函数的值域专题
函数的值域专题
第I 类：简单的复合函数
引例1：241x y --=；)4(log 22x y -=；124++=x x y ；1sin sin 2++=x x y
第II 类：带分式的复合函数（换元、部分分式法、反解（判别式法）、公式法）
引例2：直接写出函数=y x
x 3121+-的值域为____________，曲线的对称中心为________；若添加条件[]1,0∈x ，则值域为________； 根据以上结论直接写出函数的值域：)2,0(sin 31sin 21??
????∈+-=πx x x y ；[])1,0(3121∈+-=x x x y 引例3：求函数1
32+-=x x y 的值域 变式：求函数312-+=
x x y 的值域 变式：求函数x x x x y cos sin 2cos sin ++=（??
????∈2,0πx ）的值域 引例4：求函数1
58522+++=x x x y 的值域 变式：若已知函数)(1
3)(22R x x n x mx x g ∈++-=的值域为[]8,2，求实数n m ,的值 解答：
练：若已知函数)(1
8)(22R x x n x mx x g ∈+++=值域为[]9,1，求实数n m ,的值 第III 类：带根式的复合函数
引例5：求函数x x y 21--=的值域； 思考：根式函数)0(≠+++=AC D Cx B Ax y 的值域如何研究？
引例6：求函数x x x f 211)(--+=的值域；
变式1：求函数x x x f 21)(-=的值域；
变式2：求函数x x y -++=31的值域；
变式3：求函数2111x x x y -+-++=的值域；
变式4：求函数x x y 3154-+-=的值域； 思考：一般地，求函数D Cx B Ax y +++=
（其中0≠AC ）的值域如何研究？
练习：已知a 2
12x x a
≥+-对 一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为_____
思考：你能给出本题的几种解法？本题的背景问题是什么？ 【高等数学背景】带佩亚诺余项的泰勒展开式)(8
2112
x x x x σ+-+=+，当+∞→x 时，0)(→x σ，故8
2112
x x x -+≥+ 通过无理换元，将无理函数转化为有理函数，从而将问题简化
第IV 类：构造法求函数的值域问题
引例6：求函数2
23)1()(+-=x x x x f 的值域是__________ 变式：若关于x 的方程012
34=++++ax ax ax x 有实数根，求实数a 的取值范围 3
2-≤a 或2≥a 当一个式子中同时出现432,,,x x x x 时，可通过一定手段构造出x x x x 1/1-+和221x
x +两个关联结构 练习：（2015年通州区回归课本专项检测）若函数()432f x x ax bx cx d =++++．
（1）若函数()f x 为偶函数，且在1x =处取得极值1-，求函数()f x 的解析式；
（2）当1a d ==-，0b c ==时，求证：()f x 的图象与x 轴恰有两个交点；
（3）当a c =，1d =时，设函数()f x 有零点，求22a b +的最小值．
解：
29. 已知1≥a ，函数[])1,0(41
94)(∈+++=x x x x f ，1623)(23+--=a x a x x g [])1,0(∈x .
（1）求函数)(x f 与函数)(x g 的值域；
（2）若对任意[]1,01∈x ，存在[]1,02∈x ，使得)()(12x f x g =成立，求实数a 的取值范围.
??
????23,1 变式：函数421()421
x x x x k f x +?+=++，若对于任意的123x x x 、、，均存在以123()()()f x f x f x 、、 为三边长的三角形，求实数k 的取值范围.
30. 若函数)1(log )(2+=x x f 的定义域和值域都是[]b a ,，则____=+b a 1
变式1：是否存在实数n m ,，使函数26)(x x f -=的定义域和值域均为[]n m ,？
变式2：函数x
a x f 1)(-=的定义域与值域均为区间[]n m ,（n m <），求实数a 的取值范围. 变式3：已知函数x x f 11)(-
=，若存在实数)(,b a b a <使得)(x f 的定义域是[]b a ,，值域是[]),0(,R m m mb ma ∈≠，则实数m 的取值范围为_________
变式4：函数()()21x f x x R x =∈+，区间[]()
,M a b a b =<其中，(){},N y y f x x M ==∈ 则使M N =成立的实数对(),a b 有 个.
