四年级计算幻方与数表教师版
知识要点
幻方与数表
一、 如果一个n n ?的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方
阵称为n 阶幻方。
二、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。
对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2n 个数的和；所以，幻和2
n S n
=个数。
用1、2、……、2n 这2
n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2
n n n n ++++=
……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方， 其幻和为21234567893(13)
1532
++++++++?+==。
三、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中
心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。
中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平
均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数2
2n S n =个数n
=
幻和
。 用1、2、……、2n 这2
n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212
n +。
用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为2
1352
+=。
四、
在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++====
，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2
b d
i +=。 i
h
g
f e d c b a
幻方
【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的
空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。（只要构造出一种）
200920102011201220132014201520162017201620092014201520132011201220172010201420152010201720132009201620112012201020172012201120132015201420092016201620112012201720132009201420152010201020152014200920132017201220112016201420092016201120132015201020172012201220172010201520132011201620092014
【分析】 （方法一）第一步——求幻和：
幻和为(200920102011201220132014201520162017)36039++++++++÷=；
第二步——求中心数：中心数为603932013÷=；
第三步——确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数； 第四步——求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解； 以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。 答案如图所示。
（方法二）与1~9的3阶幻方相比，每个空格上的数都增加2008； 根据1~9的3阶幻方的8个图可以求出原题的答案。答案如图所示。
五、 若一个n n ?的方阵1111n n nn a a a a K
M O
M K 是n 阶幻方，则方阵
1111n n nn a b c a b c
a b c a b c
?+?+?+?+K
M O M K 也是n 阶幻方。 数表
中心数
幻和
三阶幻方的性质
幻方的构造
幻方
幻方与数表 （本讲）
【例2】 请构造出一个3阶幻方，使其幻和为2010。（只要构造出一种）
【分析】 因为3阶幻方的幻和为2010；
所以，中心数为20103670÷=。 与1~9的3阶幻方的中心数5相比，
中心数增加了6705665-=或者放大了6705134÷= 或者先增加62再放大10或者先放大150再减小80。 根据1~9的3阶幻方的图，
将每个方格上的数“665+”或者“134?”或者“先62+再10?”或者“先150?再80-” 可以求出原题的答案。
答案如图所示，答案不惟一。
可以通过其它线性变换构造成幻方，也可以通过旋转或者镜像变换得到其它的幻方。
_
64071066070063068069067065083516729449276
1
538
5201270220970820
70
6703701120673668670666671672667674669835167294每个方格上的数x 134每个方格上的数+665
49276153840267093880413410725361206268
【例3】 一个3阶幻方，每个方格里的数均为自然数，且其中最大的数为2009，最小的数不小于1970，
请试说明，这样的幻方中9个方格中的数全都不相同的有4种，并构造出这4种幻方。
【分析】 因为每个方格里的数均为自然数；
所以，这9个数组成从小到大排列的等差数列的公差为自然数。 所以，最大的数2009减去最小的数的差为8的倍数。
因为2009197039-=；所以，最大的数减去最小的数的差为8或16或24或32； 所以，符合题意的幻方共有4种。
公差为1的9个数：2001、2002、2003、2004、2005、2006、2007、2008、2009； 公差为2的9个数：1993、1995、1997、1999、2001、2003、2005、2007、2009； 公差为3的9个数：1985、1988、1991、1994、1997、2000、2003、2006、2009； 公差为4的9个数：1977、1981、1985、1989、1993、1997、2001、2005、2009。 构造成符合题意的3阶幻方如图所示。
1997
200119812009199319772005198519892000
200319882009199719852006199119942003
200519952009200119932007199719992009200820072006
20052004200320022001
【例4】 （1997年第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛团体决赛口试试题）你能在33?的方格表中每
个格子里填一个自然数，使得每行、每列及两条对角线上的三数之和都等于1997吗？若能，请填出一例；若不能，请说明理由。
I
H
G F E D C B A
【分析】 如图所示，假设9个空格里能分别填上自然数A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 。
1997D E F ++=∵、1997B E H ++=、1997A E I ++=、1997C E G ++=
()()()()()3D E F B E H A E I C E G A B C D E F G H I E +++++++++++=+++++++++∴
199747988=?=
199735991A B C D E F G H I ++++++++=?=∵
3798859911997E =-=∴；1997
3
E =
与E 是自然数相矛盾。 ∴原假设不成立，不能填入满足题意的9个自然数在方格表中。
内各填入一个有理数，使每行每列以及两条对角线上的三个有理数的和相等。现在29和76两个数已给出，那么x =（ ）。
29
76
x
52.5
29
76
【分析】 中心数2976105
52.522
x +=
==
【例6】 （第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛）图中有9个方格，要求每个方格中填入不相同的
数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。问图中左上角的数是多少？
13
19
?
【分析】 设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）
设中心数22R C x =，则幻和3x =，
所以，33R C =幻和11223?2?R C R C x x x --=--=- 31R C =幻和3233313(2?)?13R C R C x x x --=---=+- 13R C =幻和2333319(2?)?19R C R C x x x --=---=+-
幻和132231(?13)(?19)32?323R C R C R C x x x x x =++=+-+++-=+-= 所以，?32216=÷=
16
19
13
x +?-1913
2x -?
19x ?
2x -?
?
13
19x x 19
?
