多变量时间序列模型

第7章 多变量时间序列模型

§1 Granger 因果检验

判断一个变量的变化是否是另一个变量变化的原因，是经济计量学中的常见问题。

Granger 提出一个判断因果关系的一个检验，这就是Granger 因果检验。

一．Granger 因果检验的思想

如果x 影响y ，或者x 是y 的原因，此时x 的变化必然先于y 的变化，此时就须满足

两个条件：

1）x 可以预测y ，即根据y 的过去值对y 进行回归时，如果加上x 的过去值，能显著增强回归的解释能力。

2）不能根据y 预测x ，因为如果根据x 预测y ，又能根据y 预测x ，很可能x 和y 都是由第三个或其他变量决定。

二．检验步骤

1）首先检验零假设“x 不影响y ”即x 不是y 的granger 原因。首先根据x 和y 的滞后值对y 回归（无限制回归），然后用y 的滞后值对y 进行回归（有限制回归）。即：

无限制回归：0111

m

m

t i t i

j t j t i i y y

x ααβε--===+

++∑∑

有限制回归：021

m

t i t i

t i y y

ααε-==+

+∑

用F 检验来判断x 是否显著了了无限制回归的解释能力。此时统计量

()()

()*

,11RSS RSS r

F F r n k RSS n k -=

----

*RSS 是有限制回归的残差平方和，RSS 使无限制回归的残差平方和。n 是样本容量，k

使无限制回归变量的个数。r 是限制回归模型中的变量个数。

2）检验y 不影响x ，即x 不是y 的granger 原因。此时调换模型中的变量x 和y 的位置，利用F 统计量来检验。

三．如果一对时间序列是协整的，则至少在某一方面存在granger 原因。

§2 伪回归

一．现在考虑非平稳序列回归出现的问题

设{}{} t t y x 是两个无关的随机游走过程，

()()

2121 0, 0,t t t t t t t t u

y y IID x x u u IID εεεσσ

--=+=+

且()0s t E u ε=，任意的,t s 。此时t x 既不影响t y ，也不受t y 的影响。

建立模型t t t y c x e β=++ 对于这种情况，0p

β?，2

0R → 。

Banerjee 利用蒙特卡罗模拟得出结论：对于相互独立的单整序列{}{} t t y x ，且

001,1,0,0u x y εσσ====，进行回归时，t 统计量显示了比正常检验临界值水平还高。

也就是在相互独立的序列进行的实际回归中，经常伴随着高的2

R ，并且β系数显著。这种现象就称为为回归现象。

二．伪回归的产生原因

1．伪回归现象产生的根本原因就是序列的非平稳性。设{}{} t t y x 是两个无关的随机游

走过程，并假设模型为t t t y x e αβ=++，()

2

0,t u v IN σ ，此时建立统计推断：

原假设0H ：0β=

此时根据OLS 估计，2?t t

t

x y

x

β

=∑∑。因为{}{} t t y x 是两个无关的随机游走，则?β

的分子，分母均为一种维纳过程泛函。（参见hendry 和秦朵的《动态经济计量学》第三章）。 2．()W r 和()V r 表示定义在[]0,1r ∈上的两个相互独立的维纳过程，则

[]

()1

Tr t

t W r ε

=?

[]

()1Tr t

t u

V r =?

于是可以证明：

()2

1

2

22

01

T t

t T

y

W r dr εσ-=????

?∑?

()2

12

220

1T

t

u t T

x

V r dr σ

-=??

???∑? ()()1

2

1

T

t t u t T

x y W r V r dr εσσ-=?∑?

于是()()()()()()1

1

2

2

1

1

20

?0u u u W r V r dr

W r V r dr

V r dr

V r dr

εεσσσβ

σσ??

→????????????

但在零假设0β=条件下，

12

2

2222221111T T T T t t t t t t t t t t t T y x T x T y T y x -----====??

???????

=- ????????

???

???????

∑∑∑∑ 此时有两个特点：1）发散。2）分布不是常规的分布。从而利用t 统计量不能得到正确的检验。直观地看一下：

t t t y x e αβ=++，如果0β=，则t e 也是()1I 过程非平稳。从而最小二乘估计不可用。 三．伪回归检验

我们利用残差的平稳性检验来判断是否存在伪回归。如果残差非平稳，则是伪回归。 四．伪回归的纠正方法：

1）在回归模型中包含自变量和因变量的一阶滞后变量，即

11t t t t t y x y x u αβφδ--=++++

此时能够消除伪回归。即当y 和x 不相关，则?β

和?δ依概率收敛于零。 2）对t y 和t x 先做一阶差分，从而使得{}t y ?和{}t x ?变成平稳过程，建立模型

t t t y x u αβ?=+?+

此时能够消除伪回归。即当y 和x 不相关，则?β

依概率收敛于零。 3）Cochrane-Orcutt 方法（自相关问题） 如果t t t y x u αβ=++，这里1t t t u u ρε-=+ 则根据广义差分法，建立模型

