高等数学笔记

第1章函数

§1 函数的概念

一、区间、邻域

自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R

建立数轴后：

建立某一实数集A与数轴上某一区间对应

区间：设有数a,b,a

即(a,b)={x|a

a称为(a,b)的左端点，b称为(a,b)的右端点。

a?(a,b),b?(a,b)

闭区间：[a,b]={x|a≤x≤b}

a∈[a,b],b∈[a,b]

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半开区间：[a,b)={x|a≤x≤b},a∈[a,b),b?[a,b)

(a,b]={x|a

a，b都是确定的实数，称(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]为有限区间，“b?a”称为区间长度。

记号：

+∞——正无穷大

?∞——负无穷大

区间：

[a,+∞)={x|a≤x}

(a,+∞)={x|a

(?∞,b]={x|x≤b}

(?∞,b)={x|x

称为无穷区间（或无限区间）

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邻域：设有两个实数a,δ(δ>0)，则称实数集{x|a?δ

a称为N(a,δ)的中心，δ>0称为邻域N(a,δ)的半径。

去心邻域：把N(a,δ)的中心点a去掉，称为点a的去心邻域，记为N(a^,δ)={x|0<|x?a|<δ}=N(a,δ)?{a}

注：其中，?{a}表示去掉由a这一个数组成的数集。

二、函数概念

例1. 设圆的半径为x(x>0)，它的面积A=πx2，当x在(0,+∞)内任取一个数值（记为?x∈(0,+∞)）时，由关系式A=πx2就可以确定A的对应数值。

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例2. 设有半径为r的圆，作圆的内接正n边形，每一边对应的圆心角α=2πn，周长S n=n?2r sinπn，当边数n在自然数

集N(n≥3)任取一个数，通过关系式S n=2nr sinπn就有一个S n对应确定数值。

函数定义：设有数集X,Y，f是一个确定的对应法则，对?x∈X，通过对应法则f都有唯一的y∈Y与x对应，记为x→f y，或f(x)=y，则称f为定义在X上的函数。

其中X称为f的定义域，常记为D f。

X——自变量，Y——因变量。

当X遍取X中的一切数时，那么与之对应的y值构成一个数集V f={y|y=f(x),x∈X}，称V f为函数f的值域。

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注意：

（1）一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把“对应法则f”、“定义域”称为函数定义的两个要素。

例如，y=arcsin(x2+2)这个式子，由于x2+2>2，而只有当|x2+2|≤1时，arcsin才有意义，因此这个式子不构成函数关系。又例如，y=ln x2与y=2ln x不是同一个函数，因为定义域不同。而y=ln x2与y=2ln|x|是同一个函数，因为定义域相同。（2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。

（3）确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。

若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。

函数的几何意义：设函数y=f(x)定义域为D f，?x∈D f，对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y)，当x遍取D f中一切实数时，就得到点集P={(x,y)|y=f(x),x∈D f}。点集P称为函数y=f(x)的图形。

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三、函数的几个简单性质

1. 函数的有界性

若?M>0,s.t.|f(x)|≤M,x∈I，则称y=f(x)在区间I上有界。否则称f(x)在I上无界。

注：s.t.是“使得，满足于”的意思，I表示某个区间。

例如，y=sin x在I=(?∞,+∞) )上是有界的（∵|sin x|≤1,x∈(?∞,+∞)）。

又如，y=1x2+1在(?∞,+∞)上有界。

对任何正数M>0（无论多么大），总?x1∈I,s.t.|f(x1)|>M，则称f(x)在I上无界。

例如，y=1x在(0,1)内无界。

证明：

对给定的M>0（不妨设M>1），无论M多么大，必存在x1=12M∈(0,1)，使f(x1)=112M=2M>M

函数的上界、下界：若?M（不局限于正数），s.t.f(x)≤M,?x∈I，则称f(x)在区间I上有界。任何一个数N>M，N也是f(x)的一个上界。

若?P,s.t.f(x)≥P,?x∈I，则称f(x)在区间I上有下界。若Q

f(x)在区间I上有界?f(x)在I上既有下界又有上界（“?”表示充分必要条件）。

证明：

设f(x)在I上有界，根据定义，?M>0,s.t.|f(x)|≤M,?x∈I。

|f(x)|≤M??M≤f(x)≤M

因此f(x)有下界?M，也有上界M（对?x∈I）

反之，设f(x)在I上既有下界m，又有上界N，即m≤f(x)≤N

如果m=N=0，则f(x)≡0,?x∈I

∴f(x)在I上有界。

如果m,N不同时为零，取M=max{|m|,|N|}>0，

则?M≤?|m|≤m≤f(x)≤N≤|N|≤M

即?M≤f(x)≤M?|f(x)|≤M,?x∈I

∴f(x)在I上有界。

2. 函数的单调性

若函数f(x)在区间I上，对任何x1,x2∈I，且x1

若x1

若x1f(x2)，则称f(x)在I上严格单调减。

类似地，也有广义单调减（单调减，非增的）的概念。

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例如，y=x2,D f=(?∞,+∞)

在(0,+∞)上，y=x2严格单增。

在(?∞,0)上，y=x2严格单减。

又如，取整函数（取一个数的整数部分）：

y=[x]=??????????????1,?1≤x<00,0≤x<11,1≤x<22,2≤x<3......

其函数图形如下：

取整函数是一个广义单增/单调增/非减函数。

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3. 函数的奇偶性

若f(x)在关于原点对称的区间I上满足f(?x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

若满足f(?x)=?f(x)，则称f(x)为奇函数。

偶函数图形关于y轴对称（例如：cos x,x2）

奇函数图形关于原点对称（例如：sin x,x3）

4. 函数的周期性

设f(x)的定义域为D f，如果存在非零的常数T,s.t.对任意的x∈D f，有(x±T)∈D f，且f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期（通常周期是指最小正周期）。

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四、复合函数，反函数

1. 复合函数

设y=u√,u=1?x2，把u=1?x2代入y=u√中，得到y=1?x2?????√，称为由y=u√与u=1?x2复合而成的复合函数。

一般定义：

设y=f(u)是数集Y上的函数（Y是f(u)的定义域），u=φ(x)的定义域为X，值域为Yφ，且Yφ≠Φ（Φ表示空集），Yφ?Y（表示Yφ是Y的子集），这时，对?x∈X，通过u都有唯一的y值与之对应，从而在X上产生一个新函数，用f?φ（中间是一个实心的点）表示，称f°φ（中间是一个空心的圈）为X上的复合函数：

f→f?φy，或y=f[φ(x)]

y=f[φ(x)]的定义域：由u=φ(x)的定义域中使函数u=φ(x)的值域Yφ满足Yφ?Y的那一部分实数组成。

1. 复合函数

y=f(u),u=φ(x)?y=f[φ(x)]