13
x +?-13
填入适当的数，使每行、每列及对角线的3个数之和都相等，问号处应填入的数。要求写出关键的解题推理过程。
？
8
65
47
7
1110
9
4
37
6586
58
？
8
65
【分析】 设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）。
中心数11332268
722
R C R C R C ++=
==， 111213132231R C R C R C R C R C R C ++=++∵；31111222?6574R C R C R C R C ==+-=+-=∴
【例8】 （2008年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛三年级）在下面的方格中填上合适的数，使
得每一横行、竖行、斜行的三个数之和相等，则图中涂上阴影的方格中所填的数是________。
【分析】 设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）
111213132333R C R C R C R C R C R C ++=++∵ 331112232081810R C R C R C R C =+-=+-=∴ ∴中心数1133222010
1522
R C R C R C ++=
== 即图中涂上阴影的方格所填的数为15
【例9】 （2008年4月第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试）在图中的九个方格
里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等，则______N =。
N 12
16
6814818410616212
188410616212
24
8N 1061612
10N 12
16
68
【分析】 设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）
幻和112131861630R C R C R C =++=++=；所以22R C =幻和11333081210R C R C --=--= 或中心数2230
103R C ==
=或中心数1133228121022
R C R C R C ++====； 13R C =幻和22313010164R C R C --=--=，32R C =幻和31333016122R C R C --=--=； 12R C N ==幻和1113308418R C R C --=--=或12R C N ==幻和22323010218R C R C --=--=。
【例10】 在下面33?的表格中，填入7个不同自然数，使得对于表格中每行、每列、两条对角线上的3个
数之和等于21。
4
8
12211
4
6
3108
7
3
1146
78108
4
6
87
4107
【分析】 设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）
∵幻和为21；∴中间数2221
73
R C =
=； 21R C =∴幻和2223217410R C R C --=--=， 33R C =幻和112221876R C R C --=--=； 31R C =∴幻和1121218103R C R C --=--=， 13R C =幻和2333214611R C R C --=--=； 12R C =∴幻和1113218112R C R C --=--=， 32R C =幻和3133213612R C R C --=--=。
【例11】 （2008年4月第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试）在如图所示的九宫格中，不
同的汉字代表不同的数，每行、每列和两条对角线上各数的和相等。已知中21=，学9=，欢12=，则希、望、杯的和是_________。
迎
欢受杯望希学小中
【分析】 ∵“中”+“小”+“学”=“小”+“望”+“欢”
∴“中”+“学”=“望”+“欢”
∴中心数“望”=“中”+“学”-“欢”=2191218+-=
∴幻和=“望”3?18354=?=
∴“希”+“望”+“杯”=幻和54=
15
2730
62421918121821小9杯
希受12迎12小杯望希受迎
921
【例12】 如图，用19-这九个数字补全三阶幻方，并求出幻和是多少？
2
56
【分析】 中心数为5，那么幻和为5315?=。
设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）
1115654R C =--=，2115429R C =--=，2315951R C =--=，3215267R C =--=
1215753R C =--=，1315618R C =--=
1347
892
56
【例13】 （2006年第十五届日本小学算术奥林匹克大赛预赛）如图1和图2所示，当在空白的□中填入适
当的数后，使得横向、竖向、斜向的3个数之和都相等，求?中应填入的数。
图2
图1
?
39
12?
11
8
【分析】 设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）
图1：中心数113322812
1022
R C R C R C ++=
== 因为112131132231R C R C R C R C R C R C ++=++； 所以13112122?811109R C R C R C R C ==+-=+-=。
图2：设中心数22R C x =，则幻和3x =； 所以，31R C =幻和13223?2?R C R C x x x --=--=- 11R C =幻和213139(2?)?9R C R C x x x --=---=+- 33R C =幻和323133(2?)?3R C R C x x x --=---=+-
幻和112233(?9)(?3)32?123R C R C R C x x x x x =++=+-+++-=+-=； 所以，?1226=÷=
6
?
9
3
x +?-3?
x 3
2x -?
9x +?-92x -?
?x 93
x 9
3
?
9137
11981110129
811
10
1210
811
12
【例14】 如图所示，要在下面的空格中填入适当的数，使每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相
等，则________C A D F B E ÷+?-?=。
14
F
9
E D C B 12A
【分析】幻方。
因为12914D F F ++=++，所以9141211D =+-=；
所以依次可以填出8A =、13B =、10F =、16C =、6E =（如图所示）。 所以168111013634C A D F B E ÷+?-?=÷+?-?=。
14
109
6
111613
128
【例15】 （2006年3月第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级初赛第二（3）题）在图的空格
中填上不同的自然数，使每行、每列和两条对角线的四个数之和等于264，求A B C D E F G H +-++-+-的和是多少？
H G F E D C B A 19
9899889196896868891196886991169918866119
986681
【分析】填数，四阶幻方。
26468899611A =---=；26468911986E =---=；26411869869C =---=； 26491698816B =---=；26468169981G =---=；26481981966H =---=； 26489916618D =---=；26499188661F =---=；
所以111669188661816616A B C D E F G H +-++-+-=+-++-+-=。
【例16】 （2005年3月第五届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级决赛第一（5）题）把1~9九个
数分别填入如图所示的九个小圆圈内，使图中的大小六个圆，每个圆上的数字和相等。
【分析】填数，数阵图。
因为4小圆上的数字和相等；
所以4小圆上除去中间的小圆圈内的数字其它3个小圆圈内的数字和相等； （相等于三阶幻方中有2行、2列上的数相等）
所以本题的解题思路实际上是三阶幻方（九宫格）的变形，
如图一所示为一个三阶幻方；如图二所示是将这个三阶幻方变形的数阵图。
图二图一
1
8
3
4
56
2
7998
7
65
43
2
1
【例17】在立方体上分布18
-，使每面4数之和均相等，如图所示。
【分析】最简单的幻立方体，每面4顶角上数字之和均为18。7，8不能在一条直线上，只能在面对角线或者体对角线。答案如图所示。
36
4
5
1
27
8
数表
【例18】（2008年3月第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试）把1991、1992、1993、1994、1995分别填入图中的五个方格中，使得横排的三个方格中的数的和等于竖列的三个方格中的数的和。则中间方格中能填的数是_________。
E D
C
B
A
【分析】如图所示，标上字母A、B、C、D、E
A C E
B
C D
++=++
∵
A E
B D
+=+
∴
A B D E
+++
∴的和为偶数
199119921993199419959965
A B C D E
++++=++++=
∵为奇数，奇数-偶数=奇数
C
∴为奇数，中间方格中填的数1991
C=或1993或1995
【例19】 把1、2、3、4、5、6分别填入图中的各方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等。
【分析】 如图所示，给6个空格分别标上A 、B 、C 、D 、E 、F 。
∵数阵中横行3个数的和与竖列4个数的和相等，即A B C B D E F ++=+++； ∴数阵中左右2个数的和与下面3个数的和相等，即A C D E F +=++；
∴数阵中左右2个数与下面3个数的和为偶数，即A C D E F ++++为偶数； 12345621A B C D E F +++++=+++++=∵为奇数，奇数-偶数=奇数； ∴第一行中间的数B 为奇数，即1B =或3B =或5B =。
当第一行中间的数1B =时，21120A C D E F ++++=-=，20210A C D E F +=++=÷= A ∴、C 为4、6，D 、E 、F 为2、3、5；
当第一行中间的数3B =时，21318A C D E F ++++=-=，1829A C D E F +=++=÷= A ∴、C 为4、5，D 、E 、F 为1、2、6；
当第一行中间的数5B =时，21516A C D E F ++++=-=，1628A C D E F +=++=÷= A ∴、C 为2、6，D 、E 、F 为1、3、4。
答案如图所示，答案不唯一。对于每一张图，A 、C 之间可以互换，D 、E 、F 之间可以互换。
F
E D C
B A 1234
561234566
5
4321
【例20】 （2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛队际赛）如图，11个方格内分别各填入一个
数，使得任何连续三个方格内所填的数之和为21。已知第一个方格内所填的数为7，第九个方格内所填的数为6（方格由左向右数起）。请问第2个方格内所填的数是什么？
6
?
