八年级三角形解答题(培优篇)(Word版 含解析)

八年级三角形解答题（培优篇）（Word版含解析）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．

(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；

(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．

①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；

②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；

③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝1

3

∠CAB，∠CDP＝1

3

∠CDB”，试探究∠P与

∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．

【答案】(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)由三角形内角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC，∠B+∠D=180°﹣∠BOD，由对顶角相等，得到∠AOC=∠BOD，因而∠A+∠C=∠B+∠D；

(2)①以线段AC为边的“8字形”有3个，以O为交点的“8字形”有4个；

②根据(1)的结论，以M为交点“8字型”中，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP，两等式相加得到

2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，由AP和DP是角平分线，得到

∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，从而∠P=1

2

(∠B+∠C)，然后将∠B=100o，∠C=120o代入计算即可；

③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C.

【详解】

解：(1)在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，

∵∠AOC＝∠BOD，

∴∠A+∠C＝∠B+∠D；

(2)解：①以线段AC为边的“8字型”有3个：

以点O为交点的“8字型”有4个：

②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP

∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，

∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，

∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，

∴2∠P＝∠B+∠C，

∵∠B＝100°，∠C＝120°，

∴∠P＝1

2（∠B+∠C）=1

2

（100°+120°）＝110°；

③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：

∵∠CAP＝1

3∠CAB，∠CDP＝1

3

∠CDB，

∴∠BAP＝2

3∠CAB，∠BDP＝2

3

∠CDB，

以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，

以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP

∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝1

3

（∠CDB﹣∠CAB），

∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝2

3

（∠CDB﹣∠CAB）．

∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，

∴3∠P＝∠B+2∠C．

故答案为：(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.【点睛】

本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．

2．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．

（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE 分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．

（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．

【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45° 【解析】 【分析】

（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出1BAE OAB 2∠=∠，1

ABE ABO 2

∠=∠，由三角形内角和定理即可得出结论；

（2）延长AD 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB=90°，进而得出OAB OBA 90∠+∠=? ，故PAB MBA 270∠+∠=?，再由AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知1BAD BAP 2∠=

∠，1

ABC ABM 2

∠=∠，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知

CDE DCE 112.5∠+∠=?，进而得出结论；

（3））由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知

1EAO BAO 2∠=∠,1

EOQ BOQ 2

∠=∠ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO

和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论． 【详解】

（1）∠AEB 的大小不变，

∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ， ∴∠AOB=90°，

∴OAB OBA 90∠+∠=?，

∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线， ∴1BAE OAB 2∠=

∠，1

ABE ABO 2

∠=∠， ∴()1

BAE ABE OAB ABO 452

∠+∠=∠+∠=°， ∴∠AEB=135°；

（2）∠CED 的大小不变． 如图2，延长AD 、BC 交于点F ． ∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，

∴90∠=AOB °，

∴OAB OBA 90∠+∠=°， ∴PAB MBA 270∠+∠=°，

∵AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线， ∴1BAD BAP 2∠=

∠，1

ABC ABM 2

∠=∠， ∴()1

BAD ABC PAB ABM 1352

∠+∠=

∠+∠=°，F 45∠=°， ∴FDC FCD 135∠+∠=°， ∴CDA DCB 225∠+∠=°，

∵DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线， ∴CDE DCB 112.5∠+∠=°， ∴E 67.5∠=°；

（3）∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ， ∴1EAO BAO 2∠=

∠,1

EOQ BOQ 2

∠=∠ ， ∴()11

E EOQ EAO BOQ BAQ ABO 22

∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∵AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线， ∴EAF 90∠=°．

在△AEF 中，

∵有一个角是另一个角的3倍，故有：

①EAF 3E ∠=∠，E 30∠=°，ABO 60∠=°； ②EAF 3F ∠=∠，E 60∠=°，ABO 120∠=°； ③EAF 3E ∠=∠，E 22.5∠=°，ABO 45∠=°； ④EAF 3F ∠=∠，E 67.5∠=°，ABO 135∠=°． ∴∠ABO 为60°或45°． 【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．

3．如图，在△ABC 中，已知AD BC ⊥于点D ，AE 平分()BAC C B ∠∠>∠ （1）试探究EAD ∠与C B ∠∠、的关系；

（2）若F是AE上一动点，当F移动到AE之间的位置时，FD BD

⊥,如图2所示，此时EFD C B

∠∠∠

与、的关系如何？

（3）若F是AE上一动点，当F继续移动到AE的延长线上时，如图3，FD BC

⊥，①中的结论是否还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论.

