贝塞尔函数及其应用

题目：贝塞尔函数及其应用

摘要

贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。

本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程,并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等,并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶－贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用,一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。

关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式

目录

一、起源.......................................................................................................... 错误!未定义书签。

（一）贝塞尔函数的提出...................................................................... 错误!未定义书签。

（二) 贝塞尔方程的引出?错误!未定义书签。

二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。

(一）贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。

1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。

2. 第二类贝塞尔函数 (6)

3. 第三类贝塞尔函数?错误!未定义书签。

4. 虚宗量的贝塞尔函数................................................................... 错误!未定义书签。

（二）贝塞尔函数的递推公式?错误!未定义书签。

（三）半奇数阶贝塞尔函数?错误!未定义书签。

(四) 贝塞尔函数的零点?错误!未定义书签。

（五) 贝塞尔函数的振荡特性................................................................ 错误!未定义书签。

三、 Fourｉer－Bｅssｅｌ级数?错误!未定义书签。

(一) 傅里叶－贝塞尔级数的定义?错误!未定义书签。

（二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开?错误!未定义书签。

四、贝塞尔函数的应用?错误!未定义书签。

(一）贝塞尔函数在光学中的应用...................................................... 错误!未定义书签。

(二）贝塞尔函数在调频制中的应用.................................................... 错误!未定义书签。附录 ................................................................................................................... 错误!未定义书签。

一、起源

（一）贝塞尔函数的提出

随着科学技术的发展,数学的应用更为广泛。在许多科技领域中,微积分及常微分方程已经不能够满足我们的需要,数学物理方程理论已经成为必须掌握的数学工具。它们反映了未知函数关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系，同时刻画了物理现象和过程的基本规律。它的重要性，早在1８世纪初就被人们认识。在1715年，泰勒将弦线的横向振动问题归结为著名的弦振动方程2tt xx u a u =。以后，伯努利从弦发出声音的事实，得出该方程的三角级数解。在

此基础上，傅里叶在理论上完成了解此方程的方法。同时欧拉和拉格朗日在研究流体力学、拉普拉斯在研究势函数、傅里叶在研究热传导等物理问题中,导出了一系列重要的数学物理方程及其求解方法，取得了重要的成就。而这其中,18世纪中叶由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出的贝塞尔函数的几个正数阶特例引起了数学界得兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利,欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。１817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架,后人以他的名字来命名了这种函数 。

贝塞尔函数是一类特殊函数的总称，贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到

的是整阶形式n =α；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式2

1n +=α，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位,其中最典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题;圆柱体中的热传导问题；圆形(或环形）薄膜的振动模态分析问题等。

（二）贝塞尔方程的引出

有圆形薄盘,上下两面绝热,圆盘边界上的温度始终保持为0,且初始温度分布已知,求圆盘内的瞬时温度分布规律。

设圆形薄盘的半径为R,这个问题可以归结为求解下列问题:

22222222220(),,0,

|0,

|(,),.

t xx yy x y R t u a u u x y R t u u x y x y R ?+===++<>==+≤

应用分离变量法求这个问题的解,为此令

(,,)(,)()u x y t V x y T t = 为第一个方程的非零解,代入该方程得

T

V V a VT yy xx )('2+=

化简并引入参数λ得 λ-=+=V V V T a yy xx 2T )0(>λ

由此我们得到下面关于函数Ｔ(ｔ）和Ｖ(x,y)的方程

'2()()0T t a T t λ+=, (1-１) 0

xx yy V V V λ++=, (１-2)

由式(1-１）得 2()a t T t Ae λ-=

方程(1-２)称为H ｅlm ｈolt ｚ方程，为了求出这个方程满足边界条件

222|0x y R V +==

的非零解,我们采用平面上的极坐标系,则该定解问题转化为

22222110,V V V V λρρρρθ???+++=??? ,02,R ρθπ<≤≤ (１－3)

|0,R V ρ== 02θπ≤≤.

(1-4)

再令()θρθρΦ=)P(),(V ，代入方程(1-3)得

'''''2110P P P P λρρΦ+Φ+Φ+Φ=,

引入参数μ

''2'''2P P P P ρρλρμΦ++=-=-Φ,

于是有

''0μΦ+Φ=， (1-5) 2'''2()0P P P ρρλρμ++-=. (1－6)

由于温度函数),,(u t y x 是单值的,所以),(y x V 也必是单值函数，而），（θρ与

），（πθρ2+在极坐标系表示同一点,因此）（θΦ应该是以2π为周期的函数,即)2()()()(πθρθρ+Φ=ΦP P ,这就决定了),2,1,0(n 2 ==n μ,由此该方程(1-5)的解为

001()2a θΦ=, （0

a 为常数)， ()cos sin n n n a n

b n θθθΦ=+， 1,2,3,n =…

将2n =μ代入方程(1-6）,得

2'''22()0P P P n P ρρλ++-=，

这个方程称为n 阶贝塞尔方程。由式(1-４)得

()0P R =.