31. 若,1)(x
x x f -=则方程x x f =)4(的根是________. 32. 已知21)(x x
x f -=，则))((x f f 的定义域为__________.
33. 求下列函数的值域.
（1）1344342+-++-=x x x y ；
（2）用逆求法求函数的值域： 1
232+?=x x
y ；1cos 31sin 2+-=x x y （3）用判别式法求函数的值域：242--+=x x x y ；92342++=x x y ；1
1522+-+-=x x x x y ； 说明：对于分式函数n m p
nx mx c bx ax y ,(22++++=不同时为0）求值域，若c bx ax ++2与p nx mx ++2无公共实根时，可用判别式法.
（4）x x y 21-+=；x x y 292-++=
；
专题一：求函数值域十六法
求函数值域方法 求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。 一、基本知识 1． 定义：因变量y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2． 函数值域常见的求解思路： ⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。 ⑵．反解函数，将自变量x 用函数y 的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y 的不等式，解不等式即可获解。 ⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数()y f x =看作是关于自变量x 的方程，在值域中任取一个值0y ，0y 对应的自变量0x 一定为方程()y f x =在定义域中的一个解，即方程()y f x =在定义域内有解；另一方面，若y 取某值0y ，方程()y f x =在定义域内有解0x ，则0y 一定为0x 对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x 的方程()y f x =在定义域内有解的y 得取值范围。 特别地，若函数可看成关于x 的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。 ⑷．可以用函数的单调性求值域。 ⑸．其他。 3． 函数值域的求法 （1）、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。 例1：求函数()1y x =≥的值域。 ) +∞ 例2：求函数y = [)1,+∞ 例3：求函数1y = 的值域。 0≥11≥， ∴函数1y = 的值域为[1,) +∞。 （2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 ()()()F x a f x b f x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 例1：求函数2 42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 解：2 2 42(2)6y x x x =-++=--+，
专题-高中函数值域的求法(讲义与练习)+
专题 求函数值域的常用方法及值域的应用 三、值域的概念和常见函数的值域........................................... 错误!未定义书签。 四、求函数值域（最值）的常用方法......................................... 错误!未定义书签。 .直接法 ............................................................. 错误!未定义书签。 配方法 .............................................................. 错误!未定义书签。 换元法 .............................................................. 错误!未定义书签。 基本不等式法 ........................................................ 错误!未定义书签。 函数的单调性（导数）法 .............................................. 错误!未定义书签。 数形结合法 .......................................................... 错误!未定义书签。 函数的有界性法 ...................................................... 错误!未定义书签。 分离常数法 .......................................................... 错误!未定义书签。 三角函数中的值域问题 ................................................ 错误!未定义书签。 五、高考真题汇编 ........................................................ 错误!未定义书签。 三、值域的概念和常见函数的值域 1、定义：函数值y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 2、常见函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞???? ，当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ?? ?.， 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R.
函数的最值与值域
函数的最值与值域 求函数值域的基本方法：①直接法；②分离变量法；③⊿判别式法；④换元法；⑤利用函数的单调性；⑥不等式法；⑦导数法 (高二年级学习) [)(][] 0,3,1)()8(3131)7(135)6(;21)5(;3421)4(|;2||1|)()3(;2,11,2,123)()2(;123)()1(. )(22-∈-+=+-=-+-=+-=+-=-++=---∈+-=+-=x x x x f y x x y x x y x x y x x x f x x x x f x x x f x x 值与值域小求下列函数的最大例1
二.拓展问题 (一)基于对钩函数) 1.x x x y 122++=; 2. )21(,1 122<<-++=x x x x y ; 3.)31(,632<<++=x x x x y 4. 的最小值在求),2[)0(+∞∈>+ x a x a x 5. 的最小值求44422+++ +x a x 6．P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2 212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ?= ．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．答案：1629 S ≤<
