复数域在图像处理中的应用

摘要

图像分割，正如字面上所理解的，对图像信息进行分块，并取得自己所需要的那一块。图像分割是图像分析处理的重要环节。为了能更好的理解与分析，和处理图像，尤其是自己感兴趣的那一块，我们离不开图像分割。它将原始图像，通过目标识别，匹配，提取，测量参数后，找到处理的根本对象所在。

如何在图像中表现出其是否是均匀的、是粗糙的又或者是细致的？为了区分图像，我们引入图像纹理特征，它是图像的本身属性。在灰度的变化过程中，通过统计变化，空间中，图像的纹理特征也发生相应的改变。由此可知，纹理特征是指图像内所含有的，一定区域内的，按一定规律形成的或者周期排列的，小形状区域块。

傅里叶变换，就如同处理信号，把图像从“空域”变为“频域”。在一幅图像中，其细节以及纹理特征信息在频谱图的高频率部分呈现出；低频部分代表了图像的轮廓信息。若我们将一幅精细的图像通过低通滤波器变换，那么图像经过变换后的结果就剩下了轮廓。这与信号处理的基本思想是相通的。我们就可以用滤波器来恢复噪点恰巧位于图像的某个特定“频率”范围内的图像。

本文主要是对图像进行傅里叶变换分析并对比Gabor变换和脊波变换。

关键词：图像处理，傅里叶变换，复数域，纹理特征

ABSTRACT

Image segmentation refers to the image into various characteristics of the region and extract the target of wich we are interest in.The first step to understand and analysis a image is to make a image segment, the need for image object extraction, measurement and it makes the expression of the target feature extraction, parameter measurement of the original image is the foundation of the image analysis and understanding.

Texture refers to the shapes that exist within a certain range of the image,usually is very small,semi-periodic or regular arrangement of the pattern. For same phenomenon, texture is used in image interpretation of meticulous and rough.Texture is one of the main features of image processing and pattern recognition.The texture feature is the image gray level changes,such changes and statistics will be concerned.Image texture features reflect the properties of the image itself,contribute to the distinction between images.

As one-dimensional signal processed,Fourier transform trans the image from the "airspace" to"frequency".For a picture,high-frequency part represents the image detail and texture information;low-frequency part represents the outline of the image information.For example,a fine image processed with a low pass filter,then filtering the result to the rest of the silhouette.This is the basic idea of the signal processing are interlinked.If the image is subject to a noise just in a specific "frequency" range,it can pass through the filter to restore the original image.

This article is mainly for image Fourier transform analysis and process with Matlab. KEY WORDS：Image process, Fourier transform, Complex Unit,texture feature,

目录

摘要............................................................. I ABSTRACT............................................................ II 第一章绪论. (4)

1.1选题背景和意义 (4)

1.2国内外研究现状 (4)

1.3 设计（论文）的主要研究内容及预期目标 (5)

第二章纹理特征 (1)

2.1 纹理 (1)

2.2 基于纹理特征的方法 (2)

2.2.1 信号处理方法 (2)

第三章复数域上的Fourier变换 (3)

3.1 Fourier变换 (3)

3.2 Gabor变换 (4)

3.2.1 Gabor变换定义式 (4)

3.2.2 窗口的宽高关系 (5)

3.2.3离散Gabor变换的一般求法 (5)

3.2.4 Gabor变换的解析理论 (6)

3.2.5 适用条件 (6)

3.2.6 应用 (6)

3.3脊波变换 (7)

3.4 Radon、Fourier和Ridgelet变换的关系 (8)

第四章复数域上的图像处理计算机实践 (9)

4.1 实践环境 (9)

4.2傅里叶变换的MATLAB实践 (9)

4.3 Gabor变换及脊波变换 (9)

第五章总结 (11)

参考文献 (12)

致谢 (13)

第一章绪论

1.1选题背景和意义

数字图像处理技术是一门多领域的，交叉型学科。在微电子技术以及数字技术飞速发展的今天，图像分析和处理已然形成了一门复杂的科学体系，在其不长的发展历程中，经过各个领域的广泛使用与创新，图像处理的理论与实践新思路源源不断。视觉，人类的心灵之窗，人类感知的第一步。为了满足人们日益增长的需求，尤其是“计算机”、“生物医学”等学科方面的专业应用，使“大气科学”、“地理科技”等领域得到了更加精确的描述，使得这门技术成为了众多专家的专门技术。

