指数函数应用举例
指数函数的性质及应用
对应学生用书P 110 基础达标 一、选择题 1．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1 2，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1 2 ) D ．(－12，1 2 ) 解析：由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0. 答案：B 2．(2010·温州十校联考)函数y ＝2x ＋1 的图象是( ) 解析：函数y ＝2x 的图象是经过定点(0,1)、在x 轴上方且单调递增的曲线，依据函数图象的画法可得函数y ＝2x ＋1 的图象单调递增且过点(0,2)，故选A. 答案：A 3．函数y ＝(12)1－ x 的单调递增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0,1) 解析：定义域为R . 设u ＝1－x ，y ＝(1 2 )u . ∵u ＝1－x 在R 上为减函数， 且y ＝(1 2)u 在(－∞，＋∞)为减函数， ∴y ＝(12)1－ x 在(－∞，＋∞)是增函数，∴选A. 答案：A
4．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－ 1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 解析：y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－ 1.5＝21.5.因为函数y ＝2x 在R 上是增函数， 且1.8>1.5>1.44，所以y 1>y 3>y 2. 答案：D 5．已知函数f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)，则函数y ＝f (x )的图象是( ) 解析：∵f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)， ∴f (x )在(0,2)内单调递减， ∴01，－10，函数y ＝(a 2－8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是______________． 解析：因为x >0时，y ＝(a 2－8)x 的值大于1恒成立，则a 2－8>1，即a 2>9，解得a >3或a <－3.
指数函数的教学设计方案
《指数函数》教学设计 连江二中柳殷 一、概述 ·本节课是高中新教材必修1模块； ·本篇课文所需课时为2课时，90分钟，本节课是第一课时； ·本节课是在学习了第一章函数的概念和性质之后，通过对《指数》三个课时的学习后安排的。也为下面的《对数》学习做准备。 ·这节课的价值在于理解指数函数的概念和意义，理解和掌握指数函数的性质。对今后进一步学习其它基本初等函数有重要意义。 二、教学目标分析 1．知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景； ②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．过程与方法 ①展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质. ②在对不断引申的问题的思考、回答过程中,掌握联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．情感、态度、价值观 ①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题，分析问题的能力，并培养自身思维的深刻性、创造性、科学性和批判性； ③激发起学习数学的兴趣，在民主、开放的课堂氛围中；提高分析、解决问题的能力. 三、学习者特征分析 1、学生是福建连江第二中学高一年级学生，我所任教班级的学生是高一的一个差班； 2、学生已经基本掌握了函数的概念和性质，并对《指数》只是有较好的认识； 3、学生对生活中隐含数学问题的事件兴趣比较浓厚，对多媒体教学比较兴趣； 4、学生运用数学知识解决实际问题的能力和数学建模的能力还不强。个别学生思维比 较敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解。 四、教学策略选择与设计 本节课教学重点：指数函数的概念和性质及其应用。 教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用。 先行组织者策略：通过情景设置的问题探究提示出指数函数的概念。 学法设计：教师讲授，学生探究，合作交流，组织学生对指数函数的图像和性质的学习。 教学方法上采用启发式教学，在课堂教学中坚持双主教学,注意思维训练和能力培养。 采用多媒体辅助教学，激发兴趣，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。
指数函数与对数函数的实际应用.doc