7
【分析】 设i A 表示从左向右第i 个空格中的数（1i =、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11）
34545621A A A A A A ++=++=∵，67878921A A A A A A ++=++=； 36A A =∴，69A A =；396A A ==∴； 12321A A A ++=∵；
213?2121768A A A ==--=--=∴，
即第2个方格内所填的数为8。
8
7
8
7
8
7
7
8
6
6
6
87666
666?7
【例21】 在下面每个方格中填一个数，使横行任意3个相邻方格内的数字之和都是15，竖列任意3个相邻
方格内的数字之和都是18。
8
5
3
【分析】 如图所示，给14个空格分别标上A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、J 、K 、L 、M 、N 。
∵竖列任意3个相邻方格内的数字之和都是18
即3818A B A B C B C D C D E D E F E F ++=++=++=++=++=++=
∴在竖列中，若2个数中间相隔2个数，则这2个数相等，即3C F ==，8A D ==，B E = 18387B E ==--=∴
∵横行任意3个相邻方格内的数字之和都是15
即588815G H G H I H I J I J J K K L K L M L M N ++=++=++=++=++=++=++=++= ∴在横行中，若2个数中间相隔2个数，则这2个数相等，即5I K N ===，G J L ==，8H M == 15582G J L ===--=∴ 答案如图所示。
G 58
3783
78358
585G G 585
8
373873
8585222
775G H I J
8K L M N 3
83
38
B B N M L K J I H G 58833
3
8
N M L K J I H G F E D C
B A 8
53
【例22】 如图，在方格中填入一些数以后使得无论横行、竖列相邻三个数的和都为20，那么★所代表的
数是多少？
★
8
2
6
6
8
2
x +6
x +6x +6
14-x
14-x
14-x
12-x 12-x
12-x x x
x 6
8
2
★
【分析】 设左上角方格中的数为x ；
由相邻三个数的和为20，可知横行、竖列都以3个数为周期循环。 如图所示，因为★(14)(6)20x x +-++=；
所以★0=。
一课一练
【练习1】 将5、10、15、20、25、30、35、40、45这九个数分别填入下图，使每一行、每一列、
两条对角线上三个数的和相等。
30
540352515102045
【分析】答案如图所示。
【练习2】 将20以内除数1以外的所有奇数编成一个3阶幻方。
1917
1513
119753
【分析】20以内除数1以外的奇数为3、5、7、9、11、13、15、17、19，共9个。答案如图所示。
【练习3】 （2007年春武汉明心奥数挑战赛五年级）在如图所示的魔方空格中填入5个数字，使魔方的
每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等。请问这5个数字之和是___________。
13
128
7
【分析】设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）
中心数1133227131022R C R C R C ++=
==或中心数133122812
1022
R C R C R C ++===； 幻和22310330R C =?=?=；
122122233212223221222322()()R C R C R C R C R C R C R C R C R C R C R C R C ++++=+++++-
=幻和222R C ?-3021050=?-=。 所以这5个数之和为50。
15
9
11513
1287
10
107
8
12
13
【练习4】 图中有九个方格，要求每个方格中填入不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个
数之和都相等。问图中左上角的数是多少？
2436
?
24
3630
x +?-24x +?-362x -?
x 36
24?