()()111t t t t t y y x x ραρβρε---=-+-+

进行迭代估计，可以证明?β

依概率收敛于零。 五．总结

1）伪回归现象：对于任何两个（或两个以上）不相关的单位根过程，只要样本量足够大，检验他们相关性的统计量一定呈显著性，这就是伪回归现象。

2）回归分析将平稳过程当作非平稳过程来处理是十分危险的。因此回归中必须分清平稳过程和非平稳过程。

3）伪回归的本质问题是变量的非平稳性。

§3 协整

一．定义

1．零阶整()0I ：对于n 维线性过程0

t i t i

i X C ε

∞

-==

∑，如果

0i

i C

∞

=≠∑，i C 为系数，

()20,t IID εσ ，则称t X 为零阶整的。

2．1阶整()1I ：如果t x ?为()0I 过程，则n 维随机过程t X 称为1阶整的。()1I 过程都是非平稳的，但非平稳性可以通过差分消除。这里任何形式为1

t t i i t i

i i X C C εε

∞

-===+∑∑，

当0C ≠时，都是()1I 过程，

3．协整：如果t X 为1阶整的，但对于某些线性组合，只要恰当的选择0X β'，0β≠，

t X β'变为平稳的，则t X 称为协整，β称为协整向量，线性不相关的协整向量数目称为

协整的秩。协整向量张成的空间称为协整空间。即表示为()0t X I β' 。 二．说明

1）协整向量β至少有两个非零元素。 2）对于常数C ，C β都是协整向量。

3）对于k 个线性无关的t X ，()1,...,k βββ=满秩，则t X β'平稳。

三．协整的意义

1．协整可以用来描述某些经济变量水平值间存在稳定的长期关系，也就是某些经济变量之间不能相互分离太远。也就是如果变量不存在协整性，他们可以任意分离。 协整向量

可以认为是经济系统中对变量长期行为的限制条件。 2．协整响亮多好还是少好

协整向量多，经济系统就越稳定，即在尽可能多的方向上存在稳定的关系。

协整向量少，经济模型存在唯一的稳定状态均衡，这样能够获得协整向量的精确估计。 四．协整于长期均衡的联系

如果t t t y x u β-=，()0t u I ，(),1t t y x I ，则此时t y 和t x 协整。这里t u 可以测量“系统”的失衡程度，可以称为均衡误差。如果是协整的，()0t u I ，均衡误差具有均值回返特性。如果不是协整的，则()1t u I ，则均衡误差将会出现剧烈波动，不具有均值回返特性。

五．协整和伪回归的关系

对于

()()

2121 0, 0,t t t t t t t t u

y y IID x x u u IID εεεσσ

--=+=+ ，

t t t y x v β=+，Philips 证明伪回归的长期协方差矩阵2

2u u S u εεεσσσσ??

=?

???

∑非奇异。当0v ερ=时，此时系统残差非平稳，为伪回归。而对于协整方程，长期协方差矩阵

2

2u u S u

εεεσσσ

σ??=????∑奇异。此时22

0u u u εεε

σσσσ=，从而1u

u u εεεσρσσ==。残差矩阵奇异是系统为协整过程的必要条件。

六．协整检验

1．对于回归模型t t t y x u β=+

我们检查t u 的生成过程：1t t t u u ρε-=+是否是单位根过程。此种方法就是E-G 两步法。 2．Machinnon 检验方法：小样本方法 是一种从一般到特殊的检验方法：

对于k 个()1I 序列12,,....,t t kt x x x ，1k ≥，1,2,....,t T = 可以建立三种协整回归方程 （1） 11

k

t j jt

t j x x

βμ==

+∑

（2） 102

k

t j

jt

t j x x

αβμ==+

+∑

（3） 1012

k

t j

jt

t j x t x

ααβμ==++

+∑

t μ为扰动项。协整检验的基本方法就是检验其扰动项的平稳性，

利用ADF 检验：

?t u

?()1ρ=-1?t u -1

?l

i t i t i u γε-=+?+∑ ?t u

?()01δρ=+-1?t u -1

?l

i t i t i u γε-=+?+∑ ?t u

?()011t δδρ=++-1?t u -1

?l

i t i t i u γε-=+?+∑ 原假设：1ρ=，备则假设1ρ<。具体检验步骤参见单位根检验步骤。

§3 误差修正模型ECM （E-G 两步法）

作用：模型取决于解释变量与因变量长期关系得偏离以及对这些因变量的调整。 一．设两个经济序列t y 和t x 是()1I 过程，并且是协整的，协整向量为()1,β-，则设

