有耗散的下落雨滴的拉格朗日方程及其应用

有耗散的下落雨滴的拉格朗日方程及其应用

杨春艳

陕西理工学院物理系物理系，陕西 汉中 723001

摘要：在雨滴下落过程中，不断凝结水气，考虑受到空气浮力和粘滞阻力，我们来分析雨滴的拉格

朗日方程。此论文中，我们以质量随时间变化、所受粘滞阻力与下落速度成正比为主要研究对象来描述其拉格朗日方程，并讨论其应用。

关键词：雨滴；变质量；耗散函数；拉格朗日方程

引言

降雨，遍及各个角落，对于它的研究无处不具有重要意义。研究雨滴降落的过程在近年来广泛应用于撞击问题之中。目前主要应用于航天、航海、等军事领域，以及建筑、土地方

面分析和防水材质材料的研究，国际上对于雨滴运动状况的研究也极为关注[1、4-64]

。不论是哪一方面，只要能不断将其运动状况严谨化、实际化，对于其他问题的研究就会越精准，对于各方面技术的提升也更理论化。文献[3]给出了含耗散函数的拉格朗日方程及耗散函数的物理意义，只要函数写定，问题便可解决。文献[7]将雨滴下落过程中所受阻力情况给出，事例性的研究了其运动状况。近年来，在相关领域已经有了可喜的成绩。

本文讨论的是在质量随时间变化、所受粘滞阻力与下落速度成正比的雨滴下落过程中含耗散函数的拉格朗日方程。首先写出了有阻尼的耗散函数，然后给出落体的耗散函数，最后将雨滴下落过程中含耗散函数的拉格朗日方程。

1 阻尼与耗散函数

质点除受有势力和非有势力作用外，还受粘滞阻尼的作用，粘滞阻尼是作用在质点上的线性阻力。由于这种阻力使机械能耗散，所以又称耗散力。下面我们就来推导耗散函数。设作用在任一质点i M 上的线性阻力为i R ，

i i i R CV =-

（1）

其中i V 是质点的运动速度，阻力系数i C 为常数。

作用在所有质点上的线性阻力在质点系的任意虚位移中所做虚功的和为

1

1

n n

R

i

i

i i

i

i i W R r CV r δδδ====-∑∑∑ （2）

式中

111N

n

n

i

i i i k k k k k k k k

k

r V r r q q q q q q

δδδδ?

??===???===???∑∑∑ （3）

将它代回（1）式得

2

1

1

111()2

n N

N

n

i R

i i

k i i k i k k i k

k

V W CV q CV q q q δδδ?

?

====??

=-?=-??∑∑∑

∑

∑ 令

（5）

称为耗散函数，则

1

N

R k k k

W q q δδ?

=?ψ=-?∑∑

（6）

再令Rk Q 为对应于广义坐标k q 的广义耗散力，则

（7）

即广义耗散力是耗散函数对广义坐标一阶导的一阶偏导的负值。

2 落体的耗散函数

由流体力学可知，物体在流体中通过时，所受流体粘滞阻力f F 为

21

2

f d F C sv ρ=

（8） 上式中的ρ是流体密度，s 是物体与流体流苏垂直方向的最大横截面积，d C 叫做阻力系数，它与流体雷诺系数有关，雷诺系数是一个无量纲的数，即为e lv

R ρη

=

，l 是与物体横截面相联系的特征长度，η为流体的粘滞系数。式中的v 是物体的速度，也是流体远离物体的速度。在0

210*的范围之内，d C 与e R 的关系是

246

0.41d e e

C R R ≈

+++ （9） 对于球形物体，上面的2

s r π=，2l r =。当e R <1时，上式中的第二、第三项相比之

下可以忽略2412d e C R rv

ηρ≈

=，则

6f F rv πη=

（10）

Rk k

Q q ?

?ψ=-

?2

1

12n i i

i CV =ψ=∑

雨滴在重力、浮力和阻力的共同作用下，其运动方程为

()6dv

m

m m g rv dt

πη*=-- （11） 或者写成

dv

g kv dt

*=- （12） 上式中的g *

=（1-m m *

）g=（1-ρρ空水

）g ，叫做等效引力加速度。 ()23

69324r

k m

m t πηηρπρ=

=??????

水水. （13）

取初始条件v(0)=0,解方程（2）得

()(1)kt g v t e k

*

-=- （14）

写成级数形式为

222111()223

v t g t kg t k t g t *

**

=-

+?- (15)

显然，在极限情况下，0k →和g g *→，则有()v t gt →。在此，收尾速度为

（16）

由（10）代入（7）中，其中k

q '

则为此问题中的竖直位移y 的一阶导数，即速度v ，Rk Q 是广义耗散力，即f F 。所以，由Rk k

Q q ?

?ψ=-

?，则耗散函数为：

23rv πηψ=，1

3

3()4m t r πρ??

=????

空

（17）

3有耗散的雨滴下落的拉格朗日方程

在雨滴下落过程中，质量是时间的函数，雨滴受到重力、空气浮力、和粘滞阻力的作用。由拉格朗日定义课的含耗散函数的拉氏方程

()f d L L F dt y y y

?????ψ-+=??? （18） 其中V T L -=，T 是雨滴下落过程中的动能，V 是雨滴下落过程中相对地面的重力势能，

ψ是指耗散函数。

下落动能22

11()[()]22

T mv m t y t ?==，势能)()(t gy t m mgy V ==，则

T g v k

*=

()()()()2

12L T V m t y t m t gy t ???

