二次量子化习题

高等量子力学习题

? 量子力学中的对称性

1、 试证明：若体系在线性变换Q

?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为体系的哈密顿算符，变换Q

?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。

2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z

e

的矩阵表示。 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n

转θd 角，在此转动下，

态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。试导出转动算符),(θd n U

的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U

下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。

4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。

5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。

6、 试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。

7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π

-=。

8、 试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。

? 角动量理论

1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定

义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。 2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。

3、 定义角动量升降算符y

x J i J J ???±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。

4、 给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。

5、 设总角动量算符21J J J +=，1J 、2J

相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量

量子数j 的取值情况。

6、 利用已知的C-G 系数的对称性关系，证明以下三个关系式：

1

13

3222

22

21

133111

122332

2332

2111

1212)1(1

212)1(1212)1(32313m j m j m j m j m j m j m j m j m j m

j m j m j m j m j m j C j j C j j C j j C -+----+++-=++-=++-=

7、 已知在3?s

表象中，???

? ??=01102?1 s ，????

??-=002?2i i s ，问在1?s 表象中2?s 的矩阵表示是怎样的？ 8、 已知∑>>>=

1

13

32

2112211|||m m m j m j m j m j m j C

jm ，其中m m j j jm m j ''|''δδ>=<，

1111''1111|''m m j j m j m j δδ>=<，2222''2222|''m m j j m j m j δδ>=<。

试证明：∑>>=

>jm

m j m j m j jm C m j m j |||3322112211 9、 两个全同粒子处于中心外力场中，单粒子能级为nlj E ，试证明：无论这两个粒子是玻色

子还是费米子，当它们处于同一个单粒子能级时，体系的总角动量量子数J 必为偶数。

? D 函数

1、 设坐标系xyz O -绕空间任意轴n

转n d θ角，到达'''z y x O -。在该转动下角动量算符J

的本征函数)(τψjm 变为)()'(τψτψθjm J n d i jm n e

?-=。试证)'(τψjm 是2

J 和'

?z J 的共同本征函数，这里'?z J 为J

在'z 轴上的投影。

2、 证明转动算符J n d i n e

?-θ可表为z y z n J i J i J i J n d i e

e

e

e

???γβαθ

---?-=，其中α、β、γ为欧拉角。

3、 证明d 函数>=<-jm e

jm d

y J i j

mm ||')(?'

ββ

具有如下的对称性：

)()()()1()('''''ββββj m m j m m j m m m m j m m d d d d ---=-=--=

4、 试利用D 函数的幺正性，给出∑='

'')()()'(m jm j

m m jm D

τψαβγτψ的逆变换关系式。

5、 对于无穷小转角δ?，求证：

1'1''')1()1()(2

1

)1()1()(2

1)1()(-+--++-+-+---=m m y x m m y x m

m z j

m m m m j j i i m m j j i i m i D δδ?δ?δδ?δ?δδ?δ?

6、 对于自旋为2/1和1的态函数，计算相应的D 函数的矩阵表示。

7、 证明两个D 函数的乘积满足如下关系

∑++++=j

j

m m m jm m j m j l l l j m j m D C C D D 2

1212122112132211222111μμμμμμμμ 8、 试利用上题结果及D 函数与球谐函数的关系，推导出三个球谐函数的积分公式：

3

32211321112233000321*

)

12(4)12)(12()()()(μμμμμμπΩθ?θ?θ?l l l l l l l l l C C l l l d Y Y Y +++=

?

9、 试证明∑=

m

lm lm Y Y

I )()(2211*?θ?θ是坐标系转动下的不变量，进而证明球谐函数加法定

理：∑+=

m

lm lm l Y Y l P )()(124)(cos 2211*

?θ?θπθ。 ? 不可约张量算符

1、 称按规律

∑==-'

'

'1)(?)()'(?)()(?)(m lm l m m lm n lm n T D T d n U T d n U ταβγτθτθ 变换的12+l 个算符),,1,)((?l l l m T lm

--= τ为l 阶不可约张量算符，试证明这个定义 与不可约张量算符的Racah 定义是等价的。

2、 设)(?)(?2

12211ττm l m l T T 和分别为1l 阶和2l 阶不可约张量算符，求证由下式定义的算符)(?2

1ττLM T 为L 阶不可约张量算符： ∑=2

122112

211)(?)(?)(?212

1m m m l m l LM

m l m l LM T T C

T ττττ。

3、 微观粒子间的相互作用位能，一般包含张量力项12?)(S r V T ，其中12

?S 为张量算符，其表达式可写为

∑--=-?=?-??=m

m

m m S Y S r

r S r r r S 2222

2

1212

2112?)(2)

(6)())((3?