(二)基于二次函数 1．函数)43lg()(2x x x f +-=的定义域为M ，函数124)(+-=x x x g （M x ∈）. (1) 求M ，并指出函数)(x f 的单调区间； (2) 求函数)(x g 的值域； (3) 当M x ∈时，若关于x 的方程)(241R b b x x ∈=-+有实数根，求b 的取值范围，并讨论实数根的个数. 2．讨论函数()21f x x x a =+-+的最小值 反馈练习：.)(.,|,1|2)(2的最小值求函数x f R a R x x a x x f ∈∈-+=
函数的值域和最值教案
函数的值域和最值教案 【教学目标】1．让学生了解求函数值域（最值）常用的方法； 2．让学生了解各种方法的适用题型，并能灵活运用各种方法解函数的值域． 【教学重点】直接法、利用函数单调性求值域（最值）、数形结合法 【教学难点】判别式法和数形结合方法的使用 【例题设置】例1（强调定义域的重要性），其它例题主要指出各种方法适用的题型及 注意点． 【教学过程】 第一课时 〖例1〗已知函数3()2log f x x =+（19x ≤≤），求函数22()[()]()g x f x f x =+的最值． 错解：令3log [0,2]t x =∈，则 22222233()[()]()(2log )(2log )(2)22(3)3g x f x f x x x t t t =+=+++=+++=+- ∴当0t =时，min ()6g x =；当2t =时，max 2()()|22t g x g x ===． 错因分析：当2t =时，9x =，2(9)[(9)](81)g f f =+无意义．产生错误的原因主要是忽略了定义域这个前提条件． 正解：由2 1919 x x ≤≤??≤≤?，得()g x 的定义域为[1,3]，3log [0,1]t x =∈，则 22222233()[()]()(2log )(2log )(2)22(3)3g x f x f x x x t t t =+=+++=+++=+- ∴当0t =时，min ()6g x =；当1t =时，max 2()()|13t g x g x ===． ★点评：1．求函数的值域(最值)同样得在定义域上进行； 2．运用换元法解题时，一定要注意元的取值范围，这步较容易被忽略； 3．配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可用此法解决．该法常与换元法结合使用． 〖例2〗 求下列函数的值域： ⑴ 121 21 x x y ++=+； 法一：（直接法）1212(21)11 2212121 x x x x x y +++-===-+++ 由20x >，211x +>，1 0121 x < <+，故12y <<，即原函数的值域为(1,2)
函数的值域专题
函数的值域专题 第I 类：简单的复合函数 引例1：241x y --=；)4(log 22x y -=；124++=x x y ；1sin sin 2++=x x y 第II 类：带分式的复合函数（换元、部分分式法、反解（判别式法）、公式法） 引例2：直接写出函数=y x x 3121+-的值域为____________，曲线的对称中心为________；若添加条件[]1,0∈x ，则值域为________； 根据以上结论直接写出函数的值域：)2,0(sin 31sin 21?? ????∈+-=πx x x y ；[])1,0(3121∈+-=x x x y 引例3：求函数1 32+-=x x y 的值域 变式：求函数312-+= x x y 的值域 变式：求函数x x x x y cos sin 2cos sin ++=（?? ????∈2,0πx ）的值域 引例4：求函数1 58522+++=x x x y 的值域 变式：若已知函数)(1 3)(22R x x n x mx x g ∈++-=的值域为[]8,2，求实数n m ,的值 解答： 练：若已知函数)(1 8)(22R x x n x mx x g ∈+++=值域为[]9,1，求实数n m ,的值 第III 类：带根式的复合函数 引例5：求函数x x y 21--=的值域； 思考：根式函数)0(≠+++=AC D Cx B Ax y 的值域如何研究？ 引例6：求函数x x x f 211)(--+=的值域； 变式1：求函数x x x f 21)(-=的值域； 变式2：求函数x x y -++=31的值域；
函数之复合函数之求最值值域
- 3 - 函数之 复合函数之 求最值、值域 1．函数y =(log x )2 －log x 2 ＋5 在 2≤x ≤4时的值域为 ． 2.函数y=)x log 1(log 2221+的定义域为 ，值域为 . 3.求函数y ＝5 2x ＋2x 5 1＋4（x ≥－32）值域． 4.函数的值域为 A. B. C. D. 5.求下列函数的定义域与值域.(1)y ＝2 3 1 -x ; (2)y ＝4x +2x+1 +1. 6.已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1 -9x 的最大值和最小值 7.设 ，求函数 的最大值和最小值． 8.已知函数 （ 且 ） （1）求 的最小值； （2）若 ，求 的取值范围． 9. 已知9x -10·3x +9≤0，求函数y=（ 41）x-1-4·（2 1）x +2的最大值和最小值 10.函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______． 11.若函数0322≤--x x ，求函数x x y 4222 ?-=+的最大值和最小值。 12.已知[]3,2x ∈-，求11 ()142 x x f x = -+的最小值与最大值。 13.若函数3234+?-=x x y 的值域为[]1,7，试确定x 的取值范围。 本类题的特征是：__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 本类题的做法是：__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 答案 1. 2.( 22，1)∪［-1，-22］，［0，+∞］ 3.解析：设t ＝x 5 1 ，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3． 4 14 1()() 2log 31x f x =+()0,+∞)0,+∞??()1,+∞)1,+∞??84 25 ≤≤y
函数的值域与最值