【答案】（1）∠EAD=1

2

（∠C-∠B），理由见解析；

（2）∠EFD=1

2

（∠C-∠B），理由见解析；

（3）∠AFD=1

2

（∠C-∠B）成立，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）由图不难发现∠EAD=∠EAC-∠DAC，再根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义分别用结论中出现的角替换∠EAC和∠DAC；

（2）作AG BC

⊥于G转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决；

（3）作AH BC

⊥于H转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决．

【详解】

解：（1）∠EAD=1

2

（∠C-∠B）.理由如下：

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE=1

2

∠BAC

∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）

∴∠EAC=1

2

[180°-（∠B+∠C）]

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C ， ∵∠EAD=∠EAC-∠DAC

∴∠EAD=

12 [180°-（∠B+∠C ）]-（90°-∠C ）=1

2（∠C-∠B ）． （2）∠EFD=1

2

（∠C-∠B ）.理由如下：

作AG BC ⊥于G

由（1）可知∠EAG=1

2

（∠C-∠B ） ∵FD BD ⊥，AG BC ⊥ ∴FD ∥AG

∴∠EAG=∠EFD

∴∠EFD=

1

2

（∠C-∠B ） （3）∠AFD=

1

2

（∠C-∠B ）．理由如下：

作AH BC ⊥于H

由（1）可知∠EAH=

1

2

（∠C-∠B ） ∵FD BD ⊥，AH BC ⊥ ∴FD ∥AH

∴∠EAH=∠AFD

∴∠AFD=1

2

（∠C-∠B ）

【点睛】

本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的定义和三角形内角和定理是解答此题的关键．

4．探究：

（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求证：∠P＝90°+1

2

∠A．

（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．

（3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论．

【答案】（1）见解析；（2）1

2

∠A＝∠P，理由见解析；（3）∠P＝90°﹣

1

2

∠A，理由见

解析

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的性质进行解答即可：

（2）根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果，

（3）根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明.

【详解】

证明：（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．

又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

∴∠PBC＝1

2

∠ABC，

∠PCB＝1

2

∠ACB，

∴∠PBC+∠PCB＝1

2

（180°﹣∠A），

根据三角形内角和定理可知∠BPC＝180°﹣1

2

（180°﹣∠A）＝90°+

1

2

∠A；

（2）1

2

∠A＝∠P，理由如下：

∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，

∴∠PBC＝1

2

∠ABC，∠PCE＝

1

2

∠ACE．

∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，

∴1

2

∠ACP＝

1

2

∠ABC+

1

2

∠A，

∴1

2

∠ABC+

1

2

∠A＝∠PBC+∠P，

∴1

2

∠A＝∠P．

（3）∠P＝90°﹣1

2

∠A，理由如下：

∵P点是外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）

＝180°﹣1

2

（∠FBC+∠ECB）

＝180°﹣1

2

（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）

＝180°﹣1

2

（∠A+180°）

＝90°﹣1

2

∠A．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解.

5．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．

（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；

（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究

∠A，∠P，∠C的关系并证明；

（3）如图3，在（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究

∠A，∠P，∠C的关系并证明．

【答案】(1) 111o ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.【解析】

【分析】

（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；

（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；

（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到.

【详解】

（1）如图1,延长AD交BC于E，

在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28o+72o=100o，

在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100o+11o=111o ；

（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：

如图2，

∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3

∴∠A+∠1=∠P+∠3

∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC

∴∠1=∠2,∠3=∠4

∴∠A+∠2=∠P+∠4

由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C

∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C

∴∠A－∠C=2∠P

（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:

如图3,

同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2

∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3

∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC

∴∠1=∠2,∠3=∠4

∴∠1+∠4=∠2+∠3

∴∠A+∠C=2∠P

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．

6．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ（其中∠X=90°）放置在△ABC上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY，XZ分别经过B，C两点，且直角顶点X在△ABC内部．