【分析】填数，三阶幻方。
设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）
设中心数22R C x =，则幻和3x =，
所以，33R C =幻和11223?2?R C R C x x x --=--=- 31R C =幻和3233336(2?)?36R C R C x x x --=---=+- 13R C =幻和2333324(2?)?24R C R C x x x --=---=+-
幻和132231(?36)(?24)32?603R C R C R C x x x x x =++=+-+++-=+-= 所以，?60230=÷=
【练习5】 下图中，三阶幻方的空格中填入适当的数，使幻和等于27。
813
10
【分析】 设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）
因为幻和为27，那么22278109R C =--= 因为3113R C =，那么13271395R C =--=
那么，12278527R C =--=，322713104R C =--=，21271386R C =--=，132751012R C =--=
46
912
14581310
【练习6】 如图，当A ,B ,C ,D 分别是多少时，则每行，每列以及每条对角线上三个数的和相等。
A 49444745D
B
C 48
【分析】 中心数为45，那么幻方为453135?=。
135494442A =--=,135424746B =--=，135464841C =--=,135484443D =--=
424944474541434648
【练习7】 把九个连续正整数填上图中，使每行，每列以及每条对角线上的三个数之和都等于30。
9
12
【分析】 中心数为30310÷=，
设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）
233012108R C =--=，13309813R C =--=，313013107R C =--=，113091011R C =--= 123011136R C =--=，32307914R C =--=
【练习8】 将1521-这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都相等，中间的圆
圈可以填什么？
【分析】中间数可以填15，18，21。
【练习9】 将1119-填入右图小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
【分析】111213141516171819135++++++++=，可见重叠数为奇数：113579、1、1、1、1，那么可得
答案如下图所示：
1918
17
16111213141519
18
171611
12131415151413
121116171819
19
18
171611
121314151112
1314
1516171819
第一个方格内所填的数为1，第六个方格内所填的数为10（方格由左向右数起）。请问第2个方格内所填的数是什么？
10
1
【分析】 设i A 表示从左向右第i 个空格中的数（1i =、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、
14、15）
14710131A A A A A =====， 369121510A A A A A =====
25811142211011A A A A A =====--=
即第2个方格内所填的数为11。
【练习11】 如图，15个方格内分别各填入一个数，使得任何连续三个方格内所填的数之和为22。已知
第一个方格内所填的数为1，第六个方格内所填的数为6（方格由左向右数起）。请问第2个方格内所填的数是什么？
1
6
【分析】 设i A 表示从左向右第i 个空格中的数（1i =、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、
14、15）
14710131A A A A A =====， 36912156A A A A A =====
2581114221615A A A A A =====--=
即第2个方格内所填的数为15。
第一个方格内所填的数为1，第六个方格内所填的数为6（方格由左向右数起）。请填完所有的方格。
6
1
1
【分析】 设i A 表示从左向右第i 个空格中的数（1i =、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、
14、15）
14710131A A A A A =====， 36912156A A A A A =====
2581114221615A A A A A =====--=
同理，竖行答案如图所示。
15151515
15
156666
6
61111115611
【练习13】 在8个小圆中填入18-，使每条直线和圆四个数的和相等。
【分析】 最简单的幻圆，每条线4个数字之和均为18。答案如图所示。
123
4
5
67
8
补充
【补充1】 （2009年8月9日日本第13届初小算术奥林匹克第2题）在图的9个方格中各填入一个1~9
的数字，使其横、竖相连的3个方格中数字之和都是15，斜向相连的3个方格中的数字之和一个是15，另一个斜向相连的3个方格中的数字之和不是15。请写出4个不是15的斜向相连的3个方格中的数字之和。
R 2C 3R 3C 3
R 2C 2R 3C 3R 1C 1R 2C 1R 3C 1R 1C 3R 1C 2
【分析】设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数字（,1i j =、2、3）
且令11223315R C R C R C ++=，13223115R C R C R C ++≠；
15951942861852843762753654=++=++=++=++=++=++=++=++； 其中数字数字5出现了4次，数字2、4、6、8各出现了3次；
所以斜向相连的3个方格中的数字之和的三个数字为2、5、8或4、5、6； 当斜向相连的3个方格中的数字之和的三个数字为2、5、8，
若225R C =，令112R C =、338R C =，
因为24926715++=++=、81683415++=++=，
所以13R C 、31R C 为4、6，因为54615++=，所以这种情况不存在； 若222R C =，令115R C =、338R C =，
因为24926715++=++=、81683415++=++=，
四年级 数学试题 奥数第20讲 幻方与数阵图扩展 苏教版(2014秋) 无答案
第20讲幻方与数阵图扩展 内容概述 掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造方法；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一步学习重数分析的方法；通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题. 典型问题 兴趣篇 1. 把1，2，…，9填人图20-1中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等． 2. (1)如图20-2，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等． (2)如图20-3，在4×4的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．
3．在图20-4所示的3×4方格表的每个方格中填人恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等．现在一些数已经填出，标有符号“。”的方格内所填的数是多少? 4．如图20-5，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方． 5．请将图20-6所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次．请问：标有符号“△”，“▽”和“○”
的方格中所填的数分别是什么?
6．请将1至9这9个数填入图20-7中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有多少种? 7．请在图20-8所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差(大减小)恰好是1、2、3、4、5、6、7． 8．将1至5这5个数字填入图20-9中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等．
最新奇妙的幻方与数阵
奇妙的幻方与数阵 走进来 相传大禹治水时，洛水中出现了一只“神龟”，背上有美妙的 图案（如图），史称“烙书”。我国南宋时期数学家杨辉将它命 名为“纵横图”，又名“九宫图”或“九宫和阵”。用现在的数 字翻译出来，就是三阶幻方。 幻方出现之后，曾使不少人为之入迷，古今中外有许多大数学 家、大学者，如欧拉、富兰克林等对幻方都很感兴趣，并且逐 步研究出了不少独特的构造幻方的方法。 一起做 例1 把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数填入右图3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和相等。 例2 认真观察例1的结果，里面蕴涵着神奇的奥妙，你发现了吗？幻方问题，可以通过计算的方法填写。把你发现的方法写下来。
109 2 1085例3 在右图的空格中填入不同的自然数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和是18。 例4 将九个连续偶数制成一个三阶幻方，使幻和等于36. 例5 在右图的每个空格填入一个自然数，使得每一行，每一列及每一条对角线上的三个数之和都相等。
我能行 展现自己 1、用自然数 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、10编制成一个三阶幻方。 2、用1、 3、5、7、9、11、13、15、17编制成一个三阶幻方。 3、用2、 4、6、8、10、12、14、16、18编织成一个三阶幻方。
7127124、将9个偶数编成一个三阶幻方，使幻方和等于24。 5、将九个连续奇数制成一个三阶幻方，是幻和等于33。 6、在下面的两个图空着的方格内填上合适的数，是每行、每列及两条对角线上三个数字之和都等于27。
趣味数学—数阵图与幻方
