2019-2020学年重庆八中高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年重庆八中高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知全集{}

*

|4U x N x =∈≤,集合{1,2},{2,4}A B ==,则()U A C B =U ( )

A ．{}1

B ．()1,3

C ．{}1,2,3

D ．{}0,1,2,3

【答案】C

【解析】由集合,,U A B ,根据补集和并集定义即可求解. 【详解】

因为{}

*

|4U x N x =∈≤,即{}1,2,3,4U =

集合{1,2},{2,4}A B == 由补集的运算可知{}1,3U C B =

根据并集定义可得(){}{}{}1,21,31,2,3U A C B ==U U 故选:C 【点睛】

本题考查了补集和并集的简单运算,属于基础题.

2．下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是( ) A ．||y x =- B ．y x = C ．1y x -= D ．3y x =-

【答案】D

【解析】根据函数解析式,即可判断函数的奇偶性和单调性. 【详解】

对于A,||y x =-为偶函数,所以A 错误;

对于B,y x =为奇函数,且在R 上为单调递增函数,所以B 错误;

对于C,1

y x -=是奇函数,在定义域()(),0,0,-∞+∞内不具有单调性,所以C 错误;

对于D,3

y x =-为奇函数,在R 上为单调递减函数,所以D 正确. 综上可知,D 为正确选项.

【点睛】

本题考查了根据函数的解析式,判断函数的奇偶性及单调性,属于基础题. 3．已知tan 2,tan 5αβ==,则tan()αβ+=( )

A ．79

B ．

711 C ．79

-

D ．711

-

【答案】C

【解析】根据正切函数的和角公式,代入即可求解. 【详解】

由正切函数的和角公式()tan tan tan 1tan tan αβ

αββ

++=-?

因为tan 2,tan 5αβ==,代入可得

()257

tan 1259

αβ++=

=--?

故选:C 【点睛】

本题考查了正切函数和角公式的简单应用,属于基础题. 4．设2log 0.2a =,0.23b -=,0.22c =,则( ) A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b c a >>

【答案】B

【解析】根据指数函数与对数函数的图像与性质,可通过中间值法比较大小,即可得解. 【详解】

由指数函数与对数函数的图像与性质可知

22log 0.2log 10a =<=

0.203310b -<<== 0.20221c =>=

所以c b a >> 故选:B

本题考查了指数、对数图像与性质的简单应用,函数值大小的比较,属于基础题.

5．在ABC V 中,D 是AC 的中点,P 是BD 的中点,若(,)BP BA BC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r

,则

λμ=( )

A ．116

B ．

118 C ．14

D ．12

【答案】A

【解析】根据平面向量线性的加法运算,即可求解. 【详解】

在ABC V 中,D 是AC 的中点,P 是BD 的中点 由平面向量的线性加法运算,可知

()

111222BP BD BA BC ??==+????

u u u r u u u r u u u r u u u r

()

14

BA BC =+u u

u r u u u r 1144

BA BC =+u u

u r u u u r 因为(,)BP BA BC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r

所以11,44

λμ== 则116

λμ= 故选:A 【点睛】

本题考查了平面向量的线性加法运算,属于基础题.

6．函数()[]

sin ,,f x x x x ππ=∈-的大致图象是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】利用奇偶性定义可知()f x 为偶函数，排除,B C ；由02f π??

> ???

排除D ，从而得到结果. 【详解】

()()()sin sin f x x x x x f x -=--==Q

()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,B C

又sin 022

22f ππ

ππ??==>

?

??，排除D 故选：A 【点睛】

本题考查函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值和单调性，属于常考题型.

7．函数(

)

2

()ln 32f x x x =-+的单调递增区间为( )

A ．3,2??

+∞

???

B ．3,

2?

?-∞ ???

C ．(2,)+∞

D ．(,1)-∞

【答案】C

【解析】先求得函数的定义域,根据复合函数单调性的性质即可求解. 【详解】

函数(

)

2

()ln 32f x x x =-+

所以定义域为2320x x -+>,解得2x >或1x <

由复合函数“同增异减”的性质,可知函数(

)

2

()ln 32f x x x =-+的单调递增区间为

2x >

即(2,)x ∈+∞为函数()f x 的单调递增区间 故选:C 【点睛】

本题考查了对数函数的定义域求法,复合函数单调性的性质,属于基础题. 8．若直线6

x π

=

是函数()cos(2)(0)f x x ?π?=+-<<图象的一条对称轴,则

?=( )

A ．6π-

B ．3π-

C ．23

π-

D ．56

π-

【答案】B

【解析】根据余弦函数的图像与性质,可求得()cos(2)f x x ?=+的对称轴,结合6

x π

=及0π?-<<即可求得?的值. 【详解】

函数()cos(2)f x x ?=+

由余弦函数的图像与性质可知,其对称轴为2,x k k Z ?π+=∈

而6

x π

=

为其一条对称轴,所以2,6

k k Z π

?π?

