正常水准面不平行性及其改正数计算
§5.7 正常水准面不平行性及其改正数计算
如果假定不同高程的水准面是相互平行的，那么水准测量所测定的高差，就是水准面间的垂直距离。这种假定在较短距离内与实际相差不大，而在较长距离时，这种假定是不正确的。
5.7.1 水准面不平行性
在空间重力场中的任何物质都受到重力的作用而使其具有位能。对于水准面上的单位质点而言，它的位能大小与质点所处高度及该点重力加速度有关。我们把这种随着位置和重力加速度大小而变化的位能称为重力位能，并以W 表示，则有
gh W = （5-17） 式中，g 为重力加速度；h 为单位质点所处的高度。 我们知道，在同一水准面上各点的重力位能相等，因此，水准面称为重力等位面，或称重力位水准面。如果将单位质点从一个水准面提高到相距h ?的另一个水准面，其所做功就等于两水准面的位能差，即h g W ?=?。在图5-51中，设A h ?、B h ?分别表示两个非常接近的水准面在B A ,两点的垂直距离，A g 、B g 为B A ,两点的重力加速度。由于水准面具有重力位能相等的性质，因此B A ,两点所在水准面的位能差W ?应有下列关系
B B A A h g h g W ?=?=? （5-18）
我们知道，在同一水准面上的不同点重力加速度g 值是不同的，因此由式（5-18）可知，A h ?与B h ?必定不相等，也就是说，任何两邻近的水准面之间的距离在不同的点上是不相等的．并且与作用在这些点上的重力成反比。以上的分析说明水准面不是相互平行的，这是水准面的一个重要特性，称为水准面不平行性。
重力加速度g 值是随纬度的不同而变化的，在纬度较低的赤道处有较小的g 值，而在两极处g 值较大，因此，水准面是相互不平行的、且为向两极收敛的、接近椭圆形的曲面。
水准面的不平行性，对水准测量将产生什么影响呢？
我们知道，水准测量所测定的高程是由水准路线上各测站所得高差求和而得到的。在图5-34中，地面点B 的高程可以按水准路线OAB 各测站测得高差 ,,21h h ??之和求得，即
∑?=OAB
B h H 测
如果沿另一条水准路线ONB 施测，则B 点的高程应为水准路线ONB 各测站测得高差
,,21
h h '?'?之和，即
图5-33
∑'?='ONB
B h H 测
由水准面的不平行性可知∑∑'?≠?ONB
OAB
h h ，因此B H 测
'也必定不等，也就是说，用水准测量测得两点间高差的结果随测量所循水准路线的不同而有差异。
如果将水准路线构成闭合环形OABNO ，既然B B
H H 测
测'≠，可见，即使水准测量完全没有误差，这个水准环形路线的闭合差也不为零。在闭合环形水准路线中，由于水准
面不平行所产生的闭合差称为理论闭合差。 由于水准面的不平行性，使得两固定点间的高差沿不同的测量路线所测得的结果不一致而产生多值性，为了使点的高程有惟一确定的数值，有必要合理地定义高程系，在大地测量中定义下面三种高程系统：正高，正常高及力高高程系。
5.7.2 正高高程系
正高高程系是以大地水准面为高程基准面，地面上任一点的正高高程（简称正高），
即该点沿垂线方向至大地水准面的距离。如图5-34中，B 点的正高，设以B H 正表示，
则有
?∑=?=
BC
BC
B
dH H H 正 （5-19）
设沿垂线BC 的重力加速度用B g 表示，在垂
线BC 的不同点上，B g 也有不同的数值。由式(5-18)的关系可以写出
gdh dH g B =
或
dh g g
dH B
=
（5-20）
将（5-20）式代入（5-19）式中，得
??==OAB
B
BC
B
dh g g
dH H 正
（5-21） 如果取垂线BC 上重力加速度的平均值为B
m g ，上式又可写为
?
=
OAB
B m
B
gdh g H 1
正 （5-22）
从（5-22）式可以看出，某点B 的正高不随水准测量路线的不同而有差异，这是因为
式中B
m g 为常数，?gdh 为过B 点的水准面与大地水准面之间的位能差，
也不随路线而异，图5-34
因此，正高高程是惟一确定的数值，可以用来表示地面的高程。
如果沿着水准路线每隔若干距离测定重力加速度，则（5-22)式中的g 值是可以得到的。但是由于沿垂线BC 的重力加速度B g 不但随深入地下深度不同而变化，而且还
与地球内部物质密度的分布有关，所以重力加速度的平均值B
m g 并不能精确测定，也不
能由公式推导出来，所以严格说来，地面一点的正高高程不能精确求得。
5.7.3 正常高高程系
将正高系统中不能精确测定的B m g 用正常重力B
m γ代替，便得到另一种系统的高程，
称其为正常高，用公式表达为
?=
gdh H B
m
B
γ1
常 （5-23）
式中，g 由沿水准测量路线的重力测量得到；dh 是水准测量的高差，B
m γ是按正常重力
公式算得的正常重力平均值，所以正常高可以精确求得，其数值也不随水准路线而异，是惟一确定的。因此，我国规定采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统。 下面推导正常高高差的实际计算公式。
首先推导高出水准椭球面m H 的正常重力的计算公式。在这里，我们把水准椭球看成是半径为R 的均质圆球，则地心对地面高H 的点的引力为
2
)(H R M
f
g +=
对大地水准面上点的引力为
2
0R M f
g = 两式相减，得重力改正数
))(11(
2
201H R R fM g g g +-=-=? ])
1(1
1[22
R
H R fM +-
=
上式右端括号外
2
R fM 项，可认为是地球平均正常重力0γ；由于H < )1(-+ R H 展开级数，并取至二次项，经整理得 )]321(1[22 01R H R H g +--=?γ 2 20032R H R H γγ-= 将地球平均重力0γ及地球半径R 代入上式，最后得 2711072.03086.0H H g -?-=? 这就是对高出地面H 点的重力改正公式，式中H 以m 为单位，g 1?以mGal 为单位。显然式中第一项是主项，大约每升高3m ，重力值减少1mGa1。第二项是小项，只在特高山区才顾及它，在一般情况下可不必考虑，这样通常可把上式写成 H g 3086.01=? 于是得出地面高度H 处的点的正常重力计算公式 H 3086.00-=γγ （5-24） 式中0γ为水准椭球面上的正常重力值，在大地控制测量中，采用1901～1909年赫尔默特正常重力公式： )2sin 000007.0sin 005302.01(030.978220??γ-+= （5-25） 将重力g 写成下面的形式 γγγγ-+-+=B m B m g g （5-26） 式中γ用（5-24）式计算。在有限路线上，可以认为正常重力是线性变化，因此可认为 B m γ是B H 处的γ值，即)2 3086.0(0B B B m H ? -=γγ，进而 γγγγ--+? --+=)3086.0()2 3086.0(00H H g g B B B m )2 ( 3086.0)()(00H H g B B B m -+-+-+=γγγγ （5-27） 分项积分得到 ??? -=-OAB OAB B OAB B Hdh dh H dh H H 2 )2( 可近似地写成： 022)2(22=-=-?B B OAB B H H dh H H 因此，有正常高计算公式： ???