. Word文档三年级奥数 --数阵图与幻 知识框架 一、数阵图定义及分类： 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 数阵：是一种由幻演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 二、解题法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或格)和关键点(或格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学法的综合运用． 三、幻起源： 幻也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正形，因此纵横图又叫幻．幻起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不
再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻．如下图： 9 8 7 6 5 4 3 2 1 我国北时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻在我国历史悠久．三阶幻又叫做九宫图，九宫图的幻民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，围十五月团圆．”幻的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 四、幻定义： 幻是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的阵，具有这一性质的33 ?的数阵称作三阶幻，44 ?的数阵称作四阶幻，55 ?的称作五阶幻……如图为三阶幻、四阶幻的标准式样， 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 4 14 15 1 6 129 7 8105 11 3216 。 五、解决这幻常用的法： ⑴适用于所有奇数阶幻的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下 填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻的三大法则有： ①求幻和：所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 六、数独简介： 数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。
三年级奥数简单数阵与幻方
数阵与幻方 【知识点与方法】 一、数阵和幻方的概念：（1）数阵：每一条直线段的数字和相等。（2）幻方：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行、一纵行及对角线的和都相等。 二、联系之前所学的高斯求和的知识，首先找到中心项：首项、末项、中间项。然后对称找和相等的成对的项。 【经典例题】 例1、将1、2、3、4、5这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。 例2、将1、4、7、10、13这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和都等于25。 例3、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都相等。 例4、将5～11这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于24。 例5、将1～9这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。 练习与思考
1.将3、6、9、12、15这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。 2. 将1、3、5、7、9这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和为17。 （2题图） （3题图a） （3题图b） 3. 将1～9这九个数分别填入右上图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法) 4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。 （4题图） （5题图） 5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。 6. 将2～10这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。 7.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
五年级奥数数阵图与幻方
数阵图与幻方 知识集锦 数阵图是将一些数字按照一定要求排列而成的某些图形，数阵图可分为辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图三种形式。 幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格，在古代就有“河图”、“洛书”的传说。 在3×3的方格里，填上9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的3个自然数的和相等，这样的数字表格叫三阶幻方，相等的和叫做幻和。类似的还有四阶幻方、五阶幻方…… 例题集合 例1 把3、4、5、6、7这五个数字分别填入下图的五个方格中，使横 行、竖列三个数的和都是14。 练习1 将5、6、7、8、9这五个数分别填入下图中，使横行、竖列三个数的和都是21。 例2 将11～173个圆圈中的数之和都是40。
练习2 将1～13这十三个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上四个圆圈内的数字之和都是 47。 例3 把1、2、3、4、5、6填入下图的圆圈中，使每条边上三个数字的和都等于9。 练习3 如下图，在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数，使每条直线上的三个数字 之和都相等。 例4 将1～8填入下图的圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和是21。 练习4 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字分别填入下图（每个数字只用一次），如果两个大圆圈上五个小圆圈内的数字之和都是22，那么A、B两个圆圈内不可能填（）。 ①1和7 ②4和8 ③3和5 ④2和6
例5 如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。 练习5 将4～12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。 例6 下图的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。 求x的值。 练习 6 如下图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列及两条对角线上三个整数之和都相等。求x的值。 例7 将1、3、5、7、9、11、13、15、17这九个数字在下图中填写一个幻方（其中已填好一个数），求幻方和。 练习7 下图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的八个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。
数阶幻方的
数阶幻方的编排方法． 奇数阶幻方的编排方法 简便易学的编排方法。 一、九子排列法 宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。 这四个句子是什么意思呢？我们通过下面的一组图来加以理解。
先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我们是在格子上进行排列，就不必再进行“四维挺出”了），最后将虚线格子擦掉就可以了。 利用这种方法我们就很容易得到幻方（一）中例1的图A。但是这种方法有一定的局限性，只能编排三阶幻方，如果要编排5×5，7×7，9×9，……等奇数阶幻方又该怎么办呢？我们继续看第二种方法。 二、罗伯法 请大家注意观察幻方（一）中例1的图H，可以总结出下面的编排方法：
1、在第一行正中央的方格子中填上1； 2、按斜上方向在1的右上角填入2，但出上框了，这时要把2改填在2所在这一列的最下边； 3、按斜上方向在2的右上角填入3，又出右框了，把3改填在3所在这一行的最左边；（上图1） 4、按斜上方向在3的右上角填入4，但与先填入的1重合了，这时就把4改填在3的下面，然后把 5、6依次按斜上方向填入方格内； 5、按斜上方向在6的右上角填入7，但出框的右上角，这时就把7改填在6的下面，（与重合相同）。 重复上面的做法，把8、9依次填入方格中，这样就得到了图2，与左边的图H 完全相同。 这种编排奇数阶幻方的方法叫“罗伯法”。使用“罗伯法”时总是向右上的斜行方向进行编排。编排过程中会出现五种情况：“第一行正中央排什么数？”、“排出上框怎么办？”、“排出右框怎么办？”、“排重复了怎么办？”、“排出右上角怎么办？” 为了便于记忆，我们把罗伯法概括成下面的的几句话： 1居上行正中央，依次斜排莫忘记；上出框时往下写，右出框时左边放；重叠就在下格填，右上出框一个样。 罗伯法不仅可以编排三阶幻方，而且可以编排任何奇数阶幻方。下图就是用罗伯法编排的五阶幻方，请大家在方格子中跟着做一、二次，并逐行、逐列及对角线检验幻和是否正确。 三、巴舍法
幻方和数阵图
公主坟68221211 天行建51921885 中关村62560719 北 大62638951 数阵图与幻方 ● 数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题： 第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格） 第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍. 第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和. 第四步：运用已经得到的信息进行尝试： 数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键. ● 三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻得两条边上的数的平均数；3.中心数两头的数等于中心数的2倍 1. 将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k ，请指出k 的取值范围. 2将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。 1+2+3+4+5+6+7+8=36
