第二章有理数及其运算教案汇总

第二章：有理数及其运算

一、有理数

知识点一：具有相反意义的量（用正数和负数表示，负数的来源）

如“零上”和“零下”、“收入”和“支出”、“增加”和“减少”、“升高”和“降低”。 由具有相反意义的词表示的两个量，就是具有相反意义的量。

我们可以把其中一个量规定为正的，用正“+” 数表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负“-”数表示。

如：零上20°C 记作+20°C ，零下17°C 就记作 -17°C

如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈记作-12圈 因为是量，表示时需要带着单位名称，如圈、元。

知识点二：正数和负数的概念

正数：像1、2.5、14

3、23这样大于0的数叫做正数；为了突出数的符号，可以在正数前加“+” 号。如：+3、+5.6 ，有时也可省略“+”号 如：1、2.5、14

3 负数：像-5、-10、-2.3等在正数前面加上“－”号的数叫做负数，负数前面的“-”号不能省略。由此看出，比0小的是负数，负数比0小。

0即不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界点。

正数比0大，负数比0小。

复习小学内容：

质数：一个数只有1和它本身两个因数时，这个数是质数也称为素数。

如2、3、5、7、11、13、17、19等

合数：一个数除了1和它本身两个因数外还有其他的因数，这个数就是合数。 如4、6、8、9、10、12、14、15等

质数和合数都是指一个大于1的自然数中的数，所以，0和1既不是质数也不是合数。 除了2 其余的质数都是奇数

再复习一下奇数和偶数

偶数：整数中能够被2整除的数，叫做偶数，

奇数：整数中不能被2整除的数，叫做奇数。

知识点三：有理数

有理数概念：整数和分数统称为有理数。

整数：正整数、零、负整数统称为整数

分数：正分数和负分数统称为分数，有限小数和无限循环小数也是分数 。 0.5=21 ；0.875=8

7 。。。这些都是有限小数，化成了分数。0..3=31 ；0..12.3=999123 ；0.1.2.3=99991123-- ；0.12.3=99

99912123-- 上述都是无限循环的小数，也化成了分数。

小学学过的圆周率π，其值是3.141592653589793238462643383279502884197169399375…它是无限不循环的小数，它不是有理数，是八上实数中我们学到的无理数

有理数的分类：（在前章学习了分类思想，关于几何体的分类）

（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：

有理数的“四非”

有理数“四非”???????0000非负整数：正整数和

非正整数：负整数和非负数：正数和非正数：负数和 注意上述“四非”，一定记住都包括着零。注意断句：非负/整数，首先是整数，其次是不是负的，那就是正的和0。而不是非/负整数，错误理解成正整数、0和分数了。

0 既不是正数也不是负数。0是整数，是自然数，是偶数，是有理数。

二、数轴:

知识点一：数轴

1、数轴：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

数轴就是规定了原点、正方向和单位长度的直线。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素

注意：1）、约定成俗的规定向右的方向为正方向，向左就扣分。

2）、是单位长度，就是自己规定的一段长度作为单位长度，而不是长度单位。

2、数轴的画法：1）、画一条直线

2）、直线上选取一点为原点，并用这点表示零

3）、确定正方向，一般规定向右，用箭头标示出来。

4）、选取某一长度作为单位长度，根据实际情况选取，但长短一致。

3、数轴上的点与有理数的关系

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示的是有理数）。正有理数可以用原点右侧的点表示，负有理数可以用原点左侧的点表示。原点用零表示。

知识点二：利用数轴比较有理数的大小

（1）在数轴上的所表示的数，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大

（2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。利用这点，比较有理数的大小

三、绝对值

知识点一：相反数

1、相反数：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两

?????????????????负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0

越来越大 ???????????????负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0

个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。这也是相反数的代数定义。

注意：1）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能把它漏掉。

2）相反数是成对出现的，不能单独存在。

3）“只有符号不同”中的只有是指除了符号不同，其余相同。不能理解为“只要符号不同”。如-2与+3不是相反数。

2、相反数的几何定义：在数轴上位于原点的两侧，与原点的距离相等的两个点所表示的数，互为相反数。

在数轴上，表示互为相反数的两点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

3、相反数的表示方法：表示一个数的相反数，只要在这个数的前面添加一个“-”号即可。如6的相反数是-6，-6的相反数可以表示为-（-6）

一般地，数a 的相反数是-a ，这里a 表示任意一个数，可以是正数、负数、0。

注意：1）表示“和”或者“差”形式的相反数时，要先用括号括上，再在括号前面添上一个“-”号。如a+b 的相反数是-（a+b ）

2）因为a 可以表示任意一个数，所以，-a 不一定是负数。

知识点二：绝对值

1、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值

用a 表示一个数，则a 的绝对值记作|a|，读作“a 的绝对值”。

因为距离都是0或者正数，所以，+3的绝对值等于3，记作|+3|=3

-3的绝对值等于3，记作|-3|=3

表示0的点与原点的距离是0，所以|0|=0

2、一个数的绝对值与这个数的关系（也就是绝对值的代数意义）：

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；

可用字母a 表示如下：

??

