证明: (1) 1α能有23,αα线性表出; (2) 4α不能由123,,ααα线性表出。
12、设A 是n 阶矩方阵,E 是n 阶单位矩阵,E A +可逆,且1()()()f A E A E A -=-+。 证明
(1) (())()2E f A E A E ++=; (2) (())f f A A =。
五、解答题(本题共3小题,每小题12分,满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤)
13、设200032023A ??
?
= ? ???
,求一个正交矩阵P 使得1P AP -为对角矩阵。
14、已知方程组???
??=++=++=++0
4020
3221
3
213
21x
a x x ax x x x x x 与方程组12321-=++a x x x
有公共解。 求a 的值。
15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知1η,2η,3η是它的三个解向量,且
??????? ??=54321η,??????
? ??=+432132ηη
求该方程组的通解。
解答和评分标准
一、选择题
1、C ;
2、D ;
3、A ;
4、A 。
二、填空题
5、-125;
6、2π;
7、-1;
8、5
3>t 。 三、计算题
9、解:第一行减第二行,第三行减第四行得:
00111
1001
111x x x D y
y
y -=
-
第二列减第一列,第四列减第三列得:0
11
0001
1
x
x D y
y
-=
- (4分) 按第一行展开得
100
00
1x D x y
y
-=- 按第三列展开得
2201
x D xy x y y
-=-=。 (4分)
10、解:把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子???
??+∑=n i i x 13,再通过行列式的变换化
为上三角形行列式
2
212
113313
n n n n i i n x x x x D x x x =+??=+ ?
??
+∑ (4分)
2
1
103030
3
n n i i x x x =??=+ ???
∑
1
13
3n n i i x -=??
=+ ???
∑ (4分) 四、证明题 11、证明:
(1)、 因为332,ααα,线性无关,所以32αα,线性无关。,
又321ααα,,
线性相关,故1α能由32αα,线性表出。 (4分) 123()3r ααα=,,,
(2)、(反正法)若不,则4α能由321,ααα,线性表出, 不妨设3322114ααααk k k ++=。
由(1)知,1α能由32αα,线性表出, 不妨设32211αααt t +=。
所以3322322114)(αααααk k t t k +++=,
这表明432,ααα,线性相关,矛盾。 12、证明
(1)1(())()[()()]()E f A E A E E A E A E A -++=+-++
1()()()()()()2E A E A E A E A E A E A E -=++-++=++-= (4分)
(2)1(())[()][()]f f A E f A E f A -=-+
由(1)得:11
[()]()2
E f A E A -+=+,代入上式得
11111
(())[()()]()()()()()222f f A E E A E A E A E A E A E A E A --=--++=+--++
11
()()22
E A E A A =+--= (4分)
五、解答题 13、解:
(1)由0E A λ-=得A 的特征值为11λ=,22λ=,35λ=。 (4分)
(2)11λ=的特征向量为1011ξ?? ?
=- ? ???
,
22λ=的特征向量为2100ξ?? ?
= ? ???
,
35λ=的特征向量为3011ξ?? ?
= ? ???
。 (3分)
(3)因为特征值不相等,则123,,ξξξ正交。 (2分)
(4)将123,,ξξξ
单位化得1011p ???=-???,2100p ?? ?
= ? ???
,3011p ???=???
(2分) (5)取(
)123010,,00
P p p p ?
? ? ? == ? (6)1100020005P AP -?? ?
= ? ???
(1分)
14、解:该非齐次线性方程组b Ax =对应的齐次方程组为
0=Ax
因3)(=A R ,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成,即任何一个非零解都是它的基础解系。 (5分)
另一方面,记向量)(2321ηηηξ+-=,则
022)2(321321=--=--=--=b b b A A A A A ηηηηηηξ
直接计算得0)6,5,4,3(≠=T ξ,ξ就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知,原方程组的通解为
????
??
? ??+??????? ??=+=543265431k k x ηξ,R k ∈。 (7分)
15、解:将①与②联立得非齐次线性方程组:
???????-=++=++=++=++.12,04,02,032132
213
213
21a x x x x a x x ax x x x x x
若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解.
对③的增广矩阵A 作初等行变换得:
→???????
?
?-=11
21041021
0111
2a a a A ??
??
?
?
?