公主坟68221211 天行建51921885 中关村62560719 北 大62638951 2. 小猴聪聪有一天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点 上的数字之和为图中所表示的数值，你能做到吗？ 3. 小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入下图 的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？ 4. 海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入右下图的九个○内，并且使得每 个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？ 5. 在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得循环式成立： + = = = = = ----
幻方与数表
幻方与数表 第六级上认识数阵图 ⑴放射型数阵图；⑵掌握三种类型数阵图的填法。 第七级下幻方与数表 ⑴认识幻方及其中心数，幻和等一些性质；⑵掌握准确构造或填补幻方的方法与技巧；⑶ 掌握数表填补的方法和技巧。 第八级上数列与数表综合㈠ ⑴系统巩固与数列数表有关的思路方法；⑵会求解综合性的数表问题；⑶熟练掌握周期法在数表问题中的运用；⑷初步掌握递推方法在数列与数表中的运用。 左边这个戴眼镜的男生叫铮铮，右边这个胖胖的男生叫昊昊。他们两个是很好的朋友，但是两个人的性格可是大不相同。铮铮学习好，喜欢看书，也因此早早就戴上了眼镜。铮铮的绝招就是可以模仿柯南制造眼镜闪光纪录是连续眼镜闪光200次，闪晕同班17名同学！昊昊很喜欢吃东西，别看他胖胖的，却很喜欢运动。 昊昊也有一个很大的缺点，就是粗心大意。昊昊也曾经创下出家门以后连续9次回家去取落下的东西的纪录！ 他先后把铅笔盒、笔记本、作业、书包、饭盒…忘在家里。看了这些介绍，同学们是不是很想知道在铮铮和昊昊身上都发生过什么事情呢？下一讲里，我们将继续介绍他们的一个好朋友。关于他们的故事，以后还多着呢！ 上面这个女孩名字叫做包包，至于为什么叫做包包不是因为她可爱，而是因为她的头上“长
了”两个包，虽然是一个非常聪明乖巧的女孩，偶尔也会做一些意义不明的事情，比如她曾经偷拿了老师的印章往自己身上狂盖…作为一名很有主见的女生，包包人生中的一大乐趣就是和铮铮斗嘴，和铮铮昊昊不同，包包是一个非常非常“正常”的人。 将20以内除数1以外的所有奇数编成一个3阶幻方。 请将2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015，2016，2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。(只要构造出一种) (2007年春武汉明心奥数挑战赛五年级)在如图所示的魔方空格中填入5个数字，使魔方的每 一行、每一列、两 条对角线上的数字之和都相等。请问这5个数字之和是_____。 (2007年12月第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级初赛)如图，要在下面的空格中填入适当的数，使每行、每列及对角线的3个数之和都相等，问号处应填入的数。要求写出关键的解题推理过程。 例4 例3 例2 例1
三年级奥数_简单数阵与幻方
简单的数阵与幻方 【知识点与方法】 一、数阵和幻方的概念：（1）数阵：每一条直线段的数字和相等。（2）幻方：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行、一纵行及对角线的和都相等。 二、联系之前所学的知识，首先找到中心项：首项、末项、中间项。然后对称找和相等的成对的项。 【经典例题】 例1、将1、2、3、4、5这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。 例2、将1、4、7、10、13这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和都等于25。 例3、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都相等。 例4、将5～11这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于24。 例5、将1～9这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。 练习与思考
1.将3、6、9、12、15这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。 2. 将1、3、5、7、9这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和为17。 （2题图） （3题图a） （3题图b） 3. 将1～9这九个数分别填入右上图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法) 4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。 （4题图） （5题图） 5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。 6. 将2～10这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。 7.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
小学奥数四年级幻方与数阵图
幻方与数阵图扩展 [内容概述] 本讲有两部分主要内容： 1、 幻方的概念和性质，简单幻方的编制； 2、 把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。大致分为三类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。 幻方的概念： 所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。 幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。 幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。 幻方问题主要方法： 一、 累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个“幻和”累加在一起， 再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。 二、 求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特 殊的数字和位置入手。 三、 比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关 系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。 四、 掌握好3阶幻方中的规律。 本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。其实这些方法和幻方是一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。 [思考题] 我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。 1. 如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你 一共可以得到多少种填法？ 「分析」首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。它是多少呢？哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3 倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道， 第1题
趣味数学—数阵图与幻方
三年级奥数 --数阵图与幻方 知识框架 一、数阵图定义及分类： 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 三、幻方起源： 幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：
9 8 7 6 5 4 3 2 1 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 四、幻方定义： 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33 ?的数阵称作三阶幻方，44 ?的数阵称作四阶幻方，55 ?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 4 14 15 1 6 129 7 8105 11 3216 。 五、解决这幻方常用的方法： ⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往 下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和：所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 六、数独简介： 数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。 中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。 1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”（Latin Square）的游戏，这个
幻方与复杂数阵图
1．将1～11填入图中的小圈中，使得两个圆周上的5个数之和与五条直线上的3个数之和都相等，那么这个和是多少？ 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：21 2．将数字3～9填入图中的小圆圈中，使得两个等边三角形顶点的3个数之和与三条直线上的3个数之和都相等，那么这个和是多少？ 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：18
3．下列不是幻方的是__________． A. B. C.来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：选择题 答案：C 4．下列不是幻方的是__________． A. B. C.来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：选择题 答案：B 5．下列不是幻方的是__________． A. B. C.