函数的值域与最值 一、基础知识回顾 1. 已知{}{} 12|,log |2+====x y y B x y x A ，则() ∞+= ?，1B A 2.下列函数的值域为()+∞,0的有 4 个 （1）1212+-=x x y （2）21 -=x y （3）x y ?? ? ??=21（4）x y 2log 2=（5）x x y sin 1sin +=（6）x y tan = 3.求函数212++-=x x y ）（值域为?? ? ???230， 11222++-+=x x x x y ）（的值域为?? ? ???135-， 4.已知：)0)(3sin()(>+ =w wx x f π 在]2,0[上恰有一个最大值1和最小值-1，则w 的取值范围是?? ? ???12 13127π π， 5.已知：x,y 为实数，022 2 =-+x y x ，则2 2 2x y s +=的值域为 [0,4] 6.关于x 的方程02 7 2cos 21cos 4=-+- m x x 有实数解，则m 的取值范围是 [0,8] 7.已知函数f(x)=sinx,g(x)=cosx,直线x=m 与f(x),g(x)的图象分别交于 M ，N 两点，则MN 长度的最大值为2 8.函数x y 2 1log =的定义域为[a,b],值域为[0，2]，则b-a 的最小值是 4 3 9.若函数()10,4log ≠>?? ? ??-+ =a a x a x y a 且的值域为R ，则a 的范围是()(]4110，，Y 10.在△ABC 中，若2B=A+C,则y=cosA+cosC 的值域为?? ? ??121， 二．例题精讲 例1.求下列函数的值域 2sin 11+= x y ）（ 2sin 1sin )2(+-=x x y )80sin()20sin()3(ο ο+++=x x y ?? ????131， [-2,0] [] 33-， )32lg()4(2--=x x y x y sin lg 2)5(= 3sin 2sin )6(2--=x x y R (0,1] {0} )1)(cos 1(sin )7(++=x x y [)()3,11,01 2 2)8(2?∈-+-= x x x x y 且 ?? ????+22230， (][)+∞-∞-,22,Y
最全函数值域的12种求法(附例题,习题)
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。 点拨： 根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。 解： 由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评： 算术xx具有双重非负性，即： （1）被开方数的非负性， （2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习： 求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（ 答案： 值域为： ｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨： 先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解： 显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为: x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为 ｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评： 利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习： 求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（ 答案： 函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x+x+2)的值域。 点拨： 将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解： 由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2
函数的最值与值域知识梳理
函数的最值与值域 【考纲要求】 1. 会求一些简单函数的定义域和值域； 2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义； 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、函数最值的定义 1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值． 注意：下面定义错在哪里？应怎样订正． 如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值． 2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法 1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围． 2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0?≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值． 3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换． 4.不等式法：利用均值不等式求最值． 5.利用函数的性质求函数的最值 6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法 7.利用导数求函数的最值。 要点诠释： (1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题: ()f x A >在区间D 上恒成立?函数min ()()f x A x D >∈ 函数的最值与值域 函数的值域 函数的最大值 函数的最小值
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π < （三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O 求函数值域方法 （1）、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。 例1：求函数()1y x =≥的值域。 ) +∞ 例2：求函数y = [)1,+∞ 例3：求函数1y = 的值域。 0≥11≥， ∴函数1y = 的值域为[1,)+∞。 （2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 ()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 例1：求函数2 42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 解：2 2 42(2)6y x x x =-++=--+， ∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴2 1(2)9x ≤-≤ ∴2 3(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤ ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 （3）．