()*t t t y f x x β==，于是()11t t t t t y x y x u αθβ--?=?+-+，则这种模型称为误差修正模

型ECM 。

这个模型需要t y ?对t x ?，11,t t y x --进行回归。因此误差修正项11t t y x β---的系数可作为前期的y 对x β之间偏离程度的测定及偏离的短期调整。从而ECM 不再是使用变量的水平值或变量的差分变量来建模，而是把两者有机的结合起来。

短期看，y ?是由较稳定的长期趋势和短期波动所决定，短期内系统对于均衡状态的偏离程度的大小直接导致波动振幅的大小。

长期看，协整关系式起到吸引力的作用，将非均衡状态拉回到均衡状态。

ECM 能清楚地显示出于长期均衡偏离的程度，所以立刻显示出关于这种偏离的调整信息。

二．E-G 两步法的估计步骤

方法1．建立静态模型：t t t y x u αβ=++，进行最小二乘估计并进行协整检验。利用误

差修正项?t t t u

y x αβ=--，建立模型1?t t t t y a x u θε-?=?++。利用OLS 估计参数，得到误差修正模型。

方法2．直接估计1231t t t t t y cy c x c x ε--=+++。

§4 V AR 模型

一． 多元动态线性回归模型

1．多元线性回归模型形式为

1122...t t t k tk t y x x x βββε=++++

可以写成t t y X βε=+ 2．动态多元线性回归模型

01

m m

t i t i i t i t i i y y x u ααβ--===+++∑∑

表示为Y X u β=+

3．如果()1,....,n y y y '=是一组向量，()1,...,k X X X =，则

1

m m

t i t i i t i t i i y C A y B x u --==''=+++∑∑

这个模型就称为动态多变量回归模型或动态结构模型。这里C 为1n ?向量，()1,...,m A A 是n n ?系数矩阵，()1,...,k B B 是k n ?系数矩阵。t u 为1n ?误差向量。满足

()()

**

1,0t t t t

E u E u Y X -== ()()

**

1 ,0 t s t s t t t s E u u E u u Y X t s

-Ω=?''==?

≠? ()()

*111*1,....,,....,t t t

t y y y x x x --==

对于动态结构模型，如果能够写成如下形式

1

m

t i t i t i X C X u -==+∑

模型称为VAR 模型（向量自回归模型）。向量自回归模型是用模型中所有当期变量对所有变量的若干滞后变量进行回归。 4．V AR 模型的扩展V ARMA 模型

1

1

p q

t i t i i t i t i j X X u u φθ--===++∑∑

或者写为()()t t B y B u φθ=。

5．对于k 阶V AR 模型，可以写为V AR （k ）

11221

...k

t i t i t t t k t k t i X C X u C Y C Y C Y u ----==+=++++∑

这里()0,t u IID Ω ，其中1,...,k C C 都是n n ?阶系数矩阵，t u 为1n ?阶随机误差项向量。

Ω是N N ?阶方差协方差矩阵。

6．V AR （2）模型为

121111112211212121

122122122222t t t t t t t t y y y u C C C C x C C x C C x u ----????????????=++ ? ? ? ? ? ????????????? 或者写成

1111112121122122112111221221222222t t t t t t t t t t t t

y C y C x C y C x u x C y C x C y C x u --------=++++=++++

根据误差项的假设，可以用OLS 进行估计。

二． 滞后阶数k 的确定：

k 过大，自由度降低。k 过小，误差项自相关较严重。 1．LR 统计量（似然比统计量）

()()()22

2log log 1n LR L k L k χ=--+

这里k 表示模型中滞后变量的最大滞后期，()log L k 和()log 1L k +分别为()VAR k 和

()1VAR k +模型的极大似然估计值。极大似然估计的最大值为

()110?log ,...,,...,log 2

k T T L C C X X C =-

Ω

其中()()()1

01??log 2log 21222

T t t t u

u T TN TN TN C ππ='Ω==--=-+∑

此时LR 统计量渐进服从22

n χ分布。当()

LR LR >临界值时，表示统计量显著，此时表

示增加滞后值能够显著增大极大似然的估计值。

2．AIC 赤池信息准则

2112?log T t t k

AIC u

T T

=??=+ ???∑ ?t u

表示残差，T 表示样本容量，k 表示最大滞后期。 3．SC 舒瓦茨准则（BIC ）

211log ?log T t t k T

BIC u

T T =??=+ ???