从二十世纪七十年代末到现在，图像处理技术取得了长足的发展，出现了许多图像处理相关的新理论、新方法，然而，遗憾的是基本上每种图像处理方法都只能应用于一些特定的问题解决。早期出现了一些经典的如阈值化等等处理方法，这些处理方法主要基于简单的边缘和灰度等基础知识。随着待解决问题复杂程度的提高，越来越多的专业知识应用到图像处理中来，这些专业知识主要是指人们对目标提取的理解。

为了使图像处理过程的更加智能化，自适应化，同时将图像处理专业知识让更多人所认知，在此，我将通过图像处理信号变换的方法进行实践应用。让专业的知识得到普及，从而满足日常生活中人们对图像信息进行更加细致深入的处理，使人们的物质文化生活更加丰富。

1.2国内外研究现状

从二十世纪萌芽的图像相关技术，自1990年以后，数字图像处理技术迅猛发展。由于图像内的像素值在相邻区域内具有重要的性质：（1）不连续和（2）相似（像素间相似，像素在区域边缘又通常不连续）；从而，在实践和创新的双向驱动下，专业技术得到了更具体的革新，如小波分析，模糊聚类，Gabor滤波变换，基于Bregman 的纹理分割图像的方法等等；其主要可分为：“阈值、边缘和区域”之间的分割。

现行的，在图像的处理领域的专业技术，越来越多的处理技术和思想已经得到一定的发展和广泛地使用，尤其在纹理图像方面的应用。如在医学诊断过程中，在计算机的视觉效果处理中，在遥感信息处理过程中，还有图形图像检索方面，凸显了分割纹理成了图像处理技术中的第一步重要性，也是图像在专业应用领域的基础分析。

但是，在复杂基元同时存在时，频域内的图像的纹理特征被表现出来的信号不

平滑、稳定；而且在特征的局限性下，其方向性和频谱特性受到巨大限制。

为此，我们引入频域和时域都较高的、同时满足纹理特征的变换工具——Fourier变换。

高的时间和频率分辨率在纹理分割处理图像时，所采用工具应同时具备，这就要求图像信息处理过程中，要达到高频的特点。通常分析和处理信号方法是傅立叶变换，傅里叶变换是个十分重要的工具[21]。

目前，Fourier变换是一般的信号分析和处理的重要工具。信号处理中的Fourier方法已经广泛应用于医学，尤其在乳房肿瘤的纹理切片识别检测方面得到更多更专业，更加具体的实践。

Gabor变换是继Fourier变换之后的一个飞跃，它给许多相关领域带来了新思想，提供了有力工具。在不断的实践过程中，人们的需求进一步推动了傅里叶变换的发展，近年来，随着研究的进展，脊波( Ridgelet ) 变换在奇异性和多尺度分析上占有较大优势，能使图像处理得更加稀疏，具有方向梯度，弥补了Gabor的局限。由于其本身具有多学科结合相互、相互渗透的特点，并且在各个专业领域内都有相应的研究成果和突破，脊波分析的发展推动着许多其它学科和相关领域的发展。脊波变换在各专业领域内，每每有新的研究成果，都会受到各界的广泛关注，尤其在图像处理的应用上更是如此。Gabor变换局部化时间分析，图形边缘检，地震勘探反射波的位置等信息极重要，而脊波变换更偏重于纹理条纹的处理。

图像分割是一项很困难的技术活，为了达到医学诊断所需要的精度，现在流行的自动分割算法已经不能满足需求。

图像分割除了准确性外，近年来，使用户了解，并引导用户进行交互处理图像成为流行发展趋势和研究方向。

图像的处理，在于其数字图像所包含的数字信息以及转换为数字信息后有用的数字信号，其复杂性决定了现在流行的算法优化重构以及可视化等相关研究的发展[22]。

1.3 设计（论文）的主要研究内容及预期目标

本论文主要分为4个部分。

在本文第一部分，介绍了图像处理的背景知识及相关概念，并由前言部分进行现阶段图像处理现状及发展方向。

在第二部分，纹理是图像的主要组成部分。复数域上纹理特征定义及相关性质在傅里叶变换以至Gabor变换、脊波变换都有重要联系。

在本文第三部分，我将介绍复数域上基于纹理图像处理傅里叶方法。

在本文第四部分，我将用matlab中的图像处理工具进行实践，并对现行的复数域上的图像处理变换方法进行对比学习。

第二章纹理特征

2.1 纹理

一般的，对于数字图像，我们通过对其使用计算机相关软件进行分析，得到自己想要的相关图像量化，这个过程称之为图像处理。其主要对象来源于扫描仪，照相机等影像拍摄、存储、读取以及处理设备。

