47-一种多级库存的优化控制策略

第29卷第4期2006年8月

鞍山科技大学学报

Journal of Anshan University of Science and Technology

Vol.29No.4Aug.,2006

一种多级库存的优化控制策略

马东怡1,王　莉2

(1.鞍山科技大学理学院,辽宁鞍山　114044;2.鞍山科技大学电子与信息工程学院,辽宁鞍山　114044)

摘　要:针对供应链环境下的多级库存优化控制问题,以系列系统为例,应用级库存理论,并考虑到日常生

活中库存水平影响需求率这一现象,建立了一个需求率受库存水平影响的多级库存决策模型。然后,在遗传算法(G A )中加入叫行化操作,对模型进行求解。最后,以算例说明模型和算法的有效性。

关键词:级库存;多级库存控制;系列系统;需求率;遗传算法

中图分类号:O227　文献标识码:A 文章编号:167224410(2006)0420341206

现行的企业库存管理模式是从单一企业内部的角度考虑库存问题,因而并不能使供应链整体达到最优。要进行供应链的全局性优化与控制,必须采用多级库存优化与控制。最早开始研究多级库存的学者是Clark 和Scarf [1],他们提出“级库存”概念。随后,针对多级库存系统的优化控制,文献[2-7]做了大量的研究,提出非常有价值的控制策略。对许多商品来说,商品在货架上摆放的越多,就会吸引更多的顾客,这时的需求率显然与库存水平有关,这种现象被称作Inventory 2level 2dependent demand rate (库存水平影响需求率)。为此,文献[8-12]研究了需求率受库存水平影响而变化的单级库存模型。本文在需求率受库存水平影响的单级库存模型的基础上,应用级库存理论,建立了一个需求率受库存水平影响的多级库存决策模型,并且设计了遗传算法求解模型,从而获得该模型的优化控制策略。

1　问题描述

111　多级库存系统

定义1[11]　多级库存是指各个库存点通过供需关系连接起来,形成一个网络或者是一个有向图。

图1　系列系统结构模式

Fig.1　Structure mode of a series system

根据网络结构的不同,可以分为五种。其中,系列系统是最基本的多级库存结构,如图1所示,其他多级库存系统结构都可

以看成是系列系统的扩展。

定义2[11]　某节点的级库存是指从某一个库存点开始下游所有的库存。若令I ′i (t )为时刻t 节点i 的库存,I i (t )为时刻t 节点i 的级库存则有

I i (t )=

∑i

k =1

I ′i

(t ) i

=1,2,…,N (1)

定义3[11]　令h ′i 为节点i 的库存费率,则节点i 的级库存费率定义为

h i =h ′i -h ′i +1 i =1,2,…,N

(2)

其中,对于N +1阶段认为是外部供应者所承担,假定为h ′N +1=0。

为保证级库存费率非负,需假定下游的库存费率比上游的要高,即假设h ′i ≥h ′i +1(i =1,2,…,N -1)。

收稿日期:2005212203。

作者简介:马东怡(1980-),女,辽宁阜新人。

112　问题说明

考虑一个N 级系列系统,如图1所示,圈(节点)代表供应链的库存节点,弧描绘供应关系。需求仅

在节点1发生,外部供应商供应节点N ,所有其他联系是系统内部的:每个节点供应下一个节点。为了简化问题,假设各级库存节点只包含一种产品;外部供应商总有充足存货满足节点N 的需求;各节点的订货提前期为0;当需求发生时,必须全部满足,不允许缺货;级存储费率h i (每单位)和各节点的订货费用是固定的且非负;各个节点间的物资可能不同,但这些物资之间的需求数量的比率是固定的。这里采用固定策略[6]和(t ,Q )库存策略。

需求率受节点1的现有库存水平影响而变化,节点1的库存有一个低水平限Q 0(常数),当节点1的库存低于Q 0时,需求率不再变化为一常数。所以,当节点1现有库存水平为I 1时,需求率可表示为

R (I 1)=

αI β1 I 1≥Q 0

D 0≤I 1≤Q 0

(3)

α>0和0<β<1是测量参数,D >0是一固定值,即D =αQ β0[7]