指数函数与对数函数的实际应用 【复习目标】 1、明确题意中指数函数还是对数函数的模型，会根据数量关系建构、解决函数 模型； 2、掌握互化的方法，在指数型函数求幂问题与对数型函数求对数值问题中的运 用； 3、通过实际问题的解决，渗透数学建模的思想，提高学生的数学学习兴趣． 【课前知识整理】 1、指数函数、对数函数的图像和性质： a 1 0 a 1 图 象 （ 1）定义域： 性 （ 2）值域： 质 （ 3）过定点： （ 4）在 ______上是 ________函数． （ 4）在 ______上是 ________函数． 2、指数函数与对数函数的互化： y a x x l o g a y ( a 0,a 1 ) 【基础练习】 、若 9 x 1 ，则 x= ( ) 1 3 A. 1 B. 1 C.2 D.1 2 2 2 2、若函数 h( x) lg( x x 2 1) ， h( 1) 1.62 ，则 h( 1) （ ） x 2 A.0.38 B.1.62 C.2.38 D.2.62 3 若 log ( x a) log a 2 log x 有解，则 a 的取值范围是 （ ） A. 0 a 1或 a 1 B. a 1 C. a 1 或 1 a D. a 1 4、某工厂某设备价值 50 万元，且每年的综合损耗是 3%，若一直销售不下去，经过多少年其价值降低为 36 万元。（精确到 1 年）
【考点探析】 活动一涉及指数函数模型的应用问题． 例1、一项技术用于节约资源，使谁的使用量逐月减少，若一工厂用这一技术， 则该工厂的用水量是 5000 m3，计划从二月份，每个月的用水量比上一个月都减 少 10%，预计今年六月份的用水量约是多少？（精确到1m3） 活动二指数函数与对数函数模型的互化． 例2、某种储蓄利率为 2.5%，按复利计算，若本金为 30000 元，设存入 x 期后的本金和利息为 y 元． （ 1）写出 y 随 x 变化的函数； （ 2）若使本利和为存入时的 1.5 倍，应该存入多少期？ 【能力提升】 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数函数，若牛奶放在 0 摄氏度的冰箱中，保鲜时间是 192 小时，而在 22 摄氏度的厨房中则是 42 小时． （1）写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数关系式； （2）利用（ 1）中的结论，指出温度在 30 摄氏度到 16 摄氏度的保鲜时间． 【课后检测】 1、一批设备价值 a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 b %，则 n 年后这批设备的价值为（） C、a [1-(b%) n] D、a(1-b%)n A、 na (1-b%) B、a (1- nb %) 2、方程 2 x x2 2 的实数解的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 3、某放射性物质，每年有10% 的变化，设该放射性物质原来的质量为 a 克．（1）写出它的剩余量 y 随时间 x 变化的函数关系； （2）经过多少年它的原物质是原来的一半．
指数函数的性质的应用教案
2.1.2指数函数的性质的应用 【教学目标】 （1）能熟练说出指数函数的性质。 （2）能画出指数型函数的图像，并会求复合函数的性质。 （3）在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用，养成良好的思维习惯。 【教学重难点】 教学重点：指数函数的性质的应用。 教学难点：指数函数的性质的应用。 【教学过程】 ㈠情景导入、展示目标 1.指数函数的定义，特点是什么？ 2．请两位同学画出指数函数的图象（分两种情况画a>1与0
３．函数)1,0(≠>=a a y a x 是 函数（就奇偶性填）． ㈢合作探究、精讲精练 探究点一：平移指数函数的图像 例１：画出函数21+=x y 的图像，并根据图像指出它的单调区间． 解析：由函数的解析式可得： 21+=x y ＝??????? -≥-<++) 1(,) 1(,2)2 1(11 x x x x 其图像分成两部分，一部分是将)2 1 1 1( +=x y （ｘ＜－１）的图 像作出，而它的图像可以看作)2 1(x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的，另一部分是将)1(21 2 ≥=+x x y 的图像作出，而 它的图像可以看作将2x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的． 解：图像由老师们自己画出 单调递减区间［－∞，－１］，单调递增区间［－１，＋∞］． 点评：此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图，单调性由图像易知。 变式训练一：已知函数)2 1 (1 +=x y (1)作出其图像；
指数函数实际应用(2)金融投资理财应用
课题：指数函数的实际应用（二） ——金融投资理财应用 授课人：马欣 授课时数：1课时 授课班级：经贸14级1班 一、教学目标： 知识与技能：理解利率、年化利率、保险理财、余额宝、P2P理财等金融知识；了解指数型函数模型，会将金融实际问题抽象成数学问题，建立适当模型求解； 过程与方法：从介绍金融投资理财知识开始，通过个人金融行为的实际问题，理解题意、感悟含义，从实际问题中抽象出数学问题，用数学的语言来表达实际问题，结合指数函数知识，解决实际问题，从而体会到数学的实用性。 情感态度与价值观：培养具体与抽象思维之间的转化，在建立模型的过程中，体验“化归”的数学思想，让学生发现生活中的数学，发现数学的工具性在各学科内的渗透。 二、教学重点、难点： 建立适当的函数模型，注意函数知识与之联系。 三、教学流程 （一）知识准备： 百度百科： 1、利率表示一定时期内利息量与本金的比率，通常用百分比表示，按年计算则称为年利率。其计算公式是：利息率= 利息量/ （本金x时间）×100%。加上x100%是为了将数字切换成百分率。 2、年化利率：年化利率是通过产品的固有收益率折现到全年的利率。 3、理财保险：通过保险进行理财，是指通过购买保险对资金进行合理安排和 规划，防范和避免因疾病或灾难而带来的财务困难，同时可以使资产获得理想的保值和增值。