-+ -+ = OAB B m B B m OAB B dh g dh dh H )(1 )(1 00γγ γγγ 常 （5-28） 上式右端第一项是水准测量测得的高差，这是主项；第二项中的0γ是沿B A O --水准路线上各点的正常重力值，随纬度而变化，亦即B 00γγ≠，所以第二项称为正常位水准面不平行改正数。第一、二项之和称为概略高程。第三项是由正常位水位面与重力等位 面不一致引起的，称之为重力异常改正项。 当计算两点高差时，有式 ?? ? ? ????-- -+ ??? ? ??? ?-- -+= -? ? ? ? ? OB OA A m B m OB OA A A m B B m AB A B dh g dh g dh dh dh H H )(1 )(1 )(1 )(1 0000γγγγγγγγγγ常常 （5-29） 将上式右端第二、三大项分别用ε和λ表示，则 λε++= -?AB A B dh H H 常常 （5-30） 上式中ε称为正常位水准面不平行引起的高差改正，λ称为由重力异常引起的高差改 正，经过ε和λ改正后的高差称为正常高高差。 下面推导ε和λ的计算公式。首先推导ε的计算公式。 由于 ??-- -= OA A A m OB B B m dh dh )(1 )(1 00 00γγ γ γγγ ε ????-- -+-+ -- -=OA A A m OA B A A B m OA B B m OB B B m dh dh dh dh )(1 )(1 )(1 )(1 00 0000 00 00 γγ γ γγγγ γ γγ γγγ γ ????-- -+-+ -= OA A A m OA A B m OA B A B m AB B B m dh dh dh dh )(1 )(1 [ )(1 )(1 00 000000γγ γ γγγ γγγ γγγ 于是 ??-?-+-+-= OA A B m A m B m A m A B m B A AB B B m dh H dh )()(1 00 000 0γγ γγγγγγγγγγ ε （5-31） 上式中最后一项数值很小，可略去；第一项在B A ,间距不大的情况下，可认为0γ呈线性变化，0γ可用平均值代替，亦即)(2 1000B A γγγ+= ，则 2)()2 ( 1 )(1 000 000 h dh dh B m A B AB B B A B m AB B B m ??--=-+= -??γγγγγγγγγ γ （5-32） 这样 m B m A B A B m A B H H h γγγγγγε)()2()(0000--=+?--= （5-33） 式中，m H 为B A ,两点平均高度（可用近似值代替），γγγ?=-A B 00。又由（5-25）式可知，若忽略右端第三项（即含?2sin 2项），并令??2cos 2 1 212sin 2-= ，则把它改写成 )]2cos 2 121(1[0?βγγ-+=e ]2cos 2 1 211[?ββγ-+ =e （5-34） 当 45=?时，得)2 1 1(45βγγ+=e 。因此上式可写成 )2cos 21(45450?γγβ γγ e ? - = 将有关数值代入，于是 )2cos 002644.01(9806160?γ-?= （5-35） 因此对上式取微分得 ρ?? γ' ' ??=22sin 2002644.09806160d 亦即 ??γ'??=?2sin 508344.1 （5-36） 当（5-33）式中的B m γ以我国平均纬度 35=?代入算得 )70cos 002644.01(980616 -?=B m γ979773 = 将以上关系式及数据代入（5-33）式，得ε的最后计算公式： m m H ??ε'??-=2sin 0000015395.0 （5-37） 或 m H A ?'?-=?ε （5-38） 式中，m ?是B A ,两点平均纬度，系数A 可按m ?在水准测量规范中查取，A B ???-='?是B A 、两点的纬度差，以分为单位。规范中的A 值与（5-37）式略有差异，这主要是由于所采用常数不同而至，对计算结果无影响。 再来推导计算λ的公式。 由于 ??-- -= OA A m OB B m dh g dh g )(1 )(1 γγγγλ ????---+---=OA A m OA B m OA B m OB B m dh g dh g dh g dh g )(1 )(1 )(1 )(1 γγγγγγγγ ??-?-+-= OA B m A m B m A m AB B m dh g dh g )()(1 γγγγγγγ （5-39） 上式中第二项数值很小，可忽略。第一项当B A 、间距不大时，可视)(γ-g 同dh 呈线性 变化，故可取平均值m g )(γ-代替。AB 路线上的正常重力m 0γ也可近似等于B 点的B m γ， 因此上式变为 ?-= AB m m dh g ) (1 γγλ （5-40） 求积分，得 H g m m ?-= )(γγλ （5-41） 上式即为重力异常改正项的计算公式。为便于计算，还可作进一步改化，若令 )m Gal )(101(10106660-??-=?-=γγγm 并把此式代入上式，则得 )101(10)()(660 --??+???-=?-= γγγγλH g H g m m m （5-42） 令 610)(-???-=H g C m γ （5-43） 610-???=γC D （5-44） 则得 D C +=λ （5-45） 此式为计算重力异常项改正的最后公式。计算时m g )(γ-以毫伽（mGal ）为单位，取至0.1mGal 。H ?是B A 、两点间的高差，取整米，C 的单位与H ?相同。 从上可见，正常高与正高不同，它不是地面点到大地水准面的距离，而是地面点到一个与大地水准面极为接近的基准面的距离，这个基准面称为似大地水准面。因此，似大地水准面是由地面沿垂线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面，它不是水准面，只是用以计算的辅助面。因此，我们可以把正常高定义为以似大地水准面为基准面的高程。 下面我们来分析一下正高正H 和正常高常H 二者的差异。由（5-22）、（5-23）式可知： B m B m OB H g H gdh γ?=?=?常正 因此 常常常常正H g g H H g g g H g H B m B m B m B m B m B m B m B m B m γγγ-- =-+= = （5-46） 因此，对任意一点正常高和正高之差，亦即任意一点似大地水准面与大地水准面之差的 差值是： 常正常H g g H H m m m γ-=- （5-47） 假设山区km 8,m Gal 500==-常H g m m γ，则得 m 4=-= -常正常H g g H H m m m γ 在平原地区m 500,m Gal 50==-常H g m m γ，则得 cm 5.2=-= -常正常H g g H H m m m γ 在海水面上0==-?B O B O gdh W W ，故常正H H =即正常高和正高相等。这就是说在海洋 面上，大地水准面和似大地水准面重合。所以大地水准面的高程原点对似大地水准面也是适用的。 