(完整版)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
焦点弦
AB 的几条性质
11(,)
A x y 22(,)
B x y
以AB 为直径的圆必与准线l 相切
若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=
若AB 的倾斜角为α，则2
2cos p
AB α
= 2
124
p x x = 212y y p =-
112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p
++===?? 切线 方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+
一． 直线与抛物线的位置关系 直线
，抛物线
，
，消y 得：
（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，
Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）
二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线
，)0(φp
① 联立方程法：
???=+=px
y b
kx y 22
?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出
o
x ()22,B x y
F
y ()11,A x y
b
x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，
2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长
2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a
k ?+=2
1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+
=a
k ?+=2
1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=
， 2
2
10y y y += ② 点差法：
设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得
12
12px y = 22
22px y =
将两式相减，可得
)(2))((212121x x p y y y y -=+-
2
121212y y p
x x y y +=
--
a. 在涉及斜率问题时，2
12y y p
k AB +=
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，
021*******y p
y p y y p x x y y ==+=--， 即0
y p
k AB =
， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p
x p x p x x k AB 0
021222==+=
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存
在，且不等于零）
抛物线练习及答案
1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之
和取得最小值时，点P 的坐标为 。（
4
1
,－1） 2、已知点P 是抛物线2
2y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的
距离之和的最小值为 。
3、直线3y x =-与抛物线2
4y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为 。48
4、设O 是坐标原点，F 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA u u u r
与x 轴正
向的夹角为60o
，则OA u u u r
为 。
5、抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部
分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是 。
6、已知抛物线2
:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，
则AFK ?的面积为 。8
7、已知双曲线22
145
x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 。
8、在平面直角坐标系xoy 中，有一定点(2,1)A ,若线段OA 的垂直平分线过抛物线
22(0)y px p =>则该抛物线的方程是 。
9、在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 。2
8y x =
10、抛物线2
y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 。
4
3
11、已知抛物线y 2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 。32
12、若曲线2
y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 。k =0,-1
13、已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于（ ）C A.3 B.4 C.32 D.42
14、已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，点11
1222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ ）Ｃ
Ａ．123
FP FP FP += Ｂ．22
2
123
FP FP FP +=
Ｃ．2132FP FP FP =+
Ｄ．2
2
13FP FP FP =·
15、已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线2
2(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,
向量OA u u u r ,OB uuu r 满足OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r .设圆C 的方程为22
1212()()0x y x x x y y y +-+-+=。
(1) 证明线段AB 是圆C 的直径;
(2)当圆C 的圆心到直线x-2y=0时，求p 的值。 解： (1)证明1: 22
,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，
222222OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，整理得: 0OA OB ?=u u u r u u u r
，12120x x y y ∴?+?=，
设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ?=u u u r u u u r
，
即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，整理得:22
1212()()0x y x x x y y y +-+-+=，
故线段AB 是圆C 的直径。
证明2: 22
,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，
222222OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，整理得: 0OA OB ?=u u u r u u u r
，
12120x x y y ∴?+?= (1)
设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则即
21
1221
1(,)y y y y x x x x x x x x --?=-≠≠--， 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，
点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将(1)代入得:
221212()()0x y x x x y y y +-+-+=，
故线段AB 是圆C 的直径。
证明3: 22
,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ， 2222
22OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
整理得: 0OA OB ?=u u u r u u u r
，12120x x y y ∴?+?= (1)
以线段AB 为直径的圆的方程为
2222121212121
()()[()()]224
x x y y x y x x y y ++-
+-=-+-， 展开并将(1)代入得:22
1212()()0x y x x x y y y +-+-+=，
故线段AB 是圆C 的直径
(2)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则
121
22
2
x x x y y y +?=???