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。 例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。 解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。 函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。 ∴函数的值域是［0,2］ 例2：求函数2x y =，[]2,2x ∈-的值域。 1,44?? ???? 例3：求函数2 256y x x =-++的值域。 73, 8?? -∞ ??? （4）、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。 例1：求函数1212x x y -=+的值域。 高中函数值域的12种求法 一、观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y＝3＋√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3＋√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为[3，＋∞]。 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y＝[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二、反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y＝(x＋1)/(x＋2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y＝(x＋1)/(x＋2)的反函数为:x＝(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y＝(10x＋10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y＜－1或y ＞1｝） 三、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。 例3：求函数y＝√(－x2＋x＋2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2＋x＋2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2＋x＋2＝－(x－1/2)2＋9/4∈[0，9/4]， ∴0≤√(－x2＋x＋2)≤3/2,函数的值域是[0，3/2]。 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y＝2x－5＋√(15－4x)的值域。（答案:值域为{y∣y≤3}） 四、判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y＝(2x2－2x＋3)/(x2－x＋1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x＋(y－3)＝0（＊） 当y≠2时,由Δ＝(y－2)2－4（y－2）(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y＝2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)＝0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可 函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法： 例1：求函数y 例2：求函数1y =的值域。 2、配方法： 例1：求函数2 42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 例2：求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3：求函数2 256y x x =-++的值域。 3、分离常数法： 例1：求函数125 x y x -=+的值域。 例2：求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 例3：求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法： 例1：求函数2y x =+ 例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例1：求函数y x =- 例2：求函数()x x x f -++=11的值域。 例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域． 例3：求下列函数的定义域： ① 21 )(-=x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ x x x f -+ += 211)( 例4：求下列函数的定义域： ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1：已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)； 20XX 年高考数学必修1专题复习 函数(值域) 一 相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈= ，)(，我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。 2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。 二 确定函数值域的原则 1、当函数)(x f y =用表格给出时，函数的值域指表格中实数y 的集合； 则值域为{1，2，3，4} 2、数)(x f y =的图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； 3、数)(x f y =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； 4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。 三 基本函数的值域 1、一次函数）（0≠+=a b kx y 的值域为R ； 2、二次函数）（02≠++=a c bx ax y ； ] 44(0);44[022a b ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时 3、反比例函数)0(≠=k x k y 的值域为}0/{≠y y ；4、数函数)10(≠>=a a a y x 且的值域为}0/{>y y ；5、对数函数 )10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R 。