两体质心公式与应用

1. 两体质心公式

2. 两体质心公式在静力学中的应用

3. 两体质心公式在动力学中的应用

两体质心公式

如图1所示，质点系由质量分别是1m 和2m 、相距l 的两个质点构成，则其质心C 的位置

由公式

l b a a

b m m =+=21 (1.1)

确定。

图1 两体质心

2. 两体质心公式在静力学中的应用 4. 两体质心公式在动力学中的应用例1

]

1[一个人从船的一头走到另一头，如人和船的重量分别是P 和Q ，船长为a 2。若忽略水

的阻力，问船移动多少？

图2 船移动问题

解：如图1，设开始0t t =时，人、船和系统的质心分别在人C 、船C 和C 处，由(1) a Q

P P

CC +=

=?船 (1) 当人由船的右端走到左端时(0t t =)，人、船的质心分别在人

C '、船C '处，若忽略水阻力的影响，及开始是系统是静止的，故系统质心C 点位置保持不变，于是

a Q

P P

C C +='=?船

(2) 由(1)(2) 当人由船的右端走到左端时，船移动距离

P Pl

a Q P P C C +=+=?='22船船

(3) 如果船的质量分布不是关于中间对称的，(3)式仍然成立。并且有：

命题1 如果两个物体开始静止，并水平方向受合力为零。若重为P 的物体在重Q 物体上运动，相对位移为l ，那重Q 物体质心移动的距离为)/(Q P Pl +。

例2

]

1[三角木块B 放置光滑的水平面上，三角木块A 从B 的顶端自由地滑到底端，若B 的质

量是A 的三倍，问木块B 移动多少？

图3 三角木块自由下滑

解：当三角木块A 从B 的顶端自由地滑到底端时，其相对B 的位移为a b -，由命题1，B 的位移为4/)(a b -。

例3

]

1[如图4示浮动起重机举起质量kg m 20001=的重物。设起重机质量kg m 200002=，杆

长m l 8=；开始时杆OA 与铅直位置成0

60角，水的阻力和杆重均略去不计。当起重机杆OA 转到与铅直位置成0

30角时，求起重机的位移。

解：当杆OA 由与铅直位置成060角转至0

30角时，重物相对起重机的水平位移为 )30sin 60(sin 0

-l 由命题1，起重机的位移为

m l m m m 266.0)30sin 60(sin 002

=-+

图 4 浮动起重机例4

]

1[质块A 与小球B 用一根无重连结，并将质块A 放置在光滑的水平面上，如图5。若将杆

和小球转动一个角度，并由静止释放，试确定小球的运动轨迹。已知质块A 和小球B 的质量分别为A m 和B m ，杆长为l 。

图 5 椭圆摆解：设C 是系统的质心。利用两体质心公式(1.1)，得

l m m m CB e B

A A

= (1)

取过质块A 质心的水平线为x 轴，取过初始时刻系统质心的铅直线为y 轴。由于系统开始静止，系统质心C 始终在y 轴上。由图5 ??cos ,sin l y e x B B == (2)

上式消去?，得

1)/11(2222=++l y l m m x B

B B (3)

故小球B 的轨迹是椭圆。有趣是，当0/→A B m m 时，l e →，这时椭圆摆就变成了单摆了。例5]1[ 电机外壳固定在水平基础上。设电动机外壳和定子的质量为0m ，转子的质量为m 。由于制造误差，转子质心O '偏离转动轴，偏心距e O O ='。已知转子以角速ω转动。求基础对电机的约束反力的主矢。