5.9正常水准面的不平行性及其改正数的计算 5.9.1水准面不平行性 1水准面不平行性 gh W = （5-41） b b a a h g h g W ?=?=? （5-42） h h g g a b a ?≠?≠ 2重力加速度的变化可分成两部份： 一是重力加速度随纬度的不同而变化的，在赤道g 有较小的值，而在两极g 值较大， 因此水准面相互不平行，且为向两收敛的、接近椭园的曲线。 二是重力异常，不规则的变化。 3水准面的不平行性，对水准测量的影响 ⑴因为水准面不平行性，如果沿水准面观测高差不等于零（应该等于零），要加改正数。 ⑵用水准测量测得两点间的高差随路线不同而有差异， ∑∑?=?=ONB B OAB B h H h H 测 测 B B ONB OAB H H h h 测 测≠?≠?∑∑, ⑶环形路线闭合差不等于零，理论闭 合差。 5.9.2正高高程系 定义：正高高程系是以大地水准面为高程基准面，地面一点的正高高程（简称正高），即该点沿垂线至大地水准面的距离。 ? ? ?∑===?=OAB B m OAB B BC BC B gdh g dh g g dH H H 1 正 （5-43～46） 某点正高不随水准测量路线的不同而有差异，正高高程是唯一确定的数值可以用来表示地面的高程，但地面一点的正高高程不能精确求得。 5.9.3近似正高高程系和近似正高改正数 定义 （5-47） 高出水准椭球面H 的正常重力公式 H r r 3086.00-= （5-48） 正常重力公式 )2sin 000007.0sin 005302.01(030.978220??-+=r 1979年国际地球物理和大地测量联合会推荐的正常重力公式 )2sin 0000058.0sin 0053024.01(0327.978220??-+=r 1980年西安大地测量坐标建立时应用上式。 设A ，B 两点间的观测高差为)(A B H H 测测 - 近似正高高差为)(A B H H 近近 - 近似正高改正数)()(A B A B H H H H 测测近近 ---=ε （5-49） 水准路线AB 上的近似正高改正数 ∑'?' - =AB m B A H )(2sin 2??ρα ε （5-50） 式中α=0.002644 讨论：⑴当沿平行圈进行观测时，0,0==?ε?。 ⑵当沿子午线方向进行水准测量时，Δφ变化最大，ε也最大。 ⑶在北半球，当水准路线由南向北进行时，纬度增加，Δφ为正ε为负，即两水准面愈加靠近，正高减小。 ⑷当所有的水准路线测得的高差中加了近似正高改正数后，则由它们所组成的水准环，其正高高差的闭合差应等于零，所以由于水准面不平行 ?=OAB B m B rdh r H 1近 实践二四等水准测量（双面尺法） 一、目的和要求 （1）进一步熟练水准仪的操作，掌握用双面水准尺进行四等水准测量的观测、记录与计算方法。 （2）熟悉四等水准测量的主要技术指标，掌握测站及线路的检核方法。 四等水准测量技术要求： 二、仪器和工具 DS3水准仪1台，双面水准尺2支，尺垫2个，记录板1块。 三、方法与步骤 1、了解四等水准测量的方法 双面尺法四等水准测量是在小地区布设高程控制网的常用方法，是在每个测站上安置一次水准仪，但分别在水准尺的黑、红两面刻划上读数，可以测得两次高差，进行测站检核。除此以外，还有其他一系列的检核。 2、四等水准测量的实验 （1）从某一已知高程水准点出发，选定一条闭合水准路线，设置4站，如图所示。 （2）安置水准仪的测站至前、后视立尺点的距离，应该用步测使其相等。在每一测站，按下列顺序进行观测： 后视水准尺黑色面，读上、下丝读数，精平，读中丝读数； 前视水准尺黑色面，读上、下丝读数，精平，读中丝读数； 前视水准尺红色面，精平，读中丝读数； 后视水准尺红色面，精平，读中丝读数 （3）记录者在“四等水准测量记录”表中按表头表明次序⑴~⑻记录各个读数，⑼~ ⒃为计算结果： 后视距离(15)=100×{ ⑴-⑵ } 前视距离(16)=100×{ ⑷-⑸ } 视距之差(17)=(15)-(16) ∑视距差(18)=上站(18)+本站(17) 红黑面差(9)=⑹+K-⑺，（K=4.687或4.787） (10)=⑶+K-⑻ 黑面高差(11)=⑶-⑹ 红面高差(12)=⑻-⑺ 高差之差(13)=(11)-[(12)±0.1] 平均高差(14)=1/2{ (11)+(12) } 每站读数结束( ⑴~⑻ )，随即进行各项计算( ⑼~(18) )，并按技术指标进行检验，满足限差后方能搬站。 （4）依次设站，用相同方法进行观测，直到线路终点，计算线路的高差闭合差。按四等水准测量的规定，线路高差闭合差的容许值为±20√L mm ，L 为线路总长（单位：km ）。 四、注意事项 （1）四等水准测量比工程水准测量有更严格的技术规定，要求达到更高的精度，其关键在于：前后视距相等（在限差以内）；从后视转为前视（或相反）望远镜不能重新调焦；水准尺应完全竖直，最好用附有圆水准器的水准尺。 （2）每站观测结束，已经立即进行计算和进行规定的检核，若有超限，则应重测该站。全线路观测完毕，线路高差闭合差在容许范围以内，方可收测，结束实验。 四等水准测量规定的高差闭合差规定为：允=h f 式中，L 为水准路线长度，以km 为单位。 五、应交成果 经过各项检核计算后的“四等水准测量记录”表。 当测区范围较小时，可以把水准面看作水平面。下面探讨用水平面代替水准面后对距离、角度和高差的影响，以便给出限制水平面代替水准面的限度。 1、对水平距离的限度 设地面上两点A、B投影到水准面上的弧长为S，在水平面上的距离为。如图1-2-1（图中P为大地水准面，P′为过a与大地水准面相切的水平面），以水平面代替水准面后，对距离的影响为： △S=D－S = Rtanθ－Rθ= R(tanθ－θ) 将tanθ按级数展开，得： 由于我们只是在一个小范围内研究，因为，值很小，取上式前两项代入△S 计算式得： 以不同的面积S代入上式，可求距离误差和相对误差，如表1-2-1所示。 表1-2-1 水平面代替水准面的距离误差和相对误差 结论：在半径为10km的范围内，进行距离测量时，可以用水平面代替水准面，而不必考虑地球曲率对距离的影响。可见，用水平面代替水准面后，对距离的影响较小。 图1-2-1 水平面代替水准面示意图 2、对高程测量的限度 如图1-2-1所示，用水平面代替水准面后，产生的高程误差为： （R+δh）2= R2+ D2 R+δh=(R2+ D2)? 因此，用水平面代替水准面后，对高程的影响可用下式计算： 以不同的面积S代入上式，可求高程误差，如表1-2-2所示。 表1-2-2 水平面代替水准面的高程误差 结论：用水平面代替水准面，对高程的影响是很大的，因此，在进行高程测量时，即使距离很短，也应顾及地球曲率对高程的影响。 3、测量工作的程序、原则和基本工作 （1）测量工作的程序 地球表面复杂多样的形态，可分为地物和地貌两大类。地面上固定性物体称为地物，如河流、湖泊、道路和房屋等。地面上高低起伏形态称为地貌，如山岭、谷地和陡崖等。不论地物或地貌，它们的形状和大小都是由一些特征点的位置所决定。这些特征点也称碎部点。测量时，主要就是测定这些碎部点的平面位置和高程。测定碎部点的位置，其程序通常分为两步：第一步为控制测量，如图1-4-1所示，以较精确的仪器和方法测定各控制点之间的距离、各控制边之间的水平夹角，某一条边的方位角，设某点的坐标已知，则可计算出其它控制点的坐标，以确定其平面位置。