积化和差和和差化积公式记忆窍门
积化和差
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
和差化积
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
我们背公式时往往要么不是死记硬背，要么便是不停的推导增强熟练度来记忆，其实我们可以通过公式的逻辑结构来记忆，这个公式其实对于高中生用得更多一些，不久前做了一道满综合的题目是无意中想起了当时总结的记忆法，只要大家按我说的方法来记忆，保证20秒内牢记这些公式，下面我来说说记忆的方法：
对于积化合差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos，其次，右边中间的和与差取决于左边第二项，若是cos，则是+，若是sin，则是-，最后记得sin*sin时要添上一个负号。
对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名，第二，等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则是cos，若是负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos-cos要添一个负号。
希望对大家有所帮助，小弟班门弄斧了。。。。。
和差化积、积化和差、万能公式
正、余弦和差化积公式 指高中数学三角函数部分的一组恒等式 sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 因为 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2] 编辑本段正切的和差化积 tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明） cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ) 证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 ∴等式成立 编辑本段注意事项 在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然
高三数学积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲
三角函数式的化简 要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法 例1. 化简 x x x x x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ?+- -? 解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P += =.tan ,sin x y x r y x == 0)(222=-+-=+--=?+ --?=∴x r y x r y y x r x r y r y x y r y x y r y x y r y x y 原式 二: 弦切互化法 例2. x x x x x x x 222 2 tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-?+?+化简 解: 原式x x x x x x x x x x x x x x x 2cos )cos 2sin 21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 222 22?+?=+-??+?= x x x x x 2sin 22cos cos 1 2cos 2sin =??= 三: 变用公式 例3. o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ?+?+?化简 解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ?++= 15tan 50tan )50tan 15tan 1)(5015tan(25tan ?+-+?= 115tan 50tan )50tan 15tan 1(=?+?-= 说明: 公式β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ±在解题中运用非常灵活.常常变形为 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用. 四: 连锁反应法 例5. o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简 解: 原式 12cos 24cos 48cos 6sin ???= 6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ????= = 16 16cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21 = ====??? 说明: 此题分子分母同乘以 6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法 例6. y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22?--++化简 解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2 )22cos(12)22cos(1?---+++=
三角函数诱导公式、万能公式、和差化积公式、倍角公式等公式总结及其推导
三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα
积化和差与和差化积公式
积化和差与和差化积公式 田云江 [基本要求] 能推导积化和差与和差化积公式，但不要求记忆，能熟练地综合运用两类公式解决有关问题。 [知识要点] 1、积化和差公式： sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)] 积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。其中后两个公式可合并为一个： sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)] 2、和差化积公式 sinθ+sinφ=2sin cos sinθ-sinφ=2cos sin cosθ+cosφ=2cos cos
cosθ-cosφ=-2sin sin 和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是： ①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin cos ②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。 ③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。 ④合一变形也是一种和差化积。 ⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。 3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。 [例题选讲] 1、求下列各式的值 ①cos40°+cos60°+cos80°+cos160° ②cos23°-cos67°+2sin4°+cos26° ③csc40°+ctg80° ④cos271°+cos71°cos49°+cos249° 解：①cos40°+cos60°+cos80°+cos160° =+cos80°+2cos100°cos60° =+cos80°-cos80°=
数学和差化积公式
sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 法1 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=(θ+φ)/2, β=(θ-φ)/2 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2] 法2 根据欧拉公式，e ^Ix=cosx+isinx 令x=a+b 得e ^I（a+b） =e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb +sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b） 所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa 正切的和差化积 tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明） cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ) 证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 ∴等式成立
积化和差与和差化积公式(教师版)
积化和差与和差化积公式(教师版)
积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课 一、基本公式复习 1、两角和与差公式及规律 sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan(). 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβ αβαβ ±=±±=±±= m m 2二倍角公式及规律 3、积化和差与和差化积公式 1 sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++- 1 cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+-- 1 cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++- 1 sin sin [cos()cos()].2 αβαβαβ=-+-- sin sin 2sin cos .22 αβαβ αβ+-+= 222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2 tan .21cos αα αααααααα+?=????-???±==?????-??=?+? 2 sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22 ααααααααα?==±=± sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=- 22tan tan 2.1tan ααα =- cos cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+= sin sin 2cos sin .22αβαβαβ+--= cos cos 2sin sin .22αβαβαβ+--=- 生动的口诀：（和差化积） 口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然
和差化积公式记忆口诀顺口溜
和差化积公式记忆口诀顺口溜 和差化积公式，包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式，是 三角函数中的一组恒等式，可用积化和差公式推导，也可以由和角公式得到， 为了方便同学们记忆，小编整理了和差化积公式记忆口诀，供参考。 和差化积公式记忆口诀1帅+帅=帅哥，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2帅- 帅=哥帅，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2哥+哥=哥哥，cosa+cosβ=2cos(a+β) /2*cos(a-β)/2哥-哥=负嫂嫂。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2(反之亦然)和差化积公式记忆口诀2正和正在先，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2正差正后迁，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2余和一色余，cosa+cosβ=2cos(a+β) /2*cos(a-β)/2余差翻了天。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2和差化积公式记忆口诀3口口之和仍口口，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2赛赛之和赛口留，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2口口之差负赛赛，cosa+cosβ=2cos(a+β) /2*cos(a-β)/2赛赛之差口赛收。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2和差化积公式记忆口诀4正弦加正弦，正弦在前面，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2正 弦减正弦，余弦在前面，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2余弦加余弦，余弦 全部见，cosa+cosβ=2cos(a+β)/2*cos(a-β)/2余弦减余弦，余弦(负)不想见。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2注：角度(a+β)/2在前，(a-β)/2在后的标准形式和差化积公式记忆口诀5正加正，正在前，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β) /2正减正，余在前，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2余加余，余并肩， cosa+cosβ=2cos(a+β)/2*cos(a-β)/2余减余，负正弦。cosa-cosβ=-2sin(a+β) /2*sin(a-β)/2以上就是小编收集整理的和差化积公式记忆口诀，希望对同学们 记忆和差化积公式有所帮助。
积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题
整理为word格式
1．下列等式错误的是( ) A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin A cos B 整理为word格式
B．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos A sin B C．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos A cos B D．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin A cos B 2．sin15°sin75°＝( ) A.1 8 B. 1 4 C. 1 2 D．1 3．sin105°＋sin15°等于( ) A. 3 2 B. 2 2 C. 6 2 D. 6 4 4．sin37.5°cos7.5°＝________. 5.sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( ) A.3 4 B. 3 2 C. 1 2 D. 3 4 整理为word格式