①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= °；∠XBC+∠XCB= °；

②试判断∠A与∠XBA+∠XCA之间存在怎样数量关系？并写出证明过程．

（2）如图2，如果直角顶点X在△ABC外部，试判断∠A、∠XBA、∠XCA之间又存在怎样的数量关系？（只写出答案，无需证明）．

【答案】（1）①140，90；②∠A+∠XBA+∠XCA=90°，证明见解析；（2）

∠A+（∠XBA－∠XCA）=90°

【解析】

试题分析：（1）①根据三角形内角和定理可得

∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∠XBC+∠XCB=180°﹣∠XBC=90°，进而可求出∠ABX+∠ACX 的度数；

②根据三角形内角和定义有90°+（∠ABX+∠ACX）+∠A=180°，则可得出结论．

（2）由②的解题思路可得：∠A+（∠XBA－∠XCA）=90°．

（1）①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= 140 °；

∠XBC+∠XCB= 90 °；

②∠A+∠XBA+∠XCA=90°（或等式的变形也可以）

证明：∵∠X=90°

∴∠XBC+∠XCB=180°－∠X=90°

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠A+（∠XBA+∠XCA）+（∠XBC+∠XCB）=180°，

∴∠A+（∠XBA+∠XCA）=180°－90°=90°，

∴∠A=90°－（∠XBA+∠XCA）

（2）∠A+（∠XBA－∠XCA） =90°．

点睛：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°以及沟通外角和内角的关系．

7．如图①，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(4，1)，C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．

(1)求证：∠OAC＝∠OCA；

(2)如图②，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC

＝1

3

∠AOC，∠PCE＝

1

3

∠ACE，求∠P的大小；

(3)如图③，在(2)中，若射线OP、CP满足∠POC＝1

n

∠AOC，∠PCE＝

1

n

∠ACE，猜想∠OPC

的大小，并证明你的结论(用含n的式子表示)．

【答案】（1）证明见解析（2）15°（3）45 n

【解析】

试题分析：（1）根据AB坐标可以求得∠OAB大小，根据角平分线性质可求得∠OAC大小，即可解题；

（2）根据题干中给出的∠POC=

13∠AOC、∠PCE=1

3

∠ACE 可以求得∠PCE 和∠POC 的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题；

（3）解法和（2）相同，根据题干中给出的∠POC=

1n ∠AOC、∠PCE=1

n

∠ACE 可以求得∠PCE 和∠POC 的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题．

试题解析：(1)证明：∵A (0，1)，B (4，1)，∴AB ∥CO ，∴∠OAB ＝180°－∠AOC ＝90°. ∵AC 平分∠OAB ，∴∠OAC ＝45°，∴∠OCA ＝90°－45°＝45°，∴∠OAC ＝∠OCA .

(2)解：∵∠POC ＝∠AOC ，∴∠POC ＝×90°＝30°.∵∠PCE ＝∠ACE ，∴∠PCE ＝ (180°－45°)＝45°.∵∠P ＋∠POC ＝∠PCE ，∴∠P ＝∠PCE －∠POC ＝15°. (3)解：∠OPC ＝

.

证明如下：∵∠POC ＝∠AOC ，∴∠POC ＝×90°＝.∵∠PCE ＝∠ACE ，∴∠PCE ＝

(180°－45°)＝

.

∵∠OPC ＋∠POC ＝∠PCE ， ∴∠OPC ＝∠PCE －∠POC ＝

.

点睛：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，本题中求∠PCE 和∠POC 的大小是解题的关键．

8．已知，在ABC 中，∠A =60°，

（1）如图①，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC= ； （2）如图②，∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O 1，O 2，则

2_________BO C ∠=；

（3）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -（内部有

1n -个点），则1-∠=n BO C ；

（4）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -，若

190-∠=?n BO C ，求n 的值．

【答案】（1）120°；（2）100°；（3）60120+??

