弹簧问题

物理弹簧问题分析的思维起点

东北师范大学附属中学卫青山尹雄杰

由于弹簧与其相连接的物体构成的系统的运动状态具有很强的综合性和隐蔽性；由于弹簧与其相连接的物体相互作用时涉及到的物理概念和物理规律较多，因而多年来，弹簧试题深受高考命题专家们物理教师的青睐，在物理高考中弹簧问题频频出现已见怪不怪了。弹簧问题不仅能考查学生分析物理过程，理清物理思路，建立物理图景的能力，而且对考查学生知识综合能力和知识迁移能力，培养学生物理思维品质和挖掘学生学习潜能也具有积极意义。因此，弹簧问题也就成为高考命题专家每年命题的重点、难点和热点。

与弹簧相连接的物理问题表现的形式固然很多，但总是有规律可循，有方法可依，存在基于弹簧特性分析问题的思维起点。

一、以弹簧遵循的胡克定律为分析问题的思维起点

弹簧和物体相互作用时，致使弹簧伸长或缩短时产生的弹力的大小遵循胡克定律，即或。显然，弹簧的长度发生变化的时候，胡克定律首先成了弹簧问题分析的思维起点。

例1 劲度系数为k的弹簧悬挂在天花板的O点，下端挂一质量为m的物体，用托盘托着，使弹簧位于原长位置，然后使其以加速度a由静止开始匀加速下降，求物体匀加速下降的时间。

解析物体下降的位移就是弹簧的形变长度，弹力越来越大，因而托盘施加的向上的压力越来越小，且匀加速运动到压力为零。由匀变速直线运动公式及牛顿定律得：

①

②

③

解以上三式得：。

显然，能否分析出弹力依据胡克定律随着物体的下降变得越来越大，同时托盘的压力越来越小直至为零成了解题的关键。

二、以弹簧的伸缩性质为分析问题的思维起点

弹簧能承受拉伸的力，也能承受压缩的力。在分析有关弹簧问题时，分析弹簧承受的是拉力还是压力成了弹簧问题分析的思维起点。

例2如图1所示，小圆环重固定的大环半径为R，轻弹簧原长为L（L<2R），其劲度系数为k，接触光滑，求小环静止时。弹簧与竖直方向的夹角。

解析以小圆环为研究对象，小圆环受竖直向下的重力G、大环施加的弹力N和弹簧的弹力F。若弹簧处于压缩状态，小球受到斜向下的弹力，则N的方向无论是指向大环的圆心还是背向大环的圆心，小环都不能平衡。因此，弹簧对小环的弹力F一定斜向上，大环施加的弹力刀必须背向圆心，受力情况如图2所示。根据几何知识，“同弧所对的圆心角是圆周角的二倍”，即弹簧拉力N的作用线在重力mg和大环弹力N的角分线上。所以

另外，根据胡可定律：

解以上式得：

即

只有正确分析出弹簧处于伸长状态，因而判断出弹力的方向成了解决问题的思维起点。

三、以弹簧隐藏的隐含条件为分析问题的思维起点

很多由弹簧设计的物理问题，在其运动的过程中隐含着已知条件，只有充分利用这一隐含的条件才能有效的解决问题。因此挖掘弹簧问题中的隐含条件成了弹簧问题分析的思维起点。

例3已知弹簧劲度系数为k，物块重为m，弹簧立在水平桌面上，下端固定，上端固定一轻质盘，物块放于盘中，如图3所示。现给物块一向下的压力F，当物块静止时，撤去外力。在运动过程中，物块正好不离开盘，求：

（1）给物块所受的向下的压力F。

（2）在运动过程中盘对物块的最大作用力。

解析（1）由于物块正好不离开盘，可知物块振动到最高点时，弹簧正好处在原长位置，所以有：

由对称性，物块在最低点时的加速度也为a，因为盘的质量不计，由牛顿第二定律得：

物块被压到最低点静止时有：

由以上三式得：

（2）在最低点时盘对物块的支持力最大，此时有：，解得。

显然，挖掘出“物块正好不离开盘”隐含的物理意义成了能否有效迅速解决问题的关键所在。

四、以弹簧特有的惰性特性为分析问题的思维起点

由于弹簧的特殊结构。弹簧的弹力是渐变的，而不是突变的，弹力的变化需要一定的“时间”。有时充分利用弹簧的这一“惰性”是解决问题的先决条件。因此分析弹簧问题时利用弹簧的惰性自然成了分析弹簧问题的思维起点。

例4质量为m的小球，在不可伸长的绳AC和轻质弹簧BC作用下静止，如图4所

示。且AC=BC，，求突然在球附近剪断弹簧或绳子时，小球的加速度分别是多少？

解析刚剪断弹簧的瞬间，小球受重力mg和绳的拉力T，其速度为零，故小球沿绳的方向加速度为零，仅有切向加速度且为，绳的拉力由原来的突变为；而剪断绳的瞬间，由于弹簧的拉力不可突变，仍保持原来的大小和方向，