通过数字化处理，我们得到图像的相关的量化信息，这些信息构成相应的数组，也就是我们在日常生活中所提及的像素，图像的灰度值就是其像素值。

Image分解算法被广泛的应用到图像处理的很多领域中，它对压缩、特征提取以及高动态范围图像压缩等各类应用都具用十分重要的意义。在一定的意义下，Image分解算法将一张图像分解成若干图层，在这里，我们粗劣划分为表明边界和色调的结构层S和展现丰富纹理信息细节变化细节层D两层：

I(P)=S(p)+D(p) （2-1-1）结构层反映了图像边界和明暗色调，而细节表达了图像中丰富的细节变化和纹理[5]。

在图像中，相邻关系的像素点之间，它们进行着有意义的变化——亮度变化。因此，各种各样的纹理图在变化图像中能够得到充分的展现。尽管纹理是变化的，是不统一的，具体体现在其灰度等级上，然而，人们还是可以通过同一区域进行划分。（一些研究人员以人的视觉系统来描述纹理）。

像素的空间分布直接影响着纹理图像，同时，该空间的关系也受到纹理图像的基元大小，类型控制。因此，所在区域的纹理图像（相当于）分辨率属性的特征是大于一定程度的同质化空间。

纹理图像是由该区域中，基元个数决定的。含有大量的基元，那么，纹理信息才能被感知；反之，低于一定数量的基元，只能被识别作可数对象。

其实，图像的纹理在变化的尺度和分辨率下均能被感知。就像一个细胞群，我们如果在用显微镜观察时使用低倍镜，那么我们将看到多数细胞，而非单个细胞的内部结构，即无法从细节上观察；若使用高倍镜进行观察，在视野内的细胞数量不仅而且能看清其纹理细节。

由此可知，不同的观察距离或者不同的观察角度，对纹理的表示也有影响。当我们用高倍镜观察时，细胞内部呈现出同质区域，这些构成了纹理的基本元素。

2.2 基于纹理特征的方法

我们在此次实践过程中，研究图像基于纹理特征的处理方法主要为信号处理技术。当然，在其他相关的领域内，我们的统计分析方法还有几何方法以及关键点方法都已经得到相当广的应用。为了使大家了解复数域上的图像处理应用原理，我们在此只将解其传统的fourier 变换方法。

2.2.1 信号处理方法

信号处理在数学和理化的基础上得到了具体的过程。我们通过信号发生后，在其传输过程中，接收信息并滤噪或者抗干扰，再转换为我们的数字信息，进行存储和读取，以期得到我们想要的目的——减弱或者消除信号中的冗余信息。基于纹理特征的信号处理方法有很多，这里介绍传统Fourier 变换原理。

2.2.1.1 Fourier 变换

)212()()]([)(--=

=?∞

∞-dt e t f t f F F iwt ω

最初，在Fourier 变换提出之前，我们只能上用z=f （x ，y ）的映射关系来表示位图，这一一对应的映射点，组成了一个二维矩阵。在现实生活中，我们的空间是三维的，而图像确实通过采样形成的二维矩阵，为此，我们引入梯度这一维度。简单的二维矩阵，通过复数域的引入，从而更加具体。富有梯度，角度，维度等等可以量化的信息供人们进行分析处理。

梯度，不仅是纹理变化剧烈程度的指标，也指频率。

图像傅里叶，是将某函数分割成一系列周期函数，然后通过其具有周期等性质进行处理。Fourier 变换和他的逆变换过程，是将图像实现在空间域和频域之间相互转换。

Fourier 变换能量变换及其分布情况，说明了纹理的粗糙和其具有方向性。

第三章 复数域上的Fourier 变换

3.1 Fourier 变换

一样的，图像经过映射，在复数域上，我们将其记为

)113(--=+=?

i re iy x z

又因为当12-=i 时， 222y x r +=

则有x

y =?tan

（图3-1-1）

如图（3-1-1）所示由此，我们建立起一个二维复平面内，图像点与复数的一一映射关系。

那么在二维的图像中，数据呈现出离散，杂乱无章，此时，fourier 变换功能得到很好的体现，其离散的的傅里叶变换为

在频域内，设复数域上的函数F(u,v)为图像谱，那么参数u 、v 就分别对应于空间域上的的横纵坐标轴，即x 轴和y 轴。那么对于某一图像f(x,y)，通过fourier 变换后，映射到复数域上的图像。

能量谱

)213(),(),(),(22--+=v u I v u R v u E

相位谱 )313()],(/),([),(--=v u R v u I arctg v u ?