??-----1100
0)1)(2(000110
0111a a a a a . (4分) 1°当1a =时,有()()23r A r A ==<,方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解,此时
??????
?
?
?→0000000000100101
A , 则方程组③为齐次线性方程组,其基础解系为: ???
?
? ??-101,
所以①与②的全部公共解为???
?
? ??-101k ,k 为任意常数. (4分)
2° 当2a =时,有()()3r A r A ==,方程组③有唯一解, 此时
???
?
??
?
?
?-→000
0110010100001A ,
故方程组③的解为:011?? ? ? ?-??, 即①与②有唯一公共解011x ??
?
= ? ?-??
. (4分)
线性代数习题和答案
第一部分选择题(共28分)
一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符
合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
1.设行列式a a
a a
1112
2122
=m,
a a
a a
1311
2321
=n,则行列式
a a a
a a a
111213
212223
+
+
等于()
A. m+n
B. -(m+n)
C. n-m
D. m-n
2.设矩阵A=
100
020
003
?
?
?
?
?
?
?
,则A-1等于()
A.
1
3
00
1
2
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B.
100
1
2
00
1
3
?
?
?
?
?
?
?
?
??
C.
1
3
00
010
00
1
2
?
?
?
?
?
?
?
??
D.
1
2
00
1
3
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3.设矩阵A=
312
101
214
-
-
-
?
?
?
?
?
?
?
,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是()
A. –6
B. 6
C. 2
D. –2
4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有()
A. A =0
B. B≠C时A=0
C. A≠0时B=C
D. |A|≠0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则()
A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0
C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0
D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0
和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
7.设矩阵A的秩为r,则A中()
A.所有r-1阶子式都不为0
B.所有r-1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0
D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是()
A.η1+η2是Ax=0的一个解
B.1
2
η1+
1
2
η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解
D.2η1-η2是Ax=b的一个解
9.设n阶方阵A不可逆,则必有()
A.秩(A) B.秩(A)=n-1 C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10.设A是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是() A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特 征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关 11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有() A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是() A.|A|2必为1 B.|A|必为1 C.A-1=A T D.A的行(列)向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则() A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为() A. 23 34 ? ? ? ? ? B. 34 26 ? ? ? ? ? C. 100 023 035 - - ? ? ? ? ? ? ? D. 111 120 102 ? ? ? ? ? ? ? 第二部分非选择题(共72分) 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空 格内。错填或不填均无分。 15.111 356 92536 =. 16.设A= 1 1 1 1 1 1 - - ? ? ? ? ?,B= 1 1 2 2 3 4 -- ? ? ? ? ?.则A+2B= . 17.设A=(a ij)3×3,|A|=2,A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式(i,j=1,2,3),则 (a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= . 18.设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a)线性相关,则a= . 19.设A是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解 为. 20.设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r( 21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积(α+β,α-β)= . 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,已知A 有2个特征值-1和4,则另一特征值为 . 23.设矩阵A =010********---?? ?????,已知α=212-?? ?? ? ??是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 . 24.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 . 三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分) 25.设A =120340121-?? ? ? ??? ,B =223410--?? ???.求(1)AB T ; (2)|4A |. 26.试计算行列式 3112513420111 5 3 3 ------. 27.设矩阵A =423110123-?? ?? ? ??,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B . 28.给定向量组α1=-?? ?? ? ?? ? 2103,α2=1324-?? ??????,α3=3021-?? ??????,α4 =0149-?? ? ?????. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合;若是,则求出组合系数。 29.设矩阵A =121 2242 6621023333 34-----?? ???? ? ?. 求:(1)秩(A ); (2)A 的列向量组的一个最大线性无关组。 30.设矩阵A=022234243----?? ? ? ? ??的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D . 31.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x 1,x 2,x 3)=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--, 并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分) 32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且(E -A )-1=E +A +A 2. 33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组 Ax=0的一个基础解系.试证明 (1)η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ 2均是 Ax=b 的解; (2)η0,η1,η2线性无关。 答案: 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分) 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C 二、填空题(本大题共10空,每空2分,共20分) 15. 6 16. 337137--?? ? ? ? 17. 4 18. –10 19. η1+c(η2-η1)(或η2+c(η2-η1)) ,c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 1 24. z z z z 12223242++- 三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分) 25.解(1)AB T =120340*********-?? ?????--?? ?????=861810310?? ? ? ? ??. (2)|4A |=43|A |=64|A |,而 |A |=1 20 340121 2-=-. 所以|4A |=64·(-2)=-128 26.解 3 1125 1342 0111 5 3 3 5111 1113100105 5 3 ------=-----=5111111550----=511 62055062 55 301040---= ---=+=. 27.解 AB =A +2B 即(A -2E )B =A ,而 (A -2E )-1=2231101211431531641 --?? ?? ? ? ?=-----?? ?? ???-. 所以 B =(A -2E )-1A =143153164423110123-----?? ?????-?? ?????=3862962129-----?? ?? ? ??. 28.解一 ----?? ???????→?-----?? ??????2130130102243419053213010112013112?→?--?? ????? ??→??? ? ? ? ? ? ? 10 3 5011200880 0141410350 11200110 000 ?→??? ? ? ? ? ? ? 1 002010100110 000, 所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为(2,1,1). 解二 考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3, 即 -++=-=-+=+-=???????230312243491231223123x x x x x x x x x x . 方程组有唯一解(2,1,1)T,组合系数为(2,1,1). 29.解对矩阵A施行初等行变换 A?→ ? -- - - - ? ? ? ? ? ? ? ? 12102 00062 03282 09632 ?→ ? -- - - - ? ? ? ? ? ? ? ? ?→ ? -- - - ? ? ? ? ? ? ? ? 12102 03283 00062 000217 12102 03283 00031 00000 =B. (1)秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3. (2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关 组。 (A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是) 30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为 ξ1=(2,-1,0)T,ξ2=(2,0,1)T. 经正交标准化,得η1= 255 55 / / - ? ? ? ? ? ? ? ,η2= 2515 4515 53 / / / ? ? ? ? ? ? ? . λ=-8的一个特征向量为ξ3= 1 2 2- ? ? ? ? ? ? ? ,经单位化得η3= 13 23 23 / / / . - ? ? ? ? ? ? ? 所求正交矩阵为T= 2552151513 55451523 05323 /// /// // - - ? ? ? ? ? ? ? . 对角矩阵D= 100 010 008- ? ? ? ? ? ? ? . (也可取T= 2552151513 05323 55451523 /// // /// - -- ? ? ? ? ? ? ? .) 31.解f(x1,x2,x3)=(x1+2x2-2x3)2-2x22+4x2x3-7x32=(x1+2x2-2x3)2-2(x2-x3)2-5x32. 设 y x x x y x x y x 1123 223 33 22 =+- =- = ? ? ? ? ? ? ? ,即 x y y x y y x y 112 223 33 2 =- =+ = ? ? ? ? ? ,因其系数矩阵C= 120 011 001 - ? ? ? ? ? ? ? 可逆,故此线性变 换满秩。 经此变换即得f(x1,x2,x3)的标准形y12-2y22-5y32 . 四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分) 32.证由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E, 所以E-A可逆,且(E-A)-1= E+A+A2 . 33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0. (1)Aη1=A(η0+ξ1)=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b,所以η1,η2是Ax=b的2个解。 (2)考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,即(l0+l1+l2)η0+l1ξ1+l2ξ2=0. 则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 . 所以η0,η1,η2线性无关。 《线性代数》重点题 一. 单项选择题 1.设A 为3阶方阵,数 = 3,|A | =2,则 | A | =( ). A .54; B .-54; C .6; D .