+=∈

解得,3

k k Z π

?π=-

+∈

因为0π?-<< 所以当0k =时,解得3

π

?=-

故选:B 【点睛】

本题考查了余弦函数的图像与性质,根据余弦函数的对称轴求参数,属于基础题. 9．已知函数()sin (0)3

6f x A x A π

π??=+>

???的最大值为2,则

(1)(2)(2020)f f f ++=L ( )

A ．-2

B ．0

C ．2

D ．3

【答案】B

【解析】根据函数的最大值,可求得函数的解析式.由周期公式可得函数的周期,即可求得

(1)(2)(2020)f f f ++L 的值.

【详解】

函数()sin (0)3

6f x A x A π

π??=+>

???的最大值为2

所以()2sin 3

6f x x π

π??=+ ???

由周期公式2T π

ω

=

,代入可得

26

3

T π

π

=

=

则(1)(2)(3)(4)+(5)(6)f f f f f f ++++

()()()2112110=++-+-+-+=

而202033664=?+

所以(1)(2)(2020)(1)(2)(3)(4)f f f f f f f ++=+++L

而(1)2sin 123

6f π

π??=?+= ???

(2)2sin 213

6f π

π??=?+= ???

(3)2sin 313

6f π

π??=?+=- ???

(4)2sin 423

6f π

π??=?+=- ???

所以()()(1)(2)(3)(4)21120f f f f +++=++-+-= 即(1)(2)(2020)(1)(2)(3)(4)0f f f f f f f ++=+++=L 故选:B 【点睛】

本题考查了正弦函数的周期性,根据正弦函数的周期性求值,属于基础题. 10．已知实数0a >且1a ≠,若函数6,2

(),2

x

x x f x a x -≤?=?>?的值域为[4,)+∞,则a 的取值范围是( ) A ．

()1,2

B ．(2,)+∞

C ．(0,1)(1,2]?

D ．[2,)+∞

【答案】D

【解析】分类讨论01a <<和1a >两种情况.结合函数的值域为[4,)+∞,即可求得a 的取值范围.

【详解】

实数0a >且1a ≠,若函数6,2

(),2

x

x x f x a x -≤?=?

>?的值域为[4,)+∞, 当01a <<时,当2x >时,()f x 的值域为()

2

0,a ,与值域为[4,)+∞矛盾,所以01

a <<不成立

当1a >时,对于函数()6f x x =-,2x ≤,函数的值域为[4,)+∞.所以只需当2x >时值域为[4,)+∞的子集即可.即24a ≥,解得2a ≥（舍去2a ≤-） 综上可知a 的取值范围为[2,)+∞ 故选:D 【点睛】

本题考查了指数函数的单调性与值域的综合应用,分类讨论思想的应用,属于中档题. 11．若3,22ππα??

∈

?

??

,且2sin cos 3αα+=,cos2=α( )

A ．

9 B ．9

-

C ．59

-

D ．

59

【答案】B

【解析】将2sin cos 3αα+=

平方后化简,结合3,22

ππα??

∈ ???

即可进一步确定α及2α的取值范围.再根据正弦的二倍角公式及同角三角函数关系式,求得cos2α的值. 【详解】

因为2

sin cos 3

αα+=

,两边同时平方可得 224sin 2sin cos cos 9

αααα++=

,即52sin cos 9αα=-

则sin ,cos αα异号 又因为2sin cos 03αα+=

>,3,22

ππ

α??∈ ???

可知3,24ππα??

∈

???,所以32,

2παπ??

∈ ??

?

所以cos20α<

由正弦的二倍角公式可知52sin cos sin 29

ααα==-

根据同角三角函数关系式可得cos 29

α===- 故选:B 【点睛】

本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦二倍角公式的化简与应用,关键在与确定角的取值范围,属于中档题. 12．已知函数1

2()21x f x e x x -=+-+,则使得不等式(2)(1)f m f m <+成立的实数m

的取值范围是( ) A ．1,13??

???

B ．1,13??- ???

C ．1,(1,)3??-∞-?+∞ ??