4、余额宝是支付宝打造的余额增值服务。把钱转入余额宝即购买了由天弘基 金提供的余额宝货币基金，可获得收益。余额宝内的资金还能随时用于网购支付，灵活提取。特点：把钱转入余额宝，可以获得一定的收益。支持支付宝账户余额支付、储蓄卡快捷支付（含卡通）的资金转入。不收取任何手续费。通过“余额宝”，用户存留在支付宝的资金不仅能拿到“利息”，而且和银行活期存款利息相比收益更高。 5、P2P理财是指以公司为中介机构，把借贷双方对接起来实现各自的借贷需求。借款方可以是无抵押贷款或是有抵押贷款，而中介一般是收取双方或单方的手续费为盈利目的或者是赚取一定息差为盈利目的的新型理财模式。 （一）银行个人存款 例1：以银行整存整取2年为例，年利率为2.5%，存入1万元，2年后可取出多少钱？利息是多少？ 本息：10506 ?元 100002≈ + %) 5.2 1( 利息：10506-10000=506元 小结：在解决应用问题时，其关键是能够正确理解题意，从而建立目标函数，进而将生活实际问题转化为数学问题，同时要结合具体问题的实际意义确定函数的定义域。 （二）余额宝 例2：2015年10月18日，余额宝公布的年化利率为2.975%，如果你在余额宝转入1万元，并且一直不使用这笔金额。 （1）试建立余额宝帐户资金年增长模型的数学解析式； （2）2年后，你在余额宝的资金增长为多少元？ 解：（1）x ? = 10000+ .2 y%) 1( 975 （2）当2 x时，10604 = ? = y元 %) + 975 100002≈ .2 1( （三）分红型保险（以平安鑫祥两全保险为例） 例3：某35岁男性，投保平安鑫祥两全保险（分红型），基本保险金额5
函数的应用举例教案
函数的应用举例 教学目标 1.能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简单的实际问题． (1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义． (2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题． (3)能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题． 2.通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值． 3.通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解． 教学建议 教材分析 （1）本小节内容是全章知识的综合应用．这一节的出
现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识．所以培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本小节的重点，根据实际问题建立数学模型是本小节的难点． （2）在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．．事业本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识． 教法建议 （1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多．事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要． （2）对于应用问题的处理，第二步应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决．此类题目一般都是分为这样三步进行．
2021-2022学年高中数学人教A版必修1作业：2.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用
课时分层作业(十六) 指数函数及其性质的 应用 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．三个数a ＝(－0.3)0，b ＝0.32，c ＝20.3的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a C [∵a ＝(－0.3)0＝1，b ＝0.32＜0.30＝1，c ＝20.3＞20＝1， ∴c ＞a ＞b .故选C.] 2．若? ????122a ＋13－2a ，∴a >12.] 3．若函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???－∞，12 B.? ???? 12，＋∞ C.? ?? ?? 12，1∪(1，＋∞) D.? ?? ??12，1 A [由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3的单调性与y ＝(2a －1)x ＋3的单调性相同．因为函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3 在R 上是减函数，所以y ＝(2a －1)x ＋ 3在R 上是减函数，所以2a －1<0，即a <12，从而实数a 的取值范围是? ? ???－∞，12， 选A.] 4．已知函数f (x )＝3x －? ?? ??13x ，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数
