高考理科数学模拟试卷(A卷)参考答案

高考理科数学模拟试卷(A 卷)&参考答案

(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)

第Ⅰ卷(选择题 满分60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)

1．[2016·全国卷Ⅲ]设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )

A ．[2,3]

B ．(－∞，2]∪[3，＋∞)

C ．[3，＋∞)

D ．(0,2]∪[3，＋∞)

2．[2016·西安市八校联考]设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2

z －z ＝( ) A ．i B ．2－i C ．1－i D ．0

3．[2017·福建质检]已知sin ? ????x ＋π3＝1

3，则cos x ＋cos ( π3－x )的值为( )

A ．－33 B.33 C ．－13 D.1

3

4．[2016·天津高考]设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )

A ．充要条件

B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

5．[2016·全国卷Ⅲ] 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )

A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个

6．[2017·江西南昌统考]已知a＝2－

1

3

，b＝()

2log23

－

1

2

，c＝

1

4sin x d x，则实

数a，b，c的大小关系是()

A．a>c>b B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a

7．[2016·江苏重点高中模拟]若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N＝n(mod m)，例如10＝4(mod6)．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于()

A ．17

B ．16

C ．15

D ．13

8．[2017·湖北武汉调研]已知x ，y 满足???

x ＋y －1≥0，

x －2y －4≤0，

2x －y －2≥0，

如果目标函数z ＝

y ＋1

x －m

的取值范围为[0,2)，则实数m 的取值范围为( ) A.??????0，12 B.? ?

???－∞，12 C.? ?

?

??－∞，12 D ．(－∞，0]

9．[2017·衡水四调] 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD 、ABFE 、CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10, EF 到平面ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是

( )

A ．110

B ．116

C ．118

D ．120

10．[2017·山西太原质检]设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →

，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC →

D.AD →＝43AB →－13AC →

11．[2017·河南郑州检测]已知点F 2、P 分别为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若OM →＝12(OP →＋OF 2→)，OF 2→2＝F 2M →2

，且2OF 2→·F 2M →

＝a 2＋b 2，则该双曲线的离心率为( )

A.3＋12

B.3

2 C.

3 D ．23

12．[2017·山西联考]已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )

A.? ????5e ，2

B.??????－5

2e ，－83e 2 C.????

??－1

2，－83e 2 D.???

?

??－4e ，－52e

第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．[2017·济宁检测]已知(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．

14．[2017·惠州一调]已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n

1－a 2n ，

n ∈N *，则b 2017＝________.

15．[2017·河北正定统考]已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接F A ，与抛物线C 相交于点M ，延长F A ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________．

16．[2016·成都第二次诊断]已知函数f (x )＝x ＋sin2x .给出以下四个命题： ①?x >0，不等式f (x )<2x 恒成立；

②?k ∈R ，使方程f (x )＝k 有四个不相等的实数根； ③函数f (x )的图象存在无数个对称中心；

④若数列{a n }为等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＝3π，则a 2＝π. 其中正确的命题有________．(写出所有正确命题的序号)

三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．[2016·武汉调研](本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C的对边分

别为a，b，c，a＋1

a＝4cos C，b＝1.

(1)若A＝90°，求△ABC的面积；

(2)若△ABC的面积为

3

2，求a，c.

18．[2016·广州四校联考](本小题满分12分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：

(1)

庭有生育意愿的概率分别为多少？

(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．

①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；

②如果用ξ表示两种方案休假周数和，求随机变量ξ的分布列及期望．

19．[2017·吉林模拟](本小题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1

中，AA 1＝AB ＝AC ＝1，E ，F 分别是CC 1，BC 的中点，AE ⊥A 1B 1，D 为棱A 1B 1上的点．

(1)证明DF ⊥AE ；

(2)是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14

14？若存在，说明点D 的位置；若不存在，说明理由．

20．[2016·兰州质检](本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点坐标是F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过点F 2垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于B 、D 两点，且|BD |＝3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，且满足PM →·PN →＝5

4？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．

21．[2017·广东广州调研](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln (x ＋1)－x ＋1

2x 2，g (x )＝(x ＋1)ln (x ＋1)－x ＋(a －1)x 2＋1

6x 3(a ∈R )．

(1)求函数f (x )的单调区间；

(2)若当x ≥0时，g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2017·河北唐山模拟](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，M (－2,0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A (ρ，θ)为曲线C 上一点，B ? ?

?

??ρ，θ＋π3，|BM |＝1.