注意：f[φ(x)]与φ(x)定义域不一定相同。

例1. 设f(x)=x2+1x2?1,φ(x)=11+x，求f[φ(x)]并确定定义域。

解：f[φ(x)]=[φ(x)]2+1[φ(x)]2?1=[11+x]2+1[11+x]2?1=?x2+2x+2x(x+2)

当x≠?1（由11+x可知）且x≠0,x≠?2时f[φ(x)]有定义。即f[φ(x)]定义域为：

(?∞,?2)∪(?2,?1)∪(?1,0)∪(0,+∞)

2. 反函数

设有函数y=f(x)，定义域D f，值域V f。?y∈V f，至少可以确定一个x∈D f,s.t.f(x)=y，如果把y看作自变量，把x看作因变量，由函数概念，可以看到一个新函数，记为x=f?1(y)，称为y=f(x)的反函数。

反函数的定义域为V f，值域为D f，把y=f(x)称为直接函数，x=f?1(y)称为反函数。

注意：

1. 虽然直接函数y=f(x)是单值的，但反函数x=f?1(y)不一定是单值的。

例如，函数y=x2,D f:(?∞,+∞),V f:[0,+∞]

反函数x=f?1(y)不是单值的（因为对?y∈[0,+∞]，得到x=±y√，有两个值?y√,+y√，为双值函数）。

x=y√是一个单值支。

2. 如果直接函数y=f(x)严格单调，则其反函数x=f?1(y)也是单值单调的。

3. 直接函数y=f(x)与反函数x=f?1(y)图形相同，习惯上以x表示自变量，y表示因变量，反函数记为y=f?1(x)。这

时，y=f(x)与y=f?1(x)的图形关于直线y=x对称，如下图所示：

例1. 设y=f(x)={x2,?2

解：当?2

当1≤x≤2时，y=x2,?1≤y≤4?x=+y√（因为x是正数），定义域?1≤y≤4

综上所述，反函数为：

x=f?1(y)={2y,?1

或：

y=f?1(x)={2x,?1

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ξ2初等函数

一、基本初等函数

6类函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常量函数（例如y=C）称为基本初等函数。

二、初等函数

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的、能够用一个数学式子表达的函数称为初等函数。例如：y=arcsin1?x2?????√,y=ln(x+e x)

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初等函数结构分析

例如：分析y=ln(1+x√)的结构

解：

y=ln u,u=1+x√=1+x12

令u=1+x12,v=1,w=x12

∴y=ln u,u=v+w,v=1,w=x12

三、双曲函数

双曲正弦函数shx=ex?e?x2

双曲余弦函数chx=ex+e?x2

双曲正切函数thx=shxchx=ex?e?xex+e?x

以上函数与三角函数有类似性质：

ch2x?sh2x=1

sh2x=2shxchx类似于sin2x=2sin x cos x

ch2x=ch2x+sh2x

三角函数有周期性，双曲函数没有周期性，这是最大的区别。

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反双曲正弦函数：arshx注意：不是arc

反双曲余弦函数：archx

反双曲正切函数：arthx

求双曲函数的反函数的表达式：

令y=arshx?x=shy=ey?e?y2

令u=e y?2x=u?1u?u2?2xu?1=0

由二次方程的求根公式，得：

u=2x±4x2+4√2=x±x2+1?????√

即e y=x±x2+1?????√

∵e y>0

∴e y=x+x2+1?????√

∴y=ln(x+x2+1?????√)

即arshx=ln(x+x2+1?????√)

用类似方法可推出：

arshx=ln(x+x2+1?????√)

archx=ln(x+x2?1?????√)

arthx=12ln(1+x1?x)

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第2章极限

主要内容：

一、极限概念：数列概念、函数概念

二、极限性质和运算，无穷小概念和比较

三、函数的连续性

ξ1数列的极限

一、数列极限定义

数列：设有定义在自然数集N上的函数u n=f(n)，称为整标函数（标是指下标n）。

把函数值u n按照自然数n的顺序排列出来的无穷数串：

u1,u2,u3,?,u n,?

叫作数列（序列），第n项u n称为一般项。

数列简记为{u n}，即{u n}表示u1,u2,?,u n,?

例如：

{nn+1}:12,23,34,?,nn+1,?

{12n}:12,122,123,?,12n,?

{1+(?1)n2}:0,1,0,1,?,1+(?1)n2,?

{2n+(?1)n?1n}:3,32,73,74,115,116,?,2n+(?1)n?1n,?

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要研究的问题：当n无限增大时（记为n→∞），数列{u n}能否与某一常数A无限接近？如果{u n}能与A无限接近，在数学上如何描述？

例如，设u n=2n+(?1)n?1n，当n→∞时{u n}的变化趋势如何？（一般地说，两个常数a,b，用|a?b|来描述两数接近的程度）u n=2n+(?1)n?1n=2+(?1)n?1n

?u n?2=(?1)n?1n

?|u n?2|=|(?1)n?1n|=1n

∴当n越大，1n越小，u n与2越接近。

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给定一个很小的正数1100，则由|u n?2|=1n<1100?n>100，只要n>100，就有|u n?2|<1100

|u n?2|<1100?2?1100

开区间(2?1100,2+1100)=N(2,1100)（此邻域以2为中心，以1100为半径）

当n>100时，|u n?2|<1100，说明u101,u102,?都落在N(2,1100)邻域内。

同理给定正数11000，同理可推出：

当n>1000时，|u n?2|<11000，u1001,u1002,?都落在N(2,1100)邻域内。

无论给定多么小的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时的一切u n满足|u n?2|<ε

从几何上看，给定邻域N(2,ε)，无论（半径）多么，总存在N，使得当n>N时，u n+1,u n+2,?都落在N(2,ε)内。

数列极限定义：已知数列{u n}和常数A，如果对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得对于n>N的一切u n，不等

式|u n?A|<ε恒成立，则称当n→∞时，{u n}以A为极限，或{u n}收敛于A。

记为：

lim n→∞u n=A，或u n→A(n→∞)

