学案导学与随堂笔记苏教数学选修23全套备课精选单元测试：第一章 计数原理 章末检测B

第1章 计数原理(B)

(时间：120分钟 满分：160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有________个．

2．某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生人数为________．

3．某小组有8名学生，从中选出2名男生，1名女生，分别参加数理化单科竞赛，每人参加一种，共有90种不同的参赛方法，那么男、女生人数分别是____、____.

4. 如图，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有________种．

5．掷4枚编了号的硬币，至少有2枚正面朝上的情况有________种．

6．(x ＋a

x

)5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a ＝________.

7．在(2＋3

5)100的展开式中，有理项的个数是______． 8．设f (x )＝(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1，则f (x )＝________.

9．若a ∈{1,2,3,5}，b ∈{1,2,3,5}，则方程y ＝b

a

x 表示的不同直线条数为________．

10．设a n (n ＝2,3,4，…)是(3－x )n

的展开式中x 的一次项的系数，则32a 2＋33a 3＋…＋318a 18

＝

________.

11．停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，则不同的停车方法有__________种．

12．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)

13．7777－7被19除所得的余数是________．

14．若(x 3＋1

x

2)n 的展开式中，仅第六项系数最大，则展开式中不含x 的项为________．

二、解答题(本大题共6小题，共90分)

15．(14分)教育局派5名调研员到3所学校去调研学生作业负担问题，每校至少1人，有多少种不同的派遣方法？

16．(14分)已知∠AOB 的边OA 上有5个点，边OB 上有6个点，用这些点和O 点为顶

点，能构成多少个不同的三角形？

17．(14分)已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.

(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；

(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.

18．(16分)(1)7个相同的球任意地放入4个相同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？

(2)7个相同的球任意地放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？

(3)7个不同的球任意地放入4个相同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？

(4)7个不同的球任意地放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有1个小球的不同放法一共有多少种？

19．(16分)某地现有耕地10 000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩？(精确到1亩)

20．(16分)规定C m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)m ！

，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0

x ＝1，这是组合

数C m n (n 、m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．

(1)求C 3－15的值；

(2)设x >0，当x 为何值时，C 3x

(C 1x )

2取得最小值？

(3)组合数的两个性质：

①C m n ＝C n －m n .②C m n ＋C m －1

n ＝C m n ＋1. 是否都能推广到C m x (x ∈R ，m 是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．

第1章 计数原理(B)

答案

1．32

解析 两个数的和等于11的情况有(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，所以满足条件的子集有C 12·C 12·C 12·C 12·C 12＝32(个)．

2．2

解析 设有女生x 人，则男生有(6－x )人，则有C 36－C 3

6－x ＝16，

即(6－x )(5－x )(4－x )＝24，解得x ＝2. 3．3 5 4．264 5．11

解析 至少有2枚正面朝上有三种情况：两枚正面朝上C 24，三枚正面朝上C 34，四枚正面朝上C 44，所以共C 24＋C 34＋C 44＝11(种)．

6．2

解析 由二项式定理，得T r ＋1＝C r 5x 5－r ·(a x )r ＝C r 5·x 5－2r ·a r ，∴5－2r ＝3，∴r ＝1， ∴C 15·a ＝10， ∴a ＝2.

7．17 8．32x 5

解析 f (x )＝C 05(2x ＋1)5·(－1)0＋C 15(2x ＋1)4·(－1)1＋C 25(2x ＋1)3·(－1)2＋C 35

(2x ＋1)2(－1)3＋C 45(2x ＋1)1·(－1)4＋C 55(2x ＋1)0·

(－1)5＝5＝(2x )5＝32x 5. 9．13 10．17

解析 a n ＝C 2n ·3n －2＝1

2

n (n －1)·3n －2，

则3n a n ＝18n (n －1)＝18(1n －1－1n

)， 所以原式＝18×(1－12＋12－13＋…＋117－118)＝18×(1－1

18

)＝17.