故小球受到的合力与原来绳子的拉力大小相等，方向相反，加速度为，方向沿AC向下。

五、以弹簧振子的对称性质为分析问题的思维起点

很多弹簧在运动时做简谐运动，而简谐运动是有对称性的。弹簧振动的对称性也可以做为解决弹簧问题的思维起点。

例5如图5所示，一质量为M的塑料球形容器，在A处与水平面接触。它的内部有一直立的轻弹簧。弹簧下端固定于容器内部底部，上端系一带正电、质量为m的小球在竖直方向振动，当加一向上的匀强电场后，弹簧正好在原长时，小球恰好有最大速度。在振动过程中球形容器对桌面的最小压力为0，求小球振动的最大加速度和容器对桌面的最大压力。

解析因为弹簧正好在原长时，小球恰好速度最大所以有：

小球在最高点时容器对桌面的压力最小，有：

此时小球受力如图6所示，所受合力为

由以上三式得小球的加速度。

显然，在最低点容器对桌面的压力最大，由振动的对称性可知小球在最低点和最高点有相同的加速度，所以。

解以上式子得：

所以容器对桌面的压力

对称性是解决物理问题的有效资源，要充分利用。弹簧做简谐运动的时候具有对称性，而这种对称性往往成为解题的有效手段。

六、以弹簧的弹力做功为分析问题的思维起点

弹簧发生变形时，具有一定的弹性势能。通过弹簧弹力做功，弹性势能要发生变化，它们的关系为，它成了解决有关弹簧问题的思维起点。

例6如图7所示，密闭绝热容器内有一绝热的具有一定质的活塞，活塞的上部封闭着气体，下部为真空，活塞与器壁的摩擦忽略不计，置于真空中的轻弹簧的一端固定于容器的底部，另一端固定在活塞上，弹簧被压缩后用绳扎紧，此时弹簧的弹性势能为

（弹簧处于自然长度时的弹性势能为零），现绳突然断开，弹簧推动活塞向上运动，经过多次往复运动后活塞静止，气体过到平衡态，经过此过程。

A．全部转换为气体的内能

B．一部分转换成活塞的重力势能，其余部分仍为弹簧的弹性势能

C．全部转换成活塞的重力势能和气体的内能

D．一部分村换成活塞的重力势能，一部分转换成气体的内能，其余部分仍为弹簧的弹性势能

解析断开绳子，在弹力作用下活塞上下运动，最终静止后的位置高于初始位置。通过弹簧弹力做功，弹性势能，的能量转化有三种形式：活塞的重力势能、气体的内能及弹簧的弹性势能，故D项正确。

弹力做功和弹性势能的变化的关系是解决弹簧问题的重要线索，要引起重视。追究弹性势能的去处往往是解决弹簧问题的思维的起点。

七、以弹簧存储的弹性势能为分析问题的思维起点

弹簧存储或释放的弹性势能要转化为其他形式的能，反过来其他形式的能也可转化为弹性势能。追究弹性势能释放和存储过程成了解决弹簧问题的思维起点。

例7在原子核物理中，研究核子与核子关系的最有效途径是“双电荷交换反应”这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似：两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定档板P，右边有一

小球C沿轨道以速度射向B球，如图8所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，A球与档板P发生碰撞，碰后A、D静止不动，A与P接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A、B、C三球的质量均为m。

（l）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。

（2）求在A球离开档板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

解析试题只是给出初始状态的示意图，而后的运动过程可分为五个阶段，分别如图9中（a）至（e）所示。

图（a）表示C、B发生碰撞结成D的瞬间；

图（b）表示D、A向左运动，弹簧长度变为最短且被锁定；

图（。）表示A球和挡板P碰撞后，A、D都不动；

图（d）表示解除锁定后，弹簧恢复原长瞬间；

图（e）表示，A球离开挡板P后，弹簧具有最大弹性势能瞬间。

（1）设C球与B球翻结成D时，D的速度为，由动量守恒得：

设此速度为

当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为由动量守恒定律得：

联立①②得：。

此间也可以用动量守恒一次求出（从接触相对静止）。

（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为，由能量守恒得：

撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，弹性势能全部转变成D的动能，设D的速度为，则有：

以后弹簧伸长，A球离开挡板P，并获得速度，当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长。设此时的速度为，由动量守恒得：

当弹簧伸到最长时，其弹性势能最大，设此势能为，由能量守恒得：

紧紧抓住弹性势能的存储和释放，领会题意、明察秋毫识破问题的“陷阱”，排除干扰，在头脑中建立起非常清晰的物理图景和过程，充分运用动量和动能两个守恒定律，解决问题。

总之，弹簧问题的表现形式是多种多样的，但是只要紧紧围绕弹簧与其他物理模型不同的特性、紧紧抓住弹簧与其组成的系统相连接的物理量，具体问题具体分析，就一定能找到解决弹簧问题的突破口。通过弹簧与相连物体构成的系统所表现出来的运动状态的变化的分析，有利于考生运用物理概念和规律巧妙解决物理问题、拓展思维空间。因此，弹簧试题也是高考物理中一类独具特色的考题