+?=?? 22
1
1222,2(0)y px y px p ==>Q ，2212122
4y y x x p
∴=，又因12120x x y y ?+?=， 1212x x y y ∴?=-?，2212122
4y y y y p
∴-?=，12120,0x x y y ?≠∴?≠Q ，2
124y y p ∴?=-， 2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +=
=+=++-221
(2)y p p
=+， 所以圆心的轨迹方程为2
2
2y px p =-， 设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则
2
2221|
(2)2|
y p y d +-==
=22=
当y=p 时,d
=
，2p ∴=. 解法2: 设圆C 的圆心为C(x,y),则
121
22
2
x x x y y y +?
=???
+?=?? 22
1
1222,2(0)y px y px p ==>Q ，2212122
4y y x x p
∴=，又因12120x x y y ?+?=，1212x x y y ∴?=-?， 2212122
4y y y y p
∴-?=，12120,0x x y y ?≠∴?≠Q ，2
124y y p ∴?=-， 2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +=
=+=++-221
(2)y p p
=+，
所以圆心的轨迹方程为22
2y px p =-，
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0
,则2m =±，因为x-2y+2=0与22
2y px p =-无公共点,
所以当x-2y-2=0与22
2y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0
的距离最小值为
5
22
220(2)
2(3)
x y y px p --=??=-?L L 将(2)代入(3)得2
2
2220y py p p -+-=，2
2
44(22)0p p p ∴?=--=，0
2.
p p >∴=Q
解法3: 设圆C 的圆心为C(x,y),则
12122
2
x x x y y y +?=???
+?=?? 圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则
12
12|
()|x x y y d +-+=22
1
1222,2(0)y px y px p ==>Q ，22
12122
4y y x x p
∴=，又因12120x x y y ?+?=，1212x x y y ∴?=-?， 2212122
4y y y y p
∴-?=，12120,0x x y y ?≠∴?≠Q ，2
124y y p ∴?=-，
2212122221
|
()()|
y y y y d +-+∴=
=
22
=
， 当122y y p +=时,d
5=
，2p ∴=. 16、已知椭圆C 1:22
143
x y +=,抛物线C 2:2()2(0)y m px p -=>,且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点.
(1)当AB ⊥x 轴时,求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；
(2)是否存在m 、p 的值，使抛物线C 2的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x=1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）. 因为点A 在抛物线上，所以p 249=，即8
9
=p . 此时C 2的焦点坐标为（
16
9
，0），该焦点不在直线AB 上. （2）解法一 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y .
由???
??=+-=134
)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……①
设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝
2
2438k
k +.
因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是过C 2的焦点的弦，
所以)(2
1
4)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且
1212()()22
p p
AB x x x x p =+++=++.
从而12121
4()2x x p x x ++=-+.
所以12463
p
x x -+=，即22
846343k p k -=+. 解得6,62±==k k 即.
因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 3
1
-=.
即3
636-
==m m 或. 当3
6
=
m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当3
6
-
=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 解法二 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程
为)1(-=x k y . 由??
???-==-)
1(38)(2
x k y x m y 消去y 得x m k kx 38)(2
=--. ……①
因为C 2的焦点),3
2
(m F '在直线)1(-=x k y 上，
所以)132(-=k m ，即k m 31-=.代入①有x k kx 3
8
)32(2=-.
即09
4)2(342
22
2=++-k x k x k . ……②
设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）
,
则x 1,x 2是方程②的两根，x 1＋x 2＝
2
23)2(4k
k +.
由???
??=+-=134
)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……③
由于x 1,x 2也是方程③的两根，所以x 1＋x 2＝2
2438k
k +.
从而
2
23)2(4k k +＝
2
2438k k +. 解得6,62±==k k 即.
因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 3
1
-=.