来源：2014·乐乐课堂·练习难度：简单 类型：选择题 答案：C 6．填写幻方，⊕处填几？ 来源：2014·乐乐课堂·练习难度：简单 类型：填空题 答案：11 7．填写幻方，⊕处填几？ 来源：2014·乐乐课堂·练习难度：简单 类型：填空题 答案：7
8．填写幻方，⊕处填几？ 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：填空题 答案：7 9．如图，要用1、2、3、4、5、6、7、8、9构成三阶幻方，幻和是多少？ 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：填空题 答案：15 10．如图，要用2、3、4、5、6、7、8、9、10构成三阶幻方，幻和是多少？
来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：填空题 答案：18 首页上一页123456下一页尾页 11．如图，要用2、4、6、8、10、12、14、16、18构成三阶幻方，幻和是多少？ 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：填空题 答案：30 12．如图，要用1、2、3、4、5、6、7、8、9构成三阶幻方，图中有些数已经填入，那么※处填几？
四年级奥数幻方与数表
知识要点 幻方与数表 二、 如果一个n n ?的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方 阵称为n 阶幻方。 三、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。 对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2 n 个数的和；所以，幻和2n S n =个数 。 用1、2、……、2n 这2 n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2 n n n n ++++= ……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方， 其幻和为21234567893(13) 1532 ++++++++?+==。 四、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中 心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。 中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平 均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数2 2 n S n =个数n =幻和 。 用1、2、……、2n 这2 n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212 n +。 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为2 1352 +=。 五、 在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++==== ，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2 b d i +=。 i h g f e d c b a
幻方 【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自 然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。（只要构造出一种） 一、 若一个n n ?的方阵 1111 n n nn a a a a 是n 阶幻方，则方阵 1111n n nn a b c a b c a b c a b c ?+?+?+?+也是n 阶幻方。 数表 中心数 幻和 三阶幻方的性质 幻方的构造 幻方 幻方与数表 （本讲）
第11讲简单的幻方及其他数阵图
第十一讲简单的幻方及其他数阵图 有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许多绚丽多彩的幻方. 据传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，后人称它为“洛书”. 洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上1～9这九个数，使每行、每列、及二条对角线上各自三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方. 一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方.这个和叫做幻和，n叫做阶. 杨辉在《续古摘奇算法》中，总结洛书幻方构造方法时写到：“九子排列，上、下对易，左右相更，四维挺出.”现用下图对这四句话进行解释. 九子排列上、下对易左右相更四维挺出 怎样构造幻方呢？一般方法是先求幻和，再求中间位置的数，最后根据奇、偶情况试填其他方格内的数. 下面我们就来介绍一些简单的幻方. 例1 将1～9这九个数，填入下左图中的方格中，使每行、每列、两条对角线上三个数字的和都相等.
分析为了便于叙述，先用字母表示图中要填写的数字.如上右图所示. 解答这个题目，可以分三步解决： ①先求出每行、每列三个数的和是多少？ ②再求中间位置的数是多少？此题是求E=？ ③最后试填其他方格里的数. ∵A+B+C+D+E+F+G+H+I =1+2+3+4+5+6+7+8+9 =45. ∴A+B+C=D+E+F=G+H+I=15. ∴B+E+H=A+E+I=C+E+G=15. ∴A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E =（A+E+I）（B+E+H）+（C+E+G）+（D+E+F） =15X4. 45+3E=60 3E=15 E=5. 这样，正中央格中的数一定是5. 由于在同一条直线的三个数之和是15，因此若某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同. 因此，四个角上的数A、C、G、I必为偶数.（否则，若A为奇数，则I为奇数.此时若B为奇数，则其余所有格亦为奇数；若B为偶数，则其
第10讲数阵图(二)
第10讲数阵图和幻方（二） 幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题。传说公元前二千多年，在大禹治水的时候，在黄河支流洛水浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案，（如图1），后来人们把它称之为“洛书”、相传在我国远古的时代，有一匹龙马游于黄河，马背上负有一幅奇的图案，这就是所谓的“河图”，实际上它是由九个数字排成一定的格式（如图2），图中有一个非常有趣的性质：它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。 一般地，在n×n（n行n列）的方格内，不重不漏填上n×n个连续自然数，并且每行、每列、每条对角线上n个自然数的和都相等，则称它为n阶幻方。这个和叫做幻和，n叫做阶。 幻方又叫魔方，九宫算或纵横图。 魔方：我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫作Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。 九宫算：所谓九宫，就是将一个正方形用两组与边平行的分割线，每组两条，分 割成的九个小正方格。每个小方格分别填入从1到9这九个自然数中的其中一个，不同的方格填入的数不同，使得三横行中每一横行三个数的和（叫行和），三纵列中每一纵列三个数的和（叫列和），两条对角线中每一条对角线上三个数的和（叫对角和）都相相等，这样得到的图就叫九宫（算）图。 纵横图：长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域。解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。（定中间数，填四角数，算其余数） 三阶幻方：就是将九个连续自然数填入3×3（三行三列）的方格内，使每行每列、每条对角线的和相等，这叫做三阶幻方。 奇数阶幻方： “罗伯法”“楼贝法”
小学数学《幻方与数阵图》练习题(含答案)
小学数学《幻方与数阵图》练习题（含答案） 1. 把1~8这8个数,分别填入图中的方格内(每个数必须用一次),使“十一”三笔中每三个方格内数的和都相等. 解： 2. 把1~11这11个数分别填入如下图11个○内,使每条虚线上三个○内数的和相等,一共有几种不同的和? 解： 3. 在下图中的几个圈内各填一个数,使每一条直线上的三个数中,当中的数是两边两个数的平均数,现在已经填好两个数, 解：