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如果u n无极限，就说{u n}发散（n→∞）

说明：

1. 定义中的ε是任意给定的，只有任意给定ε>0，不等式|u n?A|<ε才能表达u n与A无限接近。

2. 定义中的N与ε有关，记为N(ε)。随着ε的给定选定N，且N不唯一。

3. 定义只描述了n→∞时u n→A，但未提供求A的方法。

4. 定义的几何意义：任意给定邻域N(A,ε)，则必存在N，使u N+1,u N+2,?落在N(A,ε)内。

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例1. 证明lim n→∞2n+(?1)n?1n=2

证：

一般项u n=2n+(?1)n?1n=2+(?1)n?1n

|u n?2|=|(?1)n?1n|

对于任意给定的ε>0，为了使|u n?2|<ε，只需1n<ε即可（这是由于|(?1)n?1|=1，而n>0，故1|n|=1n，即|(?1)n?1n|=1n）或者说，n>1ε即可。

所以，对于任意给定的ε>0，取正整数N=[1ε]（注：[]表示取整符号）

当n>N时，，恒有不等式|u n?2|=|2n+(?1)n?1n?2|=1n<ε

按数列极限定义，可知lim n→∞2n+(?1)n?1n=2

注：有人可能不解——为什么N取[1ε]时，当n>N时有1n<ε？这里举一个实际的例子：假设ε=0.003，

则N=[1ε]=[333.333333?]=333，当n>N时，n≥334，即1n=0.002994?<ε

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例2. 证明当n→∞时，(n?1)(2n?1)6n2→13

证：

u n=(n?1)(2n?1)6n2=13?12n+16n2

?u n?13=?12n+16n2

?|u n?13|=|12n?16n2|=12n|1?13n|<12n（这是13n>0且13n<1?1?13n∈(0,1)

对于任意给定的ε>0，只要12n<ε恒成立，即可证明成功。

即，n>12ε时，便可得|u n?13|<12n<ε

所以，对任意给定的ε>0，取正整数N=[12ε]，则当n>N时，恒有|u n?13|<12n<ε

按数列极限定义，有lim n→∞(n?1)(2n?1)6n2=13

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注意：利用数列极限定义来验证lim n→∞u n=A时，关键步骤是指明定义中的N确实存在。

由于N不是唯一的，所以不一定要找最小的N，只要找到一个N就可以了。

例如，知道|u n?A|=φ(n)（整标函数），那么由φ(n)<ε，求出N，这时，n>N时φ(n)<ε，从而知道|u n?A|<ε

例3. 证明lim n→∞(?1)n(n+1)2=0

证：

|u n?0|=|(?1)n(n+1)2?0|=1(n+1)2<1n2<1n(φ(n)=1n)

对任意给定的ε>0，只要φ(n)=1n<ε，即n>1ε时，恒有不等式|(?1)n(n+1)2?0|<ε

所以，按照极限定义，lim n→∞(?1)n(n+1)2=0

收敛数列的两个性质：

1. 定理1 若{u n}的极限存在，则极限值是唯一的。

证：（用反证法来证明）

若{u n}收敛，且极限不唯一，即：同时有lim n→∞u n=a,lim n→∞u n=b，且a

由于lim n→∞u n存在，所以对于给定的ε=b?a4>0，有：

必存在正整数N1，使得当n>N1时，恒有|u n?a|

同理，必存在正整数N2，使得当n>N2时，恒有|u n?b|

取N=max{N1,N2}，则当n>N时，上面两个不等式同时成立。

∴b?a=b?u n+u n?a≤|b?u n|+|u n?a|

而上式b?a

∴lim n→∞u n是唯一的。

例：证明数列{u n}={(?1)nnn+1}是发散的。

证：

{u n}:?12,23,?34,45,?

当n取奇数2m?1(m

?12,?34,?56,?,?2m?12m,?

数列{u2m?1}从?12开始单调减。

当n取偶数2m(m∈N)时，得到数列（注：对应到原来的的u2,u4,u6,?）：

23,45,67,?,2m2m+1,?

数列{u2m}从23开始单调增。

如下图所示：

下面，用反证法来证明。在这之前，要做一个准备工作（进行一个“无厘头”的推导），因为后后面的反证法会用到这个结论：

u2?u1=23?(?12)=76>1

这说明，距离最短的两个点u1,u2之间的距离大于1。这个无厘头的结论在后面会用到。

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假设u n→A(n→∞)（A是唯一的）

由极限定义，给定正数ε=12>0，必存在一个正整数N，使得当n>N时，恒有不等式|u n?A|<12

∴A?12N)

∴u N+1,u N+2,u N+3,?∈(A?12,A+12)

区间(A?12,A+12)长度为1

而u N+1,u N+2落在长度为1的区间(A?12,A+12)内是不可能的（由前面推导的“无厘头”结论可知，距离最短的两个点都无法落在长度为1的区间内）

∴{(?1)nnn+1}是发散的。

证毕。

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有界数列：对于数列{u n}，如果存在一个正数M>0，使得一切u n都有|u n|≤M，则称{u n}有界。

2. 定理2 如果{u n}收敛，则{u n}一定是有界的。

证：

∵{u n}收敛，可设lim n→∞u n=A

由极限定义，对给定正数ε=1，必存在正整数N，使得n>N时，恒有|u n?A|<1?A?1

∴|u n|=|u n?A+A|≤|u n?A|+|A|≤1+|A|（和的绝对值≤绝对值的和）

现取M=max{|u1|,?,|u n|,1+|A|}(n>N)（有限个数，最大值一定存在）

于是|u n|≤M(n=1,2,?)