即3
636-
==m m 或. 当3
6
=
m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当3
6
-
=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 解法三 设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）,
因为AB 既过C 1的右焦点)0,1(F ，又是过C 2的焦点),3
2
(m F '，
所以)2
1
2()212()2()2(212121x x p x x p x p x AB -+-=++=+++=. 即9
16
)4(3221=-=
+p x x . ……① 由（Ⅰ）知21x x ≠，于是直线AB 的斜率m m x x y y k 313
20
1
212=--=--=， ……② 且直线AB 的方程是)1(3--=x m y , 所以3
2)2(32121m
x x m y y =
-+-=+. ……③ 又因为?????=+=+12
4312
4322222121y x y x ，所以0)(4)(312122121=--?+++x x y y y y x x . ……④
将①、②、③代入④得3
2
2=m ，即3636-
==m m 或. 当3
6
=
m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当3
6
-
=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 17、如图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。
（1）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；
（2）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。
（1）解：设抛物线的标准方程为px y 22=，则82=p ，从而.4=p 因此焦点)0,2
(p
F 的坐标为（2，
0）.
又准线方程的一般式为2
p
x -
=。从而所求准线l 的方程为2-=x 。
答（21）图 （2）解法一：如图（21）图作AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足为C 、D ，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 记A 、B 的横坐标分别为x x x z ，则|FA|＝|AC|＝4cos ||2
2cos ||2+=++=+a FA p
p a FA p x x 解得a
FA cos 14
||-=
，
类似地有a FB FB cos ||4||-=，解得a
FB cos 14
||+=
。
记直线m 与AB 的交点为E ，则
a
a
a a FB FA FB FA FA AE FA FE 2
sin cos 4cos 14cos 1421|)||(|212||||||||||||=??? ??+--=-=+-=-=， 所以a a FE FP 2sin 4cos ||||==。故8sin sin 2·4)2cos 1(sin 42cos ||||222==-=-a
a
a a a FP FP 。 解法二：设),(A A y x A ，),(B B y x B ，直线AB 的斜率为a k tan =，则直线方程为)2(-=x k y 。 将此式代入x y 82
=,得04)2(42
2
2
2
=++=k x k x k ，故2
2)2(k k k x x B A +=+。
记直线m 与AB 的交点为),(E E y x E ，则
22)2(22k k x x x B A E +=+=，k x k y E E 4)2(=-=，故直线m 的方程为???
? ??+--=-224214k k x k k y . 令y=0,得P 的横坐标44222++-k k x P 故a
k k x FP P 22
2sin 4)1(42||=
+=
-=。
从而8sin sin 2·4)2cos 1(sin 4
2cos ||||2
22
==
-=
-a
a a a
a FP FP 为定值。
18、已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线2
2y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的内接圆（点C 为圆心）
（1）求圆C 的方程；
（2）设圆M 的方程为2
2
(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的
两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF u u u r u u u r
，
的最大值和最小值． （1）解法一：设A B ，两点坐标分别为2112y y ?? ???，，2222y y ??
???
，，由题设知
=．
解得22
1212y y ==，所以(6A ，(6B -，或(6A -，，(6B ． 设圆心C 的坐标为(0)r ，，则2
643
r =
?=，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+=． 解法二：设A B ，两点坐标分别为11()x y ，，22()x y ，，由题设知
22221122x y x y +=+．又因为2112y x =，2
222y x =，可得22112222x x x x +=+．即
1212()(2)0x x x x -++=．由10x >，20x >，可知12x x =，故A B ，两点关于x 轴对称，所以
圆心C 在x 轴上．设C 点的坐标为(0)r ，，则A 点坐标为32r ??
? ???
，于是有2
322r ?=?????，解得4r =，所以圆C 的方程为2
2
(4)16x y -+=．
（2）解：设2ECF a ∠=，则2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-u u u r u u u r u u u r u u u r
g
g g ． 在Rt PCE △中，4cos ||||
x PC PC α=
=，由圆的几何性质得 ||||17PC MC +=≤18+=，||||1716PC MC -=-=≥，
所以12cos 23α≤≤，由此可得1689CE CF --u u u r u u u r g ≤≤．则CE CF u u u r u u u r g
的最大值为16
9-，最小值为8-．
19、若A 、B 是抛物线y 2=4x 上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于
点P ，则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P （x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x 0>2.
（1）证明：点P （x 0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
（2）试问：点P （x 0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x 0表示）：若不存在，请说明理由.
