圆的概念 弧、圆心角、圆周角、弦 知识点+例题+练习(分类全面)
例题
1：圆的性质应用
例 1 如图，CD 是⊙O 的直径，BE 是⊙O 的弦，DC、EB 的延长线相交于点 A．若∠A＝25°， AB＝OC，求∠EOD 的度数．
2：利用圆的性质进行证明
例1如图，⊙O 的半径OA、OB 分别交弦C D 于点E、F，且CE＝DF．试说明∠OEF 与∠OFE 的关系．
例 2 如图，O为AB所在圆的圆心，已知OA⊥OB，M为弦AB的中点，且MC∥OB交AB于点C．求AC的度数．60
延长CM交OA于E,OE=1/2 OA=1/2 OC
3：圆的性质和矩形性质综合
例 1 如图，点 A、D、G、M 在半圆 O 上，四边形 ABOC、DEOF、HMNO 为矩形，设 BC＝a，EF＝b，NH＝c．则下列各式正确的是( )
A．a>b>c B．a＝b＝c C．c>a>b D．b>c>a
4：点与圆的位置关系中分类讨论思想
例1若⊙O 所在平面上的一点P到⊙O 上的点的最大距离是10，最小距离是2，则此圆的半径为
5：利用圆的定义与直角三角形的性质综合进行证明
例1、已知：如图，BD、CE 是△ABC 的高，M 为B C 的中点，试说明点B、C、D、E 在以点M为圆心的同一个圆上．
例2、如图，在□ABCD 中，∠BAD 为钝角，且A E⊥BC，AF⊥CD． (1)求证：A、E、C、F 四点共圆；
(2)设线段B D 与(1)中的圆交于点M、N．求证：BM＝ND．
垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习
C E O A D B 600 B B 九年垂径定理、弦、弧、圆心角、弦心距练习 1. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD. 求证：OA ＝OB 2. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽 AB=600mm ，求油面的最大深度。 3.. 如图所示，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，求证：四边形OEAD 为正方形。 4．如图所示，已知AB 为圆O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD=cm 2，求BC 的长； 5．本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A ，B ，C 三根木柱，使得A ，B 之间的距离与 A ，C 之间的距离相等，并测得BC 长为240米，A 到 的距离为米，如图所示．请 你帮他们求出滴水湖的半径． 6．如图，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（ Ａ． ) 1a Ｂ． 12 a Ｃ．24a Ｄ．(2a - 7．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，点M 在线段AB （包括端点A B ，）上移动，则OM 的取值范围是（ ） Ａ．35OM ≤≤ Ｂ．35OM <≤ 45OM <≤ 8．如图，已知⊙O 的半径为5mm ，弦 8mm AB =，则圆心O 到AB 的距离是（ ） A ．1mm B ．2mm C ．3mm D ．4mm 9．如图，底面半径为5dm 的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8dm ，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（ ） Ａ．2dm Ｂ．3dm Ｃ．2dm 或3dm Ｄ．2dm 或8dm 10．如图，已知在⊙O 中，直径10MN =，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM ，OP 以及O 上， 并且45 POM = ∠，则 AB 的长为 ． 11．如图，在半径为2的⊙O 中，弦AB 的长为_______AOB =∠ 12．在⊙O 中，弦CD 与直径AB 相交于点P ，夹角为30 ，且分直径为1:5两部分，6AB =厘米，则弦CD 的长为（ Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．13．如图，在⊙O 中，AB 是弦，OC AB ⊥，垂足为C ，若AB ，6OC =，则O 的半径OA 等 于（ ） Ａ．16 Ｂ．12 Ｃ．10 Ｄ．8 14. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ， 交弦AB 于点D 。已知：AB cm 24= ，CD cm 8=。 （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径。 15．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=?60m ，水面 到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？ 请说明理由． 1O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，?错误的是（ ）． ． BC BD = C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD (1) (2) (3) 2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，?则下列结论中不正确的是（ ）
圆的定义圆心角圆周角训练题(含答案)
圆的定义圆心角圆周角训练题 一、单选题（共17题；共34分） 1.（2020九上·江苏月考）下列说法错误的是（） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 直径是圆中最长的弦 C. 面积相等的两个圆是等圆 D. 半径相等的两个半圆是等弧 2.（2019九上·台安期中）下列说法中，不正确的个数是（） ①优弧一定比劣弧长；②面积相等的两个圆是等圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.（2019九上·沭阳月考）下列命题：①直径相等的两个圆是等圆；②等弧是长度相等的弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧.其中真命题是( ) A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ②④ 4.（2019九上·贾汪月考）下列说法中，错误的是（） A. 半圆是弧 B. 半径相等的圆是等圆 C. 过圆心的线段是直径 D. 直径是弦 5.（2018九上·下城期末）下列命题中是真命题的为（） A. 弦是直径 B. 直径相等的两个圆是等圆 C. 平面内的任意一点不在圆上就在圆内 D. 一个圆有且只有一条直径 6.（2020九上·浙江期中）如图，是的直径，，，则 的度数是（）. A. 52° B. 57° C. 66° D. 78° 7.（2019九上·柳江月考）如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=34°，则∠AOE的度数是( ) A. 51° B. 56° C. 68° D. 78° 8.（2019九上·邯郸月考）如图,AB是O的直径, ,∠BOC=40°，则∠AOE的度数为（）
圆：弧弦圆心角圆周角关系经典练习