∴{u n}是有界的。

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ξ2函数的极限

讨论x为连续自变量时，函数y=f(x)的极限。

1. 自变量x任意地接近于定值x0，或x趋向于x0（记为x→x0），对应的函数值f(x)的变化趋势。

2. 自变量x的绝对值|x|无限增大（记为x→∞），对应的函数值f(x)的变化趋势。

一、自变量x趋向于定值x0时，f(x)的极限

假设函数f(x)在x0点的某邻域内有定义（在x0点f(x)可以无定义，这并不影响我们讨论问题），问题：当x任意地趋近于x0时，即x→x0时，对应函数值f(x)是否无限接近于常数A？

分析：当x→x0的过程中，对应函数值f(x)无限接近于常数A?当x→x0的过程中，|f(x)?A|能任意地小?当x→x0的过程中，对任意给定的整数ε>0,|f(x)?A|<ε

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当x→x0的过程中，只有充分接近x0的那些x，才能使|f(x)?A|<ε。

“充分接近x0的那些x”这句话这样来定义：存在一个很小的正数δ>0,0<|x?x0|这样一个不等式就描述了x充分接近x0。

定义：设有函数f(x)在x0点的某一去心邻域内有定义，A为一常数。如果对于任意给定的正数ε>0，都存在一个正数δ>0，使得适合不等式0<|x?x0|<δ的一切x所对应的函数值f(x)都满足：

|f(x)?A|<ε

则称x→x0时，f(x)以A为极限。记为：

lim x→x0f(x)=A，或f(x)→A(x→x0)

lim x→x0f(x)=A的几何意义（如下图所示）：对常数A,ε>0，在xOy平面上作直线y=A+ε,y=A?ε，对δ>0，得邻域N(x^0,δ)，当x∈N(x^0,δ)(x≠x0)时，由定义可知，点M(x,f(x))一定在y=A?ε与y=A+ε的区域内。

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下面用lim x→x0f(x)=A定义来证明一些函数极限等式。

例1. lim x→x0C=C

证：

f(x)≡C,x0为一定值，A=C

f(x)?A=C?C≡0

因此，对任意给定的δ>0，凡是适合0<|x?x0|<δ的一切x，都使|f(x)?A|=0<ε

所以，按极限定义得lim x→x0C=C

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例2. 证明lim x→x0x=x0

证：

f(x)=x,A=x0,|f(x)?A|=|x?x0|

因此，对任意给定的ε>0，取δ=ε，则当0<|x?x0|<δ=ε时，都能使|f(x)?A|=|x?x0|<ε

按极限定义，有lim x→x0x=x0

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例3. 证明lim x→1(3x?5)=?2

证：

f(x)=3x?5,x0=1,A=?2

|f(x)?A|=|(3x?5)?(?2)|=|3x?3|=3|x?1|

对任意给定的ε>0，为了使3|x?1|<ε（即|x?1|<ε3），可以取δ=ε3，则适合不等式0<|x?1|<δ的一切x都能

使|f(x)?A|=3|x?1|=3?ε3=ε

按照极限的定义，有lim x→1(3x?5)=?2

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例4. 证明lim x→111+x√=12

证：

f(x)=11+x√,x0=1,A=12

|f(x)?A|=∣∣11+x√?12∣∣=∣∣1?x√2(1+x√)∣∣=∣∣∣(1?x√)(1+x√)2(1+x√)2∣∣∣=∣∣x?1∣∣2(1+x√)2<∣∣x?1∣∣2<ε

则当|x?1|<2ε时，就有|f(x)?A|<ε

因此，对任意给定的ε>0，取δ=2ε，则适合0<|x?1|<δ的一切x，都使得|f(x)?A|=∣∣11+x√?12∣∣<ε

按照极限的定义，有lim x→111+x√=12

lim x→x0f(x)=A

x可以从x0的左侧趋于x0，也可以从右侧趋于x0。

当从x0的左侧趋于x0(x

左极限：对于任意ε>0，都存在δ>0，凡适合x0?δ

lim x→x0?f(x)=A或lim x→x0?0f(x)=A

可统一表示为f(x0?0)=A

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右极限：把定义中0<|x?x0|<δ改为x0

lim x→x0+f(x)=A或lim x→x0+0f(x)=A

可统一表示为f(x0+0)=A

lim x→x0f(x)=A?f(x0?0),f(x0+0)都存在且极限值都等于A

（注：?表示充分必要条件）

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二、自变量x趋向于无穷大（记为x→∞）时函数f(x)的极限

数列u n=f(n)，当n→∞时的极限，可以看作是f(x)当x→∞时的极限的特殊情形。

依照数列极限定义，给出f(x)当x→∞时的极限定义：

设函数f(x)在|x|充分大时有定义，A为常数，如果对于任意给定的ε>0，都存在正数N，使得凡是适合|x|>N的一切x，对应的函数值f(x)都满足|f(x)?A|<ε，则称当x→∞时，f(x)以A为极限。记为：

lim x→∞f(x)=A或f(x)→A(x→∞)

如果只考虑x>0，且|x|无限增大（记为x→+∞），上面定义中把|x|>N改为x>N，就得到lim x→+∞f(x)=A的定义。

如果只考虑x<0，且|x|无限增大（记为x→?∞），上面定义中把|x|>N改为x

lim x→∞f(x)=A?lim x→?∞f(x)和lim x→+∞f(x)都存在且等于A

（注：?表示充分必要条件）

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例：证明lim x→∞11+x2=0

证：

f(x)=11+x2,A=0

|f(x)?A|=∣∣11+x2?0∣∣=11+x2<1x2<ε

对任意给定的ε>0，为了使|f(x)?A|<ε，只需1x2<ε，即x2>1ε?|x|>1ε√

因此，对任意给定的ε>0，取N=1ε√，凡是适合不等式|x|>N的一切x，对应的函数值f(x)都满足：

|f(x)?A|=∣∣11+x2?0∣∣<ε

按定义，有lim x→∞11+x2=0

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三、无穷小量与无穷大量

1. 无穷小（量）

如果lim x→x0f(x)=0（或lim x→∞f(x)=0），则称当x→x0（或x→∞）时，f(x)是无穷小（量）。

注意：

①不能把一个很小的数看作无穷小。

②常数0可以看作是无穷小的唯一一个常数。

2. 无穷大（量）

如果当x→x0（或x→∞）时，对应的函数值f(x)的绝对值无限增大，则称当x→x0（或x→∞）时，f(x)是无穷大（量）。或者这样表述：

若对于任意给定的正数M>0（无论M多么大），总存在δ>0，凡是适合不等式0<|x?x0|<δ的一切x，对应的函数值f(x)都满足|f(x)|>M，则称当x→x0时，f(x)是无穷大，记为lim x→x0f(x)=∞

注意：上式并不说明极限存在，只是说明其极限为无穷大量，无穷大不是一个常数。

把上面定义中的“总存在δ>0，凡是适合不等式0<|x?x0|<δ的一切x”改为“总存在正数N，凡是适合不等式|x|>N的一切x”，其余表述不变，则得到lim x→∞f(x)=∞