。所求的是每个订货周期,使得整个系统利润最大的各级库存节点的订货批量。

2　问题的数学模型

211　符号说明

Q i 为节点的成品订货批量;Q 为由Q i 组成的策略向量,即Q =(Q 1,Q 2,…,Q N );K i 为节点i 的

固定订购费用;s i 为节点i 处单位产品的销售价格;c i 为节点i 处产品的单位成本;εi 为节点i 的需求与节点1需求的比率;h ′i 为节点i 的库存费率;h i 为节点i 的级库存费率,即h i =h ′i -h ′i +1;I ′i (t )为节点i 在时刻t 的库存;I i (t )为节点i 在时刻t 的级库存,即I i (t )=∑i

k =1I ′k (t );H i 为节点i 周期内级库存量;U min (m ax )为节点i 一次的最小(大)成品订货量;T i 为节点i 的订货周期;π(Q )为由决策向量Q 所决定的平均利润。212　建立模型

本文应用级库存理论,建立的模型是一种中心化库存控制策略,即各个节点不自己决定订货,而是联合起来统一做出决策,以系统所获利润最大为目标。由于需求率的变化形式(式(3)),模型的建立将考虑两种情况:

图2　需求确定不允许缺货的2级模型

Fig.2　22level model of no shortage of goods in definite demand

(1)当Q 1≤Q 0时,即节点1的库存水平I 1满足0≤I 1≤Q 0,需求率为一固定常数,即

R (I 1)=D =αQ β

0。因为最终采用嵌套策略,

所以各节点的级库存水平均有相似的图形,如图2所示。图2描述了一个需求确定不允许缺货的2级系列系统模型,其中I ′2(t )是节点2的当地库存,呈阶梯状,I 2(t )是节点2的级

库存,它包括节点1和2的当地库存,其形状

与节点1的级库存相似,从而依次类推,各节

点的级库存均有相似的形状,只是订货周期和订货批量满足

T i =m i T i -1 i =2,3,…,N

(4)Q i =m i Q i -1 i =2,3,…,N

(5)

其中,m i 是大于或等于1的整数。从图2中可以看出,每个节点的级库存具有与EOQ 模型相似的周期

模式,所以可以运用EOQ 模型的计算方法对每个节点的库存成本进行如下计算:

?

243? 鞍山科技大学学报 第29卷

节点i 的平均订购费为

D

Q i K i ;节点i 周期内平均级库存量为Q i 2;节点i 平均存储费为εi Q i 2h i

。因此,N 级系列系统在不允许缺货及需求确定的条件下其总的平均利润为

π1(Q )=∑N

i =1

(s i -c i )εi

D -εi Q i 2h i -D

Q i K i (6)

其中,Πi =2,3,…,N ,各节点的订货批量Q i 都满足式(5)。所以,当Q 1≤Q 0时,得到多级库存控制

模型M EIC1

max π1(Q )=∑N

i =1(s i -c i )εi

D -εi Q i 2h i -D

Q i K i (7)s.t.

U min ≤Q 1≤Q 0

(8)Q i ≤U max i =2,3,…,N

(9)Q i =m i Q i -1 i =2,3,…,N m i 是一个正整数

(10)

模型M EIC1中,式(7)是目标函数,即使整个多级库存系统的利润最大,Q i 为决策变量。在约束条件

中,式(8)为节点1订货批量的取值约束;式(9)为节点i (i =2,3,…,N )最大成品订货批量的限制约束;式(10)表示节点i 的成品订货批量是其下游节点i -1的成品订货批量的整数倍。

图3　需求率受库存水平影响的2级模型

Fig.3　

22level model of demand rate affected by inventory

(2)当Q 1>Q 0时,由式(3)可知需求率受节点1现有库存的影响而变化,且当库存水平降低到Q 0

以下时需求率不再变化而为一常数,此时各节点的级库存水平如图3所示。从图3中可以看出,与上一种情况相比节点1的级库存发生了变化,库存的变化率不再是一条直线而是一条曲线,而且,各节点的级库存的形状也不再相似,但是订货周期和订货批量仍然满足式(4)和式(5)。这时,不能再运用EOQ 模型进行计算。通过分析可知,当Q 1>Q 0时,N 级系列系统总的平均利润为