B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数 A [因为f (x )＝3x －? ????13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－ x －? ????13－x ＝? ?? ??13x －3x ＝－???? ?? 3x －? ????13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数． 又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝? ????13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x －? ?? ??13x 在R 上是增函数．] 5．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( ) A ．6 B ．1 C ．3 D ．32 C [函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，故x ＝1时，y max ＝3.] 二、填空题 6．已知a ＝ 5－12 ，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________． m 指数函数综合运用 1.已知集合M ={}? ?? ? ??∈<<=-+Z x x N x ,422 1|,1,11，则M N= . 2.化简： 3 42 14 13 2 2 3)(a b b a ab b a ?= )0,0(>>b a 3.6 .02 .02 .04.0,4.0,2的大小顺序为 . 4.如图中曲线C 1、C 2、C 3、C 4分别是x a y =，x b y =，x c y =， x d y =的图象，则d c b a ,,1,,的 大小关系是 5.函数)1,0(11≠>+=-a a a y x 图象过定点__________ 6.已知函数1 21 )(+-=x a x f 为奇函数，则=a . 7.若函数1 ()21 x f x a =--是定义在(][),11,-∞-+∞上的奇函数，则 ()f x 的值域 是 ． 8.不等式28 2144x x --??> ??? 的解集为_____________ 9.函数R x y x x ∈=-,)2 1(22 的单调增区间为__________,值域为__________ x y C 4 C 3 C 2 C 1 O 10.函数???≥<-+-=) 0()0(33)(x a x a x x f x 在R 上递减，则a 的范围是 . 11.函数21 21 x x y -=+的值域为 ． 12.已知a 2 1＋a 2 1-＝3,求下列各式的值. (1)a ＋a －1； (2)a 2＋a －2； (3) 2 12 1232 3- - --a a a a . 13.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝12x --，求不等式f (x )<－1 2 的解 集． 14.已知函数()1 21 2-+=x x x f ， （1）求函数()x f 的值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）判断 函数在） ，（∞+0上的单调性 课 题 指数函数与对数函数综合运用 教学目标 熟练掌握指数、对数函数的定义、图像、性质等基本知识，在此基础上加强对其涉及到的问题的解答和理解。 重点、难点 重点：掌握指数函数、对数函数定义、图像和性质。 难点：结合函数定义域值域等知识解答综合问题。 考点及考试要求 指数函数：掌握指数的图像、定义域、值域，熟练运用各个知识的转换。 对数函数：掌握对数的图像、定义域、值域，熟练运用各个知识的转换，可以和指数综合解题。 教学内容 知识点：指数函数与对数函数 1.对数的概念 如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。 即指数式与对数式的互化：log b a a N b N =?= 2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。 自然对数：通常将以无理数 2.71828e =???为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。 3.对数的性质及对数恒等式、换底公式 （1）对数恒等式：①log N a a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a = (01,0)a a N >≠>且 （2）换底公式：log a N = log log b b N a （3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a = ③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ??=log a d 4.对数的运算性质 如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么 （1）log ()a MN = ； （2）log a M N = ； （3）log n a M = ； （4）log n a m M = 。 4.2.2指数函数应用举例 明确目标 指数函数在自然科学和经济生活中有着广泛的应用，要了解指数函数的实际应用举例，能够应用指数函数的性质解决简单的实际问题。 一.合作交流 例1 某市2008年国内生产总值为20亿元，计划在未来10年内，平均每年按8％的增长率增长，分别预测该市2013年与2018年的国内生产总值（精确到0.01亿元） 例2 设磷-32经过一天的衰变，其残留量为原来的95.27％.