注意：

1. 不能把无穷大与一个很大的常数混为一谈；

2. 无穷大一定是无界函数，但无界函数不一定是无穷大。

我们来证明一下结论2。先证明无穷大一定是无界函数。

证：设lim x→x0f(x)=∞（或lim x→∞f(x)=∞），即f(x)是无穷大

对任意给定的正数M>0（无论多么大），一定存在δ>0（存在N>0），使得：

|f(x)|>M（对?x∈N(x^0,δ)，或|x|>N）

所以，在N(x^0,δ)内（或|x|>N），f(x)无界。

证毕。

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再证明无界函数不一定是无穷大。

证：

此处举一个实例即可证明这一点。证明f(x)=x sin x在(0,+∞)内是无界函数；但是当x→+∞时，f(x)不是无穷大。

先证f(x)=x sin x在(0,+∞)内是无界函数。

对任何M>0（无论多么大），现取足够大的正整数n，使x n=2nπ+π2>M，则：

f(x n)=x n sin x n=(2nπ+π2)sin(2nπ+π2)=(2nπ+π2)?1>M

可见，f(x)在(0,+∞)内是无界的。

再证x→+∞时，f(x)=x sin x不是无穷大。

给定M=1，则无论多么大的正整数N，当n>N时，x n=nπ>N

f(x n)=x n sin x n=nπsin nπ=0<1=M

所以f(x)不是无穷大。即，当x→+∞时，f(x)不是无穷大。

证毕。

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3. 无穷小与无穷大的关系

定理：如果当x→x0（或x→∞）时f(x)是无穷大，则1f(x)是无穷小，如果当x→x0（或x→∞）时f(x)是无穷小，且f(x)≠0，则1f(x)是无穷大。

证：

下面只证x→x0的情形，x→∞的情形可类推。

①设x→x0时，f(x)是无穷大，即lim x→x0f(x)=∞

任意给定ε>0，因lim x→x0f(x)=∞，对于正数M=1ε，一定存在δ>0，使适合不等式0<|x?x0|<δ的一切x所对应的f(x)满足|f(x)|>M=1ε

∴∣∣1f(x)∣∣<ε，即lim x→x01f(x)=0

即当x→x0时，1f(x)是无穷小。

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②设当x→x0时，f(x)是无穷小，且f(x)≠0

任意给定正数M>0（无论多么大），因lim x→x0f(x)=0

对ε=1M，一定存在δ>0，使适合不等式0<|x?x0|<δ的一切x所对应的f(x)满足|f(x)|<ε=1M?∣∣1f(x)∣∣>M

即当x→x0时，1f(x)是无穷小。

证毕。

四、海涅定理/Heine定理

连续自变量x的函数f(x)的极限lim x→x0f(x)（或lim x→∞f(x)）存在的充分必要条件：对任选的数

列{x n|x n→x0,x n≠x0}（或x n→∞），其所对应的数列{f(x n)}有同一极限。

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例. （用海涅定理）证明当x→0时，f(x)=sin1x的极限不存在。

证：

取x n=1nπ,lim n→∞x n=lim n→∞1nπ=0

f(x n)=sin1xn=sin nπ=0,{f(x n)}={0}（即数列的每一项都为0）

∴lim n→∞f(x n)=0

取x n′=12nπ+π2→0

f(x n′)=sin(2nπ+π2)=1,{f(x n′)}={1}（即数列的每一项都为1）

∴lim n→∞f(x n′)=1

∵lim n→∞f(x n)≠lim n→∞f(x n′)

∴lim x→0f(x)不存在（由海涅定理可知）

ξ3函数极限的性质和极限的运算

一、极限值与函数值的关系

1. （极限值的唯一性）如果lim x→x0f(x)存在，则其极限值是唯一的

下面证明这个结论。

用反证法来证明。设lim x→x0f(x)存在且不唯一：

lim x→x0f(x)=A,lim x→x0f(x)=B，且A

即B?A>0，这个假设后面要用到。

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对给定正数ε=B?A4>0，由于lim x→x0f(x)=A，故由极限定义，对正数ε=B?A4，一定存在δ1>0，使得适合不等式0<|x?x0|<δ1的一切x，所对应的函数值f(x)恒有|f(x)?A|

同理，对给定正数ε=B?A4>0，由于lim x→x0f(x)=B，故由极限定义，对正数ε=B?A4，一定存在δ2>0，使得适合不等

式0<|x?x0|<δ2的一切x，所对应的函数值f(x)恒有|f(x)?B|

取δ=min{δ1,δ2}，则凡是适合不等式0<|x?x0|<δ的一切x，可以使以下两个不等式同时成立：

|f(x)?A|

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从而有：

B?A=|B?f(x)+f(x)?A|≤|B?f(x)|+|f(x)?A|

即B?A0的情况下，这是不可能成立的。

∴lim x→x0f(x)=A是唯一的。

2. 极限值与函数值的同号性

(1)设lim x→x0f(x)=A，且A>0（或A<0），则必存在N(x^0),s.t.?x∈N(x^0)，都有f(x)>0（或f(x)<0）。

证：

设A>0，由lim x→x0f(x)=A和极限定义，可知：

对正数0<ε≤A，一定存在δ>0,s.t.适合不等式0<|x?x0|<δ（即x∈N(x^0,δ)）的一切x，恒有|f(x)?A|<ε，即A?ε

∵0<ε≤A

∴A?ε≥0

即0≤A?ε

证毕。

(2)设lim x→x0f(x)=A，且在N(x^0)内f(x)≥0，则A≥0。

证：

用反证法来证明。假如A<0，又lim x→x0f(x)=A

由已证的(1)，可知存在N(x^0)，使f(x)<0,x∈N(x^0)

这与f(x)≥0的假设矛盾，所以(2)成立。

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例1. 设f(x)在x0点的某邻域N(x0)内有定义，且lim x→x0f(x)?f(x0)(x?x0)2=?1，则必存在某邻域N(x0,δ)，使：

(A) f(x)>f(x0)

(B) f(x)

(C) f(x)=f(x0)

(D)不能判断f(x)与f(x0)的大小关系

解：

令F(x)=f(x)?f(x0)(x?x0)2，则lim x→x0F(x)=?1<0

由前面所证的结论(1)可知：一定存在N(x0,δ)，使F(x)<0,x∈N(x0,δ)

由F(x)=f(x)?f(x0)(x?x0)2<0?f(x)?f(x0)<0?f(x)