解: （1）设AB 为点P （x 0,0）的任意一条“相关弦”，且点A 、B 的坐标分别是（x 1,y 1）、（x 2,y 2）（x 1≠x 2）,则y 21=4x 1, y 22=4x 2,两式相减得（y 1+y 2）（y 1-y 2）=4（x 1-x 2）.因为x 1≠x 2,所以y 1+y 2≠0.设直线AB 的斜率是k ，弦AB 的中点是M （x m , y m ）,则k=
12121242
m
y y x x y y y -==-+.
从而AB 的垂直平分线l 的方程为 ().2
m
m m y y y x x -=-- 又点P （x 0,0）在直线l 上，所以 0().2
m
m m y y x x -=-
- 而0,m y ≠于是0 2.m x x =-故点P （x 0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x 0-2.
(2)由(1)知，弦AB 所在直线的方程是()m m y y k x x -=-，代入2
4y x =中， 整理得222
2[()2]()0.m m m m k x k y kx x y kx +--+-= （·）
则12x x 、是方程（·）的两个实根，且2
122
().m m y kx x x k
-?= 设点P 的“相关弦”AB 的弦长为l ，则
22222121212()()(1)()l x x y y k x x =-+-=+-
222212121222
222242
22222200(1)[()4]4(1)()2
()44(1)[]
4(4)(4)4(1)164(1)[2(1)]4(1)[2(3)].
m m m m
m m
m
m m m m m m m
m m m m k x x x x k x x x y x y x y y y x y y y x x x y x x y x =++-=+--
=+
-=+-=-+-+=+---=----
因为0<2
m y <4x m =4(x m -2) =4x 0-8,于是设t=2
m y ,则t ∈(0,4x 0-8).
记l 2=g(t)=-[t-2(x 0-3)]2+4(x 0-1)2.，若x 0>3,则2(x 0-3) ∈(0, 4x 0-8),所以当t=2(x 0-3),即2
m y =2(x 0-3)时,l 有最大值2(x 0-1).若2 综上所述，当x 0>3时，点P （x 0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x 0-1）；当2< x 0≤3时，点P （x 0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值. 20、已知曲线C 是到点P （83,21- ）和到直线8 5 -=y 距离相等的点的轨迹。λ是过点Q （-1，0）的直线， l M 是C 上（不在λ上）的动点；A 、B 在λ上，x MB MA ⊥⊥,λ轴（如图）。 （1）求曲线C 的方程；（2）求出直线λ的方程，使得 QA QB 2 为常数。 （1）解：设()N x y ，为C 上的点，则||NP = N 到直线58y =-的距离为58y + 58y =+． 化简，得曲线C 的方程为2 1()2 y x x =+． （2）解法一： 设22x x M x ??+ ?? ?，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +， ，从而||1|QB x =+． 在Rt QMA △中，因为222||(1)14x QM x ??=++ ?? ?，2 2 22 (1)2||1x x k MA k ? ?+- ???=+． 所以2 2 2 2 22 (1)||||||(2)4(1) x QA QM MA kx k +=-=++ . ||QA = 22||2(11 2||||QB k x QA k x k ++=+g ． 当2k = 时， 2 |||| QB QA =l 方程为220x y -+=． 解法二：设22x x M x ?? + ?? ?，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而 ||1|QB x =+． 过Q (10)-，垂直于l 的直线11 :(1)l y x k =-+． 因为||||QA MH = ，所以||QA = 2||1 2||QB x QA x k +=+g ． l 当2k = 时， 2 |||| QB QA =l 方程为220x y -+=． 21、如图，已知点(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点， 过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ． （1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ，已知1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r ， 求12λλ+的值； 解法一：（1）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =u u u r u u u r u u u r u u u r g g 得： (10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--g g ，，，，，化简得2:4C y x =． （2）设直线AB 的方程为： 1(0)x my m =+≠． 设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ? ?-- ??? ， ， 联立方程组241y x x my ?=?=+? ， ，，消去x 得： 2440y my --=，2(4)120m ?=-+>，故 121244y y m y y +=?? =-?，． 由1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r 得： 1112y y m λ+ =-，2222 y y m λ+=-，整理得： 1121my λ=-- ，22 2 1my λ=--，12122112m y y λλ??∴+=-- + ??? 121222y y m y y +=--g 2424m m =---g 0=． 一、抛物线的定义及其应用 例1、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点． (1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值． 例2、(2011·山东高考)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一 点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞) 二、抛物线的标准方程和几何性质 例3、抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，交准线于C 点，点A 在x 轴上方，AK ⊥l ，垂足为K ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则△AKF 的面积是 ( ) A ．4 B ．3 3 C ．4 3 D ．8 例4、过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3则此抛物线的方程为 ( ) A ．y 2＝32x B ．y 2＝9x C ．y 2＝9 2 x D ．y 2＝3x 三、抛物线的综合问题 例5、(2011·江西高考)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1 (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC u u u r ＝ OA u u u r ＋λOB u u u r ，求λ的值． 例6、(2011·湖南高考)(13分)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ， l 2 与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD u u u r · EB u u u r 的最小值 例7、已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离 为2，直线l：y＝－1 2 x＋b与抛物线C交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程； (2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程． 