条件概率

条件概率

1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率.

解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”,设事件B表示“甲取到的数是5的倍数”.

则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式而P(B)=3/15=1/5 ,

∴P(A|B)=9/14.

,

2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率.

解.设事件A表示“掷出含有1的点数”,设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”.

则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式

∴P(A|B)=1/2.

,

,

3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率.

解.设事件A i表示“第i次取到白球”.(i=1,2,…,N)则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3,

由乘法公式可知: P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3.而P(A3|A1A2)=3/4 ,

P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/4 .

由数学归纳法可以知道P(A1A2…A N)=1/(N+1).

4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率.

解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”,

事件B表示“最后取到的是白球”.

根据题意: P(B|A)=5/12 , , P(A)=1/2.

∴

5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率

解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i个白球”,其中i=0,1,2 .

事件B表示“从乙袋中取到的是白球”.

显然A0, A1, A2构成一完备事件组,且根据题意

P(A0)=1/10 , P(A1)=3/5 , P(A2)=3/10 ;

P(B|A0)=2/5 , P(B|A1)=1/2 , P(B|A2)=3/5 ;

由全概率公式

P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25.

6.袋中装有编号为1, 2,…, N的N个球,先从袋中任取一球,如该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回,然后再摸一次,求取到2号球的概率.

解.设事件A表示“第一次取到的是1号球”,则表示“第一次取到的是非1号球”;

事件B表示“最后取到的是2号球”.

显然P(A)=1/N,

且P(B|A)=1/(N-1),;

,

∴=1/(N-1)×1/N+1/N×(N-1)/N =(N2-N+1)/N2(N-1).

7. 袋中装有8只红球, 2只黑球,每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求下列事件的概率.

(1)取出的两只球都是红球; (2)取出的两只球都是黑球;

(3)取出的两只球一只是红球,一只是黑球; (4)第二次取出的是红球.

解.设事件A1表示“第一次取到的是红球”,事件A2表示“第二次取到的是红球”.

(1)要求的是事件A1A2的概率.

根据题意P(A1)=4/5, , P(A2|A1)=7/9,

∴P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=4/5×7/9=28/45.

(2)要求的是事件的概率.

根据题意: ,,

∴.

(3)要求的是取出一只红球一只黑球,它包括两种情形,即求事件的概率.

,,

,

,

∴.

(4)要求第二次取出红球,即求事件A2的概率.

由全概率公式:

=7/9×4/5+8/9×1/5=4/5.

8. 某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级射手7人, 四级射手1人. 一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.

解.设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”,

设事件B i表示“射手是第i级射手”.(i=1,2,3,4)

显然, B1、B2、B3、B4构成一完备事件组,且

P(B1)=4/20, P(B2)=8/20, P(B3)=7/20, P(B4)=1/20;

P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2.

由全概率公式得到

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B4)P(B4)

=0.9×4/20+0.7×8/20+0.5×7/20+0.2×1/20=0.645.

9.轰炸机轰炸某目标,它能飞到距目标400、200、100(米)的概率分别是0.5、0.3、0.2,又设它在距目标400、200、100(米)时的命中率分别是0.01、0.02、0.1 .求目标被命中的概率为多少?

解.设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”,

设事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”,

设事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”,

用事件B表示“目标被击中”.由题意, P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2,

且A1、A2、A3构成一完备事件组.

又已知P(B|A1)=0.01, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.1.

由全概率公式得到:

P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0.01×0.5+0.02×0.3+0.1×0.2=0.031.

10. 加工某一零件共需要4道工序,设第一﹑第二﹑第三﹑第四道工序的次品率分别为2%﹑3%﹑5%﹑3%, 假定各道工序的加工互不影响, 求加工出零件的次品率是多少?

解.设事件A i表示“第i道工序出次品”, i=1,2,3,4

因为各道工序的加工互不影响,因此A i是相互独立的事件.

P(A1)=0.02, P(A2)=0.03, P(A3)=0.05, P(A4)=0.03,

只要任一道工序出次品,则加工出来的零件就是次品.所以要求的是(A1+A2+A3+A4)这个事件的概率.

为了运算简便,我们求其对立事件的概率

=(1-0.02)(1-0.03)(1-0.05)(1-0.03)=0.876.

∴P(A1+A2+A3+A4)=1-0.876=0.124.

11. 某人过去射击的成绩是每射5次总有4次命中目标, 根据这一成绩, 求

(1)射击三次皆中目标的概率;

(2)射击三次有且只有2次命中目标的概率;

(3)射击三次至少有二次命中目标的概率.

解.设事件A i表示“第i次命中目标”, i=1,2,3

根据已知条件P(A i)=0.8,,i=1,2,3

某人每次射击是否命中目标是相互独立的,因此事件A i是相互独立的.

(1)射击三次皆中目标的概率即求P(A1A2A3).

由独立性:

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.83=0.512.

(2)“射击三次有且只有2次命中目标”这个事件用B表示.

显然,

又根据独立性得到:

.

(3)“射击三次至少有2次命中目标”这个事件用C表示.

至少有2次命中目标包括2次和3次命中目标,所以C=B+A1A2A3

P(C)=P(B)+P(A1A2A3)=0.384+0.512=0.896.

12. 三人独立译某一密码, 他们能译出的概率分别为1/3, 1/4, 1/5, 求能将密码译出的概率. 解.设事件A i表示“第i人能译出密码”, i=1,2,3.

由于每一人是否能译出密码是相互独立的,最后只要三人中至少有一人能将密码译出,则密码被译出,因此所求的概率为P(A1+A2+A3). 已知P(A1)=1/3, P(A2)=1/4, P(A3)=1/5,

而=(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)=0.4.

∴P(A1+A2+A3)=1-0.4=0.6.

13. 用一门大炮对某目标进行三次独立射击, 第一、二、三次的命中率分别为0.4、0.5、0.7, 若命中此目标一、二、三弹, 该目标被摧毁的概率分别为0.2、0.6和0.8, 试求此目标被摧

毁的概率.

解.设事件A i表示“第i次命中目标”, i=1,2,3.

设事件B i表示“目标被命中i弹”, i=0,1,2,3.

设事件C表示“目标被摧毁”.

由已知P (A1)=0.4, P(A2)=0.5, P(A3)=0.7;

P(C|B0)=0, P(C|B1)=0.2, P(C|B2)=0.6, P(C|B3)=0.8.

又由于三次射击是相互独立的,所以

,

=0.6×0.5×0.7+0.6×0.5×0.3+0.4×0.5×0.3=0.36,

=0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7=0.41,

.由全概率公式得到

P(C)=P(C|B0)P(B0)+P(C|B1)P(B1)+P(C|B2)P(B2)+P(C|B3)P(B3)

=0×0.09+0.2×0.36+0.6×0.41+0.8×0.14=0.43.