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3.（有界性）如果当x→x0（或x→∞）时f(x)→A（常数），则一定存在x0的某个邻域N(x^0)（或存在N>0,|x|>N），使得f(x)是有界的。

已知lim x→x0f(x)=A，由极限定义，对给定正数ε=1>0，必定存在δ>0，使得适合不等式0<|x?x0|<δ（即x∈N(x^0,δ)）的一切x所对应的f(x)，恒有：

|f(x)?A|<1?A?1

即f(x)在N(x^0,δ)内既有上界，又有下界?f(x)在N(x^0,δ)内有界。

证毕。

二、函数极限与无穷小的关系

设lim x→x0f(x)=A（或lim x→∞f(x)=A），讨论f(x),A之间有何关系？

<定理> lim x→x0f(x)=A（或lim x→∞f(x)=A），A为常数?f(x)=A+α(x)，且lim x→x0α(x)=0（或lim x→∞α(x)=0）

证：

左推右：设lim x→x0f(x)=A（或lim x→∞f(x)=A，下面只证前一种情况），根据函数极限定义，对任意给定的ε>0，一定存在δ>0，使得适合不等式0<|x?x0|<δ的一切x所对应的f(x)，恒有|f(x)?A|<ε。

令α(x)=f(x)?A，就有|α(x)|<ε

从而有f(x)=A+α(x),lim x→x0α(x)=0

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右推左：设f(x)=A+α(x),lim x→x0α(x)=0

根据极限定义，对任意给定的ε>0，一定存在δ>0，使得凡是适合不等式0<|x?x0|<δ的一切x所对应的f(x)，恒有|α(x)|<ε由f(x)=A+α(x)?α(x)=f(x)?A

由|α(x)|<ε?|f(x)?A|<ε，即lim x→x0f(x)=A

证毕。

三、无穷小的性质

1. 有限个无穷小的代数和仍是无穷小

证：

只证两个无穷小的情形（更多个的情形，用数学归纳法便可得结果）。

设有lim x→x0α(x)=0,lim x→x0β(x)=0，需要证明：lim x→x0[α(x)+β(x)]=0

由极限定义可知：任意给定正数ε>0，对正数ε2>0，一定存在δ1>0，使得凡是适合不等式0<|x?x0|<δ1的一切x所对应的α(x)，恒有|α(x)|<ε2

同理，对正数ε2>0，一定存在δ2>0，使得凡是适合不等式0<|x?x0|<δ2的一切x所对应的β(x)，恒有|β(x)|<ε2

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取δ=min{δ1,δ2}>0，当0<|x?x0|<δ时，这些x所对应的α(x)，β(x)同时满足：

|α(x)|<ε2,|β(x)|<ε2

从而有：

|α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε2+ε2=ε

∴lim x→x0[α(x)+β(x)]=0，即当x→x0时，α(x)+β(x)是无穷小。

证毕。

2. 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小

证：

设f(x)在N(x^0,δ1),δ1>0内有界，即存在M>0,δ1>0，使得f(x)≤M,x∈N(x^0,δ1)

又设lim x→x0α(x)=0（即当x→x0时，α(x)是无穷小）

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要证明的是：当x→x0时，f(x)α(x)是无穷小。

即要证：lim x→x0[f(x)α(x)]=0

根据极限，任意给定ε>0，对εM>0，一定存在δ2>0，使得适合不等式0<|x?x0|<δ2的一切x所对应的α(x)恒有|α(x)|<εM

现取δ=min{δ1,δ2}>0，则凡是适合不等式0<|x?x0|<δ的一切x，都会使|f(x)|≤M，且|α(x)|<εM

从而有|f(x)α(x)|=|f(x)||α(x)|

即lim x→x0[f(x)α(x)]=0

证毕。

对一个常数C,f(x)≡C为有界函数；对lim x→x0γ(x)=0，在N(x^0)内γ(x)是有界函数，所以有：

1°常数与无穷小的乘积仍是无穷小

2°两个无穷小的乘积仍是无穷小（有限个无穷小的乘积仍是无穷小）

3°设lim x→x0f(x)=A≠0,lim x→x0α(x)=0（或x→∞），则lim x→x0α(x)f(x)=0（或x→∞）

证：

α(x)f(x)=1f(x)?α(x)

要证lim x→x0α(x)f(x)=0（即α(x)f(x)是无穷小），只需证1f(x)是有界的，再由性质2°就可得到性质3°的结论。

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∵lim x→x0f(x)=A≠0，由极限定义，对给定正数ε=∣∣A∣∣2>0，必定存在δ>0，使得凡是适合不等式0<|x?x0|<δ的一切x所对应的f(x)，恒有|f(x)?A|<∣∣A∣∣2

又由|A|?|f(x)|≤|f(x)?A|<∣∣A∣∣2?|A|?|f(x)|<∣∣A∣∣2?|A|?∣∣A∣∣2<|f(x)|（注：两个数差的绝对值一定≥它们绝对值的差）

∴0<∣∣A∣∣2<|f(x)|

∴∣∣1f(x)∣∣<2∣∣A∣∣（2∣∣A∣∣相当于有界函数定义中的M）

∴1f(x)在N(x^0,δ)内是有界的。

所以结论成立。

证毕。

四、极限的四则运算公式

以下公式中，自变量都是x→x0，或者都是x→∞

设lim f(x)=A,lim g(x)=B，则有：

1. lim[f(x)±g(x)]=A±B=lim f(x)±lim g(x)

2. lim[f(x)g(x)]=AB=lim f(x)lim g(x)

若C是常数，则lim[Cf(x)]=CA=C lim f(x)

若n是正整数，lim[f(x)]n=lim[f(x)?f(x)?f(x)]=A n=[lim f(x)]n

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证明：

由函数极限与无穷小的关系：

lim f(x)=A?f(x)=A+α(x),limα(x)=0

lim g(x)=B?g(x)=B+β(x),limβ(x)=0

f(x)g(x)=[A+α(x)][B+β(x)]=AB+[Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)]=AB+γ(x)

其中γ(x)=Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)

由无穷小的性质，可知γ(x)是无穷小，即f(x)g(x)=AB+γ(x),limγ(x)=0

lim[f(x)g(x)]=AB=lim f(x)?lim g(x)

证毕。

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3. 若B≠0，则lim f(x)g(x)=AB=lim f(x)lim g(x)