整理为word 格式 6.cos72°－cos36°的值为( ) A ．3－2 3 B.12 C ．－1 2 D ．3＋23 7.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2 C 2 ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．不等边三角形 D ．直角三角形 8．函数y ＝sin ? ? ???x －π6cos x 的最大值为( ) A.12 B.14 C ．1 D.2 2 9．若cos(α＋β)cos(α－β)＝1 3，则cos 2α－sin 2β等于( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.23 10．函数y ＝sin ? ? ???x ＋π3－sin x (x ∈[0，π2])的值域是( )
和差化积公式推导(非常简单实用)
关于和差化积公式的推导 Von · braun Zhan jiang normal university 2009.11.17 关于积化和差及和差化积得公式，在高中数学学习过程中，教材及考试并未做过多的讲述及要求，这导致同学们在学习过程中难免会对其运用的程度不够，以致在大学学习数学的时候运用积化和差及和差化积公式解题时感到无从下手以致无法进行下一步的运算；特别是对于和差化积公式；鉴于此种情况，我在这里就其推演做一简单而有效的证明。 在这里我先给出积化和差公式： ()()[]βαβαβα-++= sin sin 2 1cos sin [])cos()cos(2 1sin sin βαβαβα--+-= [])sin()sin(2 1sin cos βαβαβα--+= [])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= 及和差化积公式： 2 cos 2sin 2sin sin ?θ?θ?θ-+=+ 2 sin 2cos 2sin sin ?θ?θ?θ-+=- 2 c o s 2c o s 2c o s c o s ?θ?θ?θ-+=+ 2 s i n 2s i n 2c o s c o s ?θ?θ?θ-+-=- 写到这里，我们会发现对于积化和差公式其实是非常容易理解的，无非就是三角公式的展开，这要求大家对这些公式有清晰的认识；而对于和差化积公式，也许对于一些人就有些麻烦了，不过相信你在看完这份资料后，对于和差化积公式的运用就并不是那么糟糕的事情了，下面我们一起看看推导过程吧！ 首先，我们来看和差化积公式的第一条公式： ?θsin sin + 从这左边的一半，我们很难找到对应的公式化简，但是，我们换一个角度来看，我们还是可以应用三角公式进行展开的，不过我们要对角进行一定的处理，就像这样： 令 22? θ? θθ-++= 22? θ?θ?--+= 代入?θsin sin +中，可以得到 ??? ??--++??? ??-++=+22 s i n 22s i n s i n s i n ?θ?θ?θ?θ?θ 对于这道等式的右边，我们已经并不感到陌生了，为此成功已经属于我们的了，下一步是
积化和差和差化积记忆口诀及相关练习题
积化和差和差化积记忆口诀及相关练习题 集团文件版本号：（M928-T898-M248-
A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin A cos B B．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos A sin B C．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos A cos B D．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin A cos B 2．sin15°sin75°＝( )
A.18 B.14 C.12 D ．1 3．sin105°＋sin15°等于( ) A.32 B.22 C.62 D.64 4．sin37.5°cos7.5°＝________. 5.sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( ) A.34 B.32 C.12 D.34 6.cos72°－cos36°的值为( ) A ．3－2 3 B.12 C ．－12 D ．3＋23 7.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2 ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．不等边三角形 D ．直角三角形 8．函数y ＝sin ? ????x －π6cos x 的最大值为( )
A.12 B.14 C ．1 D.22 9．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13 ，则cos 2α－sin 2β等于( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.23 10．函数y ＝sin ? ????x ＋π3－sin x (x ∈[0，π2 ])的值域是( ) A ．[－2,2] B.??????－12 ，32 C.??????12，1 D.??????12 ，32 答案 1解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、 B 、 C 正确． 2解析：选B.sin15°sin75°＝－12 [cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]
积化和差和和差化积公式记忆窍门
积化和差 sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 和差化积 sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2) 我们背公式时往往要么不是死记硬背，要么便是不停的推导增强熟练度来记忆，其实我们可以通过公式的逻辑结构来记忆，这个公式其实对于高中生用得更多一些，不久前做了一道满综合的题目是无意中想起了当时总结的记忆法，只要大家按我说的方法来记忆，保证20秒内牢记这些公式，下面我来说说记忆的方法： 对于积化合差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos，其次，右边中间的和与差取决于左边第二项，若是cos，则是+，若是sin，则是-，最后记得sin*sin时要添上一个负号。 对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名，第二，等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则是cos，若是负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos-cos要添一个负号。 希望对大家有所帮助，小弟班门弄斧了。。。。。
三角函数和差化积与积化和差公式
和差化积和积化和差公式 1、正弦、余弦的和差化积 2 cos 2sin 2sin sin βαβ αβα-?+=+ 2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-?+=- 2cos 2cos 2cos cos β αβ αβα-?+=+ 2sin 2sin 2cos cos β αβ αβα-?+-=- 【注意右式前的负号】 证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设 α+β=θ，α-β=φ 那么2φθα+= ，2 φθβ-= 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin ?+2φθcos 2 φθ- 2、正切和差化积 tan α±tan β=β αβαcos cos )sin(?± cot α±cot β= βαβαsin sin )sin(?± tan α+cot β=β αβαsin cos )cos(?- tan α-cot β=β αβαsin cos )cos(?+- 证明：左边=tan α±tan β= ββααcos sin cos sin ± =β αβαβαcos cos sin cos cos sin ??±? = βαβαcos cos )sin(?±=右边
