整式的恒等变形

第1讲：整式的恒等变形

第一讲 整式的恒等变形 【专题知识点概述】 把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用。 通过代数式的恒等变形，对学生准确理解有关概念，掌握有关法则，提高运算能力、逻辑推理能力，增强解题的灵活性，都有重要的意义。 整式的恒等变形是代数式恒等变形的一种，它既是代数式恒等变形的基础，又具有独特的复杂性和技巧性。 整式的恒等变形涉及到的主要内容有：整式的各种运算性质和法则；各种乘法公式的正、逆应用，变形应用；因式分解的有关知识等。其中主要乘法公式除教科书上的平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，有时还用到下面几个： （1）3 2 2 3 3 33)(b ab b a a b a ±+±=± （2）))((32 22333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ （3）))((1 2 2 1 ----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a 下面介绍整式恒等变形的一些常用方法和特殊技巧： 一、运用运算性质和法则 例1.设x 、y 、z 都是整数，且11整除7x+2y-5z ，求证：11整除3x-7y+12z 。

例2.已知d cx bx ax y +++=35，当x=0时，y=-3；当x=-5时，y=9，求x=5时y 的值。 例3.若a 、b 、c 都是自然数，且满足2345d c b a ==、,且c-a=19，求d-b 的值。 二、灵活应用乘法公式 乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。 例4.计算1)12()12)(12)(12(3242+++++ 例5.已知整数a 、b 、（a-b ）都不是3的倍数，试证33b a +是9的倍数。

整式的恒等变形上海教育版-初中一年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷

整式的恒等变形上海教育版-初中一年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料- 初中数学试卷-试卷下载 初一（下）数学练习卷（六） 班级：_____________姓名：_______________学号：_____________得分：_____ 一、填空题： 1、计算：=____________________________。 2、计算：=______________________。 3、计算：=_______________________。 4、计算：= __________________________。 5、，，中的公因式为_________________________。 6、若，则=____________________。 7、要使=1成立的条件是___________________________。 8、。 9、若正方形的面积为，（0<x<6），则它的周长为_________________。 10、因式分解：=________________________________。 11、因式分解：=________________________________。 12、若定义a*b = a + 2b，= 2a – b，计算（3*x）@2 = _____________________。 13、若在整数范围内能分解成两个一次因式的乘积， 则m = ____________。 14、已知：a + b = 9，a2

+ b2 = 5，则ab = ______________________。 15、简便计算：=_____________________________。 16、如果，那么=________________________________。 17、如果，那么a + b = _____________________。 18、=___________________________。 二、选择题： 1、若二次三项式x2 – ax – 1可分解为（x – 2）（x + b），则a + b的值为（）（A）– 1；（B）1；（C）– 2；（D）2. 2、已知是完全平方式，则m的值为 （ ） （A）2；（B）；（C）4； （D）. 3、下列多项式分解因式正确的是（ ） （A）（；（B）； （C）；（D）. 4、已知多项式f（x）与g（x），它们的积是一个八次多项式，它们的商是一个二次多项式，则它们的和的次数为（） （A）三次；（B）四次；（C）五次；（D）六次. 5、若（x2 + ax + 3）·（x2 + bx – 2）的展开式中没有二次项和三次项，则a，b的值为 （） （A） a = 1， b = 1；

三角函数恒等变换练习题与答案详解

两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β (T α－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β (T α＋β) 2． 二倍角公式 sin 2α＝ααcos sin 2； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如 T α±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan β tan α－β－1. 4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α －φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．

整式恒等变形

第8讲整式恒等变形 模块一恒等变形→降幂迭代与换元 基础夯实 题型一降幂迭代法与大除法 【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________． 【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试) 已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．

题型二 整体代入消元法 【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值． 【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值． 题型三 换元法 强化挑战 【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2． 【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()() ()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值． 模块二 恒等变形→因式分解与不定方程 题型一 因式分解 基础夯实 【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________． (2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________． 【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________． (2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y 的值． 强化挑战 【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ． 【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．