证：

f(x)g(x)?AB=A+α(x)B+β(x)?AB=Bα(x)?Aβ(x)B[B+β(x)]

f(x)g(x)=AB+γ(x),γ(x)=Bα(x)?Aβ(x)B[B+β(x)]

∵Bα(x),Aβ(x)都是无穷小

∴lim[Bα(x)?Aβ(x)]=0，即分子为无穷小

又∵lim B[B+β(x)]=lim[B2+Bβ(x)]=B2≠0

由无穷小性质3可知limγ(x)=0

证毕。

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4. 设f(x)≥g(x)，而lim f(x)=A,lim g(x)=B，则必有A≥B

证：

令F(x)=f(x)?g(x)≥0，则权限的四则运算公式得：

lim F(x)=lim[f(x)?g(x)]=lim f(x)?lim g(x)=A?B

根据函数值与极限值的同号性定理，可知：

lim F(x)=A?B≥0?A≥B

证毕。

例1. 求lim x→?12x2+x?43x2+2

解：

lim x→?1(3x2+2)=lim x→?1(3x2)+lim x→?12=3lim x→?1x2+2=3(lim x→?1x)2+2=3?(?1)2+2=5

lim x→?1(2x2+x?4)=lim x→?1(2x2)+lim x→?1x?lim x→?14=2(lim x→?1x)2?1?4=2?(?1)2?5=?3

∴lim x→?12x2+x?43x2+2=lim x→?1(2x2+x?4)lim x→?1(3x2+2)=?35

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一般地，有：

R(x)=a0xn+a1xn?1+?+an?1x+anb0xm+b1xm?1+?+bm?1x+bm

分母的极限：

lim x→x0(b0x m+b1x m?1+?+b m?1x+b m)=lim x→x0∑j=0m b j x m?j=∑j=0m(lim x→x0b j x m?j)=∑j=0m b j x0m?j 分子的极限：

lim x→x0(a0x n+a1x n?1+?+a n?1x+a n)=lim x→x0∑i=0m a i x n?i=?=∑i=0n a i x0n?i

若分母极限∑j=0m b j x0m?j≠0，则：

lim x→x0R(x)=∑i=0naix0n?i∑j=0mbjx0m?j=R(x0)

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例2. 求lim x→2x2?3x+2x2?5x+6

解：

由于lim x→2(x2?5x+6)=4?10+6=0，所以不能用极限的四则运算公式。

原式=lim x→2(x?1)(x?2)(x?3)(x?2)=lim x→2x?1x?3=1?1=?1

例3. 求lim x→1x2+1x?1

解：

lim x→1(x?1)=lim x→1x?1=1?1=0

lim x→1(x2+1)=[lim x→1x]2+1=2≠0

∵lim x→11x2+1x?1=lim x→1x?1x2+1=lim x→1(x?1)lim x→1(x2+1)=02=0

∴当x→1时，1x2+1x?1是无穷小

由无穷小与无穷大的关系（无穷小的倒数是无穷大），可知lim x→1x2+1x?1=∞

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例4. 求lim x→1(1x?1?2x2?1)

解：

当x→1时，1x?1→∞,2x2?1→∞

∴不能直接用极限的四则运算公式来计算。

lim x→1(1x?1?2x2?1)=lim x→1x+1?2x2?1=lim x→1x?1x2?1=lim x→1x?1(x?1)(x+1)=lim x→11x+1=12

例5. 求lim x→∞2x2+5x+1x2?4x?8

解：

分子、分母同时除以x2（选分子多项式及分母多项式中最高的次数），得：

原式=lim x→∞2+5x+1x21?4x?8x2=lim x→∞2+5lim x→∞1x+(lim x→∞1x)2lim x→∞1?4lim x→∞1x?8(lim x→∞1x)2=2+0+01?0?0=2

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ξ4极限存在准则，两个重要极限

一、准则1：夹挤准则

若在N(x0,δ0)内（δ0>0），有F(x)≤f(x)≤G(x)成立，而且lim x→x0F(x)=lim x→x0G(x)=A，则lim x→x0f(x) )存在，且极限值为A。以上结论对x→∞也成立。

证：

∵lim x→x0F(x)=A

∴对?ε>0，必?δ1>0，使得适合不等式0<|x?x0|<δ1的一切x所对应的F(x)，恒有|F(x)?A|<ε

∵lim x→x0G(x)=A

∴对?ε>0，必?δ2>0，使得适合不等式0<|x?x0|<δ2的一切x所对应的G(x)，恒有|G(x)?A|<ε

现取δ=min{δ0,δ1,δ2}，则适合不等式0<|x?x0|<δ的一切x所对应的F(x),f(x),G(x)都满足F(x)≤f(x)≤G(x)

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由上面推导出来的：

|F(x)?A|<ε?A?ε

|G(x)?A|<ε?A?ε

?A?ε

根据极限定义，有lim x→x0f(x)=A

例1. 证明limα→0sinα=0,limα→0cosα=1

证：

利用单位圆来找不等式（夹挤准则）两端的函数（如下图所示）。

先证limα→0sinα=0

作单位圆（圆心在原点O）

0<α<π2（角度用弧度来表示）

圆心角α对应的圆弧长度AD?=1?α=α（圆弧长度=半径×角的弧度）

由直角三角形AOB可知ABAO=AB1=AB=sinα

∵0

∴0

又∵limα→0+0=0（常数的极限为0），limα→0+α=0

∴根据夹挤准则可知limα→0+sinα=0

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以上求出了右极限，下面求左极限。

若?π2<α<0，令t=?α

当α→0?时，t→0+

limα→0?sinα=lim t→0+sin(?t)=?lim t→0+sin t=0

即limα→0+sinα=limα→0?sinα=0（左、右极限均存在且相等）

∴limα→0sinα=0

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再证limα→0cosα=0

在直角△AOB中，OA?AB

AB=sinα,OB=cosα

1?sinα

limα→0(1?sinα)=1?limα→0sinα=1?0=1

由夹挤准则可知limα→0cosα=1

例2. 重要极限之一：limα→0sinαα=1

证：

在单位圆内，设圆心角∠AOB=α,0<α<π2

BC=sinα

AB?=1?α=α（弧长= 半径×圆心角）

AD=tanα

△AOB面积< 圆扇形AOB面积< △AOD面积

即12AO?BC<12AO?AB?<12AO?AD

即BC

sinα<α

∵0<α<π2,sinα>0

∴上面的不等式同除以sinα得：

1<αsinα<1cosα

即1>sinαα>cosα

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如果?π2<α<0，令t=?α

cosα=cos(?t)=cos t

sinαα=sin(?t)?t=?sin t?t=sin tt

∴上面的不等式对α>0和α<0都正确

∵limα→01=1,limα→0cosα=1

∴根据夹挤准则，得limα→0sinαα=1

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例1. 求lim x→0sinαx sinβx(α≠0,β≠0)，其中α,β均为常数。