振幅谱

)413(),(),(),(22--+=v u I v u R v u F 实部),(v u R 和虚部),(v u I 。

在复数域上，fourier 变换的共轭对称性得到很好的展示。

)513(),(),(----=v u F v u F 说明，其对称中心是图像原点。

功率谱

)613(),(),(2

--=v u F v u P

当功率谱分量为0时，图像比较光滑，平坦。

大周期的同色变换时，图像所呈现出明显的纹理线条，同时，在信号频域内，其在低频部分，能量比较聚集。反之，复杂的细长线条则，高频段则有相应的显示。

3.2 Gabor 变换

1946年，为了不仅反映信号的整体性（时域和频域），在信号满足平稳的前提下，D.Gabor 提出了Gabor 变换，这对经典的Fourier 变换是一次重大的变革。

由式（3-1-6）可知，需取得时域内，信号的所有信息，才能进行Fourier 变换，并研究其时域内信号的频谱特性。不仅如此，又由于Fourier 变换具有周期性等特点，若使信号在某一邻域内，某一时刻发生变化，那么整个频谱图将受到重大影响。然而，频谱的变化，却不能反映出信号发生变化的具体时间位置，更加没有办法描述该变化发生的剧烈程度。由此说明，信号的本身属性——中齐性，Fourier 变换对其不敏感，在局部内，频谱信息无法得到很好的描述。如，语言，音乐信号等。即：复数域上局部化时间分析，图形边缘检，地震勘探反射波的位置等信息极重要[13]。

为了使局部化信息得到更好地描述、刻画，一种复数域上的新变换方法产生。

3.2.1 Gabor 变换定义式

在Fourier 变换的基础上，我们对其加入窗函数，由此来更好地了解图像信号在时域上的单位信息。

设函数f 为具体的高斯函数，且)(2R L f ∈，则Gabor 变换定义为

)813()()(),;(---=-∞

∞-*?dt e b t g t f b a G t i a f ωω 其中，)4exp(21

)(2

a t a t g a -=π，是高斯函数，称为窗函数。且a>0,b>0. )(

b t g a -是一个时间局部化的“窗函数”。其中，参数b 用于平行移动窗口，以便于覆盖整个时域。

对参数b 积分，则有

)913(),(?),,(--∈=?∞∞-R f db b a G f ωωω 信号的重构表达式为

)

713()()(?--=?∞∞--dx e x f f x i ωω

)1013()(),;(21)(---=??∞∞-∞

∞-db d e b t g b a G t f t i a f ωωπω

引入窗函数后，在时域和频域内，Gabor 变换，实现了局部化，窗口化的目标。设单位Gauss 函数)(t g ，由高斯函数性质可知，一个高斯函数通过Fourier 变换，其结果得到的将还是高斯函数。因此，其逆变换也在时域和频域内实现局部化。再有，Gabor 变换，为Fourier 变换实现了窗口最优，其实质是通过划分信号为较小时间区域，然后在每个时域内，再用Fourier 变换进行处理。这样，从时域到频域，Fourier 变换才真正解决了其局部分析的目的。

总之，在时域和频域内，通过可滑动的窗函数，我们能够了解到图像的局部信息。

3.2.2 窗口的宽高关系

经理论推导可以得出：高斯窗函数条件下的窗口宽度与高度，且积为一固定值。 ][()()

())1113(222221,1,,41,,--=??? ????=??=??

????--?+-a a a w b a w b g g H G a a a a a b a b ωω 矩形时间――频率窗：宽为a 2，高a 1。

由此，Gabor 变换其缺点在于：窗函数在被选定后，分割开了频域与窗口形状的内在联系，时域频域窗口形状将是保持不变的。因此，在变换过程中，Gabor 无法体现出信号在整个复数域内的特性，这就将致使信号源信息频谱失真。若是为了使信息不丢失，必然加大了图像处理过程中的储存量和计算量，使算法变得复杂，也不利于控制变量。

3.2.3离散Gabor 变换的一般求法

3.2.3.1首先选取核函数

可根据实际需要选取适当的核函数。如高斯窗函数；

)1213(2)(22--???

? ??=??? ??-T t e

T t g π 则其对偶函数)(t γ为

())1313(121)(/12/1)21(2302122---??? ?????

