初三一元二次方程知识点总结及基础题型

一元二次方程

1.一元二次方程的定义及一般形式：

（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一元二次方程的一般形式：20(0)

++=≠。其中a为

ax bx c a

二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

2.一元二次方程的解法

（1）直接开平方法：

形如2

x a b b

+=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接

()(0)

开平方得x a b

+=或者x a b

=-±。

+=-，∴x a b

注意：若b<0，方程无解

（2）因式分解法：

一般步骤如下：

①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；

②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；

③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。（3）配方法:

用配方法解一元二次方程20(0)

++=≠的一般步骤

ax bx c a

①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； ③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程

化为2()(0)x m n n +=≥的形式；

④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当0n <时，方程无解

（4） 公式法：

一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：24b ac ?=-

0?>?方程有两个不相等的实根:242b b ac x a

-±-=（240b ac -≥）

?()f x 的图像与x 轴有两个交点 0?=?方程有两个相等的实根?()f x 的图像与x 轴有一个交点 0?

()f x 的图像与x 轴没有交点

3. 韦达定理（根与系数关系）

我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：

1x +2x ＝b a -； 1x ?2x ＝c a

4.一元二次方程的应用

列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似

①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；

③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。

④“解”就是求出说列方程的解；

⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。

注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。

五．典型例题

1、下列方程中，是一元二次方程的是：（ ）

A 、2x +3x +y=0 ；

B 、 x+y+1=0 ；

C 、 213122+=+x x ；

D 、0512=++x x

2、关于x 的方程（2a +a －2）2x +ax+b=0是一元二次方程的条件是（ ）

A 、a ≠0 ；

B 、 a ≠－2 ；

C 、 a ≠－2且 a ≠1 ；

D 、a ≠1

3、一元二次方程2x －3x = 4的一般形式是 ，一次项系数为 。

4、方程2x = 225的根是 。

5、方程32x －5 x=0的根是 。

6、（2x －24x + ） =（x － ）2。

7、一元二次方程a 2x +bx +c=0（a ≠0）有一个根为1，则a+b +c= 。

8、关于x 的一元二次方程m 2x －2x +1= 0有两个相等实数根，则m= 。

9、已知1x ,2x 是方程22x +3x －4=0的两个根，那么1x + 2x = , 1x × 2x = 。

10、若三角形其中一边为5cm ，另两边长是01272=+-x x

两根，则

三角形面积为 。

11、用适当的方法接下列方程。（1）、（x+3）（x－1） = 5

（2）、（3x－2）2 =（2x－3）（3)、（2x－1）2 =3（2x + 1）

(4)、 32x－10x +6=0

12、若两个连续偶数的积是288，求这两个偶数。

13、从一块长80cm ，宽60cm 的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？

14、已知关于x 的方程03522=-++p x x 的一个根是4-，求方程的另一个根和p 的值．