2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析

2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，

T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为()

A. 200tan70°米

B. 200

tan70∘米 C. 200sin 70°米 D. 200

sin70∘

米

2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,n)，其部分图象如图所示．以下结论错误的是()

A. abc>0

B. 4ac−b2<0

C. 3a+c>0

D. 关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根

3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为

EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H.给出以下结论：

①EF⊥BG；

②GE=GF；

③△GDK和△GKH的面积相等；

④当点F与点C重合时，∠DEF=75°，

其中正确的结论共有()

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

4.下列图中所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图(2)是一张由6个小

正方形组成的3×2方格纸片．

把“L”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图(3)中的4种不同放置方法．图

(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图(4)中，使它恰好盖住其中的4个

小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是()

A. 160

B. 128

C. 80

D. 48

5.如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O.若AE=5，BF=3，则AO

的长为()

A. √5

B. 3

√5 C. 2√5 D. 4√5

2

6.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注

水，如图所示，则小水杯水面的高度ℎ(cm)与注水时间t(min)的函数图象大致为图中的()

A. B.

C. D.

7.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2−2x−3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连

接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O′A′B′，且点O′，A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为()

D. y=x+2

A. y=x

B. y=x+1

C. y=x+1

2

8.已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线y=ax2−2ax上的点，下列命题正确的是()

A. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2

B. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1

C. 若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2

D. 若y1=y2，则x1=x2

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：

①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．

DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．

②分别以点D、E为圆心，大于1

2

③作射线BF交AC于点G．

如果AB=8，BC=12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为______．

10.如图，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=10，BC=8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使

DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为______．

得DF=1

4

11.抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，下列四个结论：

①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2，x2=−4；

②若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1

③对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b；

④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则p的值只有两

个．

其中正确的结论是______(填写序号)．

12.如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB=1，AD=2.设AM的长为t，用

含有t的式子表示四边形CDEF的面积是______．

第12题图第13题图

13.如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N.已知∠BAC=

⏜的长为π，则图中阴影部分的面积为______．

120°，AB+AC=16，MN

14.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′

处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．

第14题图第15题图

15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=______度．

16.设A，B，C，D是反比例函数y=k

图象上的任意四点，现有以下结论：

x

①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；

③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．

其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

17.某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，

长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．

(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式；

(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户

FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)

(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月

能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？

四、解答题（本大题共12小题，共46分）

18. 如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．

进货单

商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．

19. 阅读感悟：

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x 、y 满足3x −y =5①，2x +3y =7②，求x −4y 和7x +5y 的值．

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①−②可得x −4y =−2，由①+②×2可得7x +5y =19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题：

(1)已知二元一次方程组{2x +y =7,

x +2y =8,

则x −y =______，x +y =______；

(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

(3)对于实数x 、y ，定义新运算：x ∗y =ax +by +c ，其中a 、b 、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=15，4∗7=28，那么1∗1=______．

20.如图，已知点A(1,2)、B(5,n)(n>0)，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=k

x

(x>0)的图象经过点P.小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”

(1)当n=1时．

①求线段AB所在直线的函数表达式．

②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的

最小值和最大值．

(2)若小明的说法完全正确，求n的取值范围．

21.背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放(点E、A、D在同一条直线上)，发

现BE=DG且BE⊥DG．

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图1)，还能得到BE=DG吗？若能，请给出证明；若不能，请

说明理由；

(2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图2)，试

问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；

(3)把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AE

AG =AB

AD

=2

3

，AE=4，AB=8，将矩形AEFG

绕点A按顺时针方向旋转(如图3)，连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．

22.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足

为E．

(1)求证：AD平分∠BAE；

(2)若CD=DE，求sin∠BAC的值．

23.某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有

函数关系y=ax2+bx+c.当x=10时，y=400；当x=20时，y=1000.B城生产产品的每件成本为70万元．

(1)求a，b的值；

(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？

(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的

费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示)．

24.实际问题：

某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？

问题建模：

从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1

模型探究：

我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．

探究一：

(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

表①

如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．

(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

表②

如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．

(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．

(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的

结果．

探究二：

(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．

(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的

结果．

探究三：

从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结

果．

归纳结论：

从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1

问题解决：

从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．

拓展延伸：

(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(

写出解答过程)