6，函数y=sinx 、y=cosx 的值域是 ][1,1- 四 求函数值域的方法 1、观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法； 2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域； 例1. ]53(2 32 ，求函数-∈+-=x x x y 的值域； 解：1223 )61(32322+-+-=x x x y ＝求函数 画出图像（图略）从图可知, .7212 23 )615(35;12 23 612max min =+-=== =，y x ，y x 时时 所以此函数的值域为]7212 23 [，. 例2. 求562---=x x y 函数 的值域； 解：设;0562≥---=μμ ，则x x ;44)3(5622≤++-=---=x x x μ .400≤≤∴≥μμ，又 ].2,0[],2,0[值域为∴∈μ ３、换元法： 形如常用换元法求值域 的函数且为常数、、、)0(≠+±+=a ，d c b a d cx b ax y ； 高中数学总复习-三角函数 第5课 三角函数的图像和性质(一) 【考点导读】 1. 能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦 函数在［0,2 ］，正切函数在(一,一)上的性质； 2 2 2. 了解函数y Asin( x )的实际意义，能画出y A si n( x )的图像； 3. 了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 【基础练习】 动的最小正周期T _____L_；初相 —- 2. 三角方程2sin(_ - x)=1的解集为 4. 要得到函数y sinx 的图象，只需将函数 y cos x ______ - ____ 个单位. 【范例解析】 例 1.已知函数 f (x) 2sin x(sin x cosx). (I) 用五点法画出函数在区间 ——上的图象，长度 为一个周期； 2’ 2 (H)说明f(x) 2s in x(si nx cosx)的图像可由y si nx 的图像经过怎样变换而 1. 已知简谐运动 f(x) 2sin (3X )( 2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运 3.函数 y Asin( x )( 0, 尹R)的部分图象如图所示，则函数表达为 y 4si n( x ) 8 4 的图象向右平移 分析：化为Asin( x )形式.得到? 列表，取点，描图: x 335 88888 y11逅1 1 V21 故函数y f(x)在区间［-，2］上的图象是: (U)解法一：把y sinx图像上所有点向右平移—个单位，得到y sin(x ) 4 4 1 的图像，再把y sin(x -)的图像上所有点的横坐标缩短为原来的丄(纵坐标不 4 2 变)，得到y si n(2x —)的图像，然后把y sin(2x —)的图像上所有点纵坐标 4 4 伸长到原来的倍(横坐标不变)，得到y 2 sin(2x -)的图像，再将 4 y . 2 sin(2x )的图像上所有点向上平移1个单位，即得到 4 y 1 - 2 sin(2x -)的图像. 1 解法二：把y sinx图像上所有点的横坐标缩短为原来的-(纵坐标不变)，得 2 到y sin 2x的图像，再把y sin 2x图像上所有点向右平移—个单位，得到 8 解：(I)由f(x)2sin2x 2sin xcosx 1 cos2x sin 2x 2(sin 2x cos — 4 cos2xs in ) 4 2sin(2x 4 ). 授课类型 T-指数函数 C-函数的值域与最值 T-指数函数 教学目的 1、掌握指数函数的概念和指数运算的性质 2、掌握指数函数的图像和性质，并能够根据指数函数的性质解决一些变形的指数函数的问题；利用指数函数建议数学模型解决实际问题。 3、掌握函数值域与最值的解法 教学内容 1．一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折x 次所得层数为y ，则y 与x 的函数表达式是：2x y =. 2．一根1米长的绳子从中间剪一次剩下 12米，再从中间剪一次剩下1 4 米，若这条绳子剪x 次剩下y 米，则y 与x 的函数表达式是：12x y ?? = ??? . 问题：这两个函数有何特点? 同步讲解 一、指数函数的概念 一般地，函数x y a =()01a a >≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 注意：为何规定0a >，且1a ≠? 你知道么？ 图象 性质 ①定义域：R ②值域：（0,+∞） ③过点（0,1）,即x =0时y =1 ④在R 上是增函数,当x ＜0时,0＜y ＜1; 当x ＞0时,y ＞1 ④在R 上是减函数,当x ＜0时,y ＞1; 当x ＞0时,0＜y ＜1 利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小. （1）3 2和 1.7 2； （2）23 0.6 - 和34 0.6 - . 【分析与解答】（1）因为指数2x y =函数在(),-∞+∞上是增函数，又3 1.7>，所以3 1.72 2>. （2）因为指数函数0.6x y =在(),-∞+∞上是减函数，又2334 ->-，所以23 3 40.60.6-->. 求下列函数的定义域与值域。 （1）1 4 2 x y -= （2）23x y -?? = ? ?? （3）1 42 1x x y +=++ 【分析与解答】根据指数函数的定义域为R ，逐个分析。 【解】（1）由404x x -≠?≠ 所以定义域为}{ ,4x x R x ∈≠且 1 41 0214 x x -≠∴≠-Q 所以值域为{} 0,1y y y >≠ （2）定义域为R 。 2331322x x x y --≥?????? ∴==≥= ? ? ??? ?? ?? Q 故值域为{} 1y y ≥ 专题04 函数的定义域、值域的求法 【热点聚焦与扩展】 函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决. （一）函数的定义域 1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1. 2.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()() y f g x =的定义域； ②若()() y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域． 3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解. 4.与定义域有关的几类问题 第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； 第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数 ()f x 的定义域． 