π2(Q )=

∑N

i =1

(s

i

-c i )εi Q i -h i εi H i -K i /T i

(11)由式(4)和式(5)可知,T i =λi T 1和Q i =λi Q 1,λi 为大于或等于1的整数。以2级模型为例,结合图3,可以看到,若节点1在周期T 1内的级库存量为H 1,则节点2在时间段T 1内的级库存量为H 1+T 1

(Q 2-Q 1),在时间段T 1到2T 1内的级库存量为H 1+T 1(Q 2-2Q 1),在时间段2T 1到T 2内的级库

存量为H 1。所以,节点2在周期T 2内的级库存量为H 1+T 1(Q 2-Q 1)+H 1+T 1(Q 2-2Q 1)+H 1=3H 1+T 1[(Q 2-Q 1)+(Q 2-2Q 1)]。其中λ2=3。那么,依次类推可以得到节点i 在周期T i 内的级库存量为

H i =λi H 1+T 1[(Q i -Q 1)+(Q i -2Q 1)+…+(Q i -(λi -1)Q 1)]　i =2,3,…,N

(12)

将λi =Q i /Q 1代入式(12),并经过整理得

H i =

Q i Q 1H 1+Q i -Q 1

2Q 1

T 1Q i i =2,3,…,N (13)

节点i 的订货周期为

T i =λi T 1=

Q i

Q 1T 1

i =2,3,…,N (14)

由Datta 和Palf [7]建立的模型可知,节点1在周期内的级库存量和订货周期分别为

?

343?第4期 马东怡,等:一种多级库存的优化控制策略

H 1=

α(2-β)Q 20+2D [Q (2-β)1

-Q (2-β)

0]2αD (2-β

)(15)T 1=

Q (1-β)

1

-Q (1-β)

α(1-β)

+

Q 0

D

(16)

将式(13)和式(14)代入式(11)得

π2(Q )=

∑

N

i =1

(s i -c i )εi Q i T i -h i εi H i

T 1-Q i -Q 12h i εi -K i Q 1Q i T 1(17)

因此,当Q 1>Q 0时,得到多级库存控制模型M EIC2max π2(Q )=

∑

N

i =1

(s i -c i )εi Q i T i -h i εi H i

T 1-Q i -Q 12h i εi -K i Q 1Q i T 1

(18)s.t.

Q 0

(19)Q i ≤U max i =2,3,…,N

(20)Q i =m i Q i -1 i =2,3,…,N m i 是一个正整数

(21)

其中,H 1和T 1满足式(15)和式(16)。

模型M EIC2中,式(18)是目标函数,即使整个多级库存系统的利润最大,Q i 为决策变量。在约束条件中,式(19)为节点1订货批量的取值约束;式(20)为节点i (i =2,3,…,N )最大成品订货批量的限制约束;式(21)表示节点i 的成品订货批量是其下游节点i -1的成品订货批量的整数倍。

综上所述,多级库存系统在订货周期内获得的最大利润为

π(Q )=max {π1(Q 3),π2(Q 3

)}(22)同时,得到每个库存节点一次的订货批量Q 3i 和订货周期T 3i ,即库存策略(t ,Q )。

3　算法设计

通过模型M EIC1和M EIC2的建立,多级库存的优化控制策略转化为函数优化问题。这里,多级库

存控制模型M EIC1和M EIC2都是非线性混合整数规划,很难直接求其最优解。Zipkin [2]提出了一种求解多级库存模型的系列2松弛算法,但是这种算法随着库存节点的增加,对模型的求解过程将变得非常复杂。所以,本文针对所建模型设计了一种加入可行化操作的遗传算法。311　算法准备

(1)可行化操作。由于该问题是一个非线性混合整数规划,需要较大的搜索范围和搜索精度,所以

应采用实数编码。但是又因为模型M EIC 中含有严格的等式约束,所以为了避免因引入惩罚函数而导致的计算困难和最优解质量下降,对染色体进行了可行化操作。具体方法是:编码时,使每条染色体的第一个基因为节点1的实际订货批量Q 1,其他基因均为其所在节点订货批量是其直接后继节点订货批量的倍数m i 。这样一来,染色体的编码方式就成为混合编码,即染色体的第一个基因为实数,其它基因均为自然数。通过可行化编码后,得到的染色体所对应的解都是可行解。