11．362 880

解析 8辆车共有A 88种停法，将所有空位看作一个整体，插入8辆车形成的9个空中的一个即可，共有A 88×9＝362 880(种)方法． 12．336

解析 当每个台阶上各站1人时有A 33C 37种站法，当两个人站在同一台阶上时有C 23C 17C 16种站法，因此不同的站法有A 33C 37＋C 23C 17C 16＝210＋126＝336(种)．

13．13 14．210

解析 由题意知，展开式各项的系数即为各项的二项式系数．第六项系数最大，即第六项为中间项，故n ＝10.

∴通项为T r ＋1＝C r 10·(x 3)10－r ·(1

x

2)r ＝C r 10·x 30－5r . 令30－5r ＝0，得r ＝6.∴常数项为T 7＝C 610

＝210. 15．解 5人去3所学校每校至少去1人的派遣方法有两类：

(1)某一学校去1人，另外两校分别去2人，有C 25·C 23·C 11＝30(种)； (2)某一学校去3人，另外两校分别去1人，有C 35·C 12·C 11＝20(种)．

故共有30＋20＝50(种)派遣方法．

16．解 以O 为三角形顶点，其余两顶点分别在OA 和OB 上取，能构成C 15·C 16＝30(个)

三角形；O 不为顶点，又可分为两类：即在OA 上取两点，OB 上取一点；或在OA 上取一点，

OB 上取两点，则能构成C 25·C 16＋C 15·C 26

＝10×6＋5×15＝135(个)三角形． 故能构成不同的三角形共有30＋135＝165(个)． 17．解 (1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27＝128.① (2)令x ＝－1，

则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝67.②

①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝27－67＝－279 808. ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝－139 904.

18．解 (1)可以把7个球分成四份，有1、1、3、2或1、1、1、4或1、2、2、2三种不同的放法，即不同放法共有3种．

(2)当把7个球分成1、1、3、2四份时，有C 14·C 13＝12(种)不同放法；

当把7个球分成1、1、1、4四份时，有C 14

＝4(种)不同放法； 当把7个球分成1、2、2、2四份时，有C 14＝4(种)不同放法； 故不同放法共有C 14·C 13＋C 14＋C 14

＝20(种)． (3)当把7个不同球分成1、1、3、2四份时，有C 17·C 16·C 35A 2

2

＝210(种)不同放法； 当把7个不同球分成1、1、1、4四份时，有C 17·C 16·C 15

A 3

3＝35(种)不同放法； 当把7个不同球分成1、2、2、2四份时，有C 27·C 25·C 23

A 3

3＝105(种)不同放法． 故有不同放法210＋35＋105＝350(种)．

(4)由(3)可知不同放法共有350·A 44＝350×24＝8 400(种)．

19．解 设耕地平均每年减少x 亩，现有人口为p 人，粮食单产为m 吨/亩，依题意 m ×(1＋22%)×(104－10x )p ×(1＋1%)10≥m ×104

p (1＋10%)，

化简：

x ≤103× ＝103 ≈103≈4.1，

∴x ≤4(亩)

答 耕地平均每年至多只能减少4亩． 20．解

(1)C 3－15＝

(－15)(－16)(－17)

3！

＝－680.

(2)C 3x

(C 1x )2＝x (x －1)(x －2)6x 2

＝16(x ＋2x －3)． ∵x >0，

∴x ＋2

x

≥22，当且仅当x ＝2时，等号成立．

∴当x ＝2时，C 3x

(C 1x )

2取得最小值．

(3)性质①不能推广，例如当x ＝2时，

1

无意义； 性质②能推广，它的推广形式是C m x ＋C m －1

x ＝C m x ＋1，x ∈R ，m 是正整数．

事实上，当m ＝1时，有C 1x ＋C 0x ＝x ＋1＝C 1x ＋1

. 当m ≥2，C

m

x ＋C

m －1x

＝

x (x －1)…(x －m ＋1)

m ！

＋

x (x －1)…(x －m ＋2)

(m －1)！

＝

x (x －1)…(x －m ＋2)(m －1)！·[x －m ＋1m ＋1]＝x (x －1)…(x －m ＋2)(x ＋1)

m ！

＝C m x ＋1.