初中数学竞赛——整式的恒等变形(二)

第5讲 整式的恒等变形（二） 典型例题 一. 基础训练 【例1】 当341x y z -+=，222x y z +-=时，化简：222232108x xy y xz yz z --++-的结果是（ ） (A ) 1 (B ) 0 (C ) 2x - (D ) 2x - 【例2】 若222214()(23)a b c a b c ++=++，求::a b c . 【例3】 设a 、b 、c 为有理数，且0a b c ++=，3330a b c ++=.求证：对任意正奇数n ，都有 0n n n a b c ++=. 【例4】 已知x y z a ++=，xy yz zx b ++=，xyz c =，用a 、b 、c 表示22222xy x y yz y z z x ++++2x z +.

【例5】 设32x mx nx r +++是x 的一次式的完全立方式，求证：23mr n =. 【例6】 求证：222-121(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a a a ++++ +-=++++++++. 【例7】 求证：44422222[()()()][()()()]y z z x x y y z z x x y -+-+-=-+-+-. 【例8】 已知：0a b c ++=，求证：555333222 532 a b c a b c a b c ++++++=?.

【例9】 设 a b b c =，求证：2222()2()()a b c a b c a b c a c +++++=+++ 【例10】 已知实数a b 、满足0ab ≠，且22333233()()8a b a b a b +=++，求 b a a b +的值. 【例11】 设有多项式43224442(1)(1)A x p x q x p m x m =-+++++，求证：如果A 的系数满足244(1)0p q m --+=，那么A 恰好是一个二次三项式的平方.

整式的运算恒等变形竞赛课程

整式恒等变形 【专题简介】 把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式，在数学求根作图方面有很广泛的应用．因式分解是代数式恒等变形的基础之一，方法众多，相应的训练对学生的代数能力提升较为明显． 基本的分解方法有：①提公因式法②公式法③十字相乘 常见分解技巧有：①主元法②换元法③拆添法④双十字相乘法 高端分解方法有：①因式定理②待定系数③轮换对称 【学习目标】 学习换元法、因式定理、待定系数 题型一消元与降次 强化挑战 【例1】化简(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋(x＋y－2z)2－3(y－z)2－3(x－y)2－3(x－z)2 【练1】已知x，y，z为有理数，(y－z)2＋(x－y)2＋(x－z)2＝(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋(x＋y－2z)2，求(yz＋1)(zx＋1)(xy＋1) 的值． () z2＋1 x2＋1() y2＋1() 【例2】（第14届希望杯1试）若x＋y＝－1，求x4＋5x3y＋x2y＋8x2y2＋xy2＋5xy3＋y4的值 【练2】当x－y＝1，求x4－xy3－x3y－3x2y＋3xy2＋y4的值 【例3】（第14届希望杯邀请赛试题）如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝. 【练3】（1990年第一届希望杯初二第一试）已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值． 题型二因式分解 基础夯实 【例3】（1）已知a5＋a4b－a4＋a－b－1＝0，且2a－3b＝1，则a3＋b3＝. (2)若a4＋b4＝a2－2a2b2＋b2＋6，则a2＋b2＝.

200道代数式的恒等变形练习题

代数式的恒等变形 1.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=O ，则(x-y-z)2009= 2.设x ，y 满足(x-1)3+2004y=1002，(y-1)3+2004x=3006，则x+y= ． 3.分解因式：1)()(22++-+b a b a ab = 6.已知m 、n 为整数,且满足2m 2 + n 2 +3m + n - 1 = 0. 则m + n= 9.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，且满足a 4+b 4+21 c 4=a 2c 2+b 2c 2．则△ABC 的形状是 ． 10.若ax+by=7，ax 2+by 2=49，ax 3+by 3=133，ax 4+by 4=406，则()()17 199562x y xy a b ++-+= . 11.已知非零实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=1，111111 ()()()3+++++=-a b c b c a c a b ， 则a+b+c= . 12.若x ，y 是实数，且m=x 2-4xy+6y 2-4x-4y ，则m 的最小值为 ．