例题答案解析 一、抛物线的定义及其应用 例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1. 由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为 5. (2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4. 例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p＝4，根据已知只要|FM|>4即可．根据抛物线定|FM|＝y0＋2由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．二、抛物线的标准方程和几何性质 例3、设点A(x1，y1)，其中y1>0.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有 |BF| ＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝|BB1| |BC| ＝ 1 2 ，∠CBB1＝ π 3 . 即直线AB 与x 轴的夹角为π3.又|AF |＝|AK |＝x 1＋p 2＝4，因此y 1＝4sin π 3＝23，因 此△AKF 的面积等于12|AK |·y 1＝1 2 ×4×23＝4 3. 例4．分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1、B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |得|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，又|AA 1|＝|AF |＝3， ∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，∴F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝3 2，故抛物线的方程为y 2＝3x . 三、抛物线的综合问题 例5、(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p 2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以：x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x . (2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22， y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)； 设 OC u u u r ＝(x 3，y 3 )＝(1，－2 2)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)． 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)． 即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2. 例6、 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有 x －1 2 ＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝ 2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0. 所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由??? y ＝k x －1y 2 ＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. (7分) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4 k 2，x 1x 2 ＝1. (8分) 因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1 k . 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得 x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)·(x 4＋1) ＝ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 (11分) ＝1＋(2＋4k 2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋1 k 2)≥8＋4×2 k 2·1 k 2＝16. 当且仅当k 2 ＝1 k 2 ，即k ＝±1时， AD u u u r · EB u u u r 取最小值16. 例7 、(1)抛物线y 2 ＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2 ，由抛物线定义和已知条件可知 |MF |＝1－(－p 2)＝1＋p 2 ＝2，解得p ＝2, 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)联立??? y ＝－12x ＋b ，y 2 ＝4x 消去x 并化简整理得y 2＋8y －8b ＝0. 依题意应有Δ＝64＋32b >0，解得b >－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－8， y 1y 2＝－8b ，设圆心Q (x 0，y 0)，则应用x 0＝ x 1＋x 2 2 ，y 0＝ y 1＋y 2 2 ＝－4. 因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，所以圆的半径为r ＝|y 0|＝4. 又|AB |＝x 1－x 2 2 ＋y 1－y 2 2 ＝1＋4y 1－y 2 2 ＝ 5[y 1＋y 2 2 －4y 1y 2]＝5 64＋32b 所以|AB |＝2r ＝5 64＋32b ＝8，解得b ＝－8 5 . 所以x 1＋x 2＝2b －2y 1＋2b －2y 2＝4b ＋16＝485 ， 则圆心Q 的坐标为( 245，－4)．故所求圆的方程为(x －24 5 )2＋(y ＋4)2＝16. 练习题 1．已知抛物线x 2＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2－x 2＝2的上焦点，则a 等于 ( ) A ．1 B ．4 C ．8 D ．16 2．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) A ．－17 16 B ．－ 1516 C.716 D.15 16 3．(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A.3 4 B ．1 C.5 4 D.74 4．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定 5．(2012·宜宾检测)已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线 于 A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值等于 ( ) A ．4 2 B ．8 C ． 8 2 D ．16 6．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( ) A ．(－2,1) B ．(1,2) C ．(2,1) D ．(－1,2) 7．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝ ( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．16 8．