数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十一章

第十一章 重积分

§1 二重积分的概念

1.把重积分

??D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0?,并用直线网x=n i ,y=n

j (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点.

2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界.

3.证明定理:若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积.

4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.

性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且

()?+D g f =??+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ??≤D D

g f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得

()D ,f f D

?ηξ=?. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且

210D D D Y =,?=11D int D int I , 试证二重积分性质3.

性质3(区域可加性) 若210D D D Y =且11D int D int I ?=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且

?0D f =??+2

1D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明:

(1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D

>?; (2)若在D 内任一子区域D D ?'上都有

?'

=D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。 .

7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得

()()??D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()??D

dxdy y ,x g .

8.应用中值定理估计积分

??

≤-++10y x 22y

cos x cos 100dxdy 的值

§2 二重积分的计算

1.计算下列二重积分:

(1)()??-D

dxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3?;

(2)

??D 2dxdy xy ,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0?,(ⅱ)D=[]3,0 []2,0?;

(3)()??+D

dxdy y x cos ,其中D=[]π???????π,02,0; (4)

??+D dx dy x y 1x ,其中D=[][]1,01,0?. 2. 设f(x,y)=()()y f x f 21?为定义在D=[]?11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且

?D f =???1122

b a b a 21f f .

3.设f 在区域D 上连续,试将二重积分()??D

dxdy y ,x f 化为不同顺序的累次积分:

(1)D 由不等式x y ≤,a y ≤,b x ≤()b a 0≤≤所确的区域:

(2)D 由不等式222a y x ≤+与a y x ≤+(a>0)所确定的区域;

(3)D=(){}1,≤+y x y x .

4.在下列积分中改变累次积分的顺序:

(1) ()?

?20x 2x dy y ,x f dx ; (2) ()??----11x 1x 122dy y ,x f dx ; (3)

()??1

0x 02dy y ,x f dy +()()??-31x 3210dy y ,x f dx .

5.计算下列二重积分:

(1)??D

2dxdy xy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线x=2p (p>0)所围的区域; (2)()??+D 22dxdy y x

,其中D=(){1x 0y ,x ≤≤, y x ≤ }

x 2≤; (3)??-D x a 2dx dy (a>0),其中D 为图(20—7)中的阴影部分； (4)??D dxdy x ,其中D=(){}x y x y ,x 22≤+; (5)??D

dxdy xy ,其中为圆域222a y x ≤+.

6.写出积分()??d

dxdy y ,x f 在极坐标变换后不同顺序的累次积分:

(1)D 由不等式1y x 2

2≤+,x y ≤,0y ≥所确定的区域; (2)D 由不等式2222b y x a ≤+≤所确定的区域;

(3)D=(){}

0x ,y y x y ,x 22≥≤+.

7.用极坐标计算二重积分: (1) ??+D 22dxdy y x sin

,其中D=(){222y x y ,x +≤π }24π≤;

(2)()??+D dxdy y x ,其中D=(){}y x y x

y ,x 22+≤+;

(3)()

??+'D 22dxdy y x

f ,其中D 为圆域222R y x ≤+.

8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:

(1) ()??--20x 2x 1dy y ,x f dx ,其中u=x+y,v=x-y;

(2) ()dxdy y ,x f D ??,其中D=()

{a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x=v cos U 4,

v sin U y 4=.

(3)

()??dxdy y ,x f ,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x+y=u,y=uv.

9.求由下列曲面所围立体V 的体积:

(1) v 由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;

(2) v 由z=2

2y x +和z=x+y 围的立体;

(3) v 由曲面9y 4x Z 222

+=和2Z=9y 4x 2

2+所围的立体.

11.试作适当变换,计算下列积分:

(1)()()??-+D

dxdy y x sin y x ,D=(){π≤+≤y x 0y .x }π≤-≤y x 0; (2)

??+D y x y dxdy e ,D=(){1y x y ,x ≤+,0x ≥,}0y ≥.

12.设f:[a,b]→R 为连续函数,应用二重积分性质证明:

()≤??

?????2

b a dx x f ()()?-b a 2dx x f a b ， 其中等号仅在f 为常量函数时成立。 13.设f 为连续函数,且f(x,y)=f(y,x)

证明:

()??100,x dy y x f dx =()??--x

dy y x f dx 0101,1. 14.求由下列曲线所围成的平面图形面积:

(1) x+y=a; x+y=b; y=αx; y=βx, (a>b,α>β) (2)22222b y a x ???

? ??+=22y x +

15.设f(x,y)=sfn(x-y),试讨论函数F(y)=

()?1

0dx y ,x f 在()∞∞-,上的连续性并作出F(y)的图像.

()()()???∈∈b a, x

,0b a, x ,x f 2 §3 三重积分

1.计算下列积分

(1)()???+v

2

dxdydz z xy ,其中v=[][][]1,03,35,2?-?-; (2)???v zdxdydz cos y cos x ,其中v=[]???????π?2,01,0 ??

????π2,0; (3)()???+++v 3z y x 1dx dydz ,其中V 是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域;

(4)()???+v dxdydz z x cos y ,其中V 是由y=x ,y=0,z=0及x+z=2

π所围成的区域. 2.试改变下列累次积分的顺序:

(1)

()???π-+1010y x 0dz z ,y ,x f dy dx ; (2)

()???+1010y x 022dz z ,y ,x f dy dx . ()???+-+10x 1x 1x z 222dy z ,y ,x f dz dx

3.计算三重积分:

(1)

???v dxdydz Z 2,其中V 由2222r z y x ≤++和+2x rz z y 222≤+所确定; (2)

???---+10102222222x y x y x dz z dy dx .