第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． （二）函数的值域 1.利用函数的单调性:若)(x f 是],[b a 上的单调增(减)函数,则)(a f ,)(b f 分别是)(x f 在区间],[b a 上取得最小(大)值,最大(小)值. 2.利用配方法:形如2 (0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. 3.利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 4.利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx e y cx d ++=+ (c a ,至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 一般地， ① ax b y cx d += +：换元→分离常数→反比例函数模型 专题复习之----函数值域与最值 求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是高考中的热点和难点之一。因求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，而教材中相关内容较分散，如果不经过长期的综合总结，很难比较全面地掌握这部分内容。本专题就求函数值域或最值的方法作个总结与梳理。 一、 基本知识 1、定义：因变量y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2、函数值域常见的求解思路： ⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。 ⑵．借助几何直观得出具有几何意义的解析式的范围 ⑶．借助导数来研究函数图象得出最值 3、函数值域的最常用的求法 ⑴ 直接法； （2）配方法； ⑶ 判别式法； ⑷ 逆求法； ⑸ 利用基本不等式法； ⑹ 换元法； ⑺ 数形结合法； ⑻ 图象法； ⑼导数法． 注意:区别函数值域与最值之间的不同 （1）、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。 例1：求函数()11,1y x x x = -++≥的值域。 例2：求函数2610y x x = ++的最小值为 。 变式练习：函数的)13(log 22++=x y ，（]5,0[∈x 的最大值和最小值分别为m M ,， 则=-m M （2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 例3：求函数1cos 4sin 2-+=x x y （20π≤ ≤x ）的值域。 变式练习：函数1124 323x x y -+=+?-的值域为：___ ________。 （3）、判别式法：形如21112222 a x b x c y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0?≥，从而求得原函数的值域，常 函数的最值与值域 考纲要求】 1. 会求一些简单函数的定义域和值域； 2. 理解函数的单调性、最大( 小) 值及其几何意义； 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值 知识网络】 考点梳理】 考点一、函数最值的定义 1.最大值：如果对于函数f(x)定义域D内的任意一个自变量x，存在x0 D ，使得f(x) f(x0)成 立，则称f(x0)是函数f (x) 的最大值． 注意：下面定义错在哪里？应怎样订正． 如果对于函数f(x)定义域D内的任意一个自变量x，都有f(x) M ，则称M 是函数f(x)的最大值． 2. 最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法 1. 可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围． 2. 判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0(要注意二次项系数为0 的情况)求出 函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值． 3. 换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换． 4. 不等式法：利用均值不等式求最值． 5. 利用函数的性质求函数的最值 6. 含绝对值的函数或分段函数的最值的求法 7. 利用导数求函数的最值。 要点诠释： (1) 求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2) 一些能转化为最值问题的问题: f (x) A在区间D上恒成立函数f(x)min A(x D) f (x) B 在区间D上恒成立函数f(x)max B(x D) 在区间D上存在实数x使f(x) B 函数f (x)min B(x D) 在区间D上存在实数x使f(x) A 函数f (x)max A(x D) 典型例题】 类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值例 1. 求函数 f (x) e2x me x e2x me x的最值．【解析】 f (x) e2x e2x m(e x e x) x x 2 x x (e e ) m(e e ) 2 令t e x e x(注意t 的范围)，这样所求函数就变为二次函数．【总结升华】当式子中同时出现x2 x 2和x x 1时，都可以化为二次式． 举一反三： 【变式】求函数y 1 x x 3 的值域．解：平方再开方，得y 4 2 (1 x)(3 x),x [ 3,1] y [2,2 2] 类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值例 2. 求下列函数值域： 2x-1 (1) y ；1)x ∈[5 ，10] ；2)x ∈(-3 ，-2) ∪(-2 ，1)；x2 2 (2)y=x 2-2x+3 ；1)x ∈[-1 ，1]；2)x ∈[-2 ，2]. 【解析】(1) Q y2(x 2)-5 -5 +2可看作是由y-5左移 2 个单位，x 2 x 2 x 再上移 2 个单位得到，如图 9 19 1)f(x) 在［5 ，10］上单增，y ［ f (5), f (10)］即［ , ］； 7 12 2) y (- , f (1)) ( f (-3), )即(- ，3) (7，)； (2) 画出草图专题一求函数值域十六法
高中函数值域的12种解法(含练习题)
高一数学【函数的定义域值域】练习题集
高考数学专题复习函数(值域)新课标人教版
高中数学-三角函数图像及性质与值域及最值
高中一年级数学_指数函数_函数的值域与最值(教(学)案)
备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题04函数的定义域值域的求法
专题复习之 求函数值域与最值
函数的最值与值域知识梳理