(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是 ( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x 9．(2012·永州模拟)以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________． 11．已知抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那 么| FA u u u r | ＋| FB u u u r | ＝________. 12．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，那么 |AB |等于________ 13．根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点是双曲线 16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)． 14．已知点A (－1,0)，B (1，－1)，抛物线C ：y 2＝4x ，O 为坐标原点，过点A 的动直 线l 交抛物线C 于M ，P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q .若向量OM u u u u r 与OP u u u r 的夹角为π 4 ，求△POM 的面积． 练习题： 1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a 4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题 意则有a 4 ＝2解得a ＝8. 2．解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝1 16.设M (x 0，y 0)，则由抛物线 的定义，可知116－y 0＝1?y 0＝－15 16 . 高中数学双曲线抛物线知 识点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨 迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a => (1)c e e a => 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲 线22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 5 4 ； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）； _x _y _x _y （3） 与双曲线22 1916 x y - =有公共渐进线，且经过点() 3,23A -。 解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a ==5 4 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x - =。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴222144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 233 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和 （0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥ 4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。 双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。 方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于ｘ轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 １、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12,离心率为 54 ; （2） 焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y 解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。 又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +, 高中数学复习-抛物线 抛 物 线 ) 0(22>=p px y )0(22>-=p px y ) 0(22>=p py x )0(22>-=p py x 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 {MF M =点M 到直线l 的距离} 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤ 对称性 关于x 轴对称 关于y 轴对称 焦点 (2 p ,0) (2 p - ,0) (0, 2 p ) (0,2 p - ) 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率 e =1 准线 方程 2 p x - = 2 p x = 2 p y - = 2 p y = 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 2 p 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 1. 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，有两不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，有一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2 12 212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1 或 212 2122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点坐标 ),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点 为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--， 即0 y p k AB = ， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 第八节抛物线基础测试题知识梳理 1、抛物线定义 2、抛物线的标准方程与几何性质 抛物线 定义与一个定点F和一条定直线l的距离相等() F l ?的点的轨迹。 标准方程①焦点在x轴上，开口向右：22 y px =②焦点在x轴上，开口向左：22 y px =- ③焦点在y轴上，开口向上：22 x py =④焦点在y轴上，开口向下：22 x py =- 图形①焦点在x轴上，开口向右:22 y px =②焦点在x轴上，开口向左：22 y px =-①② ③焦点在y轴上，开口向上：22 x py =④焦点在y轴上，开口向下：22 x py =-③④ 焦点①(,0) 2 p ；②(,0) 2 p -③(0,) 2 p ；④(0,) 2 p - 顶 点 (0,0) 关 系 p为焦点到准线的距离离 心率 1 e= 准线①焦点在x轴上，开口向右准线： 2 p x=-②焦点在x轴上，开口向左准线： 2 p x= O x y l F P O x y l F P O x y P F O x y P F 第一部分 基础自测 1、抛物线28y x =-的准线方程是（） A. 116x = B. 116y = C. 132y = D. 132 x = 2、已知抛物线的焦点坐标是(0,3)-，则抛物线的标准方程是（） A. 212x y =- B. 212x y = C. 212y x =- D. 212y x = 3、抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点(2,4)P ，则该抛物线的方程是_________. 