图 6 电机支座反力

体重指数的计算公式

体重指数的计算公式在日常生活中，人们常用体重来衡量一个人胖瘦。所谓体重就是人体各器官、骨骼、脂肪等组织和体液的总重量。在骨骼、体液各方面基本相似的情况下，人与人间脂肪的多少则成为胖瘦的主要原因。医学界常采用体重指数来衡量。体重指数可因国籍、年龄不同而不同。我国成年人以19-24为正常值，如果体重指数在24-26之间为超重，大于26则被认为轻度肥胖，大于28则被认为明显肥胖。肥胖是当今人们普遍关心的问题，引起肥胖的原因很多，除了疾病的因素外，进食多而消耗少，代谢失去平衡，或内分泌功能异常，或遗传的因素等都可引起肥胖。人体肥胖主要是脂肪细胞体积增大，数量增多的结果。一般女性在妊娠哺乳期后会出现腹部、腰部、臀及大腿部的肥胖，或者人到中年，出现腹部、臀部、颏颈部脂肪地堆积。也有的人只是局部脂肪的堆积，这样直接影响了体型的优美，从而使这些人达不到完美的标准，以致影响到精神和社会活动。另外肥胖还可以合并高血脂症、高血压、冠心病、糖尿病、胆囊炎、胰腺炎等疾病，直接威胁到人体健康。所以减肥对增进人体健康有着十分重要的意义。吸脂术是一种新的减肥方法，它是利用负压吸除皮下过多的肥大脂肪细胞，从而改善体型，达到健美的目的。这是一种运用外科手术，通过小切口（一般为0.5厘米左右）在脂肪层插入抽吸管，接负压吸引器抽吸脂肪，能有效治疗肥胖。腹部抽吸后腹围能缩小4-5厘米，最理想的能达到8-10厘米。抽吸后利用皮肤弹性回缩力再加上弹力紧身衣塑形，可以立竿见影地收到减肥的效果。哪些人适合做吸脂术呢？一般来说局部脂肪堆积或以局部堆积为主的轻、中度肥胖及皮肤弹性良好的年轻人适合脂肪抽吸术。就部位而言，腹部、腰部、臀大腿内外侧、颏颈部、上臂外侧及肩部适合吸脂术。但是脂肪抽吸术毕竟属于外科手术范畴，所以必须经过医生检查同意，方可考虑接受脂肪抽吸术，并要做好充分的准备工作。还需指出的是：吸脂术虽然吸出了多余的脂肪细胞，在一定程度上减少了肥胖，但如果不节制饮食，不加强体育锻炼，术后过一段时间，又会发生脂肪堆积。因此，要想体形健美，只有科学饮食，坚持体育锻炼，必要时采用手术性减肥方法，综合地防治肥胖的发生，才能达到体型美的完美状态。

二倍角公式的应用,推导万能公式

课题十：二倍角公式的应用，推导万能公式教学第一环节：衔接阶段回收上次课的教案，检查学生的作业，做判定。了解家长的反馈意见通过交流，了解学生思想动态，稳定学生的学习情绪了解学生上次学习的情况，查漏补缺，为后面的备课方向提供依据教学第二个环节：教学内容一、解答本章开头的问题：令AOB = , 则AB = a cos OA = a sin ∴S 矩形ABCD = a cos ×2a sin = a 2sin2 ≤a 2 当且仅当 sin2 = 1，即2 = 90， = 45时, 等号成立。此时，A,B 两点与O 点的距离都是a 2 2 二、半角公式：在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的例一、求证：α +α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222 证：1在 α-=α2sin 212cos 中，以代2，2 α代即得： 2sin 21cos 2α-=α ∴2 cos 12sin 2α-=α 2在 1cos 22cos 2-α=α 中，以代2，2 α代即得： 12 cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3以上结果相除得：α +α-=αcos 1cos 12tan 2 注意：1左边是平方形式，只要知道2 α角终边所在象限，就可以开平方。 2公式的“本质”是用角的余弦表示2 α角的正弦、余弦、正切 3上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 4 还有一个有用的公式：α α-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan （课后自己证）三、万能公式 B C a A O D