现有10g磷-32，设每天的衰变速度不变，经过14天衰变还剩下多少克（精确到0.01g）？ 二.探究展示 由上面两例题中的函数解析式都可以写成y=ca x的形式，其中c>0为常数，底a>0且a1 ≠.函数模型y=ca x叫做指数模型.当a>1时,叫做指数增长模型;当0 指数函数与对数函数的实际应用 【复习目标】 1、明确题意中指数函数还是对数函数的模型，会根据数量关系建构、解决函数 模型； 2、掌握互化的方法，在指数型函数求幂问题与对数型函数求对数值问题中的运 用； 3、通过实际问题的解决，渗透数学建模的思想，提高学生的数学学习兴趣． 【课前知识整理】 2、指数函数与对数函数的互化： x y a =?y x a l o g =(1,0≠>a a ) 【基础练习】 1、若3 19=-x ，则x= ( ) A.21 B.2 1- C.2 D.1 2、若函数)1lg(2)(22+++=x x x x h ，62.1)1(=-h ，则=-)1(h （ ） A.0.38 B.1.62 C.2.38 D.2.62 3若x a a x πππlog log )(log 2+=+有解，则a 的取值范围是 （ ） A.110-<<a C.011<<->a a 或 D. 1 【考点探析】 活动一涉及指数函数模型的应用问题． 例1、一项技术用于节约资源，使谁的使用量逐月减少，若一工厂用这一技术，则该工厂的用水量是5000 m3，计划从二月份，每个月的用水量比上一个月都减少10%，预计今年六月份的用水量约是多少？（精确到1m3） 活动二指数函数与对数函数模型的互化． 例2、某种储蓄利率为2.5%，按复利计算，若本金为30000元，设存入x期后的本金和利息为y元． （1）写出y随x变化的函数； （2）若使本利和为存入时的1.5倍，应该存入多少期？ 【能力提升】 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数函数，若牛奶放在0摄氏度的冰箱中，保鲜时间是192小时，而在22摄氏度的厨房中则是42小时． （1）写出保鲜时间y关于储藏温度x的函数关系式； （2）利用（1）中的结论，指出温度在30摄氏度到16摄氏度的保鲜时间． 【课后检测】 1、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n年后这批设备的价值为（） A、na (1-b%) B、a (1- nb %) C、a [1-(b%) n] D、a(1-b%)n 2、方程2 -+=） 2x x A.0 B.1 C.2 D.3 3、某放射性物质，每年有10%的变化，设该放射性物质原来的质量为a克．（1）写出它的剩余量y随时间x变化的函数关系； （2）经过多少年它的原物质是原来的一半． 4.5.3对数函数的应用举例 教学目的：掌握利用指数函数和对数函数的有关知识解决一些简单的函数应用问题。 教学重点：利用指数函数和对数函数的有关知识解决一些简单的函数应用问题。 教学难点：通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义；根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，根据实际问题建立数学模型。 教学方法：学导式教学法 教学过程： 1.复习 数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．今天我们就一起来探讨几个有关指数函数和对数函数的应用问题。 例1.现有人口100万，根据最近20年的统计资料，这个城市的人口的年自然增长率为1.2%，按这个增长率计算： (1) 10年后这个城市的人口预计有多少万？ (2) 20年后这个城市的人口预计有多少万？ (3) 在今后20年内，前10年与后10年分别增加了多少万人？ 分析：按年自然增长率为1.2%，计算1年后该城市的人口总数为100+100×1.2% =100（1+1.2%）（万人） 2年后该城市的人口总数为 100（1+1.2%）+100（1+1.2%）1.2%=100（1+1.2%） （万人） 依此…n 年后该城市的人口总数为 100（1+1.2%）n （万人） 解：（1）10年后该城市的人口总数为 100（1+1.2%）10≈112.67 （万人） （2）20年后该城市的人口总数为 100（1+1.2%）20 ≈126.94（万人） （3）前10年增加的人口为112.67-100=12.67（万人） 后10年增加的人口为126.94-112.67=14.27（万人） 答：… 例2.1995年我国人口总数是12亿，如果人口的自然增长率控制在1.25%。问哪一年人口总数将达到14亿？ 解：设x 年后人口总数将达到14亿，则有12（1+1.25%）=14 即：1.0125=1214 两边取常用对数可得：x=12 14log 0125.1 ≈12.4 答：13年后即2008年我国人口总数将达到14亿。 例3.库存的某种商品的价值是50万元，如果每年的损耗是4.5%，那么经过多少年，它的价值将为20万元？ 课题：指数函数实际应用 一、教学目标： 知识与技能：理解生活中出现的“单利”、“复利”的概念；理解指数增长模型和指数减少模型，了解指数型函数模型，会将实际问题抽象成数学问题，建立适当模型求解； 过程与方法：从所熟悉的实际问题开始，通过理解题意、感悟含义，从实际问题中抽象出数学问题，用数学的语言来表达实际问题，结合函数知识，解决实际问题，从而体会到数学的实用性。 情感态度与价值观：培养具体与抽象思维之间的转化，在建立模型的过程中，体验“化归”的数学思想，让学生发现生活中的数学，发现数学的工具性在各学科内的渗透。 