同时还要测出各控制点之间的高差，没某点的高程为已知，求出其它控制点的高程。第二步为碎部测量，如图1-2-3所示，即根据控制点测定碎部点的位置。这种“从整体到局部”、“先控制后碎部”的方法是组织测量工作应遵循的原则，它可以减少误差累积，保证测图精度，而且可以分幅测绘，加快测固进度。另外，从上述可知，当测定控制点的相对位置有错误时，以其为基础所测定的碎部点位也就有错误，碎部测量中有错误时，以此资料绘制的地形图也就有错误。因此，测量工作必须严格进行检核工作，故“前一步测量工作末作检核不进行下一步测量工作”是组织测量工作应遵循的又一个原则，它可以防止错漏发生，保证测量成果的正确性。 图1-2-2 控制测量图1-2-3 碎部测量（2）测量工作的原则 第五节水准测量的成果计算 一、附合水准路线的计算 例2-1 图2-21是一附合水准路线等外水准测量示意图，A、B为已知高程的水准点，1、2、3为待定高程的水准点，h1、h2、h3和h4为各测段观测高差，n1、n2、n3和n4为各测段测站数，L1、L2、L3和L4为各测段长度。现已知H A＝65.376m，H B＝68.623m，各测段站数、长度及高差均注于图2-21中。 1．填写观测数据和已知数据 将点号、测段长度、测站数、观测高差及已知水准点A 、B 的高程填入附合水准路线成果计算表2-6中有关各栏内。 表2-6 水准测量成果计算表 n 1＝8 L 1＝1.0km n 2＝12 L 2＝1.2km 3L 3＝1.4km L 4＝2.2km B 图2-21 附合水准路线示意图 2．计算高差闭合差 mm 68m 068.0m)376.65m 623.68(m 315.3)(+=+=--=--=∑A B m h H H h W 根据附合水准路线的测站数及路线长度计算每公里测站数 6.8km 8.550==∑∑站 L n （站/km ）＜16（站/km ） 故高差闭合差容许值采用平地公式计算。等外水准测量平地高差闭合差容许值W hp 的计算公式为： m m 968.54040±=±=±=L W hp 因|f h |<|f hp |，说明观测成果精度符合要求，可对高差闭合差进行调整。如果|f h |＞|f hp |，说明观测成果不符合要求，必须重新测量。 3．调整高差闭合差 高差闭合差调整的原则和方法，是按与测站数或测段长度成正比例的原则，将高差闭合差反号分配到各相应测段的高差上，得改正后高差，即 i h i n n W v ∑-= 或 i h i L L W v ∑-= （2-8） 式中 v i ——第i 测段的高差改正数（mm ）； ∑n 、∑L ——水准路线总测站数与总长度； §5.7 正常水准面不平行性及其改正数计算 如果假定不同高程的水准面是相互平行的，那么水准测量所测定的高差，就是水准面间的垂直距离。这种假定在较短距离内与实际相差不大，而在较长距离时，这种假定是不正确的。5.7.1 水准面不平行性 在空间重力场中的任何物质都受到重力的作用而使其具有位能。对于水准面上的单位质点而言，它的位能大小与质点所处高度及该点重力加速度有关。我们把这种随着位置和重力加速度大小而变化的位能称为重力位能，并以表示，则有W （5-gh W =17）式中，为重力加速度；为单位质点所处的高度。g h 我们知道，在同一水准面上各点的重力位能相等，因此，水准面称为重力等位面，或称重力位水准面。如果将单位质点从一个水准面提高到相距的另一个水准面，其所做功就h ?等于两水准面的位能差，即。在图5-51中，设 h g W ?=?、分别表示两个非常接近的水准面在两点的垂 A h ? B h ?B A ,直距离，、为两点的重力加速度。由于水准面具A g B g B A ,有重力位能相等的性质，因此两点所在水准面的位能差应有下列关系B A ,W ? （5-B B A A h g h g W ?=?=?18） 我们知道，在同一水准面上的不同点重力加速度值是不同的，因此由式（5-g 18）可知，与必定不相等，也就是说，任何两邻近的水准面之间的距离在不A h ?B h ?同的点上是不相等的．并且与作用在这些点上的重力成反比。以上的分析说明水准面不是相互平行的，这是水准面的一个重要特性，称为水准面不平行性。 重力加速度值是随纬度的不同而变化的，在纬度较低的赤道处有较小的值，g g 而在两极处值较大，因此，水准面是相互不平行的、且为向两极收敛的、接近椭圆g 形的曲面。 水准面的不平行性，对水准测量将产生什么影响呢？ 我们知道，水准测量所测定的高程是由水准路线上各测站所得高差求和而得到的。 在图5-34中，地面点的高程可以按水准路线各测站测得高差之和B OAB ,,21h h ? ?图5-33 综合练习复习 1、椭球定位一般须满足哪三个条件？ ①椭球的短轴与某一指定历元的地球平自转轴相平行；②大地起始子午面与天文起始子午面相平行；③在一定区域范围内，椭球面与大地水准面最为密合。 2、进行坐标转换的三个原因是什么? ①坐标系统变化了②椭球参数发生了变化；③大地网的起算数据变动了。 3、不同空间直角坐标系转换，一般需哪些参数转换？ 一般存在3个平移参数3个旋转参数1个尺度变化参数 4、确定平面坐标系的三大要素是什么？ ①投影面的高程国家参考椭球面；平均高程面；抵偿高程面 ②中央子午线的经度或其所在的位置高斯投影3°带的中央子午线； 过测区某一控制点的经线；过测区中部整度、分值的经度线 ③起始点坐标和起始方位角国家坐标系的坐标； 假定坐标，起始方向用正北方向；假定坐标和假定方向 5、如何确定相位法测距的N值？ ①可变频率法（测距时连续变动调制频率，当然调制波长也作相应的连续变化。当φ=0时） 6、各种高程系统之间的关系 7、我国为什么采用正常高系统， 而不采用正高系统？ 正高系统的定义： 式中：为大地水准面上A 点到A点的平均重力。 事实上，只有在作出地壳内部质量分布的假设后，才能 近似地求得平均重力值。 正常高系统的定义： 8、工程平面控制网的建立特点 1.工测控制网与同等级的国家网比较，平均边长显著地缩短 2. 长度变形的要求，即要求由点位坐标反算的平面边长与实测平距尽可能地接近。如城市测量规范要求2.5cm/km。 3. 根据变形要求选择合适的区域坐标系如以测区中部的整分经度作为中央子午线。 4.首级控制网往往是独立网，并在首级控制下分级布设 5.将边长观测值先投影到某一水准面，再连同水平方向观测值一并投影到高斯平面（加距离改化和方向改化）。观测值通常不归算至国家参考椭球面 6.用常规技术测定的工程控制网的平差解算是在高斯平面上进行。 7.工程控制网对相对点位误差有特定要求。 9、进行精密水准测量作业时，要求采取的措施 (1)前后视距相等； (2)在相邻测站上，往测奇数测站按“后前前后”，偶数测站按“前后后前”的观测程序操作； (3)同一测站的前、后视方向不得作两次调焦； (4)旋转微倾斜螺旋及测微轮最后为“旋进”； (5)往测与返测； (6)每一测段的测站数为偶数； (7)视线高出地面一定距离。 试述上述措施分别可以消除或减弱哪些误差的影响？ 10、精密水准测量外业概算一般进行哪几项计算？ 何谓大地水准面？它在测量工作中起何作用？ 答：静止平衡状态下的平均海水面, 向大陆岛屿延伸而形成的闭合水准面。 特性: 唯一性、等位面、 不规则曲面； 作用：测量野外工作的基准面。 