-化归思想典型例题分析(含答案)

化归思想典型例题剖析

【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x

与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点．

（1）求 A 、B 两点的坐标；

（2）求△AOB 的面积．

解：⑴解方程组82

y x y x ?=-???=-+? 得121242;24x x y y ==-????=-=?? 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2

（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422

AOD BOD S S ??=??==??= 所以246AOB S ?=+=

点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．

【例2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+=

解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0．

所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12

． 所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32

点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了．

【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角

线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．

解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、

AC=DE ．所以BE=BC+CE=8．

因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ．

因为 AB=CD ， 所以AC ＝BD ．所以GD=DE ．

在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2

所以BD

BE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．

【例4】已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状． 解：因为222a b c ab ac bc ++=++，

所以222222222a b c ab ac bc ++=++，

即：222()()()0a b b c a c -+-+-=

所以a=b ，a=c ， b=c

所以△ABC 为等边三角形．

点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．

【例5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=?，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。

若△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与c 2的关系，

并证明你的结论．

证明：过B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D 。

设CD 为x ，则有222BD a x =-

根据勾股定理，得2222()b x a x c ++-=．

即2222a b bx c ++=。 ∵0,0b x >>，

∴20bx >，∴222a b c +<。

点拨：勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对

于直角三角形三边具有：222a b c +=

的关系，那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢？我们可以通过作高这条辅助线，将一般三角形转化为直角三角形来确定三边的关系.