? ???

n n ；（4）n=4 【解析】 【分析】

（1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据角平分线的定义即可求出∠OBC ＋∠OCB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；

（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据三等分线的定义即可求出∠O 2BC ＋∠O 2CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；

（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据n 等分线的定义即可求出∠O n －1BC ＋∠O n －1CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论； （4）根据（3）的结论列出方程即可求出结论． 【详解】

解：（1）∵在ABC 中，∠A =60°， ∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120° ∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ， ∴∠OBC=

12∠ABC ，∠OCB=1

2

∠ACB ∴∠OBC ＋∠OCB=12∠ABC ＋1

2

∠ACB =

1

2（∠ABC ＋∠ACB ） =60°

∴∠BOC=180°－（∠OBC ＋∠OCB ）=120° 故答案为：120°．

（2）∵在ABC 中，∠A =60°， ∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°

∵∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O 1，O 2， ∴∠O 2BC=

23∠ABC ，∠O 2CB=2

3

∠ACB ∴∠O 2BC ＋∠O 2CB=23∠ABC ＋2

3

∠ACB =

2

3（∠ABC ＋∠ACB ） =80°

∴2∠=BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=100° 故答案为：100°．

（3）∵在ABC 中，∠A =60°， ∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°

∵∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O - ∴∠O n －1BC=

1n n -∠ABC ，∠O n －1CB=1

n n

-∠ACB ∴∠O n －1BC ＋∠O n －1CB=

1n n -∠ABC ＋1

n n

-∠ACB

=

1

n n

-（∠ABC ＋∠ACB ） =120120-??

???

n n ° ∴1-∠=n BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=60120+??

? ???

n n 故答案为：60120+??

?

???

n n （4）由（3）知：1-∠=n BO C 60120+??? ???

n n ∴

60120

90+=n n 解得：n=4

经检验：n=4是原方程的解． 【点睛】

本题考查了n 等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握n 等分线的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键．

9．（1）如图①∠1＋∠2与∠B ＋∠C 有什么关系？为什么？

（2）把图①△ABC 沿DE 折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B ＋∠C(填“＞”“＜”“=”)，当∠A ＝40°时，∠B ＋∠C ＋∠1＋∠2＝______. （3）如图③,是由图①的△ABC 沿DE 折叠得到的,如果∠A ＝30°,则

x ＋y ＝360°－（∠B ＋∠C ＋∠1＋∠2）＝360°－ ＝ ,猜想∠BDA ＋∠CEA 与∠A 的关系为

【答案】见解析. 【解析】 【分析】

试题分析：（1）根据三角形内角是180度可得出，∠1+∠2=∠B+∠C ；（2）△ABC 沿DE 折叠，∠1+∠2=∠B+∠C ，从而求出当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°，（3）根据以上计算可归纳出一般规律：∠BDA+∠CEA=2∠A ． 试题解析：

解：（1）∠1+∠2 = ∠B+∠C ，理由如下：

在△ADE 中，∠1+∠2 = 180°- ∠A 在△ABC 中，∠B+∠C = 180°- ∠A ∴ ∠1+∠2 = ∠B+∠C

（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°，∴∠1+∠2=∠B+∠C ，当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°

（3）如果∠A=30°，则x+y=360°-（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°-300°=60°，所以∠BDA+∠CEA 与∠A 的关系为：∠BDA+∠CEA=2∠A.

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2. 三角形内角和． 【详解】

请在此输入详解！

10．如图①．ABC 中，AB AC =，P 为底边BC 上一点，PE AB ⊥，PF AC ⊥，

CH AB ⊥，垂足分别为E 、F 、H .易证PE PF CH +=.证明过程如下：

如图①，连接AP .∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴1

2

ABP

S

AB PE =

?，1

2

ACP

S

AC PF =

?，1

2

ABC

S AB CH =

? 又∵ABP

ACP

ABC

S

S

S

+=，∴AB PE AC PF AB CH ?+?=?

∵AB AC =，∴PE PF CH +=．

如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．

【答案】PE PF CH -= 【解析】 【分析】

参考题设的证明过程，主要思路就是等面积法：ABP

ACP

ABC

S S

S

+=，同样，P 为BC

延长线上的点时，也可以用类似的等面积法：ABP

ACP

ABC

S S

S

=-，即可得出结论．

【详解】

∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴1

2

ABP

S

AB PE =

?，1

2

ACP

S AC PF =

?，1

2

ABC

S

AB CH =

? 又∵ABP

ACP

ABC

S

S

S

=-，∴AB PE AC PF AB CH ?-?=?

∵AB AC =，∴PE PF CH -=． 故答案为：PE PF CH -=． 【点睛】

本题考查几何图形中等面积法的应用，读懂题目，灵活运用题设条件是解题的关键．