σσσσ 其中∑+---+---=μ

μμμ

μm m

m m

S S C S ???21,12。试证明12?S 的这三个定义是等价的。

4、 设∑=

mM

jm LM JM jmLM

JM T C

J J )()(?)(τψττψ，其中)(?τLM

T 为不可约张量算符，)(τψjm 为角动量本征函数。试证如此定义的)(τψJ JM 一定是角动量的本征函数。

5、 求约化矩阵元?||||'>==

j 6、 一阶不可约张量算符在角动量表象中的矩阵元可按以下公式计算

2

11)1(|)?(?|'|?|'

+>?<>=

2

11)1(|)?(||?|'|?|'

+>?><<>=jm |态上的平均值），磁矩算符为

)(0S g L g S L

+=μμ，其中0μ为微观粒子的玻尔磁子。 8、

? 多个角动量耦合

1、 试证明三个C-G 系数乘积的求和公式

∑=12

322323113312122323332212122211);(2312321m m m jm

m j m j jm m j m j m j m j m j m j m j m j C j j jj j j U C C C 。

2、 试证明两个Racah 系数乘积的求和公式

∑++++++-=23

312312321);();()1();(312313223123211231213j j j j j j j j j j jj j j U j j jj j j U j j jj j j U

3、 试计算矩阵元>?<2121|)2(?)1(?|''j jmj T T j jmj L L 和><2

121|)1(?|''''j jmj T j j m j LM

4、 试证明一个角量子数为零的j -9符号可化简为

?

??

??

?++-=??

?

??

?????+++243

43423

224

3

344322)12)(12()1(0342432j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j

? 二次量子化方法

1、 给定算符a a n

a a +

+

=?，，，且满足1},{=+a a ，02

2==+a a ，试证：1）n n ??2

=；n ?的本征值只能取1和0。2）在n

?对角化表象中，给出a a ，+

和n ?的矩阵表示。

2、 设0}?,{}?,?{1}?,?{===+++a a a a

a a ，，令a a n ???+

=，证明 >->=>+->=+1||?1|1|?n n n a

n n n a

3、 令αααa

a n ???+

=，证明无论对玻色子还是费米子，均有 ααααααa a n

a

a n ?]?,?[?]?,?[-==+

+

其中α为量子态标记。

4、 考虑一玻色子体系，其哈密顿量具有如下形式

∑∑≠=+=N

N

V T H )(,1

21βαβααβαα 其中2

22αα?-=m

T 为单粒子动能算符，|)(|βααβr r V V -=为两粒子相互作用能。选取 箱归一化的动量本征函数r p i p e L r

?-=2/3)(ψ作为单粒子波函数。试证明，哈密顿量H

在二次量子化表象中可写成如下形式

i k m l k k p p p p lmki i l p p k k a a a a p p L a a m

p H ++-+∑∑-+=)(2123

2ν，

式中q d e

q V p q

p i ?-?=|)(|)(ν，第二项求和是在条件k i m l p p p p +=+限制下作出的。 5、 某费米子体系的每个单粒子能级都是二重简并的，属于单粒子能级με的两个简并态用

νν、标记，相应的产生、消灭算符记为ννννa a a a 、、、++。定义

+++=νννa a S ，ννννa a S S ==++)(， νννννa a a a n

+++=? )(ννS S +是能级με上产生（消灭）一对粒子的算符，νn

?是能级上的粒子数算符。证明 μνννμδ)?1(],[n S S -=+， μνννμδ++=S S n

2],?[， μνννμδS S n

2],?[-=。

6、 证明由表达式

>>=

++0|)()(!!1|2

1212121

n n a a n n n n ，

和12)()(|0!!1

|122121n n a a n n n n

<=

<

定义的多粒子体系的基矢（对费米子和玻色子同样适用）满足对称化要求，即它是交换

算符ij

P ?的本征态矢，相应的本征值对玻色子为+1，对费米子为-1。 7、 均匀外场ε中质量为m ，所带电荷为e -，频率为ω的一维谐振子体系。引入玻色子 算符

,2/)??(?ωω m p i x m a

+= ωω m p i x m a

2/)??(?-=+， 试证明可将哈密顿量表成

)??()2

1??(?a a a a H

+++=++λω ， 并将其对角化。式中ω

ε

λm e 2

=。 ? 相对论量子力学

1、 已知μμαα=+

，μνμννμδαααα2=+，试在βα=4为对角的表象中建立μα的矩阵表

示。

2、 对于自由电子，证明|)|/(p p e e

=?σ是守恒量，并求出其本征值。 3、 试证明矢量算符

e e O ?-+=∑β∑β)1(

满足角动量算符的对易关系，而且与自由电子的哈密顿量对易。进而求出i

O ?的本征值。 4、 中微子是自旋为1/2，静质量为0的基本粒子。试仿照建立自由电子Dirac 方程的方法，

建立中微子的相对论性波动方程。［参见曾谨言《量子力学》（卷II ）］ 5、 求狄拉克粒子在深为0V 、宽为a 的一维方势阱中的能级。 6、 设在0=t 时，电子的归一化态矢量为

/11)0,(pz e d c b a V x ??

???

?

?

??=ψ，

其中d c b a ,,,与t x ,

无关，而且满足

1||||||||2222=+++d c b a 。

试求出电子处于态：0>E ，自旋向上；0>E ，自旋向下；0

? 路径积分方法

1、证明传播子)'',""(t r t r K

所满足的组合规则。

2、试在薛定谔图象下计算三维自由粒子的传播子。

3、试在薛定谔图象下计算一维谐振子的传播子，并推广到三维情况。

4、试利用路径积分的方法计算一维自由粒子的传播子［参见曾谨言《量子力学》（卷II ）］。