??=∑>++-??? ??-T n n n T t e e K T t πππγ

2.2.

3.2离散Gabor 变换的表达式

)1413()()()()(**--=-=

??∞∞-∞∞--dt t g t dt e mT t g t G mn t jn mn φφω

)1513()

()()(--=-=

∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=m n mn mn m n t jn mn t G e mT t G t γγφω 其中，

)1613()()(---=t

jn m n e mT t g t g ω )(t γ是)(t g 的对偶函数，二者之间有如下双正交关系。

)1713()()(*--=-?∞∞--n m t jn dt e mT t g t δδγω

3.2.4 Gabor 变换的解析理论

Gabor 变换的解析理论就是由g(t)求对偶函数)(t γ的方法。

定义g(t)的Zak 变换为

)1813()(),(?)]([2---==∑∞-∞=-k k j e k t g t g

t g Zak ωπω 可以证明对偶函数可由下式求出：

)1913(),()(1

0*--=?ωωγt g d t

有了对偶函数可以使计算更为简洁方便。

3.2.5 适用条件

临界采样Gabor 展开要求条件：T Ω=2π；

过采样展开要求条件：T Ω≤2π；

当T Ω＞2π时，欠采样Gabor 展开，已证明会导致数值上的不稳定。

3.2.6 应用

3.2.6.1暂态信号检测

我们通常使用Gabor 变换，对信号做精确的检测统计测量。不过，这就对使用者对信号的波形图要有一定的理论基础知识，而且能够自行选择符合条件的基函数。

3.2.6.2图象分析与压缩

图像分析与压缩使二维的Gabor 变换更加具体。

3.3脊波变换

自然图像中包含有大量的纹理特征，线奇异性表现比较突出，Gabor 变换不能达到最优的逼近。为了克服Gabor 变换的局限性和固定性，一种新的多尺度变换——脊波变换(Ridgelet Transform)，在Candes 等人的研究成果中得以提出。

3.3.1 Ridgelet 变换的定义

3.3.1.1 一维Ridgelet 变换

引入函数集： )133(}

,0,,);,,({1--∈>∈==Γ-d S u a R b a b u a γ 是d 维空间的单位球面。记多维空间的Fourier 变换为：

?

--∈=-)233(,)()(?·d ix R x dx x f e f ξξ 定义3.3.1：取一光滑的一元函数：?=dX X f X b a CRT b a R f )()(),,(),,(2θψθ 其中R R →:ψ并满足允许条件： 定义一个多元函数： y ψ它被称为条件允许的情况ψ下产生的脊。其中a 是一个已知参数规模脊，同样的，u 、b 分别为方向和滑动参数。它是一种非分离变量，基本函数发生器，y ψ可以产生一组面向对象的脊波族。

图3-1 给出Ridgelet 的几种形式的图解，其中

）

（3-3-3)a ·(·)(2/1b x u a x y -=-ψψ0

t )d t (=?ψ

)2exp()1()(22

t t t --=ψ

脊波（Ridgelet ）变换是在Gabor 变换的局部化基础上，添加了具有识别方向和选择方向的能力。脊波变换的本质，主要是在基于Gabor 函数上，添加一个参数，该参数具有方向性。

自E.J Candès 始，经过多领域，深入实践，脊波变换其理论框架被搭建在经典的Fourier 变换基础上。期间，有小波分析的发展，也有Gabor 变换的更新，最终，在高维复数域上，能达到局部时频分析，且克服Gabor 窗函数的不足。如果图像含有明显纹理特征、丰富，用脊波变换表示为更加松散、稀疏。

3.4 Radon 、Fourier 和Ridgelet 变换的关系[10]

第四章复数域上的图像处理计算机实践

4.1 实践环境[15]

操作系统：windows vista 1G内存，1.8Ghz

操作软件：MATLAB7.0

（Windows Vista系统下以Windows Vista（Service Pack 1）兼容模式运行）

路径配置：file→set path→add folder...选中ridgelet_transform文件夹(含fftshift.m

文件）和Gabor_filter文件夹设为默认。

图像需求：纹理图像 LENA.BMP

4.2傅里叶变换的MATLAB实践

设图像中一点的值为f（x,y），那么，根据第一章所说，其代表了像素值，同时也表示为该点灰度值。也就是说，在图像处理过程中，第一步，就是将图像进行数字化，一一对应到函数图像复数域上的点集，这样，图像就转换为我们所熟知的，简单的数学数据，便于我们运算分析。同时，以数据的方式对图像进行压缩，存储和传输使用，将视觉性向数字记录性转换，极大的简化的图像的读取和存储过程，通过各项变换，将图像噪点和杂质消弱，在保护人的视力的同时极大的丰富了人们对复杂图像的需求。