13.已知17b a -=，2124a a +=，则b a a - 14.已知a ，b ，c 都是整数，且24a b -=， 210ab c +-=，求a b c ++= 15.实数x 、y 、z 满足：2+=y x ，012222=++z xy ，求x y z ++= 16. a 、b 、c 为三角形的三条边长，满足 ac 2+b 2c-b 3 =abc ．若三角形的一个内角为100°，则三角形的另两个角之差的正弦等于 17.若a 、b 、C 为实数，222,1,3a b c a b c a b c >>++=++=,则b c +的取值范围是 18.已知xyz=1，x+y+z=2，x 2+y 2+z 2=16．则111222xy z yz x zx y ++=+++ 19.已知x 、y 为正整数，且满足2x 2+3y 2=4x 2y 2+1．则x 2+y 2= 20.已知y x z z y x x z y y x z z y x x z y -+-+=-+-+=++-+=p ．则p 3+p 2+p= ． 21.若正数m ，n 满足 43,+=m n = ． 22.已知a+b=8，ab=c 2 +16，则a+2b+3c= ． 23.已知x 、y 满足22524x y x y ++=+，则代数式xy x y +的值为 ． 24.若2x y -=，224x y +=，则20042004x y +的值是 。

分式的恒等变形精讲精练

一、化分式为部分分式的和 【例1】 （4级）(第10届华罗庚金杯决赛) 下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B . 【例2】 （4级）若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1， 且一次项系数相同)，则p 的最大值是 . 【例3】 （5级）若213111 a M N a a a -=+ --+，求M 、N 的值. 【例4】 （3级）(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244 x x -，求a ，b . 【例5】 （4级）(2004年第15届培训题)已知正整数,a b 满足111 4 a b +=，则a b +的最大值是 ． 【例6】 （4级）若对于3±以外的一切数，2 8339 m n x x x x -=+--均成立，求mn . 【例7】 （5级）若关于x 的恒等式 222Mx N c x x x a x b +=- +-++中，22 Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=， 求N . 【例8】 （4级）将2 6 9 x -化为部分分式. 分式恒等变形（竞赛部分）

【例9】 （4级）化21 (1)(2) x x x ---为部分分式． 【例10】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：234 2 x x x +--. 【例11】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：32222361 (1)(3) x x x x x -++++. 【例12】 （5级）将下列分式写成部分分式的和的形式：322 41338 (1)(2)(1)x x x x x x -+++--. 【例13】 （4级）计算：2132x x x -++262x x ---2 10 4 x x ---． 【例14】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：4322231 (1)(1) x x x x x ++-+-. 二、分式的恒等证明 【例15】 （4级）（1994广东潮州市初中数学竞赛） 求证：()()3322222222 22a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ????++--+-=++-+ ???-+? ??? 【例16】 （5级）已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111 x y z y z x +=+=+，求证：2221x y z =.

整式恒等变形一览

初中数学中的整式恒等式一览表 草根雾岩 @初中理科班数学 学完乘法公式和因式分解后，对比较常见的整式恒等式进行总结，以方便学生们 进行查阅. 比较重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者发现者的名字命名；另外一些虽然在“中考中不能使用，但却是广大劳动人民智慧的结晶，所谓的‘民间定理’”！ 【1】 在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉！本文试着按照不同 难度要求对恒等式进行分类. 【课内涉及的恒等式】 （1）平方差公式 ()()22a b a b a b +-=- ()()22a b a b b a ---=- （2）完全平方和、差公式 222()2a b a ab b +=++ 222()2a b a ab b -=-+ （3）平方和与完全平方和差的关系 ()2 222a b a b ab +=+- ()2 222a b a b ab +=-+ （4）完全平方和差的关系 () ()2 2 4a b a b ab +--= ()() ()22 222a b a b a b ++-=+ （5）三项和完全平方公式 () 2 222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++ （6）两项轮换差的完全平方和 ()()()222 22212a b c ab bc ca a b b c c a ??++---= -+-+-? ? （7）十字相乘法 ()()()2x p x q x p q x pq ++=+++ （8）分组分解法 ()()ax by ay bx a b x y +++=++