4. 在图的每个圆圈内填上适当的质数(不得重复),使每条直线上三个数的和相等,且均为偶数. 解： 5. 图有五个圆,它们相交相互分成9个区域,现在两个区域里已经填上10与6，请在另外七个区域里分别填进2.3.4.5. 6. 7.9七个数,使每圆内的和都等于15. 解： 6. 把1~16这16个数,填入图中的16个○内,使五个正方形的四个顶点上○内数的和相等. 解：
7. 将1-12这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里,使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和26. 解： 8. 在图中的空格中填入四个数,使每个横行,每个竖行的三个数的积都相等. 解： 9. 把1~12这十二个数,填入下图中的12个○内,使每条线段上四个数的和相等,两个同心圆上的数的和也相等. 解：
10. 将1~9这九个数分别填入图中○内,使每条线段三个数相等. 解： 作业： 1. 10个连续的自然数中第三个的数是9,把这10个数填入图中的10个方格内,每格填一个数,要求图中3个2×2的正方形中4个数之和相等,那么这个和最小值是______. 答案： 24. 2. 把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等. 答案： 4 7 1 3 8 2 9 5 6 11 1 6 3 9 2 10 5 8 4 7
专题五幻方与数阵图
专题五幻方与数阵图 姓名：徐乾铭时间：2012/7/20 内容精要： 在一个3×3的九宫格里，按一定的要求（任一行、任一列及对角线上数之和相等）填上1～9这九个数，我们称之为三阶幻方，在我国古代又叫九宫图或纵横图。九宫格是最简单的三阶幻方，另外还有四阶幻方、五阶幻方……直至任意阶幻方。一般来说，在n×n(n行n列)的方格内，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列和每条对角线上的n个自然数的和都相等，这个和叫幻方和，n叫阶，这样的数表叫做n阶幻方。 数阵图就是把数按一定的规则填在某一特定图形的规定位置上的一种图形，数阵图一般分为辐射型、封闭型、复合型等。 解答这类问题，常要用到一下知识： 1、等差数列的求和公式： 总和=（首项+末项）×项数÷2 2、计算中的奇偶问题： 奇数（＋或－）奇数=偶数；偶数（＋或－）偶数=偶数；奇数（＋或－）偶数=奇数3、10以内数字有如下关系： （1）1+9=2+8=3+7=4+6；（2）1+8=2+7=3+6=4+5；（3）2+9=3+8=4+7=5+6 例1：右图的九个方格内已经填入一个数字，请在其余的八个空格内填上其他的数，使得九个方格内是九个连续的自然数，并且横行、竖行及对角线上的三个数的和都相等。那么所填入八个数的和是（）Array 例2：用11、13、15、17、19、21、23、25、27编制成一个三阶幻方。
例3：把1～7这7个数分别填入右图各圆圈内，使在一条直线上的三个数的和相等。 例:4：将1～10这十个自然数分别填入右图中的十个○内，使五边形每条边上的三个数之和都相等，并使和最小与和最大，写出这两种填法。
思维导引——幻方与数阵教案
幻方和数阵图 幻方 在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。 需要掌握的幻方填写方法主要有： 1、奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 口诀： 1居首行正中央, 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放. 排重便往自下放, 右上出格一个样 2、双偶阶幻方 n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。 这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。（见右上图） 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。(做了解即可) 1.请你将3~11这9个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。
第35讲 简单的数阵与幻方
难题点拨① 将11、12、13、14、15、16、17这七个数 和等于44. 图1 拓展1：将11、12、13、14、15、16、 17这七个数分别填入下面的圆圈中，使每条线上 的三个数的和相等.有几种不同的填法？ 同步练习① 难题点拨②
1～6中三个数之和等于12的有1，5， 6；2，4，6；3，4，5。 如果三个重叠数是1，5，6，那么根 据每条边上的三个数之和等于11，可得左 下图的填法。容易发现，所填数不是1～6， 不合题意。 同理，三个重叠数也不能是3，4，5。 经试验，当重叠数是2，4，6时，可 以得到符合题意的填法(见右上图)。 拓展1：将2～9这八个数分别 填入右图的○里，使每条边上的三个数之 和都等于18。 分析与解：四个角上的 数是重叠数，重叠次数 都是1次。所以四个重 叠数之和等于 18×4-(2+3+…+9)=28。 而在已知的八个数中，四数之和为28 的只有： 4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。 又由于18-9-8=1，1不是已知的八个 数之一，所以，8和9只能填对角处。由 此得到左下图所示的重叠数的两种填法： “试填”的结果，只有右上图的填法 符合题意。 以上例题都是封闭型数阵图。 一般地，在m边形中，每条边上有n 个数的形如下图的图形称为封闭型m-n 图。 与“辐射型m-n图只有一个重叠数， 重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n 图有m个重叠数，重叠次数都是1次。 对于封闭型数阵图，因为重叠数只重 叠一次，所以 已知各数之和+重叠数之和 =每边各数之和×边数。 由这个关系式，就可以分析解决封闭 型数阵图的问题。 前面我们讲了辐射型数阵图和封闭 型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们 复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行 分析，就能解决很多数阵问题。 同步练习② 1、将5、6、7、8、9、10这六个自然数分别填 入下图的六个○内，使得三角形每条边上的三个 数之和都等于24。
第八讲_幻方与数阵图 (1)
第八讲幻方与数阵图 一．知识点总结 1.奇数阶幻方-----罗伯法：1在上行正中央，后数依次右上连， 上出框时往下填，右出框时往左填，排重便在下格填。 2.三阶幻方性质： （1）幻和=数字和÷3 （2）中心数=幻和÷3 （3）中心数两边和=中心数×2 （4）与中心数相关的横，竖，斜行分别成等差数列 （5）最大数与最小数结合，不能放四角 第二大的数与第二小的数结合，只能放四角 （6）四角上的数等于与它不相邻的行，列的中间数的平均数 A=（B+C）÷2 3.数阵图做题方法 （1）尝试法，对于比较简单的数阵图，尝试 （2）复杂数阵图a.标记重叠数 b.每条线上的和记为S，算总和 c.算题目给出的数字之和 d.看总和，数字之和，重叠数三者的关系，列等式，从 而猜想重叠数，算出S 二．例题解析 尖子班例题2:编写一个三阶幻方，使其幻和为24 解析：中心数=24÷3=8 中心数两边的数字之和24-8=16，找四对和是16的数。 最大数15和最小数1结合，不能放四角 第二大的数14和第二小的2结合，只能放四角
剩下的数就很简单填出 注意：此题答案有好多种，数字也可以自己随便选。只要记住幻方的性质（5）就很容易 竞赛班例题1：每行每列以及两条对角线上的三个数之和相等。求X,如果中间格填100，试完成幻方。 (1) 解析：利用四角上的数等于与它不相邻的行，列的中间数的平均数95×2=X+19 X=171 (2) 解析：幻和=100×3=300 注意：计算要认真，尽量用给出的数算，这样可验算
竞赛班例题2:将1~9填入方格，使横竖相连的三个格数字之和是15，其中一条对角线数字之和是15，另一条对角线数字之和不是15。请写出不是15的对角线的数字之和 解析： 45+3a=15×3+另一条对角线数字之和 所以，另一条对角线数字之和=3a，即为中心数的3倍 1~9中，三个数和是15的组合：9+5+1, 9+2+4，8+6+1, 8+5+2, 8+4+3, 7+6+2, 7+5+3, 6+5+4 因为中心数a至少用了3次，所以a可以是2,4,5,6,8中的一个 另一条对角线数字之和可以是6,12,18,24 竞赛班学案1：下图是一个四阶幻方，求A,B 解析：幻和为28+16+6+18=68，A=68-2-28-(68-26-6-12)=14 B=68-26-20-14=8