测量中常用的坐标系有几种？各有何特点？不同坐标系间如何转换坐标？ 答：测量中常用的坐标系统有：天文坐标系、大地坐标系、高斯平面直角坐标系、独立 平面直角坐标系。 什么叫绝对高程？什么叫相对高程？两点间的高差如何计算？ 答：绝对高程H （海拔）：地面点沿铅垂线方向到大地水准面的距离； 相对高程H'：地面点沿铅垂线方向到任意水准面的距离。 高差h ：地面两点高程之差；''A B A B AB H H H H h -=-=。 什么是测量中的基准线与基准面？在实际测量中如何与基准线与基准面建立联系？ 答：重力方向线即铅垂线, 是测量工作的基准线；测量上统一以大地水准面为野外测量工作基准面。地面点空间位置一般采用三个量表示。其中两个量是地面点沿投影线（铅垂线）在投影面（大地水准面）上的坐标；第三个量是点沿着投影线到投影面的距离（高度）。 测量工作的基本原则是什么？哪些是测量的基本工作？ 答：测量工作应遵循两个原则：从整体到局部，先控制后碎部（为了减少误差结累；加快测量速度,这项原则是对总体工作）；前项工作未作检核，不进行下一步工作（从而保证成果质量，是对测绘具体工作）。 何为视准轴?何为视差?产生视差的原因是什么?怎样消除视差? 答：通过物镜光心与十字丝交点的连线CC 称为望远镜视准轴，视准轴的延长线即为视线，它是瞄准目标的依据。标尺像没成在十字丝分划板上引起的读数误差称为视差。其原因由于物镜调焦不完善，使目标实像不完全成像在十字丝平面上。消除：望远镜对准天空或明亮背景，旋转目镜调焦螺旋使十字丝分划板清晰；再用望远镜对准标尺，旋转物镜调焦螺旋，使标尺像清晰。 水准仪有哪些主要轴线？它们之间应满足什么条件？什么是主条件？为什么？ 答：水准仪的轴线主要有：视准轴CC ，水准管轴 LL ，圆水准轴'L 'L ，仪器竖轴VV 。水准仪轴线应满足的几何条件为：1） 圆水准轴应平行于仪器竖轴（'L 'L ∥VV ）；2） 十字丝中丝应垂直于仪器竖轴（即中丝应水平）；3） 水准管轴应平行于视准轴（LL ∥CC ）。 什么是水平角？经纬仪如何能测水平角？ 答：水平角定义：（1）为地面上O 点至A 和B 两目标方向线在水平面P 上投影的夹角β，称为水平角。（2） 地面上一点到两目标的方向线间所夹的水平角，就是过这两方向线所作两竖直面间的二面角。 什么是竖直角？观测水平角和竖直角有哪些相同点和不同点？ 答：竖直角是同一竖直面内倾斜视线与水平线之间的夹角，其角值小于等于90度； 仰角为0~90；俯角为-90~0；视线水平时竖直角α=0°。 经纬仪上有哪些主要轴线？它们之间应满足什么条件？为什么？ 答：1.经纬仪的轴线：横轴 HH ；视准轴：CC ；水准管轴：LL ；竖轴：VV ；圆水准轴：L 'L ' 。2.应满足的条件 水准管轴垂直于竖轴 LL ⊥VV ； 视准轴垂直于横轴 CC ⊥HH ； 横轴垂直于竖轴 HH ⊥VV ；十字竖丝垂直于横轴 竖丝⊥HH ； 圆水准轴平行于竖轴 L 'L '∥VV 。 系统误差与偶然误差有什么不同？偶然误差具有哪些特性？ 答：这两种误差主要在含义上不同，另外系统误差具有累积性，对测量结果的影响很大，但这种影响具有一定的规律性，可以通过适当的途径确定其大小和符号，利用计算公式改正系统误差对观测值的影响，或采用适当的观测方法、提高测量仪器的 6.5 数据处理与平差 数据预处理按每一付水准标尺分别进行水准高差的尺长改正及正常水准面不平行改正和水准标尺温度改正。 a)尺长改正。水准标尺每米长度误差对高差的影响是系统性质的。根据规 定，当一对水准标尺每米长度的平均误差f大于±0.02mm时，就要对观 测高差进行改正，由水准尺检定结果可知标尺改正系数为+0.002mm，测 区最大高差不超过20m，所以对整个测区的高差影响不会大于0.04mm， 可见尺长改正影响极小，因此在数据预处理时不加入改正。 b)水准标尺温度改正。 一测段高差改正数e，根据下式计算： ）·α·h] e=∑[（t-t 式中：t —标尺温度（℃） t —标尺长度检定温度（℃） α—标尺因瓦带线膨胀系数，mm/（m·℃） h —测温时段中的测站高差，m 根据检定结果水准标尺温度线膨胀系数为1×10-6/℃，按测区最大高差 20m，最大温差20℃计算改正数为0.0004mm，可见水准标尺温度改正影 响极小，因此在数据预处理时不加入改正。 c)正常水准面不平行改正数ε可按下式计算： ε=-（γⅠ+1-γⅠ）·H m/γm γm=（γⅠ +γⅠ+1）/2-0.1543 H m γ=978032（1+0.0053024sin2Φ-0.0000058sin22Φ） 为两水准点正常重力平均值，10-5m/ s2 式中：γ m γⅠ、γⅠ+1分别为Ⅰ、Ⅰ+1点在椭球面上的正常重力值，10-5m/ s2， 为两水准点概略高程平均值，单位为m H m Φ—水准点纬度 γ值取至0.01×10-5m/ s2 根据计算测区最西端ⅠBM01至最东端ⅠBM68的正常水准面不平行改正小于-0.05mm，可见正常水准面不平行改正影响甚小，因此在数据预处理时不加入改 一、名词解释（每个2分，共10分） 1、球面角超：球面四边形或三角形内角之和与平面四边形或三角形内角之差称为四边形球面角超或三角形球面角超。 2、总椭球体：总椭球体的中心与地球的质心重合，其短轴与地球的地轴重合，起始子午面与起始天文子午面重合，而且与地球体最佳密合的椭球体。 3、大地主题反算：已知椭球面上两点的大地经纬度求解两点间的大地线长度与正反方位角。 4、子午线收敛角：高斯投影面上任意点子午线的投影线的切线方向与该点坐标的正北方向的夹角。 5、水准标尺基辅差：精密水准标尺同一视线高度处的基本分划与辅助分划之差。 二、填空（每空1分，共30分） 1、以___________作为基本参考点，由春分点___________运动确定的时间称为恒星时;以格林尼治子夜起算的___________称为世界时。 2、ITRF 是___________的具体实现，是通过IERS分布于全球的跟综站的_________和_________来维持并提供用户使用的。 3、高斯投影中，_____投影后长度不变，而投影后为直线的有_____，其它均为凹向_____的曲线。 4、重力位是--___________和___________之和，重力位的基本单位是___________。 5、大地线克莱劳方程决定了大地线在椭球面上的_______，某大地线穿越赤道时的大地方位角A= 60°，则能达到的最小平行圈半径为长半轴a的_____倍。 6、正常重力公式是用来计算______ 正常重力, 其中系数是称为___________。高出椭球面H米高度处正常重力与椭球表面正常重力间的关系为____________。 7、在大地控制网优化设计中把__________、__________和__________作为三个主要质量控制标准。 8、地面水平观测值归算至椭球面上需要经过__________、___________、_____________改正。 9、椭球面子午线曲率半径，卯酉线曲率半径_______，平均曲率半径________。它们的长度通常不满相等，其大小关系为________________。 10、、某点在高斯投影6°带的坐标表示为3026255m, 20478561m,则该点在3°带第39带的实际坐 标为___________，_____________，其三度带的中央子午线经度为________。 