=-=-????

（19）

所以，

()()L m t y t y

?

?

?=? （20）

()()()()d L m t y t m t y t dt y ???????? ?=+ ????

（21）

()L

m t y

?=-? （22） 拉氏方程为：()()()()()()6m t y t m t y t m t rv y t v g πηρ?

?

??

?

+++=气液， （23） 其中，1

3

3()4M t m t r λλπρ??

+=

????

空，()m t v ρ=液

水，整理得： ()()()()()1

33()614m t m t y t m t y t m t g ρπηπρρ????

?????? ?++=- ??? ? ??? ???

??

气空水 （24） 上式即为在雨滴下落过程含有耗散的拉格朗日方程，由此式可以看出，变质量、空气阻

力都是影响运动过程的因素。首先质量不但直接影响函数形式，还以影响阻力的形式作用与物理过程。

4有耗散的雨滴下落的运动规律

雨点开始自由下落时的质量为M 。在下落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽质量为λ。考虑空气阻力6f F rv πη=的运动规律。

本题中的u

=0，由题意可知

m M t λ=+

由（2.4-3）式得

d

[()]()d M t v M t g t λλ+=++f F 即：d

[()]()d M t v M t g t

λλ+=++6rv πη

积分得

()13

2131()()624M t M t M t v Mt t g v C λλλλπηλπρ??

+++=+++????

空

因为0t =时，0v =，所以10C =。于是有

()()22

1

31

d 2

d 364M t s v g t

M t M t λλλλλπηπρ+=

=????+ ?+-??

???

???

空

即

1

3

2211332

21

3

32222232133242233(243)433636443332410844339100826444M Mt

ds M

g g dt

M M M M M M M M M M M M πηλλλπρλπηπηλπρπρπηλπηλπρπρλπηλπηπρπρ??- ???=++????????????-

?- ? ??????????

???

????-+

? ?????

????+-

? ?????空空空空空空空2

45

3

1

331831864gt M M M M λλπηλπρ??????????+??????

??????

-+ ???????

空

再积分得

1

3

2221133221

3

322222323242233(243)4123

3636443332410844339100826444M Mt M

s gt g M M M M M M M M M M M M πηλλλπρλπηπηλπρπρπηλπηλπρπρλπηλπηπρπρ??- ???=

++????????????-

?- ? ??????????

???

????-+

? ?????

????+- ? ????? 空空空空空空空3

13453

1

3

3183

5464gt M M C

M M λλπηλπρ????????????

+????

+??????

-+ ???????

空

因0t =时，0s =，故20C =。

把2C 的值代入上式，得

1

3

22

211332

21

3

3222223213242233(243)41233636443332410844339100826444M Mt M

s gt g M M M M M M M M M M M M πηλλλπρλπηπηλπρπρπηλπηλπρπρλπηλπηπρπρ??- ???=

++????????????-

?- ? ??????????

???

????-+

? ?????

????+- ? ?????空空空空空空空3

3453

1

331835464gt M M M M λλπηλπρ????????????+????

??????-+ ???????

空

这就是在有耗散力存在时雨点ts 后所下落的距离。

参考王剑华的<<理论力学>教材第二章中变质量运动的计算中例 所给出的结果,即

2221[ln(1)]22t M M s g t t M

λλλ=+++ 将其泰勒展开得到:

()222223

12ln 222()t M g M M M s g t M t M M t M t λλλλλλλλ????-=+++++??? ? ? ?+++????

4结论

本文先介绍了阻尼和耗散函数的基本形式，然后将雨滴的具体受力与之结合，得出其耗散力，再根据拉氏方程的形式，代入解得雨滴的运动拉氏方程。由（24）式，只要给出质量变化状况便可求得雨滴下落过程的运动函数，进而求解相关问题。而且，还可以此画出图像更好的分析实际受力等情况。这些问题的研究无论是在哪个领域，例如军事、气象、地质，还是材料方面，都有重要的实际意义。

参考文献

[1]Chester W,Breach D R. On the floe past a sphere at low Reynolds' number[J].J Fluid Mech,1969,37:751-760

[2]王剑华，理论力学[M]；陕西，陕西科学技术出版社。

[3]王振发，含耗散函数的拉格朗日方程及耗散函数的物理意义[J]；山东：山东的轻工业学院学报，2001,01。 [4]王文周，终极速度的起点[J]；四川：四川师范大学学报，2000,09。

[5]程小慷，雨滴撞击引起的飞机动量损失分析[J]；中国民航飞行学院空管系：《成都信息工程学院学报》 2002年04期

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[8]王家訸，分析力学[J]；北京：高等教育出版社，1982,09。

[9]https://www.360docs.net/doc/3417457617.html,

[10]https://www.360docs.net/doc/3417457617.html,/question/137246456.html.

The Lagrange equations of rain falling with dissipation function Abstract: When the rain falling continuously during the condensation of water vapor, and by air buoyancy, and viscous resistance, the analysis of rain in the Lagrange equations. This process, our quality change over time, suffered viscous drag and drop is proportional to speed as the main object of study to describe the Lagrange equations, and discuss its application.

Key words: rain; variable quality; dissipation function; Lagrange equation