5、设抛物线28y x =，过焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，过AB 中点M 作x 轴平行线交y 轴于N ，若2MN =，则AB =_________. 第二部分 课堂考点讲解 1、已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点 (3,2)A . （1）求PA PF +最小值，并求出取最小值时P 点的坐标； （2）求点P 到点1 (,1)2B -的距离与点P 到直线12 x =-的距离之和的最小值. 渐 近 线 ③焦点在 y 轴上，开口向上准线：2 p y =- ④焦点在y 轴上，开口向下准线：2 p y = 统一 定义 到定点F 的距离与到定直线l ()F l ?的距离之比等于定值e 的点的集合．01e <<时， 轨迹是椭圆；1>e 时，轨迹是双曲线，1=e 时，轨迹是抛物线。 (注:焦点要与对应准 线配对使用) 抛物线经典结论和例题 方程 1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+-所以 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点 ),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 一、抛物线的定义及其应用 抛物线知识点总结 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 抛物线 1.定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离) 7、抛物线的几何性质： 标准方程 22y px = ()0p > 22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =- ()0p > p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点 ()0,0 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 ,02p F ?? ??? ,02p F ??- ??? 0,2p F ?? ??? 0,2p F ??- ??? 准线方 程 2p x =- 2p x = 2p y =- 2p y = 离心率 1e = 范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 方程的记忆：一次项是谁焦点就在那一条轴上，一次项系数为正开口正方向，为负开口负方向. 1．若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 2．若抛物线22(0)y px p =>的焦点到双曲线221x y -=的渐近线的距离为2 ，则p 的值为（ ） A ． B ．6 C ． D ．3 3．抛物线28y x =的准线方程为（ ） A ．4x =- B ．2x =- C ．4y =- D ．2y =- 4. 若点P 到点(0,2)F 的距离比它到直线40y +=的距离小2，则点P 的轨迹方程是（ ） A ．28y x = B ．28y x =- C ．28x y = D ．28x y =- 5．O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，且 ||PF =POF 的面积为（ ） A ．2 B ．．．4 6．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =____________。 已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离 为2 ．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程； (2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ?的最小值． 高考数学-抛物线 抛 物 线 ) 0(22>=p px y )0(22>-=p px y ) 0(22>=p py x )0(22>-=p py x 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 {MF M =点M 到直线l 的距离} 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤ 对称性 关于x 轴对称 关于y 轴对称 焦点 (2 p ,0) (2 p - ,0) (0, 2 p ) (0,2 p - ) 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率 e =1 准线 方程 2 p x - = 2 p x = 2 p y - = 2 p y = 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 2 p 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 1. 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，有两不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，有一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2 12 212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1 或 212 2122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点坐标 ),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点 为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--， 即0 y p k AB = ， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 高中抛物线知识点总结 高中抛物线知识点总结 平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。下面是关于高中抛物线知识点总结的内容，欢迎阅读！ 高中数学抛物线知识点总结（一） 抛物线方程 1 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 焦点 准线 范围 对称轴轴轴顶点（0，0）离心率 焦点 注：①顶点 . ②则焦点半径 ;则焦点半径为 . ③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. ④（或）的参数方程为 （或 ）（为参数）. 高中数学抛物线知识点总结（二） 抛物线的性质（见下表）： 抛物线的焦点弦的性质： 关于抛物线的几个重要结论： (1)弦长公式同椭圆． (2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部 P(x0，y0)在抛物线外部 (3)抛物线y2=2px上的点P（x1，y1）的切线方程是 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y=kx+ (4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是 (5)过抛物线y2=2px上两点 的两条切线交于点M(x0，y0)，则 (6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为F, 又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F． 利用抛物线的几何性质解题的方法： 根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关证明． 