(1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)求|OA |2＋|MA |2的取值范围．

23．[2016·大连高三模拟](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 若?x 0∈R ，使关于x 的不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立，设满足条件的实数t 构成的集合为T .

(1)求集合T ；

(2)若m >1，n >1且对于?t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，求m ＋n 的最小值．

参考答案

第Ⅰ卷(选择题 满分60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)

1．[2016·全国卷Ⅲ]设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )

A ．[2,3]

B ．(－∞，2]∪[3，＋∞)

C ．[3，＋∞)

D ．(0,2]∪[3，＋∞)

答案 D

解析 集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0,2]∪[3，＋∞)．

2．[2016·西安市八校联考]设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2

z －z ＝( ) A ．i B ．2－i C ．1－i D ．0 答案 D

解析 因为2z －z ＝2

1＋i －1＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－1＋i ＝1－i －1＋i ＝0，故选D.

3．[2017·福建质检]已知sin ? ??

??x ＋π3＝1

3，则cos x ＋cos ( π3－x )的值为( )

A ．－33 B.33 C ．－13 D.1

3 答案 B

解析 因为sin ? ????x ＋π3＝12sin x ＋32cos x ＝13，所以cos x ＋cos ? ??

??

π3－x ＝cos x ＋12

cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3? ????32cos x ＋1

2sin x ＝33，故选B.

4．[2016·天津高考]设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对

任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )

A ．充要条件

B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件 答案 C

解析 由题意得，a n ＝a 1q n －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，选C.

5．[2016·全国卷Ⅲ] 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )

A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上

B ．七月的平均温差比一月的平均温差大

C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 答案 D

解析由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有3个，D错误．

6．[2017·江西南昌统考]已知a＝2－

1

3

，b＝()

2log23

－

1

2

，c＝

1

4??

πsin x d x，则

实数a，b，c的大小关系是()

A．a>c>b B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a 答案C

解析因为a＝2－

1

3

＝? ????

1

2

1

3

＝? ????

1

4

1

6

，b＝()

2log23

－

1

2

＝3－

1

2＝?

?

?

?

?1

3

1

2

＝? ????

1

27

1

6

，所以a>b，排除B、D；c＝1

4sin xdx＝－

1

4cos x??

?π

＝－

1

4(cosπ－cos0)＝

1

2＝?

?

?

?

?1

4

1

2

，

所以b>c，所以a>b>c，选C.

7．[2016·江苏重点高中模拟]若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N＝n(mod m)，例如10＝4(mod6)．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于()

A．17

B．16

C ．15

D ．13 答案 A

解析 当n >10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数n ＝17，故选A.

8．[2017·湖北武汉调研]已知x ，y 满足???

x ＋y －1≥0，

x －2y －4≤0，

2x －y －2≥0，

如果目标函数z ＝

y ＋1

x －m

的取值范围为[0,2)，则实数m 的取值范围为( ) A.??????0，12 B.? ?

???－∞，12 C.? ?

???－∞，12 D ．(－∞，0]

答案 C

解析 由约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，而目标函数z ＝y ＋1

x －m 的

几何意义为可行域内的点(x ，y )与A (m ，－1)连线的斜率，由???

x ＋y －1＝0，

x －2y －4＝0，

得???

x ＝2，

y ＝－1，

即B (2，－1)．由题意知m ＝2不符合题意，故点A 与点B 不重合，因而当连接AB 时，斜率取到最小值0.由y ＝－1与2x －y －2＝0，得交点C ? ??

??

12，－1，在点A 由点C 向左移动的过程中，可行域内的点与点A 连线的斜率小于2，因而目标函数的取值范围满足z ∈[0,2)，则m <1

2，故选C.

9．[2017·衡水四调] 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD 、ABFE 、CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10, EF 到平面ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是( )

A ．110

B ．116

C ．118

D ．120 答案 D

解析 如图，过点A 作AP ⊥CD ，AM ⊥EF ，过点B 作BQ ⊥CD ，BN ⊥EF ，垂足分别为P ，M ，Q ，N ，连接PM ，QN ，将一侧的几何体补到另一侧，组成一

个直三棱柱，底面积为1

2×10×3＝15.棱柱的高为8，体积V ＝15×8＝120.故选D.

10．[2017·山西太原质检]设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →

，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →

B.AD →＝13AB →－43AC →

C.AD →＝43AB →＋13AC →

D.AD →＝43AB →－13AC →

答案 A

解析 利用平面向量的线性运算法则求解.AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋4

3(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →

，故选A.