二、教学重点、难点： 建立适当的函数模型，注意函数知识与之联系。 三、教学流程 （一）居里夫人发现的放射性元素：钋和镭 例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物 质是原来的84%. (1)写出该物质剩留量关于经过年数的函数关系式； (2)作出上述函数图像； (3)结合图像，大约经过几年剩留量是原来的一半？ 小结：在解决应用问题时，其关键是能够正确理解题意，从而建立目标函 数，进而将生活实际问题转化为数学问题，同时要结合具体问题的实际意义确 定函数的定义域。 （二）世界人口增长状况 例2：统计资料显示,2010年甲乙两个国家的人口情况如下：甲国人口数为75967（千），人口年增长率2.0%；乙国人口数为79832（千），年增长率为1.4%，假设两国的人口增长率不变. （1）试建立这两个国家的人口增长模型的数学解析式； （2）作两国的人口增长曲线图，根据图像你能作出怎样的预测. （三）储蓄问题（单利，复利） 练习：某种储蓄按复利计算，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和（本金加上利息）为y元。已知：1176 0225 .15= .1 （1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式。 （2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和。（四）归纳总结： ①指数增长模型 设原有产值为N，平均增长率为p，则经过时间x后的总产值y可以用x 1(+ =表示； N P y) ②指数减少模型 设原有产值为N，平均减少率为p，则经过时间x后的总产值y可以用x 1(- =表示。 N y) P （五）作业：4.2（2） 对数函数及其性质 一、教材分析 本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念 体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。 五、教学重点与难点 重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响． 六、教学过程设计 教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结 （一）熟悉背景、引入课题 【课题】4.6指数函数与对数函数的应用 【教学目标】 知识目标： ⑴掌握实数指数幂的运算法则； ⑵通过几个常见的幂函数，了解幂函数的图像特点. 能力目标： ⑴正确进行实数指数幂的运算； ⑵培养学生的计算技能； ⑶通过对幂函数图形的作图与观察，培养学生的计算工具使用能力与观察能力. 【教学重点】 有理数指数幂的运算． 【教学难点】 有理数指数幂的运算． 【教学设计】 ⑴在复习整数指数幂的运算中，学习实数指数幂的运算； ⑵通过学生的动手计算，巩固知识，培养计算技能； ⑶通过“描点法”作图认识幂函数的图像，通过利用软件的大量作图，总结图像规律； ⑷通过知识应用巩固有理数指数幂的概念. 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 过 程 行为 行为 意图 间 总结：这两个函数的定义域不同,在定义域内它们都是增函数．两个函数的图像都经过坐标原点和点(1,1)． 例7 指出幂函数2y x -=的定义域，并作出函数图像． 分析 考虑到221 x x -=，因此定义域为00-∞+∞U （，）（，），由于 22 11 ()x x = -，故函数为偶函数．其图像关于y 轴对称，可以先作出区间(0,)+∞内的图像，然后再利用对称性作出函数在区间(,0)-∞内的图像． 解 2y x -=的定义域为00-∞+∞U （，）（，）．由分析过程知道函数为偶函数．在区间(0,)+∞内，设值列表如下： 以表中的每组,x y 的值为坐标，描出相应的点),(y x ，再用光滑的曲线依次联结各点，得到函数在区间(0,)+∞内的图像．再作出图像关于y 轴对称图形，从而得到函数2 -=x y 的 图像，如下图所示． x (1) 2 1 2 … y … 4 1 1 4 … 引领 归纳 质疑 分析 强调 讲解 观察 体会 思考 理解 主动 求解 领会 的方 法 突出 数形 结合 的数 学思 想 注意 是否 理解 知识 点 可以 适当 交给 学生 自我 探究 本科毕业论文（设计） ( 2013届) 指数函数的多项式展开及其应用 院 系 数学系 专 业 数学与应用数学 姓 名 许月 指导教师 齐继兵 职 称 讲师 等 级 摘要 指数函数是基本的初等函数，它的性质及其多项式逼近形式应用非常广泛.本文将主要围绕指数函数的多项式展开式进行研究，首先论述了指数函数的泰勒展开式的概念，给 出了泰勒公式的一种证明，利用MATLAB做出了指数函数与其不同多项式逼近函数的图像， 并进行了误差分析和比较.简要介绍了自然指数函数展开式的两种多重分割法的概念及性 质.接着又讨论了指数函数的泰勒展开式在求解非线性发展方程，求解极限，近似估值以 及在不等式证明当中的应用.这些应用反映了利用指数函数展开式及相关性质在解决一些 问题中的技巧和方法，有助于进一步深入理解指数函数及其多项式展开在解决实际问题中 的重要作用. 