-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵,λ为实数,则|λA |=( ) A 、λ|A |; B 、|λ||A |; C 、λn |A |; D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =( ). 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0; B. ()2,2-; C. 22?? ?-??; D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量,矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4,则|-2A |=( ). A 、-32; B 、-4; C 、4; D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是( ). A .一个零向量一定线性无关; B .一个非零向量一定线性相关; C .含有零向量的向量组一定线性相关; D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关;不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关;不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关;对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα 线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分,共 25 分) 1 3 1 1.若0 5 x 0 ,则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2.若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解,则应满足。 x1x2x30 3.已知矩阵 A,B,C (c ij )s n,满足 AC CB ,则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4.已知矩阵A 为 3 3的矩阵,且| A| 3,则| 2A|。 5.n阶方阵A满足A23A E 0 ,则A1。 二、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 6.已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时,该二次型为正定?() A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7.已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ,求x的值() 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 .设 A 为 n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是() A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 .过点( 0, 2, 4)且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为() 1 x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 .已知矩阵 A , 其特征值为( ) 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 (每小题 10 分,共 50 分) 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ,求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时,下列向量组线性相关? 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时,线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解,无解和有无穷多解?当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明:若 A 是 n 阶方阵,且 AA A1, 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I , 2 微 信 公 众 号 : 学 习 资 料 杂 货 铺 同济大学课程考核试卷(A 卷) 2009—2010学年第一学期 一、填空题(每空3分,共24分) 1、 设1α、2α、3α均为3维列向量,已知矩阵 123(,,)A ααα=, ()123123123927,248B ααααααααα=++++++,3,且1A =,那么B = -12 . 2、 设分块矩阵A O C O B ?? =? ??? , ,A B 均为方阵,则下列命题中正确的个数为4 . (A).若,A B 均可逆, 则C 也可逆. (B).若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵. (C).若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D).若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化. 3、 设23413 451 45617891 D = ,则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0. 4、 设向量组(I):12,,,r αααL 可由向量组(II):12,,,s βββL 线性表示,则 D 成立.(注:此题单选) (A).当r s <时,向量组(II)必线性相关 (B).当r s >时,向量组(II)必线性相关 (C).当r s <时,向量组(I)必线性相关 (D).当r s >时,向量组(I)必线性相 关 5、 已知方阵A 满足2 23A A O +=, 则() 1 A E ?+= E+2A . 6、 当矩阵A 满足下面条件中的 ABC 时,推理“若AB O =, 则B O =”可成立. (注:此题可多选) (A).A 可逆(B).A 为列满秩(即A 的秩等于A 的列数) (C).A 的列向量组线性无关 (D).A O ≠7、 设矩阵,A B 分别为3维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵,已知1,2?为 A 的特征值, B 的所有对角元的和为5, 则矩阵B 的全部特征值为 1,-2,6 . 8、 设n J 是所有元素均为1的n 阶方阵(2n ≥),则n J 的互不相同的特征值的个数为2 . 二、(10分)已知矩阵200011031A ????=??????,100052021B ????=??????, 112101030C ???? =??????? . 线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2 分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,, , 21(3 s n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,, , 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。 ① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆, 则 A ,B 均可逆 5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( ) ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分,共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。 ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号填“√”,错误的在括号填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 £ s £ n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 渤海大学20 级 专科 (机电一体化技术专业) 第二学期《线性代数》试卷 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一、 填空:(每空2分,共20分) (1) _________3 412=。 (2)_________40 00 03000020 00011 =????? ???? ???- (3) _________4 00 083005 720604 1= (4)_________11211120122431210133=???? ??????-+??????????- (5)若__________ 5032==??? ? ??=A A A T 则 (6)=+-==-=32132127) ,5, 2( ,)1 ,2 ,4( , )2 ,1 ,1(αααααα则有=_______ (7)1 2111-??? ? ??=____________。 (8)若A=???? ??????333222321则A 的列向量组为____________若r(A)=2,则列 向量组的秩为________。 二、选择题: (每题2分,共10分) (1) 设==≠==2 2 2 333 1 1113 3 3 222 111 222222222D ,0c b a c b a c b a k c b a c b a c b a D 则( ) (a)-2k (b)2k (c)-8k (d)8k (2)n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 和代数余子式ij A 的关系为( ) ij ij A M a -=)( ij n ij A M b )1()(-= ij ij A M c =)( ij j i ij A M d +-=)1()( (3)E C B A 、、、为同阶矩阵,且E 为单位阵,若E ABC =,下式( )总是成立的。 E BCA a =)( E ACB b =)( E CBA c =)( E CAB d =)( (4)), (=κ下列方程组有唯一解。 ?? ?? ?? ?---=--=-=--=++)1)(3()1(32213332321k k x k k x k x x k x x x 2)(a 1)( 4)( 3)( -d c b (5)设A 是n m ?矩阵,0=AX 是非齐次线性方程组B AX =所对应的齐次线性方程组,则下列 结论正确的是( ) 有唯一解。仅有零解,则若B AX AX a ==0)( 有无穷多解。非零解,则若B AX AX b ==0)( 仅有零解。有无穷多解,则若0)(==AX B AX c 有非零解。有无穷多解,则若0)(==AX B AX d 三、 简单计算(每题8分,共24分) (1)1 3 042 241 -- (2) ???? ? ??? ????????-021012 7011011 得分 阅卷人 得分 阅卷人 得分 阅卷人 线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020. 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( ) 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( ) (A )任意r 个列向量线性无关 线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1 A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( ) 。 ① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a - 6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使 7.设a 为n m ?矩阵,则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是 【 】 A .A 的行向量组线性相关 B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数(i =1,2,3),且齐次线性方程组?? ?=++=++00 332 211332211x b x b x b x a x a x a 的基础解系含2个解向量,则必有 【 】 A. 03221= b b a a B.02121≠ b b a a C. 332211b a b a b a == D. 02 131= b b a a 9.方程组123123 12321 21 3 321 x x x x x x x x x a ++=? ?++=??++=+? 有解的充分必要的条件是 【 】 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η1,η2,η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系,则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】 A. 可由η1,η2,η3线性表示的向量组 B. 与η1,η2,η3等秩的向量组 C.η1-η2,η2-η3,η3-η1 D. η1,η1-η3,η1-η2-η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0,则 【 】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解,也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】 A. }0|),,,{(2121=a a a a a n B. }0|),,,{(121∑= =n i i n a a a a C. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈ D. }1|),,,{(121∑==n i i n a a a a 14.若2阶方阵A 相似于矩阵? ? ?? ??=3- 20 1B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵 枣庄学院线性代数期末考试题样卷 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1 A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ????? ???? ???=01 00 10000001 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( ) 。 ① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 本科生2010——2011学年第 一 学期《线性代数》课程期末考试试卷(B 卷) 草 稿 区 专业: 年级: 学号: 姓名: 成绩: 一 、选择题(本题共 28 分,每小题 4 分) 1.