1.半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm. 2. 过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm 3.将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 4.一个拱形石桥，跨度为8米，拱高8米，那么这拱形石桥所在圆的半径是___________米 5. 某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部 为方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？ 1．下列说法中正确的是（ ）． A ．相等的圆心角所对的弧相等 B ．等弧所对的圆心角相等 C ．相等的弦所对的弦心距相等 D ．弦心距相等，则弦相等 2. 在两个半径不同的圆中，分别有 和，若和的度数相等，那么下面结论中正确的是（ ）． A ．＝ B ．和所对的两个圆心角相等 C ． 所对的弦和所对的弦相等 D ． 和 所对的弦的弦心距相等 3. 在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的 3 1 ，圆的半径为4cm ，则弦AB 的长是（ ）． A ．3cm B ．2cm C ．32cm D ．34cm 4半径为4cm ，120°的圆心角所对的弦长为（ ） A. 5cm B. 43cm C. 6cm D. 33cm CD ? ，则∠DAC 的度数是（ ） A. 70° ） A. CD ? 3∶2∶5，则∠AOC= °，E ∠，则A B +=∠∠ o． 10. 如图3，已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为 cm ． 11，如图4，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A 、B 、C 。用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M 的位置； 强化练习： 12. 如图5，所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5 个 A B M N E F C D
圆知识点及练习题
《圆》知识点及练习题 一、圆的概念 集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r
四、圆与圆的位置关系 外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 图4 图5 D
圆的知识点总结及典型例题
圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。 解：①∵AB＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60°
数学圆知识点
数学圆知识点 初三数学圆知识点大全，包括圆的有关概念、圆的有关性质、圆的有关推理等，希望对数学学习和圆的知识点的运用有所帮助! 1、圆的有关概念： (1)、确定一个圆的要素是圆心和半径。 (2)①连结圆上任意两点的线段叫做弦。②经过圆心的弦叫做直径。③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。④小于半圆周的圆弧叫做劣弧。⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。⑥在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。⑦顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。 ⑨与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。 2、圆的有关性质
(1)定理在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。 (2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 (3)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90 。90 的圆周角所对的弦是圆的直径。推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 (4)切线的判定与性质：判定定理：经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线。性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点切垂直于切 线的直线必经过圆心。
圆的概念及性质典型题(精选)
一、圆的相关概念 1. 圆的定义 （1） 描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转 所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． （2） 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径． （3） 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O 为圆心，OA 为半径的圆记作”O ⊙“，读作” 圆O “． （4） 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同 心圆；能够重合的两个圆叫做等圆． 注意：注意：同圆或等圆的半径相等． 2. 弦和弧 （1） 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． （2） 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． （3） 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． （4） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． （5） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． （6） 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （7） 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （8） 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 3. 圆心角和圆周角 （1） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我 们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2） 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 二、圆的对称性 1. 旋转对称性 （1） 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自 身重合． （2） 圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． 2. 轴对称性 （1） 圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴． （2） 圆的轴对称性⇒垂径定理． 三、圆的性质定理 1. 圆周角定理 （1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论： 知识点 圆的概念及性质
第一讲 圆的定义和相关概念
1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。 一般地，n °的圆心角对着n °的弧，n °的弧对着n °的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，在书写时要防 止出现“∠=? AOB AB ”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧 一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。
例2. 如图，在⊙O 中， A A B CD C AB C D ..?>??=?22 分析：要比较AB ? （）把的一半作出来，然后比较与的大小；12 AB AB CD ? （）把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。222CD CD AB ???