由于圆盘上的温度是有限的，特别在圆心处也应如此,于是+∞<|P(0)|，因此原定解问题的最后解决归结为求解下列问题：

2'''22()()()()0,,()0(0).P P n P R P R P ρρρρλρρρ?++-=

的特征值与特征函数。 若令ρλ=x ,并记)()(λx

P x y =，则得

2'''22()()()()0x y x xy x x n y x ++-=. （1-７)

上式是贝塞尔方程最常见的形式,它是一个具有变系数的二阶线性常微分方程，它的解称为贝塞尔函数。

二、贝塞尔函数的基本概念

（一）贝塞尔函数的定义

定义满足本征方程

22222()()()d d x x x y x n y x dx dx ++= (2-1）

的函数()y x 为贝塞尔函数,n 为贝塞尔函数的阶。本征方程也可以表述为

22222():()()d d x x x y x n y x dx dx ++

在圆柱坐标系和球坐标系中解波动方程,用分离变量法都可得到径向函数满足的微分方程正好就是贝塞尔方程.

圆柱波径向方程

2

221()()0d dR m k R d d ρρρρρ+-=

球波径向方程

22221(1)()[]0d dR l l r k R r dr d r ρ++-=

令=,()(),kr y r ξξ=上式可写成

22

2221()()()(),2d d y l y d d ξξξξξξξ++=+ 这是半奇数阶的贝塞尔方程。

方程(2-１)是在解决圆盘上温度分布的具体情况下得到的,因此方程中的常数n 一般取为整数或零。当n 和x 为任意实数或复数时,该方程也被称为贝塞尔方程,其解也叫做贝塞尔函数。

我们使用Fro ｂｅnius 方法求解贝塞尔方程。注意到ｎ阶贝塞尔方程中y '与y ''前得系数在x=0处为零,即该方程在x=0处退化。如果用x 2除以方程的两边，

则y 与y '前得系数在ｘ＝0处有奇性。正因为如此，在用幂级数方法求解方程(2－1)时,要设该方程的级数解为

00()0k r

k k y x c x c ∞+==≠∑ （2-2)

其中r 为常数。下面来确定ｒ和),2,1,0( =k c k ,为此将式(２-2）及

1

'()k r k k y c k r x ∞+-==+∑，

2

0''()(1)k r k k y c k r k r x ∞+-==++-∑.

代入方程(２-１）中,得到关于x 的恒等式

22221220122()[(1)]{[()]}0

r r k r k k k r n c x r n c x r k n c c x ∞++-=-++-++-+=∑

故有

220()0;r n c -= （２-３)

221[(1)]0;r n c +-= (２－4)

222[()]02,3,k k r k n c c k -+-+==… (2－5)

由于c 0≠0,得r=n,或r=-n 由（２-4）得c 1=0；

1. 第一类贝塞尔函数

贝塞尔方程有如下形式的级数解0

k r k k y c x ∞

+==∑，其中,

010,0,,c c r n ≠==±n 为任意实数， 展开系数有递推公式2(2)k k c c k n k -=-+. 实际上将0

k r k k y c x ∞+==∑代入方程（2－１）得

2

200[()(1)()]()k r k r k k k

k k k c k r k r c k r n c x c x ∞∞

+++==++-++-=-∑∑. 比较同次项的系数,得

22[()(1)()]k k c k r k r k r n c -++-++-=-,

即

222[()]k k c k r n c -+-=- .

(i)取r=n ，则有

2(2)

k k c c k n k -=-+. 于是用10c =表示的奇数项3570c c c ===???=； 而偶数项246,,,c c c …都可用0c 表示,即

022(1)2!(1)(2)()

m m

m c c m n n n m -=?++???+. 因此级数解的一般项为 202(1)2!(1)(2)()m n

m

m c x m n n n m +-?++???+， 其中0c 为任意常数，当0c 取一定值,就得到贝塞尔方程的一个解（由比值法知,级数解0k r k k y c x ∞

+==∑的收敛半径R =+∞)．

取常数012(1)

n c n =Γ+，这样选取0c 有两个好处:一是可使一般项系数中2的次数与x 的次数相同；二是可以运用下列恒等式

()(1)(2)(1)(1)(1)n m n m n n n n m ++-++Γ+=Γ++

使分母简化,从而使一般项的系数变成

221(1)2!(1)

m m n m c m n m +=-Γ++， 由此得到的贝塞尔方程的级数解，此级数的和函数称为n 阶第一类贝塞尔函数，记为()n J x ,

201()(1)()!(1)2

m

m n n m x J x m n m ∞+==-Γ++∑ (2-６) n 为正整数或零时,(1)()!n m n m Γ++=+， 因此为正整数时

201()(1)()!()!2

m

m n n m x J x m n m ∞+==-+∑ . 显然，当n 为偶数时，()n J x 为偶函数；当n 为奇数时,()n J x 为奇函数。

（i ｉ)当r n =-，同样可得贝塞尔方程的另一特解

201()(1)()!(1)2

m

m n n m x J x m n m ∞--==-Γ-++∑ (2－７)

对于上式应注意两点：

1） 由于(1)0N m -++<时，(1)N m Γ-++→±∞，对于1m N <-的项，系数为0,于是

21()(1)()!(1)2

m m N N m N x J x m N m ∞--==

-Γ-++∑ 2) 比较(2-６)与(2-7)两式可知,不论n 为何实数,总可以用（1.4.２)式统一地表示第一类贝塞尔函数。

2. 第二类贝塞尔函数

1) 当n 不为整数时,分析函数()n J x 与()n J x -在0x =附近的性态(设

0,()0,()(0)n n n J x J x x ->→→∞→)，可知()n J x 与()n J x -线性无关,因此贝塞尔方程的通解为

()()n n y AJ x BJ x -=+

其中,A B 为任意常数.