设n 阶方阵A 为实对称矩阵,则下列哪种说法是错误的 ( B ) (A) A 的特征值为实数; (B) A 相似于一个对角阵; (C) A 合同于一个对角阵; (D) A 的所有特征向量两两正交。 2.设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关,则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充要条件是 ( D ) (A)向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示; (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示; (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价; (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价。 3.设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ,则 ( C ) (A) *A 为可逆矩阵; (B) 若0||=A ,则0||*=A ; (C) 若2)(*-=n A r ,则2)(=A r ; (D) 若0||≠=d A ,则d A 1||*= 。 4.设A 为n 阶非零方阵,E 为n 阶单位矩阵,30A =则 ( ) (A)()E A -不可逆,()E A +不可逆; (B) ()E A -不可逆,()E A +可逆; (C) ()E A -可逆,()E A +可逆; (D) ()E A -可逆,()E A +不可逆. 第 1页,共 6 页 5.实数二次型T f X AX =为正定二次型的充分必要条件是 ( ) (A) 负惯性指数全为零; (B) ||0A >; (C) 对于任意的0X ≠,都有0f >; (D) 存在n 阶矩阵U ,使得T A U U =. 6.设12,λλ为A 的不同特征值,对应特征向量为12,αα,则112,()A ααα+线性无关的充要条件为 ( ) (A)10λ≠; (B) 20λ≠; (C) 10λ=; (D) 20λ=. 7.设211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ,则 ( ) (A) A 与B 合同,但不相似;(B) A 与B 相似,但不合同; (C) A 与B 既合同又相似; (D) A 与B 既不合同也不相似. 二 、填空题(本题共 24分,每小题 4 分) 1.二次型2221231231213(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的,则t 的取值范围是 . 2.设01000 01000010 000A ?? ? ? = ? ? ?? ,则3A 的秩3()r A 为 . 3.设三阶矩阵A 的特征值为,2,3λ,若|2|48A =-,则λ= . 4.设向量123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)T T T a ααα=-==,若123,,ααα构成的向量组的秩为2, 则a = . 5.设3阶矩阵123(,,)A ααα=,123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++,且已知||1A =,则||B = . 第 2页,共 6 页 大学生校园网—https://www.360docs.net/doc/245326334.html,线性代数综合测试题 ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 131 1.若0 05x,则__________。 122 x 1 x 2 x 3 2.若齐次线性方程组x 1 x 2 x 3 0只有零解,则应满足。 x 1 x 2 x 3 3.已知矩阵A,B,C(c ij)sn,满足ACCB,则A与B分别是阶矩阵。 a 11 a 1 2 4.矩阵A aa的行向量组线性。 2122 a 31 a 3 2 2AE 5.n阶方阵A满足30 A,则 1 A。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1.若行列式D中每个元素都大于零,则D0。() 2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。() 3.向量组a1,a2,,a中,如果a1与a m对应的分量成比例,则向量组a1,a2,,a s线性相关。 m () 0100 4. 1000 1。()A,则AA 0001 0010 5.若为可逆矩阵A的特征值,则 1 A的特征值为。() 三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1.设A为n阶矩阵,且A2,则 T AA()。 ① n 2② 2n③2n1④4 1 2.n维向量组1(3sn)线性无关的充要条件是()。 s ,2,, ① 1,2,中任意两个向量都线性无关 , ②1,2,,s中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③1,2,,s中任一个向量都不能用其余向量线性表示 共3页第1页 大学生校园网—https://www.360docs.net/doc/245326334.html,线性代数综合测试题 ④1,2,,s中不含零向量 2.下列命题中正确的是()。 ①任意n个n1维向量线性相关 ②任意n个n1维向量线性无关 ③任意n1个n维向量线性相关 ④任意n1个n维向量线性无关 3.设A,B均为n阶方阵,下面结论正确的是()。 ①若A,B均可逆,则AB可逆②若A,B均可逆,则AB可逆 ③若AB可逆,则AB可逆④若AB可逆,则A,B均可逆 4.若1,,,是线性方程组A0的基础解系,则1234是A0的() 234 ①解向量②基础解系③通解④A的行向量 四、计算题(每小题9分,共63分) xabcd 6.计算行列式a xbcd abxcd 。abcxd 解· xabcdxabcdbcd axbcdxabcdxbcd abxcdxabcdbxcd abcxdxabcdbcxd 1bcd1bcd 1xbcd0x00 3 (x abcd)(x abcd)(xabcd)x 1bxcd00x0 1bcxd000x 301 7.设ABA2B,且A,求B。 110 014 211522 解.(A2E)BA ( 1 A2E)221,B(A2E) 1A 432 111223 大学线性代数期末考试试 题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 a 0 0 一、选择题 线性代数测试 a 1 b 1 c 1 c 1 b 1 + 2c 1 a 1 + 2b 1 + 3c 1 1. 设行列式 D = a 2 b 2 c 2 ,则 D 1 = c 2 b 2 + 2c 2 a 2 + 2b 2 + 3c 2 = ( ) A. - D a 3 b 3 c 3 B. D c 3 C. 2D b 3 + 2c 3 a 3 + 2b 3 + 3c 3 D. - 2D 2. 下列排列是偶排列的是 . (A )13524876; (B )51324867; (C )38124657; (D )76154283. 3. 设 A m ?s , B t ?n , C s ?t ,则下列矩阵运算有意义的是( ) A. ACB ; B. ABC ; C. BAC ; D. CBA . 4. 设 A 是n 阶方阵, A 经过有限次矩阵的初等变换后得到矩阵 B ,则有() A. A = B ; B. A ≠ B ; C. R ( A ) = R (B ) ; D. R ( A ) ≠ R (B ) . 