关键词：指数函数初等函数多项式泰勒展开 装 订 线 ABSTRACT Exponential function is the basic elementary function, it has a very wide range of properties and its application form of polynomial approximation. This paper will mainly focus on the exponential polynomial expansion is studies, firstly discusses the concept of Taylor expansion of exponential function, one can prove the Taylor formula, using MATLAB to make the exponential function with different images of the polynomial approximation function, and the error analysis and comparison. Nature of exponential function expansion is briefly introduced the concept of two multiple segmentation and nature, and then discussed the Taylor expansion of exponential function in solving nonlinear evolution equations, the solving limit, approximate valuation as well as the application in the middle of the inequality proof. These applications reflects the use of exponential function expansion and related properties in the methods and skills in solving some problems, will help to further understand exponential and polynomial expansion’s important role in solving practical problems[10]. Key words:exponential function elementary function polynomial Taylor expansion 装 订 线 指数函数应用举例 明确目标 指数函数在自然科学和经济生活中有着广泛的应用，要了解指数函数的实际应用举例，能够应用指数函数的性质解决简单的实际问题。 合作交流 例1 某市2008年国内生产总值为20亿元，计划在未来10年内，平均每年按8％的增长率增长，分别预测该市2013年与2018年的国内生产总值（精确到亿元） 例2 设磷-32经过一天的衰变，其残留量为原来的％.现有10g磷-32，设每天的衰变速度不变，经过14天衰变还剩下多少克（精确到） 探究展示 由上面两例题中的函数解析式都可以写成y=ca x的形式，其中c>0为常数，底a>0且a1 ≠.函数模型y=ca x叫做指数模型.当a>1时,叫做指数增长模型;当0 函数的应用举例 导读：本文是关于函数的应用举例，希望能帮助到您！ 教学目标 1. 能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简单的实际问题． (1) 能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义． (2) 能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题． (3) 能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题． 2. 通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值． 3. 通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解． 教学建议 教材分析 （1）本小节内容是全章知识的综合应用．这一节的出现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识．所以培养学生分析解决问题 的能力和运用数学的意识是本小节的重点，根据实际问题建立数学模型是本小节的难点． （2）在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．．事业本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识． 教法建议 （1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多．事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要．（2）对于应用问题的处理，第二步应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决．此类题目一般都是分为这样三步进行．（3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题．在选题时应以以上几方面问题为主． 教学设计示例 函数初步应用 教学目标 1.能够运用常见函数的性质及平面几何有关知识解决某些简指数函数综合运用
指数函数与对数函数综合运用
4.2.2指数函数应用举例
指数函数与对数函数的实际应用
指数对数函数应用举例教案
指数函数实际应用
指数函数例子
指数函数对数函数应用教案
指数函数多项式展开及其应用讲解
指数函数应用举例
函数的应用举例