【自招中涉及的公式】 （1）立方和、差公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ 2233()()a b a ab b a b -++=- （2）完全立方和、差公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+- （3）立方和差与完全立方和差的关系 ()()3 333a b a b ab a b +=+-+ ()()3 333a b a b ab a b -=-+- （4）杨辉三角 () 5 54322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++ () 5 54322345510105a b a a b a b a b ab b -=-+-+- （5）四项和完全平方公式 () 2 2222222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++

初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形

初一数学竞赛系列讲座(6) 整式的恒等变形 一、知识要点 1、整式的恒等变形 把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形 2、整式的四则运算 整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础．3、乘法公式 乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条： ①(a+b) (a-b)＝a2-b2 ②(a±b)2＝a2±2ab+b2 ③(a+b) (a2-ab+b2)＝a3+b3 ④(a-b) (a2+ab+b2)＝a3-b3 ⑤(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ⑥(a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)＝a3+b3+c3-3abc ⑦(a±b)3＝a3±3a2b+3a b2±b3 4、整式的整除 如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式． 5、余数定理 多项式()x f除以(x-a) 所得的余数等于()a f． 特别地()a f＝0时，多项式()x f能被(x-a) 整除 二、例题精讲 例1在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 分析要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0” 解因1+2+3+ (1998) () 1999 999 2 1998 1 1998 ? = + ? 是一个奇数，

又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1． 先考虑四个连续的自然数n、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小． 很明显n-(n+1)-(n+2)+(n+3)＝0 所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号， 即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)＝ -1+2＝1 故所求最小的非负数是1． 例2 计算(2x3-x+6)?(3x2+5x-2) 分析计算整式的乘法时，先逐项相乘(注意不重不漏)，再合并同类项，然后将所得的多项式按字母的降幂排列． 解法1 原式＝6x5+10x4-4x3-3x3-5x2+2x+18x2+30x-12 ＝6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12 评注：对于项数多、次数高的整式乘法，可用分离系数法计算，用分离系数法计算时，多项式要按某一字母降幂排列，如遇缺项，用零补上． 解法2 2+0-1+6 ?) 3+5-2 6+0-3+18 10+0-5+30 -4+0+2-12 6+10-7+13+32-12 所以，原式＝6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12 例3求(2x6-3x5+4x4-7x3+2x-5) (3x5-x3+2x2+3x-8)展开式中x8的系数 解x8的系数＝2?2+(-3) ? (-1)+(-7) ?3＝-14 评注：只要求x8的系数，并不需要把展开式全部展开． 例4计算(3x4-5x3+x2+2)÷(x2+3) 分析整式除法可用竖式进行 解 3 x2– 5x - 8 x2+3) 3x4 - 5x3 + x2 + 0x + 2 3x4+9 x2 - 5x3 -8 x2+ 0x

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代数式的恒等变形 代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一． 两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等． 证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，代数式的基本变形有配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法。下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧． 一．设参数法 如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设 一些参数 ( 也叫辅助未知数 ) ，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．如果题中的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式． 例 1．已知 x y z a b b c c a ，求 x+y+z 的值。 例 2．已知a b b c c a ， a ,b, c 互不相等，a b 2 b c 3 c a 求证： 8a+9b+5c=0． 二．由繁到简和相向趋进 恒等式证明最基本的思路是“由繁到简” (即由等式较繁的一边向另一边推导 )和“相向趋进” (即将等式两边同时转化为同一形式 )． 例 3．已知 x+y+z=xyz ，证明： x(1-y 2)(1-z2)+y(1-x 2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．