三、选择题（每小题2分，共8分） 1、地轴方向相对于空间的变化可分为岁差和章动，假设地轴的变化只考虑岁差的的影响，则与其地轴相对应的赤道称为_____________。A、瞬时赤道B、平赤道C、协议赤道 2、地面上任意一点的____________是指该点沿_____________方向至____________的距离。 A、正高、垂线、大地水准面 B、大地高、法线、大地水准面 C、正常高、垂线、参考椭球面 3、在精密水准测量中，为了减小或削弱角误差对观测高差的影响，水准测量外业观测中一般采取下列_________组方法。 A、视距相等、改变观测程序 B、视距相等、往返观测 C、视距相等、不同观测时间 4、高斯投影是______________投影，兰勃脱投影是________________投影。 A、正轴圆柱、正轴园锥 B、横轴椭圆柱、正轴圆锥 C、横轴椭圆柱、横轴圆锥 四、简答题（每小题6分，共24分） 1、简述白塞尔大地主题正算的基本思想？ 2、在精密水准测量概算中包括哪些计算工作？ 3、为什么要进行换带计算？试简述间接法进行高斯投影换带的计算过程。 大地测量学思考题集及答案(2014) 大地测量学思考题集 1．解释大地测量学，现代大地测量学由哪几部分组成？谈谈其基本任务和作用？ 大地测量学----是测绘学科的分支，是测绘学科的各学科的基础科学，是研究地球的形状、大小及地球重力场的理论、技术和方法的学科。 大地测量学由以下三个分支构成：几何大地测量学，物理大地测量学及空间大地测量学。 几何大地测量学的基本任务是确定地球的形状和大小及确定地面点的几何位置。作用：可以用来精密的测量角度，距离，水准测量，地球椭球数学性质，椭球面上测量计算，椭球数学投影变换以及地球椭球几何参数的数学模型 物理大地测量学的基本任务是用物理方法确定地球形状及其外部重力场。主要内容包括位理论，地球重力场，重力测量及其归算，推求地球形状及外部重力场的理论与方法等。 空间大地测量学主要研究以人造地球卫星及其他空间探测器为代表的空间大地测量的理论、技术与方法。 2、大地测量学的发展经历了哪些简短，简述各阶段的主要贡献和特点。 分为一下几个阶段：地球圆球阶段，地球椭球阶段，大地水准面阶段，现代大地测量新时期 地球圆球阶段，首次用子午圈弧长测量法来估算地球半径。这是人类应用弧度测量概念对地球大小的第一次估算。 地球椭球阶段，在这阶段，几何大地测量在验证了牛顿的万有引力定律和证实地球为椭球学说之后，开始走向成熟发展的道路，取得的成绩主要体现在一下几个方面： 1）长度单位的建立 2）最小二乘法的提出 3）椭球大地测量学的形成 4）弧度测量大规模展开 5）推算了不同的地球椭球参数 这个阶段为物理大地测量学奠定了基础理论。 大地水准面阶段，几何大地测量学的发展：1）天文大地网的布设有了重大发展，2）因瓦基线尺出现 物理大地测量学的发展 1）大地测量边值问题理论的提出 2）提出了新的椭球参数 现代大地测量新时期：以地磁波测距、人造地球卫星定位系统及其长基线干涉测量等为代表的新的测量技术的出现，使大地测量定位、确定地球参数及重力场，构筑数字地球等基本测绘任务都以崭新的理论和方法来进行。由于高精度绝对重力仪和相对重力仪的研究成功和使用，有些国家建立了自己的高精度重力网，大地控制网优化设计理论和最小二乘法的配置法的提出和应用。 5.在精密水准测量概算中包括哪些计算工作？ 答：水准测量概算主要计算工作： （1）水准标尺每米长度误差的改正数计算（2）正常水准面不平行的改正数计算 （3）水准路线闭合差计算（4）高差改正数的计算 6．什么是水准测量理论闭合差？试阐述产生理论闭合差的原因？ 答：如果不考虑仪器本身的误差与观测误差，由同一起始水准点出发，由几何水准测量经不同的水准线路测量同一未知点的高程是不相同的，换句话说，由同一起始点测量水准闭合环线的高程闭合差不等与零，其闭合差称为水准理论闭合差。 水准理论闭合差是由于水准面不平行的原因所引起的，因此在精密水准测量中，为了消除水准面不平行对水准测量的影响，一般要在几何水准观测高差中加入水准面不平行改正计算。 5、椭球面子午线曲率半径为M，卯酉线曲率半径为N，则平均曲率半径R=MN。它们的长度通常不相等，其M、R、N大小关系为N≥R≥M。 2012中国矿业大学大地测量基础试题真题 《大地测量学基础》试卷（A） 一、解释下列术语（每个2分，共10分） 大地水准面 球面角超 底点纬度 高程异常 水准标尺零点差 二、填空（1-15小题每空1分；16题4分，共36分） 1、在地球自转中，地轴方向相对于空间的变化有______和_____。 2、时间的度量单位有______和______两种形式。 3、重力位是______和_____之和，重力位的公式表达式为_______。 4、椭球的形状和大小一般用_______来表示。 5、在大地控制网优化设计中把_____、______和_____作为三个主要质量控制标准。 6、测距精度表达式 () m a b D =±+? 中，的单位是______，表示的意义是_____；的单位是 ______，表示的意义是_____。 7、利用测段往返不符值计算的用来衡量水准测量外业观测的精度指标用_____来表示,其意义是 ______。 8、利用闭合环闭合差计算的用来衡量水准测量外业观测的精度指标用_____来表示,其意义是 ______。 9、某点在高斯投影3°带的坐标表示为XA=3347256m, YA=37476543m,则该点在6°带第19带的 实际坐标为xA=___________________，yA=___________________。 10、精密水准测量中每个测段设置______个测站可消除水准标尺______零点差的影响。 11、点P从B=0°变化到B=90°时,其卯酉圈曲率半径从______变化到_____。 12、某点P的大地纬度B=30°，则该点法线与短轴的交点离开椭球中心的距离为_____。 13、高斯投影中，_____投影后长度不变，而投影后为直线的有_____，其它均为凹向_____的曲 线。 14、大地线克莱劳方程决定了大地线在椭球面上的_______；在椭球面上某大地线所能达到的最 大纬度为60°，则该大地线穿越赤道时的大地方位角表达式为_____（不用计算出数值）。 15、在换带计算中，3°的_____带中央子午线经度和6°相同，坐标不用化算。 16、按下表给出的大地经度确定其在高斯投影中的带号和相应的中央子午线经度（答案写在试卷 纸上，本小题4分，每空0.5分） 大地点经度六度带三度带 一、解释下列术语（每个2分，共10分） 大地水准面球面角超底点纬度高程异常水准标尺零点差 二、填空（1-15小题每空1分；16题4分，共36分） 1、在地球自转中，地轴方向相对于空间的变化有______和_____。 2、时间的度量单位有______和______两种形式。 3、重力位是______和_____之和，重力位的公式表达式为_______。 4、椭球的形状和大小一般用_______来表示。 5、在大地控制网优化设计中把_____、______和_____作为三个主要质量控制标准。 6、测距精度表达式中，的单位是______，表示的意义是_____；的单位是______，表示的意义是_____。 