(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1

和共有______种不同的结果．

25.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．

特例感知：

(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条

直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF=CG.请给予证明．

猜想论证：

(2)当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，

过点D作DE⊥BA垂足为E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

联系拓展：

(3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)

时，请你判断(2)中的猜想是否仍然成立？(不用证明)

26.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：

x…−2−1012…

y…m0−3n−3…

(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；

(2)求抛物线的表达式及m，n的值；

(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的

点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？

(4)设直线y=m(m>−2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，

A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系______．

27.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们

的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究

(1)如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△

BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为______；

推广验证

(2)如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满

足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；

拓展应用

(3)如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=2√3，DE=2，点P在AE

上，∠ABP=30°，PE=√2，求五边形ABCDE的面积．

28.已知直线l1：y=−2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，

BC=4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若直线l2：y=mx+n(n≠10)，求证：当m=−2时，l2//l1；

(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y=−2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面

积之和的最小值．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：在Rt△PQT中，

∵∠QPT=90°，∠PQT=90°−70°=20°，

∴∠PTQ=70°，

∴tan70°=PQ

PT

，

∴PT=PQ

tan70∘=200

tan70∘

，

即河宽200

tan70∘

米，

故选：B．

在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．

此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．

2.【答案】C

【解析】解：A.∵抛物线开口向下，

∴a<0，

∵对称轴为直线x=−b

2a

=−1，

∴b=2a<0，

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c>0，

∴abc>0，

故A正确；

B.∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，

故B正确；

C.∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，

∴抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，

∴x=1时，y<0，

即a+b+c<0，

∵b=2a，

∴3a+c<0，

故C错误；

D.∵抛物线开口向下，顶点为(−1,n)，

∴函数有最大值n，

∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，

∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，

故D正确．

故选：C．

根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B 进行判断；x=1时，y<0，可对C进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D进行判断．

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

3.【答案】C

【解析】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，

∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，

∴EF垂直平分BG，

∴EF⊥BG，BO=GO，BE=EG，BF=FG，故①正确，

∵AD//BC，

∴∠EGO=∠FBO，

又∵∠EOG=∠BOF，

∴△BOF≌△GOE(ASA)，

∴BF=EG，

∴BF=EG=GF，故②正确，

∵BE=EG=BF=FG，

∴四边形BEGF是菱形，

∴∠BEF=∠GEF，

当点F与点C重合时，则BF=BC=BE=12，

∵sin∠AEB=AB

BE =6

12

=1

2

，

∴∠AEB=30°，

∴∠DEF=75°，故④正确，

由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，故③错误；

故选：C．

连接BE，设EF与BG交于点O，由折叠的性质可得EF垂直平分BG，可判断①；由“ASA”可证△BOF≌△GOE，可得BF=EG=GF，可判断②；通过证明四边形BEGF是菱形，可得∠BEF=∠GEF，由锐角三角函数可求∠AEB=30°，可得∠DEF=75°，可判断④，由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，即可求解．

本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

4.【答案】A

【解析】解：观察图象可知(4)中共有4×5×2=40个3×2的长方形，

由(3)可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，

则n的值是40×4=160．

故选：A．

对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．

此题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．

5.【答案】C

【解析】解：∵矩形ABCD，

∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，

∴∠EFC=∠AEF，

∴AE=AF=3，

由折叠得，FC=AF，OA=OC，

∴BC=3+5=8，

在Rt△ABF中，AB=√52−32=4，

在Rt△ABC中，AC=√42+82=4√5，

∴OA =OC =2√5，

故选：C ．

由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF =FC =AE =5，由勾股定理求出AB ，AC ，进而求出OA 即可． 本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形直观，求出线段的长是得出答案的前提． 6.【答案】B

【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A 、D 一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h 不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h 不再变化．