?

D ．1,(1,)3?

?-∞+∞ ??

?U

【答案】A

【解析】将函数解析式变形,即可判断出其对称轴.结合函数的单调性及不等式,即可得关于m 的不等式,解不等即可求得m 的取值范围. 【详解】 函数|1|

2()21x f x e

x x -=+-+,变形后可得()()2

|1|1x f x e x -=+-

所以()f x 的图像关于1x =对称

由函数单调性可知,当1x >时,函数()f x 单调递增 因为(2)(1)f m f m <+ 所以满足|21|||m m -<

变形可得()2

2

21m m -<,展开可知23410m m -+<

因式分解可得()()3110m m --< 解不等式可得

1

13

m << 即实数m 的取值范围为1,13?? ???

故选:A 【点睛】

本题考查了函数对称性及单调性的综合应用,根据单调性解不等式,绝对值不等式的解法.关键在于对函数解析式进行变形及判断出对称轴,属于中档题.

二、填空题

13．设向量,a b r r

不平行,向量2a b λ-r

r

与2a b +r

r

平行,则实数λ=___________. 【答案】4-

【解析】根据平面向量共线基本定理,可设

()

22a b a b λμ-=+r r r r ,即可求得λ的值. 【详解】

因为向量,a b r r

不平行,向量2a b λ-r

r

与2a b +r

r

平行

由平面向量共线基本定理可设()

22a b a b λμ-=+r

r r r

则根据向量数乘运算可得22μ

λμ

=??

-=? 解得4λ=- 故答案为:4- 【点睛】

本题考查了平面向量共线基本定理的简单应用,由平面向量共线求参数,属于基础题. 14．计算:2

3348log 4log 9-?=___________.

【答案】2

【解析】根据指数幂的运算及对数的换底公式,化简即可得解. 【详解】

由指数幂的运算及对数的换底公式,化简可得

2

3

348log 4log 9-?

()

233

333log 9

2

log 4log 4

=-?

422=-=

故答案为:2 【点睛】

本题考查了指数幂及对数换底公式的应用,属于基础题.

15．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(4)()f x f x +=,且

22,01()42,12

x x f x x x ?≤<=?-≤≤?,则函数1()()13g x f x x =--的零点个数为___________.

【答案】6

【解析】根据()f x 为偶函数且周期为4,结合解析式可画出函数()f x 的图像.由零点定义可知,令1()()103g x f x x =-

-=,可得1()13f x x =+.画出()1

13

h x x =+的图像,通过判断()f x 与()h x 图像交点个数即可判断()g x 的零点个数. 【详解】

因为(4)()f x f x +=,即()f x 是周期为4的周期函数

()f x 为偶函数,且22,01

()42,12

x x f x x x ?≤<=?-≤≤?,画出函数图像如下图所示:

令1

()()103

g x f x x =-

-= 可得1

()13

f x x =

+. 画出()1

13

h x x =

+的图像如上图所示: 由图像可知,()f x 与()h x 图像共有6个交点 所以1

()()13

g x f x x =--共有6个零点 故答案为:6 【点睛】

本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,函数零点的概念及函数图像的画法,属于中档题.

16．将函数()2sin (0)3f x x πωω??=-> ??

?的图象向左平移3π

ω个单位,得到函数

()y g x =的图象.若()y g x =在区间,63ππ??

-????

上为增函数,则ω的取值范围是

___________. 【答案】30,2

?? ??

?

【解析】根据函数图象的平移变换求得()y g x =的解析式.根据()y g x =在区间

,63ππ??

-????

上为增函数,可得关于ω的不等式组,解不等式组即可求得ω的取值范围. 【详解】

由题意可知将函数()2sin (0)3f x x πωω?

?

=-

> ??

?

的图象向左平移3π

ω个单位 可得2sin ()sin 332x g x x ππωωω??

??=+- ?=???

??? 若()g x 在,63ππ??

-

???

?上为增函数,且()g x 过原点 于是62

3

2ππωππω?-≥-???

?≤?? 解不等式组可得302ω<≤

,即30,2ω??

∈ ???

故答案为: 30,2

?? ??

?

【点睛】

本题考查了三角函数的平移变换,根据三角函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.

三、解答题

17．设α为第二象限角

,sin α=. (1)求tan α的值;

(2)求222sin(2)

2sin sin 2παπαα-??+- ?

??

的值.