7、利用测段往返不符值计算的用来衡量水准测量外业观测的精度指标用_____来表示,其意义是______。 8、利用闭合环闭合差计算的用来衡量水准测量外业观测的精度指标用_____来表示,其意义是______。 9、某点在高斯投影3°带的坐标表示为XA=3347256m, YA=37476543m,则该点在6°带第19带的实际坐标为xA=___________________，yA=___________________。 10、精密水准测量中每个测段设置______个测站可消除水准标尺______零点差的影响。 11、点P从B=0°变化到B=90°时,其卯酉圈曲率半径从______变化到_____。 12、某点P的大地纬度B=30°，则该点法线与短轴的交点离开椭球中心的距离为_____。 13、高斯投影中，_____投影后长度不变，而投影后为直线的有_____，其它均为凹向_____的曲线。 14、大地线克莱劳方程决定了大地线在椭球面上的_______；在椭球面上某大地线所能达到的最大纬度为60°，则该大地线穿越赤道时的大地方位角表达式为_____（不用计算出数值） 。 15、在换带计算中，3°的_____带中央子午线经度和6°相同，坐标不用化算。 16、按下表给出的大地经度确定其在高斯投影中的带号和相应的中央子午线经度（答案写在试卷纸上，本小题4分，每空0.5分） 大地点经度六度带三度带 安徽农业大学2013―2014学年第二学期 《控制测量学》试卷（A 卷） 考试形式: 闭卷笔试，2小时 适用专业： 测绘工程 (注：分大类或全校等) 一大题：名词解释（共5小题，每小题4分，共20分） 1 垂线偏差 地面一点上的重力向量g 和相应椭球面上的法线向量n 之间的夹角 2 伽（Gal ） 重力加速度的量纲，单位cm/s 2 3 正常高、大地高 正常高H 正常是地面点沿正常重力（垂）线到似大地水准面的距离； 大地高H 是地面点沿法线到椭球面的距离； 联系：H = H 正常 + ζ(高程异常) 4 天顶距、竖直角 天顶距：铅垂线的反方向顺时针旋至目标方向的夹角； 竖直角：同一竖直平面内，目标方向顺时针旋至水平的夹角； 5 三角测量 是指在地面上布设一系列连续三角形，采取测角方式测定各三角形顶点坐标的方法，是几何大地测量学中建立国家大地网和工程测量控制网的基本方法之一 6 *大地水准面、参考椭球 大地水准面：与平均海水面重合并延伸到大陆下面，处处与铅垂线相垂直的水准面（重力等位面），是测量外业的基准面； 参考椭球面：大小形状及定位定向最接近于本国或本地区的地球（旋转）椭球（大地体）的椭球面，是测量内业计算的基准面 7 *独立网、非独立网 独立网：只有必要的一套起算数据的三角网； 非独立网：具有多余必要的一套起算数据的三角网 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 线 二大题：填空题（共10个空，每空1分，共10分） 1、我国“1985国家高程基准”水准原点的高程为 72.260 m 。 2、二等水准测量的外业计算尾数取位要求测段高差中数为 0.01 mm ，水准点高程为 1 mm 。 3、精密水平角观测规定一测回2c 互差，要求J1型经纬仪不超过 9 ″，J2型经纬仪不超过 13 ″。 4、我国的高程系统采用____正常高_____高程系统，其数值不随水准路线而异，是唯一确定的值。 5、二等水准测量规定一测站前、后视距差应小于 1 m ，前、后视距累积差应小于 3 m 。 6、*正常水准面不平行的改正数计算公式为 εi = - A H i （△Ψ）ˊ 。 7、*二等三角测量的测角中误差限差为 ±1.0 ″。 8、*正高与大地高的关系为____大地高H = 正高H 正 + 大地水准面差距N _____。 三大题：问答题（共5小题，每小题10分，共50分） 1．*写出由天文方位角归算大地方位角、由天文天顶距归算大地天顶距的公式（需解释公式中各符号的含义）。 （1）天文方位角归算公式：A = α - （λ - L ）sin ψ A:大地方位角 λ:大地经度 α:天文方位角 L:天文经度 ψ:大地纬度 （2）大地天顶距归算公式：Z = Z 0 + ξ cos A + η sin A Z:大地天顶距 Z 0:天文天顶距 ξ、η:分别是垂线偏差u 在子午圈和卯酉 圈上的分量 2．叙述正高高程系统、正常高高程系统及大地高高程系统之间的关系。 正高高程系统：以大地水准面为基准面，地面上任一点的正高高程（正高）； **大学测绘学院 2007-2008学年度第一学期期末考试 《大地测量学基础》试卷（A）[200516101-8（必修）、200511401（选修）] 出题者 ** 审核人 班级学号姓名成绩 一、解释下列术语（每个2分，共10分） 大地水准面球面角超底点纬度高程异常水准标尺零点差 二、填空（1-15小题每空1分；16题4分，共36分） 1、在地球自转中，地轴方向相对于空间的变化有______和_____。 2、时间的度量单位有______和______两种形式。 3、重力位是______和_____之和，重力位的公式表达式为_______。 4、椭球的形状和大小一般用_______来表示。 5、在大地控制网优化设计中把_____、______和_____作为三个主要质量控制标准。 6、测距精度表达式中，的单位是______，表示的意义是_____； 的单位是______，表示的意义是_____。 7、利用测段往返不符值计算的用来衡量水准测量外业观测的精度指标用_____ 来表示,其意义是______。 8、利用闭合环闭合差计算的用来衡量水准测量外业观测的精度指标用_____来表示,其意义是______。 9、某点在高斯投影3°带的坐标表示为XA=3347256m, YA=37476543m,则该点在6°带第19带的实际坐标为xA=___________________， yA=___________________。 10、精密水准测量中每个测段设置______个测站可消除水准标尺______零点差的影响。 11、点P从B=0°变化到B=90°时,其卯酉圈曲率半径从______变化到_____。 12、某点P的大地纬度B=30°，则该点法线与短轴的交点离开椭球中心的距离 用水平面代替水准面的限度 当测区范围较小时，可以把水准面看作水平面。探讨用水平面代替水准面对距离、角度和高差的影响，以便给出限制水平面代替水准面的限度。 一、对距离的影响 如图1-10所示，地面上A、B两点在大地水准面上的投影点是a、b，用过a点的水平面代替大地水准面，则B点在水平面上的投影为b′。 B O 图1-10 用水平面代替水准面对距离和高程的影响设ab的弧长为D，ab′的长度为D′，球面半径为R，D所对圆心 角为θ，则以水平长度D ′代替弧长D 所产生的误差△D 为： )(tan tan θθθθ-=-=-'=?R R R D D D （1-7） 将tan θ用级数展开为： Λ +++=5 312 531tan θθθθ 因为θ角很小，所以只取前两项代入式（1-7）得： 3 331 31(θθθθR R D =-+=?） （1-8） 又因 R D = θ，则 23 3R D D = ? （1-9） 22 3R D D D = ? （1-10） 取地球半径R =6371km ，并以不同的距离D 值代入式（1-9）和（1-10），则可求出距离误差ΔD 和相对误差ΔD /D ，如表1-1所示。 