三角函数的二倍角公式及应用

三角函数的二倍角公式及应用一．考点要求 1、熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能灵活应用； 2、领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美 3、公式应用的方法与技巧。二、公式再现； 1、二倍角公式； sin2a= 2sinacosa 。 cos2a =22cos sin αα- = 22cos 1α-= 21sin α- tan2a= 22tan 1tan αα - 2、降幂公式；2 2cos 1sin ,2 2cos 1cos 22α αα α-= += 三；闯关训练 A 、类型一公式逆用逆用公式，换个角度豁然开朗，逆过来看茅塞顿开，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现； 1、求下列各式的值 ()；??cos15sin151 ()8 s i n 8 c o s 22 2 π π - () ? -?5.22tan 15.22tan 32 ； ()15.22cos 242 -? B 、、类型二----公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感

知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的。 2、已知(),5 3 sin -=-απ求α2cos 的值。 3、已知?? ? ??∈-=ππ ααα,2 ,sin 2sin ，求αtan 的值。 C 、、类型三----化简 ()()()2 4441sin cos ;2cos sin a a θθ +-、四．能力提升； 1，已知,128,5 4 8 cos παπα <<-=求4 tan ,4 cos ,4 sin α αα的值 2、已知,2 4,1352sin π απα<<=求ααα4tan ,4cos ,4sin 的值。 3、化简 ()() 11 1sin cos cos 2;2; 1tan 1tan x x x θθ--+ 4.x x - 5. 求值：（1）0000sin13cos17cos13sin17+ （2）0 1tan 751tan 75+- （3）2 2 cos sin 8 8 π π - 6.已知a ，β都是锐角，cosa=17 ，cos ()αβ+=11 14 -，求cos β的值。 7、已知tan()3,tan()5αβαβ+=-=求tan2a 及tan 2β的值。 8、求值0000tan 70tan1070tan10- 9、.已知函数 2cos cos x x x +，求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间。五；高考链接

高中数学北师大版高一必修4试题 3.3.1二倍角公式及其应用

1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 解析：f (x )＝12sin 2x ∈ [－12，12 ]．答案：B 2．已知sin ????π2＋α＝13 ，则cos(π＋2α)的值为( ) A ．－79 B.79 C.29 D ．－23 解析：∵sin(π2＋α)＝13，∴cos α＝13 . 则cos(π＋2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α ＝1－29＝79. 答案：B 3．已知等腰三角形底角的余弦值为23 ，则顶角的正弦值是( ) A.459 B.259 C ．－459 D ．－259 解析：令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α， ∵cos α＝23 ，0<α<π， ∴sin α＝53 . ∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α ＝2×23×53＝459 . 答案：A 4．已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59 ，则sin 2θ等于( ) A.223 B ．－223 C.23 D ．－23 解析：∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2 (sin θcos θ)2＝59 ， ∴(sin θcos θ)2＝29 . ∵θ为第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0， ∴sin θcos θ>0，∴sin θcos θ＝23 .

∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝223 . 答案：A 5．已知α为第二象限角，sin α＝35 ，则tan 2α＝______. 解析：由于α为第二象限角，且sin α＝35 ， ∴cos α＝－45.∴tan α＝－34 ， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－34)1－(－34)2＝－321－916 ＝－247. 答案：－247 6．已知0<α<π2，sin α＝45，则sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α ＝________. 解析：∵0<α<π2，sin α＝45 ， ∴cos α＝35 . ∴sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1 ＝(45)2＋2×45×353×925 －1＝20. 答案：20 7．已知sin α＝cos 2α，α∈(0，π2 )，求sin 2α的值．解：∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴sin α＝－1或sin α＝12 . 又∵α∈(0，π2)，∴sin α＝12，α＝π6. ∴cos α＝32.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×12×32＝32 . 8．在△ABC 中，若cos A ＝13，求sin 2B ＋C 2 ＋cos 2A 的值．解：sin 2 B ＋ C 2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1 ＝12＋12×13＋2×(13)2－1＝－19.

指数对数概念及运算公式

指数函数及对数函数重难点根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）（注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例求值（1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值

（1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5）6323 1.512??= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠）例：比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为 O x y a d c b