例4. 例5. 如图，是等边三角形，是⊙直径，，、?ABC AB O AE EF FB CE CF ?=?=? 交AB 于M 、N 。 求证：AM ＝MN 解析 由于、求得 ，知故问题得证。E F AM BM =1 2
新人教版九年级上册数学[弧、弦、圆心角、圆周角--知识点整理及重点题型梳理](基础)
新人教版九年级上册初中数学 重难点有效突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它 两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形： （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。 *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数. 【答案与解析】 . 【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的 弦也相等． 举一反三： 【变式】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC.
人教版 九年级数学上册 第24章 圆的概念及弧、弦、圆心角和圆周角 专题练习(含答案)
圆的概念及弧、弦、圆心角和圆周角专题练习（含答案）例1. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（） A．160°B．150°C．140°D．120° 例2. 如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE CE=1．则弧BD 的长是（） B C D 例3．如图，已知A，B，C在⊙O上，ACB为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（） A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B+∠C 例4. 如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（） A．6 B．5 C．4 D．3 巩固练习
1．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆． (2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______． 2．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________．3．⊙O中，∠AOB＝100°，若C是AB上一点，则∠ACB等于( )． A．80°B．100° C．120°D．130° 4．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点． (1)求证：∠AOC=∠BOD； (2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论． 5. 已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为AD的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数 6．如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F，交BA的延长线于G，试说明弧EF和弧FG相等. 7. ⊙O中，M为AB的中点，则下列结论正确的是( )．
初中数学：有关圆的概念及性质
初中数学：有关圆的概念及性质 一、圆的基本概念及性质 (1)圆的有关概念 ①圆:平面. 上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径. ②弧:圆. 上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧. ③弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径. (2)圆的有关性质 ①圆是轴对称图形:其对称轴是任意一条过圆心的直线:圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 ②垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. ③弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有-组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
推论: 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角: 90”的圆周角所对的弦是直径. ④三角形的内心和外心 确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆. ⑥:三角形的外心:三角形的三个顶点确定-一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的 垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的内心:和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 2.与圆有关的角 (1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角:顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
(3)圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的- -半. (4)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形. 圆内接四边形对角互补，它的一一个外角等于它相邻内角的对角. 圆的性质 1、圆是轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线。 2、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并粗平分弦所对的弧。 垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并平分弦对的弧。 3、圆具有旋转对称性,特别的圆是中心对称图形,对称中心是圆心。 圆心角定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4、圆周角定理: -条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 圆周角定理推论1 :在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆角相等。
圆的知识点
圆 一、圆的有关概念 1．与圆有关的概念和性质 1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． 2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦． 3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧． 4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角． 6）弦心距：圆心到弦的距离． 2．注意 1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条； 2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个． 3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆． 二、垂径定理及其推论 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形． 2．推论 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 三、圆心角、弧、弦的关系 1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立． 2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 四、圆周角定理及其推论 1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系 1．点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d．(1)d
垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习
九年垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习班级姓名座号 1.已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？ 2. 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。 600 3. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD 相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ B 4.如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。 5. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。 6. 如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。