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次 3、积化和差公式 ))((][2cos cos sin sin βαβαβα+--=?（注意：此时差的余弦在和的余弦前面） 或写作： ))((][2cos cos sin sin βαβαβα--+-=?（注意：此时公式前有负号） ()()[]2cos cos cos cos βαβαβα++-=? ()()[]2sin sin cos sin βαβαβα-++=? ()()[]2 sin sin sin cos βαβαβα--+=? 证明 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明： ()βαβαs i n s i n 221s i n s i n ?-?- =? ()()[]2 sin sin cos cos sin sin cos cos βαβαβαβα+---= ()()[]βαβα--+-=cos cos 21 其他的3个式子也是相同的证明方法。 结果除以2 这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin 和cos 的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。 也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如： cos(α-β)-cos(α+β) =1/2[(cos α·cos β+sin α·sin β)-(cos α·cos β-sin α·sin β)] =2sin α·sin β 故最后需要除以2。
和差化积公式
和差化积公式 正弦、余弦的和差化积 公式 指高中数学三角函数部分的一组恒等式 sin α+sinβ= 2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sinβ= 2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cosβ= 2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 法1 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 因为 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=(θ+φ)/2, β=(θ-φ)/2 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2] 法2 根据欧拉公式，e ^Ix=cosx+isinx 令x=a+b 得e ^I（a+b） =e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinb cosa)=cos（a+b）+isin（a+b） 所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa 正切的和差化积 tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明） cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)
三角函数公式和积化和差公式汇总
三角函数公式积化和差公式汇总 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2π -a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA = a a cos sin 万能公式 sina= 2 )2 (tan 12tan 2a a +
积化和差与和差化积同步练习(教师版)
3.3 三角函数的积化和差与和差化积 同步练习 1．下列等式错误的是( ) A ．sin(A ＋ B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B B ．sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sin B C ．cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cos B D ．cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2sin A cos B 解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确． 2．sin15°sin75°＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1 解析：选B.sin15°sin75°＝ －1 2[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)] ＝－1 2(cos90°－cos60°) ＝－12(0－12)＝14. 3．sin105°＋sin15°等于( ) A.32 B.22 C.62 D.64
解析：选 C.sin105°＋sin15°＝2sin 105°＋15°2cos 105°－15° 2 ＝2sin60°cos45°＝6 2. 4．sin37.5°cos7.5°＝________. 解析：sin37.5°cos7.5°＝1 2[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝1 2(sin45°＋sin30°) ＝12? ???? 22 ＋12＝2＋14. 答案：2＋1 4 一、选择题 1．sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( ) A.34 B.32 C.12 D.34 解析：选A.sin70°cos20°－sin10°sin50° ＝12(sin90°＋sin50°)＋12(cos60°－cos40°) ＝12＋12sin50°＋14－12cos40°＝34. 2．cos72°－cos36°的值为( ) A ．3－2 3 B.1 2
积化和差与和差化积公式(教师版)
积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课 一、基本公式复习 1、两角和与差公式及规律 sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan(). 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβ αβαβ ±=±±=±±= m m 2二倍角公式及规律 3、积化和差与和差化积公式 1 sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++- 1 cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+-- 1 cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++- 1 sin sin [cos()cos()].2 αβαβαβ=-+-- sin sin 2sin cos .22 αβαβ αβ+-+= 222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2 tan .21cos αα αααααααα+?=????-???±==?????-??=?+? 2 sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22 ααααααααα?==±=± sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=- 22tan tan 2.1tan ααα =- cos cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+= sin sin 2cos sin .22αβαβαβ+--= cos cos 2sin sin .22αβαβαβ+--=-