解：

原式=lim x→0(sinαxαx sinβxβx?αxβx)=lim x→0sinαxαx lim x→0sinβxβx?αβ=11?αβ=αβ

例2. 求=lim x→0

解：

原式=lim x→0sin2x cos2xx=lim x→0(sin2xx?1cos2x)=2lim x→0sin2xx?lim x→01cos2x=2?1?1=2

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例3. 求lim x→0tan x?sin xx3

解：

原式=lim x→0sin x cos x?sin xx3=lim x→0(sin xx?1?cos xx2cos x)=lim x→0(sin xx?2sin2x2x2?1cos x)

=lim x→0sin xx?12lim x→0(sin x2x2)2?lim x→01cos x=1?(12?12)?1=12

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二、准则2 单调有界准则

如果数列{u n}满足u1≤u2≤u3≤?≤u n≤?，则称{u n}为单调增数列。

若其满足u1≥u2≥u3≥?≥u n≥?，则称{u n}为单调减数列。

极限存在的单调有界准则就是：若单调数列{u n}是有界的，则lim n→∞u n存在。

例1. 重要极限之二：lim x→∞(1+1x)x=e

证：

先证x=n,n∈N，即n为正整数的情况。

通项u n=(1+1n)n，要证{u n}单调增且有界。

设a>b>0（a,b为实数）

a n+1?

b n+1=(a?b)(a n+a n?1b+a n?2b2+?+b n)（中学因式分解知识）

<(a?b)(a n+a n?1a+a n?2a2+?+a n)（把上个式子中的b换成a，由a>b可得此不等式）

=(a?b)(a n+a n+a n+?+a n)（共n+1个a n）

=(a?b)(n+1)a n

?a n[(n+1)b?na]

取a=1+1n,b=1+1n+1，则a,b的取值满足a>b>0

把a=1+1n,b=1+1n+1代入上面推导出的不等式，得：

(1+1n)n[(n+1)(1+1n+1)?n(1+1n)]<(1+1n+1)n+1

?(1+1n)n?1<(1+1n+1)n+1?u n

这说明u n是单调增数列。

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再设a=1+12n,b=1，则a,b的取值满足a>b>0。代入上面推导出的不等式：

(1+12n)n[(n+1)?1?n(1+12n)]<1n+1?(1+12n)n<2

两边都是>1的数，故两边平方，得：

(1+12n)2n<4

即u2n<4

又由前面已经证明的u n是单调增数列，可知：

u2n?1

即u n<4(n=1,2,?)，也即u n有界。

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∵u n单调增且有界

∴根据准则2，lim n→∞u n=lim n→∞(1+1n)n=e

（注：看到这里，有人可能会有疑问：上面折腾了那么多，无非就是证明了极限是存在的，但是并没有证明这个极限的值是什么啊！你怎么知道它是等于e的呢？没错，这里根本就是“把这个极限值记为e”，而不是知道了这个值具体等于多少，所以不要觉得奇怪）

上面成功地证明了当x为正整数时的情况，下一节课将证明当x是连续自变量时lim x→∞(1+1x)x=e也成立。

上节课已经证明了：当x=n(n∈N)时，lim n→∞(1+1n)n=e，下面要证明当x为连续自变量时，结论仍成立。

当x为连续自变量时，?x>0，讨论x→+∞时的情形。

对任意x>0，存在n(n∈N)，s.t.n≤x≤n+1

?1n≥1x≥1n+1?1+1n≥1+1x≥1+1n+1?(1+1n)n+1≥(1+1x)x≥(1+1n+1)n

（注：注意不等式的三个指数，在上面已经推出了n+1≥x≥n，所以可以推出不等式）

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其中lim n→∞(1+1n)n+1=lim n→∞(1+1n)n?lim n→∞(1+1n)=e?1=e

lim n→∞(1+1n+1)n=lim n→∞(1+1n+1)n+1lim n→∞(1+1n+1)=e1=e

由于x≥n，所以当n→∞时，x→+∞

由夹挤准则可知lim x→∞(1+1x)x=e

上面证明了x>0的情况，下面证明x<0时的情况。

对?x<0，令x=?(t+1)，当x→?∞时，有t→+∞

（注：为什么这里要取x=?(t+1)？就是为了下面变换时凑数用的）

lim x→?∞(1+1x)x=lim t→+∞(1?1t+1)?(t+1)=lim t→+∞(tt+1)?(t+1)

=lim t→+∞(t+1t)t+1=lim t→+∞(1+1t)t?lim t→+∞(1+1t)=e?1=e

∵+∞,?∞的情况都证明了

∴lim x→∞(1+1x)x=e

特别说明：e是一个无理数，其值为2.71828...

此式的另一种形式：

lim x→0(1+x)1x=e

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例1. 求lim x→∞(1?2x)x

解：

把原式与重要极限lim x→∞(1+1x)x=e比较，为了形式上能一致，令x=?2t，当x→∞时，t→∞（注：这里没写是+∞）原式=lim t→∞[1?2(?2t)]?2t=lim t→∞(1+1t)?2t=1[lim t→∞(1+1t)t]2=1e2

例2. 求lim x→1(x)11?x

解：

原式=lim x→1[1+(x?1)]?1x?1（令t=x?1）=lim t→0(1+t)?1t=1lim t→0(1+t)1t=1e

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例3. 设a>0,u1=a√,u2=a+a√??????√,?,u n=a+u n?1???????√,?

（1）证明lim n→∞u n存在；（2）求lim n→∞u n

（1）证：

先用数学归纳法证{u n}单调增。

u1=a√

假设u n?1

（注：最后一步化简的由来：分子、分母均乘以a+u n?????√+a+u n?1???????√可得）

∵分母为两个根式相加，为正数，并且前面已经假设u n?u n?1>0

∴u n+1?u n>0（分子分母均>0）

∴{u n}单调增

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下面再证{u n}有界。

现已知u1=a√<1+a√