表1-1 水平面代替水准面的距离误差和相对误差 结论：在半径为10km 的范围内，进行距离测量时，可以用水平面代替水准面，而不必考虑地球曲率对距离的影响。 二、对水平角的影响 从球面三角学可知，同一空间多边形在球面上投影的各内角和，比在平面上投影的各内角和大一个球面角超值ε。 2R P ρ =ε （1-11） 式中 ε——球面角超值（″）； P ——球面多边形的面积（km 2）； R ——地球半径（km ）； ρ——一弧度的秒值，ρ=206265″。 以不同的面积P 代入式（1-11），可求出球面角超值，如表1-2 所示。 表1-2 水平面代替水准面的水平角误差 等水准测量设计和技术 要求 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 二等水准测量设计和技术要求 1. 水准网的布设 1．1水准网的技术设计 水准网布设前，必须进行技术设计，获得水准网和水准路线的最佳布设方案。技术设计的要求、内容和审批程序按照ZDA75001《测绘技术设计规定》执行。 1．2高程系统和高程基准 水准点的高程采用正常高系统，按照1985国家高程基准起算。 海上岛屿不能与国家高程网直接连测时，可建立局部水准原点，根据岛上验潮站平均海 水面的观测确定其高程，作为该岛屿及其附近岛屿的高程基准。凡采用局部水准原点测定的水准点高程，应在水准点成果表中注明，并说明局部高程基准的有关情况。 1．3水准测量的精度 每公里水准测量的偶然中误差?M 和每公里水准测量的全中误差W M 一般不得超过表1 规定的数值。 表1 ?M 和W M 的计算方法见后面式（1）和式（2）规定。 2．选点与埋石 2．1选点 3．2埋石 水准标石，含基岩水准标石、基本水准标石和普通水准标石三大类型。根据其制作材料和埋石规格的不同，可分别为表2所列十一种标石。 表2 标石的埋石类型可根据实地情况及相应的规定要求选定、埋设和整饰。 4．仪器的技术要求 4．1仪器的选用 二等水准测量中使用的仪器按表3规定执行。 表3 4．2仪器应按规范在作业前后或作业过程中作相应的检校。 4．3仪器技术指标 二等水准测量中所用仪器其技术指标按表4规定执行。 表4 表4中自动安平水准仪磁致误差，指自动安平水准仪在磁感应强度.05mT的水平方向上的稳恒磁场作用下，引起视线的最大偏差。 5．水准观测 5．1观测方式 km的几个分段，在分段内连续进行所有测段的往返观测。 观测的时间和气象条件 水准观测应在标尺分划线成像清晰而稳定时进行。下列情况下，不应进行观测： a.日出后与日落前30min内； 习题二 一、填空题 1、水准测量直接求待定点高程的方法有两种，一种是高差法，计算公式为AB A B AB h H H b a h +=-=,，该方法适用于根据一个已知点确定单个点高程的情形；另一种是视线高法，其计算公式为 b H H a H H i B A i -=+=,，该方法适用于根据一个已知点确定多个前视点高程的情形。 2、写出水准仪上四条轴线的定义： A 、视准轴 望远镜物镜光心与十学丝交点的连线。 B 、水准管轴 过水准管零点圆弧的切线。 C 、圆水准器轴 过圆水准器零点的球面法线。 D 、竖轴 水准仪旋转轴的中心线。 3、水准管的分划值τ″是指 水准管2㎜圆弧所对应的圆珠笔心角，分划值τ″愈小，水准管的灵敏度愈 高。 4、水准测量中，调节圆水准气泡居中的目的是使仪器竖轴处于铅垂位置；调节管水准气泡居中的目的是 使视准轴处于水平位置。 5、水准路线的布设形式有 闭合水准路线、 附合水准路线和 支水准路线。 6、水准测量测站检核方法有 两次仪高法和 双面尺法。 7、 水准测量中，转点的作用是 传递高程。 8、水准尺的零点差，可采用 每测段测偶数站予以消除。 9、DS3微倾式水准仪中，数字3的含义是指 每公里往返测高差中数的中误差。 10、设A 点为后视点，B 点为前视点，若后视读数为1.358m ，前视读数为2.077m ，则A 、B 两点高差为 -0.719m ， 因为 高差为负，所以 A 点高；若A 点高程为63.360m ，则水平视线高为 64.718m ，B 点的高程为 62.641m 。 11、将水准仪圆水准器气泡居中后，再旋转仪器180°, 若气泡偏离中心，表明 圆水准器轴不平行于竖轴。 二、问答题 1、试简述水准测量的基本原理。 答：水准测的原理：利用水准仪的水平视线，在已知高程点（A ）和未知高程点（B ）上立水准尺并读取读 数，测定两面三刀点间的高差，从而由已知点高程推算未知点高程。如图： AB A B AB h H H b a h +=-=, J08-KC-09-A 水准测量正常水准面不平行改正 1 正常水准面不平行改正的必要性 由于水准面的不平行性，使得两固定点间的高差沿不同的测量路线所测得的结果不一致而产生多值性，为了使点的高程有惟一确定的数值，为了得到精确的水准点间高差，必须进行正常水准面不平行改正。按水准规范要求各等级水准测量结果均需计算正常水准面不平行的改正。 2 正常水准面不平行改正计算公式 计算公式： ')△(i i i AH φε-= （1） 式中： i ε ——为水准测量路线中第i 测段的正常水准面不平行改正数； A ——为常系数，A=1537.1*10-9sin2φ可在常系数表中查得（见表1）； i H ——为第i 测段始末点的近似平均高程，以米为单位； ' △i φ—— 12φφ-=， 1φ和2φ分别为第i 测段始末点的纬度，以分为单位，其值可由水准点点之记或水准点路线图中查取。 3 正常水准面不平行改正计算操作步骤 很多测绘软件都提供了正常水准面不平行改正的计算功能，在此重点介绍基于Excel 的正常水准面不平行的改正计算步骤。 3.1 数据准备 1） 水准点间观测高差：用水准仪进行现场测量，具体要求遵照国家水准测量规范。 2） 各水准点的近似高程值：可通过水准测量各水准点间观测高差及已知水准点成果进行简单计算得到。 3） 各水准点的纬度：可通过现场手持GPS 测量或者已知直角坐标转换得到。 4） 常系数A 值查取：当水准路线的纬度差不大时，常系数可以按水准测量路线纬度的中数m φ为引数在现有的系数表中查取；当纬度差比较大时应该分段进行大地水准面不平行改正，查出各段的常 系数A 值，分段进行改正。在下面要举的例子中各测段纬度差不是很大，不用进行分段处理。例子中纬度差为37°08'，查表1得到对应的常系数A 值均为9 10*1480 。 表1 正常水准面不平行改正数的系数A （摘自《国家三、四等水准测量规范》（GB 12898—91）表D5）正常水准面的不平行性及其改正数的计算
四等水准测量(双面尺法)方法与步骤
1.2用水平面代替水准面的限度及测量工作原则
水准测量的成果计算
正常水准面不平行性及其改正数计算
大地测量学综合练习复习
何谓大地水准面
水准改正
答案2
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《控制测量学》期末试题A卷(安徽农业大学)
大地测量学试卷
用水平面代替水准面的限度
等水准测量设计和技术要求
水准测量习题参考答案
水准测量正常水准面不平行改正