(2)确定适应度函数。本文求解的是最大化问题,直接采用目标函数作为适应度函数。312　算法描述

(1)生成初始种群。依据基因的取值范围,按照311中的(1)随机生成初始解,群体规模M 一般取为20-100。

PO P ?X 1…M =(Q 1,…,Q N )

(2)评价个体的适应度。先根据编码方式解码,然后按照311中的(2)计算每个个体的适应度,并找出目前最优个体。

(3)选择算子。采用轮盘赌选择法选择母代个体。

(4)交叉算子。母代随机配对,依据交叉概率,进行单点交叉,生成子代。交叉概率P c 一般取为

?

443? 鞍山科技大学学报 第29卷

014-0199。

(5)变异算子。随机产生满足取值范围的基因,依据变异概率替代变异基因。变异概率P m 一般

取为10-4-10-1。

(6)判断是否满足终止条件。若满足转(7),不满足转(2)。最大迭代次数T 一般取为102-103。(7)输出适应度最大的最优个体。

4　实例仿真

考虑一个5级系列系统,各节点相关参数见表1,分别用系列2松弛算法和G A 求解。

表1　算例相关参数

Tab.1　Relative parameters of calculation case

k i /元

s i /元

c i /元

h ′i /元

h i /元

εi

178102601020010512012110215010200101561051001211032501015610140104180181104

24010

14010

12510

410

017

115

注:α=5,β=014,Q 0=200,U min =10,U max =500

G A 算法的参数设置:M =50,T =100,P c =018,P m =011,优化结果见表2。

表2　系列2松弛算法和G A 求解算例结果对比

Tab.2　Result contrast between series 2relax algorithm

and G A solution of calculation case

算法12345最大利润/元

系列2松弛

808080120160734812GA

93

93

93

13915

186

735714

图4　G A 的最优值、均值优化曲线

Fig.4　Optimizing curve of best value

　and average value of G A

从表2中可以看出,在算例所给的条件下,5级系列系统各级节点的订货批量q i (q i =εi Q i )和周期内获得的最大利润。

遗传算法(G A )是一种基于自然选择和遗传学原理的随机优化方法,它最早由美国密执安大学的Holland 教授提出,目前已经广泛应用于函数优化、系统建模等问题。G A 具有较强的寻优能力,在G A 中采用可行化混合编码可以避免引入惩罚函数,从而提高解的精度以及减少优化过程的计算量。通过算例的考查可以看出,本文提出的遗传算法能在有限的进化代数内快速找到模型的近似最优解(图4是G A 的优化过程曲线),并且得到的最大利润比系列2松弛算法的更为精确。另外,此算法对库存级数有很好的伸缩性,库存级数的增加不会导致算法的复杂度增加。

?

543?第4期 马东怡,等:一种多级库存的优化控制策略

5　结　语

本文针对多级库存优化控制问题,建立了一个需求率受库存水平影响的多级库存决策模型。设计

了G A 算法,以提高求解多级库存模型的效率。实验证明,模型和算法都是可行的。系列系统是最基本的多级库存结构,未来可以进一步研究网络结构更为复杂的多级库存系统。参考文献:

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Control policies for multi 2echelon inventory systems

M A Dong 2yi 1,W A N G L i 2

(1.Fauctly of Science ,Anshan University of Science and Technology ,Anshan 114044,China ;

2.School of Electronic and Information Engineering ,Anshan University of Science and Technology ,Anshan 114044,China )

Abstract :A model of serial systems for multi 2echelon inventory control with inventory 2level 2dependent de 2mand rate was presented ,which considered the phenomenon that the demand rate may be influenced by the stock levels.Then proposed a modified genetic algorithms (G A )to solve the model.Finally ,numerical ex 2amples were given to illustrate the model and algorithm efficiency.

K ey w ords :echelon inventory ;multi 2echelon inventory control ;serial system ;demand rate ;particle swarm optimization

(R eceived December 3,2005)

?

643? 鞍山科技大学学报 第29卷