Matlab的工具库内，已经含有fourier变换及其逆变换，经典的fourier方

法已经形成成熟的代码程序，配置在工具库中，在此不做赘述。

4.3 Gabor变换及脊波变换

Gabor变换局部化时间分析，图形边缘检，地震勘探反射波的位置等信息极重要，而脊波变换更偏重纹理条痕的处理[16]。

Gabor变换Gabor filter

原图带噪去噪图

映射图O-R 实部虚部脊波变换：

原图含噪图像Ridgelet去噪

PSNR＝20.57dB PSNR＝24.88dB

图像含有明显纹理特征、丰富，较Gabor变换，用脊波变换表示为更加松散、稀疏。

第五章总结

实验结果表明，脊波变换比Gabor更加适合表示线状特征，可以将其用于增强图像中脆弱甚至人眼不可辨的线性信息。

本文通过复数域上的图像处理变换方法（以傅里叶变换为主线），对比实验纹理特征识别突出情况从而得到相应的结论。

然而，在本次设计中，仍然存在诸如参数灵敏度，图像选取的问题。在以后的实验过程中，我将保持严谨的科学态度对待每一个参数。

在计算机技术飞速发展的今天，在人民物质生活富裕，精神需求更加迫切的今天，传统的傅里叶变换方法已经不能满足更为丰富的图像处理。基于傅里叶变换，脊波变换和Gabor变换其精确度和领域更加具体。但是，仍然没能满足在电子产品（诸如平板电脑，智能手机等等）为平台下，人们对图像处理的交互性需求。[17]

参考文献

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致谢

光阴荏苒，流光时转，年轮苍老了青春，多想画地为牢，圈住时光的脚步，圈住那一段清晰可见的过往。本科学习生涯即将结束，四年的学习生活使我受益匪浅。在2009年9月，我依稀记得刚入校的时候的我们稚嫩情景，在我充满波折坎坷的求学路上好多吸引我注意力的东西，然而，正因为师长们的不断教学引导，同学们的支持陪伴，如今我华丽转身，往来时路上望去，我要感谢的人太多太多。

又到凤凰花放的季节，经过最后这一年的磨砺，我发现自己成长许多。我的成长路上，由毕业设计画一个圈，做一个句号。明天起，我要奔赴新的知识殿堂，去圆下一个句号。回首，这个毕业设计从自己的好奇而始，以自己的汗水告终，我收集、整理、求教、思索、修改，直至最终完成。期间，我受到了人世间最温暖的关怀与最热情的帮助。在此，我要向他们一一致谢。

感谢我的导师石玉英教授，细心耐心地指导我的论文写作过程。石老师在我迷茫不知所措的时候多次为我指点迷津，使得我的论文写作思路得到了开拓，并让我精心点拨、热忱鼓励。石老师教学作风严谨，批改作业一丝不苟，在我论文翻译的过程中，一次又一次的不厌其烦的纠正我的错误之处，让我在英文方面受益颇多。石老师不仅在学习上给予我帮助，更是教会了我很多做人的道理。

感谢亲爱的341寝室的姐妹们，大学四年，因为有你们的相伴，我不再孤独。四年前，在我背井离乡来到这里学习时，是你们给了我家一般的感觉。一千多个日日夜夜，眨眼即过，四年的大学生活，我们不是亲人，胜似亲人。祝愿继续学习深造的同学们学习进步，迈入社会的同学工作顺利。

感谢我的爸爸妈妈，为了能够让我安心的学习生活，这么多年一直不辞辛苦的工作。养育之恩，没齿难忘。希望爸妈永远健康快乐。

感谢培养我教育我的华北电力大学，华电优美的校园环境，良好的的教育氛围，在我心底留下了最深刻的印象！祝愿母校英才茁长,誉遍瀛洲！感谢对我倾囊授教、带我一同求索数学奥秘和人生哲学的诸位师长，诸位恩师的学识不仅令我折服，他们的教诲更使我铭记在心。祝恩师们身体健康，家庭幸福！感谢论文中引文的原作者，大师风范，高山仰止。祝他们寿域无疆，德业永辉！

如今论文完成，我的心里久久不能平静。从选题到完成，那些可敬可爱的人给了我无数的帮助，请允许我给予你们最诚挚最崇高的谢意！