三角函数和差积公式的记忆口诀
三角函数和差积公式的记忆口诀 三角函数和差积公式的记忆口诀一、两角和与差的正余弦公式记忆 正弦异名加一起，sin(a+b)=sinacosb+cosasinb 余弦同名加减异，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb 前面是a后面b 二、积化和差与和差化积公式记忆 积化和差公式： sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 前正后余正弦加 cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 前余后正正弦差 cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 余余得值余弦加 sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 全正变号余弦差 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 正弦加正弦正弦在前面 sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 正弦减正弦余弦在前面
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 余弦加余弦全都是余弦 cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 余弦减余弦变号改正弦 记忆数学知识点的诀窍1归类记忆法 就是根据识记材料的性质、特征及其内在联系，进行归纳分类，以便帮助学生记忆大量的知识。比如，学完计量单位后，可以把学过的所有内容归纳为五类：长度单位;面积单位;体积和容积单位;重量单位;时间单位。这样归类，能够把纷纭复杂的事物系统化、条理化，易于记忆。 2歌诀记忆法 就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜，从而便于记忆。比如，量角的方法，就可编出这样几句歌诀：“量角器放角上，中心对准顶点，零线对着一边，另一边看度数。”再如，小数点位置移动引起数的大小变化，“小数点请你跟我走，走路先要找准‘左’和‘右’;横撇带口是个you，扩大向you走走走;横撇加个zuo，缩小向zuo走走走;十倍走一步百倍两步走，数位不够找‘0’拉拉钩。”采用这种方法来记忆，学生不仅喜欢记，而且记得牢。 3规律记忆法。 即根据事物的内在联系，找出规律性的东西来进行记忆。比如，识记长度单位、面积单位、体积单位的化法和聚法。化法和聚法是互逆联系，即高级单位的数值×进率=低级单位的数值，低级单位的数值÷进率=高级单位的数值。掌握了这两条规律，化聚
积化和差以及和差化积最简记忆口诀
关于和差化积以及积化和差的两句口诀 sin 和差前后积，cos 和差cos 负sin 一、阐述 1）观察 和差化积 以及 积化和差 公式，找到共同规律，编成最简口诀。 2）“正弦”有“正”字，和“正负号”的“正”字一样，故口诀中必须避免“正”字。 3）口诀的最主要原则是朗朗上口：应如“一价氢氯钾钠银；二价氧钙钡镁锌，三铝四硅五价磷；二三铁，二四碳，二四六硫都齐全……”一般直接明了。 4）口诀中要体现普遍性以及特殊性。比如两组各自填入的角度模式都是一致的，而特殊点在于都有一条公式是带有负号的。 5）不要纠结于字母αβ，而是进行广义化，犹如小学各种小东西的形象化加减计算；应该更加注重公式的主体部分以及其相对位置。亦不要给公式进行编号。 注：若是纠结于字母而记忆字母公式，弊端有如你背诵了圆锥曲线各种表达式后遇到考试题目故意颠倒了字母顺序一般难受，亦有如几何分析故意颠倒了坐标系一样尴尬。 二、规律 观察如下积化和差 以及 和差化积公式： ()()1sin cos =sin sin 2?Θ?+Θ+?-Θ??? ? ()()1cos sin =sin sin 2?Θ?+Θ-?-Θ??? ? ()()1cos cos =cos cos 2 ?Θ?+Θ+?-Θ???? ()()1sin sin =cos cos 2?Θ-?+Θ-?-Θ??? ? ()() sin +sin =2sin cos 22?+Θ?-Θ?Θ ()() sin sin =2cos sin 22?+Θ?-Θ?-Θ ()() cos cos =2cos cos 22?+Θ?-Θ?+Θ ()()cos cos =2sin sin 22?+Θ?-Θ?-Θ- 最主要的规律：“和必同名，和积互逆” 1）“和必同名”（注：减去一个数相当于加上一个负数，作差本质还是作和，差即是和） 我们看到无论是和差化积还是积化和差公式中，关于“和”那一边只有 sin sin ?±Θ、cos cos ?±Θ均没有出现sin cos ?±Θ、cos sin ?±Θ 可见关于“和差”其实只有同名函数之间的和差，若是不同名便是辅助角公式的事了。
和差化积积化和差万能公式
正、余弦和差化积公式 指三角函数部分的一组恒等式 sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 因为 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2] 正切的和差化积 tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明） cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ) 证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 ∴等式成立 注意事项 在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然
积化和差 和差化积 倍角公式 半角公式
1.积化和差公式 证明方法:用和(差)角公式将右边展开即得公式. 积化和差公式记忆口诀 积化和差角加减,二分之一排前边 正余积化正弦和,余正积化正弦差 余弦积化余弦和,正弦积化负余差 2.和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】 和差化积公式记忆口诀 和差化积2排前,半角加减放右边 正弦和化正余积,正弦差化余正积 余弦和化余弦积,余弦差化负正积。
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 sin α+sin β=2sin[（α+β）/2]·cos[（α-β）/2]的证明过程因为 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ， sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=（θ+φ）/2，β=（θ-φ）/2 把α，β的值代入，即得 sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[(θ-φ）/2] 正切的和差化积 tanα±tanβ=sin（α±β）/(cosα·cosβ）（附证明） cotα±cotβ=sin（β±α）/(sinα·sinβ） tanα+cotβ=cos（α-β）/(cosα·sinβ） tanα-cotβ=-cos（α+β）/(cosα·sinβ）【注意右式前的负号】证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ）/(cosα·cosβ） =sin（α±β）/(cosα·cosβ）=右边 ∴等式成立