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两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征； 2.灵活使用 (正用、逆用、变形用 )两角和与差的正弦、余弦、 正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－ β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋ β)＝cos_αcos_β－ sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－ β)＝sin_αcos_β－ cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋ β)＝sin_αcos_β＋ cos_αsin_β (S α＋β) tan α－ tan β (T α－ β tan( α－ β)＝ 1＋ tan αtan β ) tan α＋ tan β (T α＋ β tan( α＋ β)＝ 1－ tan αtan β ) 2． 二倍角公式 sin 2α＝ 2 sin cos ； cos 2α＝cos 2α－sin 2 α＝2cos 2α－ 1＝ 1－ 2sin 2α； tan 2 α＝ 2tan α 2 . 1－ tan α 3． 在准确熟练地记住公式的基础上， 要灵活运用公式解决问题： 如公式的正用、 逆用和变形用等． 如 T α±β 可变形为 tan α± tan β＝ tan( α±β)(1tan_ αtan_ β)， tan αtan β＝ 1－ tan α＋ tan β tan α－ tan β ＝ － 1. tan α＋β tan α－ β 4． 函数 f(α)＝ acos α＋ bsin α(a ，b 为常数 )，可以化为 f(α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋ φ)或 f(α)＝ a 2＋ b 2 cos(α－ φ)， 其中 φ 可由 a ， b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源 ] 三角变换中的 “三变 ” (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是 “配凑 ”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有 “切化弦 ”、 “升幂与降幂 ”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有 “常值代 换 ”、 “逆用变用公式 ”、 “通分约分 ”、 “分解与组合 ”、 “配方与平方 ”等． 热身训练 2 1 tan α 1． 已知 sin(α＋ β)＝ ， sin(α－ β)＝－ ，则 的值为 _______． 3 5 tan β

整式恒等变形一览

初中数学中的整式恒等式一览表 草根雾岩@初中理科班数学学完乘法公式和因式分解后，对比较常见的整式恒等式进行总结，以方便学生们进行查阅. 比较重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者发现者的名字命名；另外一些虽然在“中考中不能使用，但却是广大劳动人民智慧的结晶，所谓的‘民间定理’”！【1】在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉！本文试着按照不同难度要求对恒等式进行分类. 【课内涉及的恒等式】 （1）平方差公式 （2）完全平方和、差公式 （3）平方和与完全平方和差的关系 （4）完全平方和差的关系 （5）三项和完全平方公式 （6）两项轮换差的完全平方和 （7）十字相乘法 （8）分组分解法

【自招中涉及的公式】 （1）立方和、差公式 （2）完全立方和、差公式 （3）立方和差与完全立方和差的关系（4）杨辉三角 （5）四项和完全平方公式

【几个比较有名的配方公式】 （1）()()()()()()22222222a b c d ac bd ad bc ac bd ad bc ++=++-=-++ 这是着名的菲波那切（Fibonacci ，1170--1250）恒等式. 该恒等式可以推出二元柯西不等式. （2）()()244422 2a b a b a ab b +++=++ （3）()()()222222111n n n n n n +?+++=++ （4）()()()222 4444222242a b c d abcd a b c d ab cd +++-=-+-+- 该恒等式可以推出四元的均值不等式. （5）()()()()22123131x x x x x x ++++=++ 该恒等式可以说明连续四个正整数的积不是完全平方数. （6）()()()()()22222223122 a b b c c a a b c a b c -+-+-=++-++ 一个求最值问题的变形，奥精上有这道题，去年某区初赛考了它的推广形式. （7）()()44222242222n k n nk k n nk k +=++-+ 双二次式的因式分解，配方法和平方差结合的典例，类似的方法可以证明对于一切整数1n >，441n +及44n +都是合数，前者被称为哥德巴赫定理（Goldbach ，1690--1764），后者被称为吉梅茵（Germain ，1776--1831）定理【2】. 当然，4这个系数还可以改为64、324、1024等具有形式44t 的数。