11．[2017·河南郑州检测]已知点F 2、P 分别为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的

右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若OM →＝12

(OP →＋OF 2→)，OF 2→2＝F 2M →2

，且

2OF 2→·F 2M →

＝a 2＋b 2，则该双曲线的离心率为( )

A.

3＋12 B.3

2 C.

3 D ．23

答案 A

解析 设双曲线的左焦点为F 1，依题意知，|PF 2|＝2c ，因为OM →＝12(OP →＋OF 2→)，

所以点M 为线段PF 2的中点．因为2OF 2→·F 2M →＝a 2＋b 2，所以OF 2→·F 2M →＝c

22，所以

c ·c ·c o s ∠PF 2x ＝12c 2，所以c o s ∠PF 2x ＝1

2，所以∠PF 2x ＝60°，所以∠PF 2F 1＝120°，从而|PF 1|＝23c ，根据双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以23c －2c ＝2a ，

所以e ＝c a ＝1

3－1＝3＋12，故选A.

12．[2017·山西联考]已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )

A.? ????5e ，2

B.??????－5

2e ，－83e 2 C.??????－1

2，－83e 2 D.???

?

??－4e ，－52e 答案 B

解析 由f (x )≤0，得(3x ＋1)·e x ＋1＋mx ≤0，即mx ≤－(3x ＋1)e x ＋1，设g(x )＝mx ，h(x )＝－(3x ＋1)e x ＋1，则h ′(x )＝－[3e x ＋1＋(3x ＋1)e x ＋1]＝－(3x ＋4)e x ＋1，由

h ′(x )>0，得－(3x ＋4)>0，即x <－4

3，由h ′(x )<0，

得－(3x ＋4)<0，即x >－43，故当x ＝－4

3时，函数h(x )取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y ＝h(x )，y ＝g(x )的大致图象如图所示，当m ≥0时，满足g(x )≤h(x )的整数解超过两个，不满足条件；当m <0 时，要使g(x )≤h(x )的整数解

只有两个，则需满足??? h (－2)≥g (－2)，h (－3)

??

5e －

1≥－2m ，

8e －2<－3m ，

即?????

m ≥－5

2e ，m <－8

3e 2，即－52e ≤m <－83e 2，即实数m 的取值范围是[ －52e ，－8

3e 2 )，

故选B.

第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．[2017·济宁检测]已知(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．

答案 2

解析 令x ＝1，可得2×(－1)＝a 0，即a 0＝－2； 令x ＝2，可得(22＋1)×0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11， 即a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝0， 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2.

14．[2017·惠州一调]已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n

1－a 2n

，

n ∈N *，则b 2017＝________.

答案 2017

2018

解析 ∵a n ＋b n ＝1，a 1＝12，∴b 1＝12，∵b n ＋1＝b n 1－a 2n

，∴b n ＋1

＝b n

1－(1－b n )2＝12－b n ，∴1b n ＋1－1－1b n －1＝－1，又b 1＝12，∴1

b 1－1＝－2，∴数列??????

????1b n －1是以－2为首项，－1为公差的等差数列，∴1b n －1＝－n －1，∴b n ＝n n ＋1.故b 2017＝2017

2018.

15．[2017·河北正定统考]已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，

连接F A ，与抛物线C 相交于点M ，延长F A ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________．

答案

2

解析 依题意得焦点F 的坐标为? ??

??

a 4，0，设M 在抛物线的准线上的射影为K ，

连接MK ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MN |＝1∶3，所以|KN |∶|KM |

＝22∶1，又k FN ＝0－1a 4－0

＝－4a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－22，所以4

a ＝22，解得a ＝ 2.

16．[2016·成都第二次诊断]已知函数f (x )＝x ＋sin2x .给出以下四个命题： ①?x >0，不等式f (x )<2x 恒成立；

②?k ∈R ，使方程f (x )＝k 有四个不相等的实数根； ③函数f (x )的图象存在无数个对称中心；

④若数列{a n }为等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＝3π，则a 2＝π. 其中正确的命题有________．(写出所有正确命题的序号) 答案 ③④

解析 f ′(x )＝1＋2cos2x ，则f ′(x )＝0有无数个解，再结合f (x )是奇函数，且总体上呈上升趋势，可画出f (x )的大致图象为：

(1)令g (x )＝2x －f (x )＝x －sin2x ，则g ′(x )＝1－2cos2x ，令g ′(x )＝0，则x ＝π6＋k π(k ∈Z )，则g