???<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ???<-≥=)0()0(||a a a a a 书写：|a| = ±a 是错误的！ 3、绝对值归纳总结：

1）从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。离原点的距离越远，绝对值越大。由于距离总是正数或零，故有理数的绝对值不可能是负数，因此，绝对值最小的有理数是零。

2）绝对值非常重要的性质：绝对值的非负性。任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0。

3）互为相反数的两个数绝对值相等；反之，特别注意：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数。

4）任何数都有唯一的绝对值，但绝对值为某一正数的数有两个，且他们互为相反数。

如：绝对值为4的数是+4或-4。字母表示式：若|a|=|b|，则a=±b

5)若几个非负数之和为0，则每个加数分别为0。

若|a|+|b|+|c|=0，则|a|=|b|=|c|=0，即a=b=c=0。这个关系很重要，期中考试一定有。

绝对值知识拓展：

|x|几何意义是x 表示的点到原点0的距离

|x-1|几何意义呢？代表x 到哪个点距离呢？

推导：|x|=|x-0| 是x 表示的点到0的距离

|x-1| 是x表示的点到1的距离

|x-5| 是x表示的点到5的距离

|x+5| 是x表示的点到-5的距离

后面一系列都用到这个几何意义：

|x-y|就是x表示的点到y表示的点的距离

|x+y|就是x表示的点到-y表示的点的距离

知识点三：比较两个负数的大小

两个负数比较大小，绝对值大的反而小。（也可以用数轴比较：右边的数大于左边的数）因为对于两个负数，他们都位于原点的左侧，因为绝对值大的距离原点越远，而在数轴上，右边的数总是大于左边的数，所以，对于两个负数，绝对值大的反而小。由此看出先看绝对值的大小，再确定负数的大小。

如果负数里有分数，则要先通分再比较。

比较两个数的大小，最直观的比较就是把这些数表示在数轴上，右边的总大于左边的。

四，有理数的混合运算

1、有理数加法法则：①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。

②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。

③一个数同0相加，仍得这个数。

有理数加法的运算律：

加法的交换律：a+b=b+a；

加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)

用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：①互为相反的两个数，可以先相加；②符号相同的数，可以先相加；③分母相同的数，可以先相加；④几个数相加能得到整数，可以先相加。

2、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

¤有理数减法运算时注意两“变”：①改变运算符号；②改变减数的性质符号（变为相反数）注意：运算符号“+”加号、“－”减号与性质符号“+”正号、“-”负号统一与转化，如a －b中的减号也可看成负号，看作a与b的相反数的和：a+（-b）；

一个数减去0，仍得这个数；0减去一个数，应得这个数的相反数。

3、有理数的加减法混合运算的步骤：

①写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；

②利用加法法则，加法交换律、结合律简化计算。

（注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。）

※注意：运算结果一般写成假分数形式

4、有理数的乘法

（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0。

（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba ；结合律：(ab)c=a(bc)；分配律：a(b+c)=ab+ac 。

（3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么a 和b 互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。

（分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1。 假分数通常可以化为带分数或整数。如果分子和分母成倍数关系，就可化为整数，如不是倍数关系，则化为带分数）

有一个数和它的倒数相等，这个数是1和-1 即 ±1

注意：①正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。②零没有倒数。③求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。

4、有理数的除法

有理数的除法法则：1）、两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个非0的数都等于0；

2）、这个法则可以把除法转化为乘法：除以一个数，等于乘上这个数的倒数。0不能做除数。

a ÷b= a ×b

1( b ≠0)

5、有理数的乘方

（1）有理数的乘方的定义：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“n a ”其中a 叫做底数，表示相同的因数，n 叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n 个a 相乘，不是n 乘以a ，乘方的结果叫做幂。

（读a 的n 次幂或a 的n 次方） a ×a ×a ×a ……a ×a ×a=n a

※注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51；

②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。

③ 注意分清底数，如：－a n 的底数是 a ，而不是-a

※乘方的运算性质：

①正数的任何次幂都是正数；

②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；

③任何数的偶数次幂都是非负数；

④1的任何次幂都得1，0的任何非0次幂都得0；

⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；

⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。

6、有理数的混合运算:

进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则及运算顺序。要灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。

① 运算顺序：先算乘方,再算乘除,最后算加减。

②同级运算要从左到右依次运算

③如果有括号,先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的。

五、科学计数法

一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为正整数，这种记数的方法叫做科学记数法

用科学记数法把一个较大的数表示成a×10n时，a必须是整数数位只有一位的数，10的指数n比原数的整数位数少1.

把用科学记数法表示的数a×10n还原成原数时，只要把a×10n中的a的小数点向右移动n位即可.

表示大数应注意以下几点：

⑴10

≤a;

1<

⑵当大数是大于10的整数时，n为整数位数减去1;

⑶转化前带单位的，转化后也要有单位，不要遗漏