分式的恒等变形

第二讲 分式的恒等变形 【专题知识点概述】 分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。 分式的恒等变形涉及到的主要容有：分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。 一：基本知识 1.分式的运算规律 （1）加减法： )(同分母c b a c b c a ±=± )(异分母bc bd ac c d b a ±=± （2）乘法：bd ac d c b a =? （3）除法：bc ad d c b a =÷ （4）乘方：n n n b a b a =)( 2.分式的基本性质 （1）)0(,≠÷÷==m m b m a b a bm am b a （2）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3.比例的重要性质 （1）如果e f b a e f c d c d b a ===那么,（传递性） （2）如果bd ac c d b a ==那么（项积等于外项积） （3）如果)(合比性质那么 c d c b b a d c b a ±=±= （4）如果)()0(,合分比性质那么 d b d b c a c a d b d c b a -+=-+≠-= （5）如果,0,≠+++==n d b n m d c b a 且 那么 )(等比性质b a n d b m c a =++++++

4.倒数性质 （1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。 （2）如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。 （3）如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。 二、有关分式的运算求值问题 乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。 ? 例1.若a 、b 、c 均为非零常数，且满足 a c b a b c b a c c b a ++-= +-=-+， 又abc a c c b b a x ) )()((+++=，且0

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【最新整理，下载后即可编辑】 两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(Cα－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(Cα＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(Sα－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(Sα＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β(Tα－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β(Tα＋β) 2．二倍角公式 sin 2α＝α αcos sin 2； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝2tan α 1－tan2α. 3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式

的正用、逆用和变形用等．如T α±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan β tan α－β －1. 4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋ b 2sin(α ＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源] 三角变换中的“三变” (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 热身训练 1． 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan α tan β的值为_______． 2． 函数 f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为 ______________________． 3． (2012·江苏)设α为锐角，若 cos ??? ? ?+6πα＝4 5，则

代数式与恒等变形

第5讲 爹代数式与恒等变形 在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形．恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简洁，一般可以把恒等变形分为两类：一类是无附加条件的，需要在式子默认的范围中运算；另一类 是有附加条件的，要善于利用条件，简化运算．恒等式变形的基本思路：由繁到简（即由等式较繁的一边向另一边推导）和相向趋进（即将等式两边同时转化为同一形式）． 恒等式证明的一般方法： 1．单向证明，即从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简，变形的过程中要不断注意结论的形式，调整证明的方向． 2．双向证明，即把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式． 3．运用“比差法”或“比商法”，证明“左边一右边=0"或1=右边 左边（右边≠O)”，可得左边d 右边． 4．运用分析法，由结论出发，执果索因，探求思路， 本节结合实例对代数式的基本变形（如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等）方法作初步介绍， 题1 求证 ：=-+?+-+++n n n n 23522322n 2).235(1011-+-+n n n 对同底数幂进行合并整理， 解 方法一： 左边)222()33(55221n n n n n -+-+++??=++ )22(2)13(35103121+-++?=-+n n n 11210310510-+?-?+?=n n n )235(1011-+-+=n n n =右边， 方法二： 左边)12(2)13(352222+-++?=+n n n .25310522n n n ?-?+?=+ 右边11210310510-+?-?+?=n n n .25310522n n n ?-?+?=+ 故 左边=右边． 方法一中受右边 ”、、“11235-+n n n 的提示，对左边式子进行合并时，以n n 351、 +与12-n 为主元合并，迅速便捷． 读一题，练3题，练就解题高手

第1讲-整式的恒等变形

第一讲 整式的恒等变形 【专题知识点概述】 把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用。 通过代数式的恒等变形，对学生准确理解有关概念，掌握有关法则，提高运算能力、逻辑推理能力，增强解题的灵活性，都有重要的意义。 整式的恒等变形是代数式恒等变形的一种，它既是代数式恒等变形的基础，又具有独特的复杂性和技巧性。 整式的恒等变形涉及到的主要内容有：整式的各种运算性质和法则；各种乘法公式的正、逆应用，变形应用；因式分解的有关知识等。其中主要乘法公式除教科书上的平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，有时还用到下面几个： （1）3 223333)(b ab b a a b a ±+±=± （2）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ （3）))((1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a ΛΛ 下面介绍整式恒等变形的一些常用方法和特殊技巧： 一、运用运算性质和法则