5. 设 A 是 4×5 矩阵, A 的秩等于 3,则齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中所含解向量的个数为( ) A. 4 B.5 C.2 D.3 6. 向量组a 1 , a 2 , , a m ( m ≥ 2 )线性相关,则( ). A. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均可由其余向量线性表示; B. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均不可由其余向量线性表示; C. a 1 , a 2 , , a m 中至少有一个向量可由其余向量线性表示; D. a 1 , a 2 , , a m 中仅有一个向量可由其余向量线性表示. ? a b + 3 0 ? ? 7. 矩阵 A = a - 1 a 0 ? 为正定矩阵,则 a 满足 . ? ? ? 1 1 (1) a > 2 ; (B ) a > ; (C ) 2 a < ; (D )与b 有关不能确定. 2 8. 设 A , B 均为 n 阶方阵,并且 A 与 B 相似,下述说法正确的是 . (A ) A T 与 B T 相似; (B ) A 与 B 有相同的特征值和相同的特征向量; (C ) A -1 = B -1 ; (D )存在对角矩阵 D ,使 A 、 B 都与 D 相似. 二、判断题 1、如果n (n > 1) 阶行列式的值等于零,则行列式中必有两行元素对应成比例。 2、设向量组的秩为 r ,则向量组中任意 r 个线性无关的向量都是其极大无关组。 3、对 A 作一次初等行变换相当于在 A 的右边乘以相应的初等矩阵。 4、两个向量α1 ,α2 线性无关的充要条件是α1 ,α2 对应成比例. 5、若 A 是实对称矩阵,则 A 一定可以相似对角化. 三、填空题 一 单项选择题(每题3分,共18分) 1. 设33)(?=j i a A 的特征值为1,2,3,j i A 是行列式 ||A 中元素j i a 的代数余子式, 则 1112233||()A A A A ++-= ( ) a. 6 21; b. 611; c. 311 ; d. 6。 2.已知A AP P a a a a a a a a a A P n m =???? ? ??=????? ??=若,, 3332 31 2322 21131211 001010100,则以下选项中正确的是 ( ) a. 45==n m ,; b. 55==n m ,; c. 54==n m ,; d. 44==n m ,。 3.n 维向量)3(,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 ( ) a .存在不全为零的数s k k k ,,21,使02211≠+++s s k k k ααα ; b .s ααα ,,21中任意两个向量都线性无关; c .s ααα ,,21中任意一个向量都不能用其余向量线性表示; d .s ααα ,,21中存在一个向量,它不能用其余向量线性表示。 4.设B A ,是正定矩阵,则以下矩阵中,一定是正定矩阵为(其中21k k ,为任意常数) ( ) a. **B A +; b. **-B A ; c. * *B A ; d. **B k A k 21+。 5.已知矩阵???? ? ??=222222a a a A ,伴随矩阵0≠* A ,且0=*x A 有非零解,则 ( ) a. 2=a ; b. 2=a 或4=a ; c. 4=a ; d. 2≠a 且4≠a 。 6.设βα, 是非齐次线性方程组b x A E =-)(λ的两个不同的解,则以下选项中一定是A 对应 特征值λ的特征向量为 ( ) 线性代数考试题及答案 线性代数 一. 单项选择题 1.设A 、B 均为n 阶方阵,则下列结论正确的是 。 (a)若A 和B 都是对称矩阵,则AB 也是对称矩阵 (b)若A ≠0且B ≠0,则AB ≠0 (c)若AB 是奇异矩阵,则A 和B 都是奇异矩阵 (d)若AB 是可逆矩阵,则A 和B 都是可逆矩阵 2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵,则()1-?? ????'AB 等于( ) (a )()1-'A ()1-'B (b) ()1-'B ()1-'A (c )() '-1B )(1'-A (d )() ' -1B ()1-'A 3.n m ?型线性方程组AX=b,当r(A)=m 时,则方程组 . (a) 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 (d)有解 4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 . (a)A 可逆 (b)A 有n 个特征值 (c) A 的特征多项式无重根 (d) A 有n 个线性无关特征向量 5.A 为n 阶方阵,若02 =A ,则以下说法正确的是 . (a) A 可逆 (b) A 合同于单位矩阵 (c) A =0 (d) 0=AX 有无穷多解 6.设A ,B ,C 都是n 阶矩阵,且满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位矩阵, 则必有( ) (A )ACB E = (B )CBA E = (C )BAC E = (D ) BCA E = 7.若233 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ,则=------=33 32 3131 2322 212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D ( ) (A )6- (B )6 (C )24 (D )24- 二、填空题 1.A 为n 阶矩阵,|A|=3,则|AA '|= ,| 1 2A A -* -|= . 2.设???? ??????=300120211A ,则A 的伴随矩阵=*A ; 3.设A =? ? ?? ??--1112,则1 -A = 。 线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足。 4.矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1 A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ①n 2②1 2 -n ③1 2 +n ④4 2. n 维向量组s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。 ①s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ②s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④s ααα,, , 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 2008年线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1 A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2?② 1 2 -n ?③ 1 2 +n ?④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n)线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示线性代数期末考试试题
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