∑ 三．V AR 模型的特点：

1．V AR 不宜严格的经济理论为依据，在建模过程中仅需要确定两件事：1）共有那些变

量相互之间有关系。2）确定滞后期。 2．V AR 模型没有参数的零约束。

3．V AR 模型中有相当多的参数需要估计。

§5 V AR 模型的协整

一．对于V AR 模型

1122...t t t k t k t Y Y Y Y u ---=∏+∏++∏+ （1）

这里()0,t u IID Ω 。如果()1t Y I 非平稳，则变换参数

112211...t t t k t k t k t Y Y Y Y Y u ----+-?=Γ?+Γ?++Γ?+∏+ （2）

其中?为一阶差分算子，t Y ?表示对向量t Y 中全部变量取一阶差分后的1N ?阶列向量。

1...i i I Γ=-+∏++∏，1,...,i k =

1....k k F I ∏==-+∏++∏称为影响矩阵或压缩矩阵。

从（1）到（2）的变换称为协整变换。因为()1t Y I ，所以()0t Y I ?

于是，如果t k Y -∏非平稳，则t Y 的分量不存在协整关系。如果t k Y -∏平稳，则t Y 的分量存在协整关系。 二．t k Y -∏的特征 两种极端情形：

1）t Y 所包含的变量不存在任何协整关系，如果t k Y -∏平稳，则必然()0,0rk ∏=∏=。 2）t Y 所包含的变量不存在任何协整关系，()rk N ∏=，如果t k Y -∏平稳，则必然t Y 所包含的变量都是平稳的。

第三种情形：如果t Y 非平稳，则t k Y -∏平稳意味着t Y 中的变量一定存在协整关系。此时(),0rk r r N ∏=<<，

则此时∏可以分解为αβ'∏=，其中,αβ都是N r ?矩阵，β称作协整参数矩阵，β的每一列都是一个协整向量，()1,...,r βββ=共有r 个协整向量

()0t k Y I β-' 。

结论：协整向量的最大可能个数是1r N =-。

此时()1212,,...,..t k t k r t k r Y Y Y ββαβαααβ---??

? ?

?'∏== ? ? ???

具有误差修正形式。

三．协整参数矩阵的估计（JOHANSEN 估计）：要正确的估计r

其估计是在αβ'∏=成立条件下，通过选择不同的r 值，对极大似然法对V AR 模型

112211...t t t k t k t k t Y Y Y Y Y u ----+-?=Γ?+Γ?++Γ?+∏+进行估计。

估计过程如下：

1．用样本数据确定协整参数矩阵β的秩r ，对于任何r N ≤，模型的零假设是：

()0:H r r ∏≤，或者说αβ'∏=。其中,αβ都是N r ?矩阵。

2． 构造LR 统计量，得到极大似然函数：

()1110?log ,...,,,...,log 2

k T T L Y Y C -ΓΓ∏=-

Ω 其中()()()1

01??log 2log 21222

T t t t u u T TN TN TN C ππ='Ω

==--=-+∑

为了除去()0I 变量，而考察t k Y -∏，则进行最小二乘回归：

1） t Y ?对121,,....,t t t k Y Y Y ---+???进行最小二乘回归，求得残差1

01?k t t i t i

i R Y Y --==?-

Γ

?∑。

2） t k Y -对121,,....,t t t k Y Y Y ---+???进行最小二乘回归，求得残差11

k kt t k i

t i

i R Y Y ---==-

Γ

?∑ 。

令()121,,...,t t t t k X Y Y Y ---+'''=???，则 ()1111 ,...,T

T

k t t t t t t Y X X X -==??'

'ΓΓ=? ???

∑∑

()111

1 ,...,T

T

k t k t t

t

t t Y X X X --==??

'

'ΓΓ= ?

??

∑∑ 此时建立如下统计量

()1log 1,0,1,...,1N i i LR T r N λ=??

=--=-????

∑

在零假设下：

()()

()()()()()()(

)

1

1

1

1

a

LR tr W i dW i W i W i di

W i dW i -??'?

?'''?

????

?

?

?

? ()W i 表示()N r -维维纳过程。().tr 表示迹。于是LR 统计量也称为迹统计量，此时协

整检验也称为迹检验。

用迹统计量检验()0:H r r ∏≤，或者说αβ'∏=是一个连续的检验过程。方法是首

先

从

检

验

r =开始，即检验模型

112211...t t t k t k t k t Y Y Y Y Y u ----+-?=Γ?+Γ?++Γ?+∏+中不存在协整向量。如果不能拒

绝，则检验到此为止。如果拒绝，接下来检验1,2,...,r r ≤≤直到不能拒绝*

r r ≤，但拒

绝*1r r ≤-，此时模型中包含*

r 个协整向量。如果检验0r ≠，则

112211...t t t k t k t k t Y Y Y Y Y u ----+-?=Γ?+Γ?++Γ?+∏+模型称为向量误差修正模型，

即它是以协整关系为约束条件的V AR 模型。确定r 之后，就可估计出???αβ'∏=，从而估计出112211...t t t k t k t k t Y Y Y Y Y u ----+-?=Γ?+Γ?++Γ?+∏+的参数i Γ。