C A P O D C E O A D B 7. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为________________。 8. 如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。 9. 如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（ ） A. 3≤OM ≤5 B. 4≤OM ≤5 C. 3＜OM ＜5 D. 4＜OM ＜5 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 11. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（ ） A. 45° B. 90° C. 135° D. 270° 12. 如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ） A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°
圆的基本性质知识点及经典例题总复习
圆的基本性质总复习（一） 【知识理解】 知识点一：圆的定义及相关概念 1.圆：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点0旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点0叫做圆心，线段0P叫做圆的半径•记作“O 0 ” . 第二种定义：到定点0的距离等于定长r的点的集合. 弦；直径； 注：在同一个圆中，直径是最长的弦，一个圆中有无数条弦和直径. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号表示半圆；优弧；劣弧；等弧 2.等圆：半径相等的圆• 同圆：同一个圆. 同心圆：圆心相同，半径不相等的圆. 知识点二：点与圆的位置关系 设O 0的半径为r，平面内任一点P到圆心的距离为d，贝V: ___________ 点在圆外 ___________ 点在圆上 ___________ 点在圆内 知识点三：确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 知识点四：三角形的外接圆 1、经过三角形的各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形. 2、三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点 注：一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形 知识点五：圆的对称性 1、圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线，每个圆都有无数条对称 轴
2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心 知识点六：图形的旋转 由一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形改变叫做图形的旋转变换，简称旋转•这个固定的点叫做旋转中心. (1 )旋转的三要素 旋转中心、旋转方向、旋转角度 (2)图形旋转的性质 ①图形经过旋转所得的图形和原图形全等； ②对应点到旋转中心的距离相等； ③任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度. 知识点七：垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分这条弦所对的弧. 弦心距：圆心到圆的一条弦的距离 叫做弦心距. 垂径定理的逆定理： 定理1.平分弦(不是直径)的直 径垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧• 定理2 :平分弧的直径垂直平分弧 所对的弦• 总结：如图，对于一个圆和一条 直线来说，如果在下列五个条件中： 只要具备其中两个条件，就可推出 其余三个结论• CD是直径，
圆的概念和有关性质-知识总结和例题
圆的概念和有关性质 知识总结和例题 圆的旋转定义： 在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，一般用r 表示． 确定一个圆的要素:一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小． 同心圆:圆心相同，半径不同 等圆 : 圆心相同，半径不同 圆的集合定义:圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合． 弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径 注意：1.弦和直径都是线段. 2. 直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. 弧: 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧．以A 、B 为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 劣弧与优弧：小于半圆的弧叫做劣弧. ;小于半圆的弧叫做劣弧. ; 等弧：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中. 1.一点和⊙O 上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm, 则这个圆的半径是 2.下面3个命题：①半径相等的两个圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题的个数为( ) A ．0个 B ．1 C ．2个 D ．3个 3 .如图，MN 是半圆O 的直径，正方形ABCD 的顶点A 、D 在半圆上，顶点B 、C 在直径MN 上，求证：OB=OC. 图4 D B O N M A C 图5 D B O N M A C (3) (4) (5) (6） 4.如图，在扇形MON 中， =45MON ，半径MO=NO=10，,正方形ABCD 的顶点B 、C 、D 在 半径上，顶点A 在圆弧上，求正方形ABCD 的边长 5.如图，AB ，AC 为⊙O 的弦，连接CO ，BO 并延长，分别交弦AB ，AC 于点E ，F ，∠B ＝∠C.求证：CE ＝BF. 6,如图，过A ，C ，D 三点的圆的圆心为E ，过B ，F ，E 三点的圆的圆心为D ，∠A ＝63°，求∠B 的度数． 圆的对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
高中-圆-考点分类及例题
高中数学-圆 考查目标一、主要是指圆的基础知识，包括圆的对称性，圆心角与弧、弦之间的相等关 系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直角， 以及垂径定理等内容。这部分 内容是圆的基础知识，学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算 例1如图，AB 是O O 的直径，BC 是弦，0D 丄BC 于E ,交BC 于 D . (1) 请写出五个不同类型的正确结论； (2) 若 BC=8, ED = 2，求O O 的半径. 解题思路：运用圆的垂径定理等内容 解：(1)不同类型的正确结论有: ① BE=CE ;②弧 BD=弧 CD ③/ BED =90。④/ BOD = Z A;⑤ AC // OD ，⑥ AC 丄 BC; ⑦OE 2+BE 2=OB 2;⑧S A ABC = BC OE;⑨厶 BOD 是等腰三角形，⑩△ BOEBAC; 1 (2) •/ OD 丄 BC , ••• BE = CE= — BC=4 . 2 设O O 的半径为 R ,则OE = OD — DE=R — 2. 在Rt △ OEB 中，由勾股定理得 OE 2+ BE 2=OB 2,即(R — 2)2+ 42=R 2.解得 R = 5. • O O 的半径为 5 例2•已知：如图等边 △ ABC 内接于O O ,点P 是劣弧PC 上的一点(端点除外)，延长 BP 至D ，使BD AP ，连结CD . (1)若AP 过圆心0,如图①，请你判断 △ PDC 是什么三角形？并说明理由. (2)若AP 不过圆心O ，如图②， △ PDC 又是什么三角形？为什么? 解题思路：(1) △ PDC 为等边三角形. 理由：•••△ ABC 为等边三角形 • AC BC , 又•.•在O O 中 PAC DBC 又 T AP BD 又••• AP 过圆心 O , AB AC , BAC 60 PBC PAC 30 • PC DC D [来 源:https://www.360docs.net/doc/3519248288.html,] C 图②
初中数学圆知识梳理 题型归纳附答案-(详细知识点归纳 中考真题)
圆 【知识点梳理】 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内； 2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上； 3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点； 2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点； 3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-； A
五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 图4 图5 B D