? 例1.设x 、y 、z 都是整数，且11整除7x+2y-5z ，求证：11 整除3x-7y+12z 。 ? 例2.已知d cx bx ax y +++=35，当x=0时，y=-3；当x=-5时， y=9，求x=5时y 的值。 ? 例3.若a 、b 、c 都是自然数，且满足2345d c b a ==、,且c-a=19， 求d-b 的值。 二、灵活应用乘法公式 乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。 ? 例4.计算1)12()12)(12)(12(3242+++++ΛΛ ? 例5.已知整数a 、b 、（a-b ）都不是3的倍数，试证33b a +是9

第八讲 因式分解与恒等变形

第七讲 因式分解（十字相乘与分组分解） 知识点归纳 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时也把这一过程叫分解因式 因式分解和整式的乘法有互逆关系 一个多项式中每一项都含有相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式 把公因式提出取出来进行因式分解的方法，叫做提公因式法 提取公因式的一般步骤： 1、确定应提取的公因式 2、用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式 3、把多项式写成两个因式的积形式 提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式 添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 ()()b a b a b a -+=-2 2 两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方 ()b a b a ab +=++2 2 2 2 () b a b a ab -=+-2 2 2 2 利用公式把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法 十字相乘法： 引入：乘法公式 ()()()ab x b a b x a x x +++=++2 应用这个公式，我们可以得到分解形如 q px x ++2 的二次三项式的方法： 如果可以得到两个数a 、b ，使得常数项为两者的积，同时一次项系数为两者的和，也即ab=q,a+b=p,如下图： 1 a 1 b 例1分解因式（1）342 ++x x （2）672++x x （3）672+-x x （4）652+-x x （5）652-+x x （6）652 --x x 例2分解因式（1）822 +--x x （2）x x --220 （3）2532 +-x x （4）3842++x x （5）24762 --x x （6）66132--x x 例3分解因式 （1）22 107y xy x ++ （2）222410y xy x -- （4）22 32y xy x -- （4）22412y xy x -+ 例4分解因式 （1）xy y x 2514422 -+ （2）22 4258b ab a -- （3）22 151112y xy x -- 例5分解因式 （1）28324 -+x x （2）()()1242 -+-+y x y x （4）()b x b x ++-12 （4）()3322 -+-+k x k kx

金湖县实验中学高中数学奥赛辅导整式的恒等变形

内容：（1）运用运算性质法则。（2）灵活运用乘公式。（3）配方法。 （4）应用因式分解。（5）代换法。 一．（运用性质和法则） 1． 设x , y , z 都是整数，且11整除7x+2y-5z , 求证：11整除3x-7y+12z . 2． 已知d cx x ax y +++=356，当x = 0 时，y = - 3 ;当x = -5 时，y = 9 , 求当x = 5时 y 的值。 二．（灵活运用乘法公式） 3． 计算：()()()()1121212123242+++++ 4． 设a , b , c 为有理数，且0,0333=++=++c b a c b a . 求证：对于任何正奇数n ，都有0=++n n n c b a 5． 当1,0222=++=++c b a c b a 时，试求下列各式的值： （1）ab ca bc ++ ；（2）444c b a ++ 6． 试求x x x x x x +++++392781243被1-x 除的余数。 三．（配方法） 7． 证明：当a , b 取任意有理数时，多项式116222++-+b a b a 的值总是正数。 8． 若() ()22223214c b a c b a ++=++，求a : b : c . 9． 已知a , b , c , d 为正数，且abcd d c b a 44444=+++， 求证： a = b = c = d . 11. 解方程：0441212322222=+-++-y y y x y x x 12．若a , b , c , d 是整数，且2222,d c n b a m +=+=， 求证：mn 可表示成两个整数的平方和。 13．已知2,122=+=+b a b a ，求77b a +的值。 四．（应用因式分解） 14．在三角形ABC 中，22216c b a -- 0106=++bc ab （a , b , c 是三角形的三边）， 求证：b c a 2=+ 15．已知c a bc a b c b ac b a 222222++=++，试求()()()a c c b b a ---的值。 五．（代换法） 16．已知a , b , c 适合,d c b a +=+ 3333d c b a +=+。