【答案】(1)12

-

(2)43-

【解析】（1）根据同角三角函数关系式,结合角α为第二象限角,即可求得tan α的值. （2）由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简,根据（1）中的结论,代入即可求解. 【详解】 （1

）由于,,sin 25παπα??∈=

???

由同角三角函数关系式22sin cos 1αα+=

于是cos α= 所以sin 1

tan cos 2

ααα=

=- （2）由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简可得

222sin(2)2sin sin 2παπαα-??+- ?

??

222sin 22sin cos α

αα=

+

22

4sin cos 2sin cos αα

αα

=

+ 24tan 2tan 1

α

α=

+

由（1）可知1

tan 2

α=-

所以22144tan 422tan 131212αα???- ?

??==-+??

?-+ ???

【点睛】

本题考查了同角三角函数关系式的应用,诱导公式及正弦二倍角公式的综合应用,属于基础题.

18．已知函数()1(1)x f x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之差为3. (1)求a 的值;

(2)证明:函数()()()F x f x f x =--是R 上的增函数. 【答案】(1)2a =(2)见解析

【解析】（1）根据指数函数的单调性,由最大值与最小值之差为3代入即可求得a 的值. （2）先求得()F x 的解析式,再根据定义设12x x <,利用作差法即可证明函数的单调性. 【详解】

（1）由于1a >,所以()1x

f x a =+在定义域内单调递增,

于是()f x 在区间[]0,2的最大值与最小值之差为()()203f f -= 即213a -= 又1a >,解得2a =

（2）证明:()()()22x x

F x f x f x -=--=-,不妨设12x x <,则

()()()1212221

11211

22222222x x x x x x x x f x f x ---=---=-+

-

()121

2

122121

22122221222

x x x x x x x x x x +-?

?

=-+=-+ ????

由于12x x <,所以12220x x -<,21

1102x x ++

>

于是()()120f x f x -<,即()()12f x f x < 所以()()()F x f x f x =--是R 上的增函数 【点睛】

本题考查了指数函数的单调性应用,根据定义证明函数单调性的方法,属于基础题.

19．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πω?ω???

=+>><

??

?

的部分图象如图所示.

(1)求函数()f x 的解析式;

(2)若8253f απαπ????=<< ? ?????

,求sin α的值. 【答案】(1)()2sin 26f x x π?

?

=+

??

?

(2)343

sin α+= 【解析】（1）由图像即可求得A 和T ,进而得ω.得到函数()f x 的解析式,将最高点

,26π??

???

代入解析式,即可求得?的值,即可求得函数()f x 的解析式; （2）将

2α代入解析式,即可得4sin 65πα?

?+= ??

?,利用正弦的和角公式变形即可求得

sin α的值.

【详解】

（1）由函数图象可知2A =,44

T π

=,即T π=, 所以22T

π

ω=

=,从而函数()2sin(2)f x x ?=+ 将,26π??

???

代入()f x 解析式得232k ππ?π+=+,26k π?π=+,

又||2?π<

,故6

π

=? 所以函数解析式为()2sin 26f x x π?

?

=+

??

?

（2）因为82sin 265f απα???

?=+=

? ?????

所以4

sin 65

πα??

+

= ??

?, 又,3παπ??

∈

???

,从而7,626πππα??+∈ ???

所以3cos 65

πα?

?

+

=- ??

?, 于是sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα??

?????

?=+

-=+-+ ? ? ????

???????

4313525210

+??=?--?=

???,

即sin α=. 【点睛】

本题考查了已知部分图像求三角函数解析式的方法,正弦和角公式的简单应用,属于基础题.

20．已知函数2

()cos cos 6f x x x x π??

=?-

??

?

. (1)求函数()f x 的最小正周期;

(2)求函数()f x 在区间,43ππ??

-

???

?上的最大值和最小值.

【答案】（1）π （2）最大值为0；最小值为124

-

-

【解析】（1）由余弦的差角公式及余弦的二倍角公式展开,结合余弦的降幂公式及辅助角公式展开化简,由正弦函数的周期公式即可得解.

（2）根据自变量x 的取值范围为,43ππ??

-????

,求得23x π-的范围,结合正弦函数的图像与

性质即可求得函数()f x 在区间,43ππ??

-

???

?上的最大值和最小值.

【详解】

（1）根据余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,结合余弦的降幂公式和辅助角公式,展开化简可得

2()cos cos 6f x x x x π?

?=?- ??

?

2

1cos sin 22x x x x ??=?+ ? ???