4.利用适当的坐标变换,计算下列各曲面所围成的体积:

(1) Z=22y x +,z=2()22y x +,y=x,y=x 2

; (2)2b y a x ??? ??++2c z ??

? ??=1,(0x ≥,0y ≥,0z ≥,a>0,b>0,c>0) 5.设f （x ，y ，z ）在长方体V=[][][]f ,e d ,c b ,a ??上可积,若对任何()D z ,y ∈=[][]f ,e d ,c ?定积分F(y,z)=()?b

a dx z ,y ,x f

存在,证明F(y,z)在D 上可积,且

()??D dydz z ,y F =()???v

dxdydz z ,y ,x f .

6.设V=()}?

??≤++1c z b y a x z ,y ,x 22

2222计算下列积分: (1)???---v 222222dxdydz c

z b y a x 1; (2)???++v c z b y a x dx dydz e 22

2222.

.

§4 重积分的应用

1.求曲面az=xy 包含在圆柱2

22a y x =+内那部分的面积.

2.求锥面Z=22y x +被柱面Z 2=2x 所截部分的曲面面积.

3.求下列均匀密度的平面薄板重心: (1)半椭圆 122

22≤+b

y a x ,0≥y ; (2)高为h,底分别为a 和b 的等腰梯形.

4.求下列均匀密度物体重心:

(1) 2

21Y X z --≤,0≥z ;

(2) 由坐标面及平面x+2y-z=1所围四面体.

5.求下列均匀密度的平面薄板转动惯量:

(1)半径为R 的圆关于其切线的转动惯量;

(2)边长为a 和b,且夹角为?的平行四边形关于底边b 的转动惯量.

6.设球体x 2z y x 2

22≤++上各点的密度等于该点到坐标原点的距离,求这个球体的质量.

7.计算下列引力: (1)均匀薄片2

22R y x ≤+ z=0 对于轴上一点(0,0,c)(c>0)处的单位质量的引力; (2)均匀柱体2

22a y x ≤+,h z 0≤≤ 对于P(0,0,c)(c>h)处单位质量的引力.

8.求曲面 ()()??

???φ=π≤φ≤?φ+=π≤?≤?φ+=sin a z 20 cos acos b y 20 sin cos a b x

的面积,其中a,b 常数,且b a 0≤≤.

9.求螺旋面

??

???θ=π≤θ≤θ=≤≤θ=b z 0

rsin y a r 0 cos r x 的面积

10.求边长为I 的正方形的薄板的质量,该薄板上每一点的密度与该点距正方形某顶点

的距离成正比,且在正方形中点处密度为0ρ.

11.求边长为a 密度均匀的正方体,关于其任一棱边的转动惯量.

总 练 习 题

1.设

()y x f ,=???为有理数为无理数 x 2y, x

,1

()D y ,x ∈=[][]1,01,0?

(1)证明f 在D 上不可积;

(2)说明()??101

0dy y ,x f dx 存在,并求它的值; (3)说明f 在D 上先x 后y 的累次积分不存在.

2.设平面上区域D 在x 轴和y 轴上的投影长度分别为L x ,L y , D 的面积为D ?,(α,β)为D 内任一点.证明:

(1)

()()D L L dxdy y x y x D ?≤β-α-??

(2)()()2y 2x D L L 4

1dxdy y x ≤β-α-??. 3.试作适当变换,把下列重积分化为单重积分: (1)

()??≤++1y x 2222dx dy y x

f ; (2)()

??+D 22dxdy y x f

,其中D=(){x y y ,x ≤,}1x ≤;

(3)

()??≤++1y x dxdy y x f ;

(4)()??D

dxdy xy f ,其中D=(){x 4y x y ,x ≤≤,}2x y 1≤≤.

4.计算下列积分:

(1)

[]??≤≤+2y ,x 0dxdy y x ;

(2) ()

??≤++-4

y x 2222dxdy 2y x sgn . 5.求下列函数在所指定区域D 内的平均值:

(1) f(x,y)=y cos x sin 22,D=(){

π≤≤x 0y ,x ,}π≤≤y 0; (2)()z ,y ,x f =2

22z y x ++, D=(){

222z y x z ,y ,x ++}z y x ++≤. 6.设

?=0c b a c b a c b a 3

332221

11≠

求平面

1111h z c y b x a ±=++

2222h z c y b x a ±=++

3333h z c y b x a ±=++

所界平行六面体体积.

.

7.研究函数

()y F =()dx y x x yf 1

022?+ 的连续性,其中f 为[0,1]上正连续函数.

10.设f: R R 3→是连续可微函数,证明函数

H(x)=()??3

322

b a b a dy z ,y ,x f dz 是可微函数,且()x H '=()????332

2b a b a dy x z ,y ,x f dz

11.设F(x,y)=()()?-xy

y x

dz z f yz x ,其中f 为可微函数,求()y ,x F xy .

12.设f 为可微函数,求下列函数F 的导数:

(1) F(t)=

()

???≤++++2222t z y x 222dxdydz z y x f ; (2) F(t)=()???v

dxdydz xyz f ,其中 v=(){

x 0z ,y ,x ≤,}t z ,y ≤.