第十六章分式知识点和典型例习题

第十六章分式知识点和典型例习题

【知识网络】

【思想方法】 1．转化思想

转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想

本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法

本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．

第一讲 分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则

3.分式的化简求值(通分与约分)

4.幂的运算法则

【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c

a a a a

±±=≠

2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da

a c a c ac ac ac

±±=±=≠≠;

3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd

a d a c ac

÷=?=

4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项

5.同底数幂的乘法与除法;a

m

●

a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m

= a m

b n

, (a m

)

n

= a

mn

7.负指数幂: a

-p

=

1p

a a 0

=1

8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

(a+b)(a-b)= a

2

- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

【例1】下列代数式中：y x y

x y x y x b

a b a y x x -++-+--1,

,,21,2

2

π，是分式的有： .

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x 有何值时，下列分式有意义

（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x

题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.

（1）31+-x x （2）4

2||2--x x

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x 为何值时，分式

x

-84

为正； （2）当x 为何值时，分式2

)1(35-+-x x 为负；

（3）当x 为何值时，分式

3

2

+-x x 为非负数.

练习：

1．当x 取何值时，下列分式有意义：

（1）3||61

-x （2）1

)1(32

++-x x

2．当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4

|

1|5+--x x

3．解下列不等式

（1）

012

||≤+-x x （2）

03

252

>+++x x x

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：M B M

A M

B M A B A ÷÷=

??= 2．分式的变号法则：

b

a

b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y

x 4

1313221+- （2）

b

a b

a +-04.003.02.0

题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）y x y

x --+- （2）b a a --- （3）b a ---

题型三：化简求值题

【例3】已知：511=+y x ，求y xy x y

xy x +++-2232的值.

提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y

x 1

1+. 【例4】已知：21=-x x ，求221

x

x +的值.

【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求

y

x 241

-的值.

练习：

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

（1）

y

x y

x 5.008.02.003.0+-

（2）b a b

a 10

141534.0-+

2．已知：31

=+x x ，求1

242++x x x 的值.

3．已知：311=-b a ，求

a

ab b b

ab a ---+232的值.

4．若0106222=+-++b b a a ，求b

a b

a 532+-的值.

5．如果21<

x x --2|2|x

x x x |

||1|1+

---.

（三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法： ①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.

题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分.

（1）c

b a

c a b ab c 225,

3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）

2

2

,

21,

1

222--+--x x x x x

x x ； （4）a

a -+21

,

2

题型二：约分

【例2】约分：

（1）322016xy y x -；（3）n m m n --2

2；（3）6

222---+x x x x .

题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

（1）4

2232)()()(a

bc ab c c b a ÷-?-； （2）22233)()()3(

x y x y y x y x a +-÷-?+； （3）m n m n m n m n n m ---+-+22；

（4）11

2

---a a a ； （5）

874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；

（6）)5)(3(1

)3)(1(1)1)(1(1+++

++++-x x x x x x ； （7）)12()214

44(222+-?--+--x x x x x x x

题型四：化简求值题

【例4】先化简后求值

（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(4

8

122

x x x x -÷-+--的值；

（2）已知：432z

y x ==，求2

2232z y x xz yz xy ++-+的值；

（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1

(22a a a a --

的值.

题型五：求待定字母的值

【例5】若111312-+

+=--x N

x M x x ，试求N M ,的值.

练习

1．计算

（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ； （2）a

b ab

b b a a ---

-222； （3）b a c c b a c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；

（4）b

a b b a ++-2

2； （5）)4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+-；

（6）212

1111x x x ++

++-； （7）)

2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x .

2．先化简后求值

（1）1

1

12421222-÷+--?+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a .

（2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(

y

x

x y x y x xy y x ÷-?+÷-的值.

3．已知：1

21)12)(1(45--

-=---x B

x A x x x ，试求A 、B 的值.

4．当a 为何整数时，代数式2

805

399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.

（四）、整数指数幂与科学记数法

题型一：运用整数指数幂计算

【例1】计算：（1）3132)()(---?bc a

（2）2322123)5()3(z xy z y x ---?

（3）24

2

53])

()

()()([

b a b a b a b a +--+--

（4）6223)(])()[(--+?-?+y x y x y x

题型二：化简求值题

【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.

题型三：科学记数法的计算

【例3】计算：（1）223)102.8()103(--???；（2）3223)102()104(--?÷?.

练习：

1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|3

1

|)51()5131(?-+-+-÷?-- （2）322231)()3(-----?n m n m

（3）2

3232222)()3()()2(--??ab b a b a ab （4）

2

1222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x

2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.

第二讲 分式方程

【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;

2.分式方程产生增根的原因

3.分式方程的应用题

【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;

2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.

3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.

（一）分式方程题型分析

题型一：用常规方法解分式方程

【例1】解下列分式方程

（1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）11

4

112=---+x x x ；

（4）x x x x -+=++4535

提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程

【例2】解下列方程

（1）4441=+++x x x x ； （2）5

69108967+++++=+++++x x x x x x x x

提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，6

1

167++=++x x x . 【例3】解下列方程组

??????

???=+=+=+)

3(4

111)2(3111)1(2111x z z y y x

题型三：求待定字母的值

【例4】若关于x 的分式方程3

132--

=-x m

x 有增根，求m 的值.

【例5】若分式方程12

2-=-+x a

x 的解是正数，求a 的取值范围.

提示：03

2>-=

a

x 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程

【例6】解关于x 的方程

)0(≠+=--d c d

c

x b a x 提示：

（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c .

题型五：列分式方程解应用题

练习：

1．解下列方程：

（1）021211=-++-x

x

x x ； （2）

3423-=--x x x ； （3）22

322=--+x x x ；

（4）1

7137222

2--+

=--

+x x x x x

x （5）

2

1

23524245--+=--x x x x

（6）41215111+++=+++x x x x （7）6

8

11792--+

-+=--+-x x x x x x x x

2．解关于x 的方程：

（1）b x a 211+=)2(a b ≠；

（2）)(11b a x

b

b x a a ≠+=+.

3．如果解关于x 的方程2

22-=

+-x x

x k 会产生增根，求k 的值.

4．当k 为何值时，关于x 的方程1)

2)(1(23++-=++x x k

x x 的解为非负数.

5．已知关于x 的分式方程

a x a =++1

1

2无解，试求a 的值.

（二）分式方程的特殊解法

解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：

一、交叉相乘法

例1．解方程：

2

31+=x x

二、化归法

例2．解方程：

01

2112=---x x

三、左边通分法

例3：解方程：

871

78=----x

x x

四、分子对等法

例4．解方程：

)(11b a x

b b x a a ≠+=+

五、观察比较法

例5．解方程：

4

17

425254=-+-x x x x

六、分离常数法

例6．解方程：

8

7

329821+++++=+++++x x x x x x x x

七、分组通分法

例7．解方程：4

1

315121+++=+++x x x x

（三）分式方程求待定字母值的方法

例1．若分式方程x

m

x x -=

--221无解，求m 的值。

例2．若关于x 的方程1

1122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。

例3．若关于x 分式方程4

3

2212

-=++-x x k x 有增根，求k 的值。

例4．若关于x 的方程1

1512

2

1

--=

+-+

-x k x

x k x

x 有增根1=x ，求k 的值。