? ????π6＝π

6－32

<0，即存在x ＝π6>0使得f (x )>2x ，故①错误； (2)由图象知不存在y ＝k 的直线和f (x )的图象有四个不同的交点，故②错误； (3)f (a ＋x )＋f (a －x )＝2a ＋2sin2a cos2x ，令sin2a ＝0，则a ＝k π

2(k ∈Z )，即(a ，a )，其中a ＝k π

2(k ∈Z )均是函数的对称中心，故③正确；

(4)f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＝3π，则a 1＋a 2＋a 3＋sin2a 1＋sin2a 2＋sin2a 3＝3π， 即3a 2＋sin(2a 2－2d )＋sin2a 2＋sin(2a 2＋2d )＝3π， ∴3a 2＋sin2a 2＋2sin2a 2cos2d ＝3π， ∴3a 2＋sin2a 2(1＋2cos2d )＝3π， ∴sin2a 2＝3π1＋2cos2d －3

1＋2cos2d a 2，

则问题转化为f (x )＝sin2x 与g (x )＝

3π1＋2cos2d －3

1＋2cos2d

x 的交点个数．

如果直线g (x )要与f (x )有除(π，0)之外的交点，则斜率的范围在? ??

??

－43π，－2，

而直线的斜率－3

1＋2cos2d

的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故不存在除(π，

0)之外的交点，故a 2＝π，④正确．

三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．[2016·武汉调研](本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分

别为a ，b ，c ，a ＋1

a ＝4cos C ，

b ＝1.

(1)若A ＝90°，求△ABC 的面积； (2)若△ABC 的面积为3

2，求a ，c .

解 (1)a ＋1

a ＝4cos C ＝4×a 2＋

b 2－

c 22ab ＝2(a 2＋1－c 2)a ，

∵b ＝1，∴2c 2＝a 2＋1.(2分) 又∵A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2＝c 2＋1，

∴2c 2＝a 2＋1＝c 2＋2，∴c ＝2，a ＝3，(4分) ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ＝12×1×2＝2

2.(6分) (2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12a sin C ＝32，则sin C ＝3

a . ∵a ＋1a ＝4cos C ，sin C ＝3a ，

∴??????14? ????a ＋1a 2＋? ????3a 2＝1，化简得(a 2－7)2＝0， ∴a ＝7，从而cos C ＝14? ?

???a ＋1a ＝277，

∴c ＝a 2＋b 2－2bc cos C ＝

7＋1－2×7×1×27

7＝2.(12分)

18．[2016·广州四校联考](本小题满分12分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：

(1)庭有生育意愿的概率分别为多少？

(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．

①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；

②如果用ξ表示两种方案休假周数和，求随机变量ξ的分布列及期望．

解(1)由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为P1＝

4 200＝1

50；(2分)

当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为P2＝16

200＝2

25.(4分)

(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有C25＝10(种)，(5分)

其和不低于32周的选法有(14,18)，(15,17)，(15,18)，(16,17)，(16,18)，(17,18)，共6种，

由古典概型概率计算公式得P(A)＝6

10＝

3

5.(7分)

②由题知随机变量ξ的可能取值为29,30,31,32,33,34,35.

P(ξ＝29)＝1

10＝0.1，P(ξ＝30)＝

1

10＝0.1，P(ξ＝31)＝

2

10＝0.2，P(ξ＝32)＝

2

10＝

0.2，P(ξ＝33)＝2

10＝0.2，P(ξ＝34)＝

1

10＝0.1，P(ξ＝35)＝

1

10＝0.1，

因而ξ的分布列为

(10分)

所以E(ξ)＝29×0.1＋30×0.1＋31×0.2＋32×0.2＋33×0.2＋34×0.1＋35×0.1＝32.(12分)

19．[2017·吉林模拟](本小题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．

(1)证明DF ⊥AE ；

(2)是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14

14？若存在，说明点D 的位置；若不存在，说明理由．

解 (1)证明：因为AE ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，所以AE ⊥AB . 因为AA 1⊥AB ，AA 1∩AE ＝A ，所以AB ⊥平面A 1ACC 1.

因为AC ?平面A 1ACC 1，所以AB ⊥AC .以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则有A (0,0,0)，E ? ????0，1，12，F ? ????12，12，0，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)．(4分) 设D (x 1，y 1，z 1)，A 1D →＝λA 1B 1→

且λ∈[0,1]，即(x 1，y 1，z 1－1)＝λ(1,0,0)，则

D (λ，0,1)，所以DF →＝? ??

??

12－λ，12，－1. 因为AE →＝? ??

??

0，1，12，所以DF →·AE →＝12－12＝0，所以DF ⊥AE .(6分)

(2)假设存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14

14.