21sin cos 2x x x =

1sin 22444

x x =--

1sin 2234

x π??=--

??? 所以由周期公式可知222

T π

π

πω

==

= 即最小正周期为π （2）因为,43x ππ??

∈-

???

? 则52,363x π

ππ??

-

∈-????

由正弦函数的图像与性质可知sin 21,32x π??

?-∈-? ?????

所以11sin 223424x π???

?--∈--?? ?????

即函数()f x 在区间,43ππ??

-

???

?上的最大值为0

函数()f x 在区间,43ππ??

-????上的最小值为12- 【点睛】

本题考查了余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,余弦的降幂公式和辅助角公式,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于基础题.

21．已知函数44()log 2x x

m

f x +=为偶函数.

(1)求m 的值;

(2)若(

)

4()log 2x

f x a a ≥?-在区间(1,2]上恒成立,求a 的取值范围. 【答案】(1)1m =(2)170,

12??

???

【解析】（1）根据偶函数定义()()f x f x =-,代入化简即可求得m 的值;

（2）根据不等式恒成立,分离参数a 可得()21

1221x x x

a +≤+-,并构造函数()()

21

1221x x x y g x +==+-.用换元法,令21(35)x t t =+<≤,化简为打勾函数形式,根据

函数单调性即可求得a 的范围;同时,满足对数函数的定义域要求,综合上述条件即可求得a 的取值范围. 【详解】

（1）44()log 2x x m f x --+-=,由于函数44()log 2

x x

m

f x +=为偶函数 所以()()f x f x =-

代入可得44

44log log 22

x x x x m m

--++= 即4422

x x x x

m m --++=,化简可得()

2222x x x x

m --=-- ∴1m =

（2）由题得()4441log log 22x x x

a a +≥?-恒成立, 即4122

x x x

a a +≥?-恒成立, 所以()211221x x x a +≤+-恒成立,令()()

21

1221x x x

y g x +==+-, 令21(35)x

t t =+<≤

则

2()112321

3t y h t t t t t

==+

=+

-++-, 由于函数()h t 在(]3,5上单调递减,故()()min 17512

h t h == ∴1712

a ≤

又()

210x

a ->在(]1,2x ∈上恒成立 所以0a >,于是a 的取值范围是170,12??

???

【点睛】

本题考查了偶函数的定义及指数形式的化简,对数不等式的解法,分离参数及构造函数法求参数的取值范围,打勾函数在求最值中的应用,属于中档题. 22．设函数()cos 2sin f x x a x a =++.

(1)当1a =时,求函数()f x 在区间0,

3π??

????

上的值域; (2)设函数()x ?的定义域为I ,若0x I ∈,且()1x ?=,则称0x 为函数()y x ?=的“壹点”,已知()f x 在区间[0,2]π上有4个不同的“壹点”,求实数a 的取值范围.

【答案】

(1)117,2

8?

???(2)01a << 【解析】（1）由同角三角函数关系式化简()f x ,代入1a =,利用换元法将()f x 化为二次函数形式,即可根据二次函数的单调性求得在区间0,

3π??

????

上的值域. （2）根据题意,将函数化为2

()2sin sin y g x x a x a ==-++在区间[]0,2π上有4个零

点.利用换元法将函数转化为二次函数形式,通过分离讨论即可求得a 的取值范围. 【详解】

（1）2

()cos 2sin 2sin sin 1f x x a x a x a x a =++=-+++

当1a =时,2

()2sin sin 2y f x x x ==-++,

令sin 02t x t ?=<≤

??

则2

()22y g t t t ==-++

所以函数()g t 在10,4??

???上单调递增

,14? ??

上单调递减

∴min 32y g ??==

???

,max 11748y g ??== ??? 所以函数()f x 在0,3π??????

的值域为178???? （2）由题意22sin sin 11x a x a -+++=在区间[]0,2π有四解,

令2

()2sin sin y g x x a x a ==-++,则()y g x =在区间[]0,2π上有4个零点,

令sin [1,1]t x =∈-,则2

()2y h t t at a ==-++.

(i )若()h t 在()1,1-上有两个非零 ,则2(1)0(1)0801

114(0)0

h h a a a a h -

??=+?<

≠?

(ii )若()h t 的两个零点为0,1,则012a a =??

?=??,无解,故舍去;

(iii )若()h t 的两个零点为0,-1,则012

a a =??

?=-??,无解,故舍去.

综上:01a << 【点睛】

本题考查了三角函数式的化简变形及应用,换元法在三角函数中的应用,二次函数的综合应用,属于中档题.