故选：B ．

根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度ℎ(cm)与注水时间t(min)的函数图象．

本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．

7.【答案】B

【解析】解：如图，∵抛物线y =x 2−2x −3与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于

点B ，

令y =0，解得x =−1或3，

令x =0，求得y =−3，

∴A(3,0)，B(0,−3)，

∵抛物线y =x 2−2x −3的对称轴为直线x =−−2

2×1=1，

∴A′的横坐标为1，

设A′(1,n)，则B′(4,n +3)，

∵点B′落在抛物线上，

∴n +3=16−8−3，解得n =2，

∴A′(1,2)，B′(4,5)，

设直线A′B′的表达式为y =kx +b ，

∴{k +b =24k +b =5， 解得{k =1b =1

∴直线A′B′的表达式为y =x +1，

故选：B．

求得A、B的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′(1,n)，则B′(4,n+3)，把B′(4,n+3)代入抛物线解析式求得n，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B′的表达式．

本题考查了抛物线与x轴的交点，坐标和图形变换−平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出A′、B′的坐标是解题的关键．

8.【答案】C

【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax=a(x−1)2−a，

∴该抛物线的对称轴是直线x=1，

当a>0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2，故选项B错误；

当a<0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1

若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2，故选项C正确；

若y1=y2，则|x1−1|=|x2−1|，故选项D错误；

故选：C．

根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．

本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

9.【答案】27

【解析】解：如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，

根据作图过程可知：

BG是∠ABC的平分线，

∴GM=GN，

∵△ABG的面积为18，

∴1

×AB×GM=18，

2

∴4GM=18，

∴GM=9

，

2

∴△CBG的面积为：1

2×BC×GN=1

2

×12×9

2

=27．

故答案为：27．

过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可得AG是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质可得GM=GN，再根据△ABG的面积为18，求出GM的长，进而可得△CBG的面积．

本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．

10.【答案】9√3

【解析】解：作CH⊥AB于点H，

∵在▱ABCD中，∠B=60°，BC=8，

∴CH=4√3，

∵四边形ECGF是平行四边形，

∴EF//CG，

∴△EOD∽△GOC，

∴EO

GO =DO

OC

=ED

GC

，

∵DF=1

4

DE，

∴DE

EF =4

5

，

∴ED

GC =4

5

，

∴EO

GO =4

5

，

∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，

当EO⊥CD时，EO取得最小值，

∴CH=EO，

∴EO=4√3，

∴GO=5√3，

∴EG的最小值是9√3，

故答案为：9√3．

根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．

本题考查平行四边形的性质、三角形的相似、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

11.【答案】①③

【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，

∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为x1=2，x2=−4，故①正确；

该抛物线的对称轴为直线x=2+(−4)

2

=−1，函数图象开口向下，若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1>

y2，故②错误；

当x=−1时，函数取得最大值y=a−b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a−b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b，故③正确；

对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则两个根为−3和1或−2和0或−1和−1，故p的值有三个，故④错误；

故答案为：①③．

根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．

本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

12.【答案】1

4t2−1

4

t+1

【解析】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，

设DE=x=EM，则EA=2−x，

∵AE2+AM2=EM2，

∴(2−x)2+t2=x2，

解得x=t2

4

+1，

∴DE=t2

4

+1，

∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，∴EF⊥DM，

∠ADM+∠DEF=90°，

∵EG⊥AD，

∴∠DEF+∠FEG=90°，

∴∠ADM=∠FEG，

∴tan∠ADM=AM

AD =t

2

=FG

1

，

∴FG=t

2

，

∵CG=DE=t2

4

+1，

∴CF=t2

4−t

2

+1，

∴S

四边形CDEF =1

2

(CF+DE)×1=1

4

t2−1

4

t+1．

故答案为：1

4t2−1

4

t+1．

连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，由勾股定理得出(2−x)2+t2=x2，证得∠ADM=∠FEG，由锐角三角函数的定义得出FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案．

本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折叠的性质及方程的思想是解题的关键．

13.【答案】3(8−√3−π)

【解析】解：如图，连接OM、ON，

∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．

∴OM⊥AB，ON⊥AC，

∵∠BAC=120°，

∴∠MON=60°，

∴∠MOB+∠NOC=120°，

∵MN

⏜的长为π，

∴60πr

180

=π，

∴r=3，

∴OM=ON=r=3，

连接OA，

在Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，

∴AN=√3，

∴AM=AN=√3，

∴BM+CN=AB+AC−(AM+AN)=16−2√3，

∴S

阴影=S△OBM+S△OCN−(S

扇形MOE

+S

扇形NOF

)