抛物线中定点问题的解决方法： 在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识，在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与 【关键字】方法、条件、问题、位置、关系 第二章 2.4 抛物线 AB 的几条性质 11(,) A x y 22(,) B x y 以AB 为直径的圆必与准线l 相切 若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α= 若AB 的倾斜角为α，则22cos p AB α = 切线 方程 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0( p ① 联立方程法： 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 将两式相减，可得 a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--， 即0 y p k AB = ， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点 ),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜 率存在，且不等于零） 高考抛物线知识点总结 1. 抛物线定义： 平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值(离心率e)不同，当e=1时为抛物线，当0 2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质(如下表)：其中为抛物线上任一点。 3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。 4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有解。 说明： 1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。 2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。 3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。 抛物线的焦点弦的性质： 关于抛物线的几个重要结论： (1)弦长公式同椭圆. (2)对于抛物线y2=2px(p0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部P(x0，y0)在抛物线外部 (3)抛物线y2=2px上的点P(x1，y1)的切线方程是抛物线y2=2px(p,高二;0)的斜率为k的切线方程是y=kx+ (4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是 (5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点M(x0，y0)，则 (6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为F, 又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F. 利用抛物线的几何性质解题的方法： 根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关证明. 抛物线中定点问题的解决方法： 在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识，在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合，考查综合分析问题的能力，而与抛物线有关的定值及最值问题是一个很好的切人点，充分利用点在抛物线上及抛物线方程的特点是解决此类题型的关键，在求最值时经常运用基本不等式、判别式以及转化为函数最值 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：； （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线， 两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反； ②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致； ③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 3、椭圆形状与e的关系：当e→０，c→０，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为 圆是椭圆在e=0时的特例。当e→１，c→ａ椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。 抛物线及其性质 1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质： 图形 参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向 右 左 上 下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 焦 点位 置 X 正 X 负 Y 正 Y 负 焦 点坐 标 (,0)2 p (,0)2p - (0,)2p (0,)2p - 准 线方 程 2 p x =- 2p x = 2 p y =- 2 p y = 范 围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ 0,y x R ≥∈ 0,y x R ≤∈ 对 称轴 X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴 顶 点坐 标 （0,0） 离心率 1e = 通 径 2p 焦半径11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦长AB 的补充 11(,)A x y 22(,)B x y 以AB 为直径的圆必与准线l 相切 若AB 的倾斜角为α，2 2sin p AB α = 若AB 的倾斜角为α，则22cos p AB α = 2124 p x x = 2 12y y p =- 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质： (1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． △ =0, 高中数学复习-抛物线 1.直线与抛物线的位置关系 直线一—，抛物线;--， \y 內，消y 得.上Q + 2(垃一切天+沪三0 (1)当k=0时，直线I 与抛物线的对称轴平行， 直线I 与抛物线相切，有一个切点; 直线I 与抛物线相离，无公共点。 △ > 0, 直线l 与抛物线相交，有两不同交点; 有一个交点； (2) 当 k 丰 0 △ V 0, (3)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定) 2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线| : y kx b 抛物线'厂—I, (P 0) ①联立方程法： y kx b 2 2 2 2k2x22(kb p)x b20 y 2px 设交点坐标为A(x1, y1), B(x2, y2)，则有0,以 及x-i x2, x)x2，还可进一步求出 y-i y2 kx1 b kx2 b k(x1 x2) 2b， y-i y2 (kx1 b)(kx2 b) k2x1x2 kb(x1 x2) b2 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a.相交弦AB的弦长 AB k2x1X2 .1 k\ (x1 x2)24x1 x2a . b . 2 Y1 2px1 2 y2 2 px2 将两式相减，可得 (y1 y2)(y1 y?) 2p(* y y2 2p X1 X2 y1 y2 在涉及斜率问题时，k AB 在涉及中点轨迹问题时 为M (x o, y o)， 即k AB y o 同理，对于抛物线 X2 ) 2p y y2 ，设线段AB的中点 1 k 2a AB y 1 y2 1 古J? 丫2)24y』2 1 k2 b.中点坐标 X i X2 y- y2 ，y0 2 2 ②点差法: 设交点坐标为A(x1, y1)，B(x2, y2)，代入抛物线方程，得 力y2 X1 X2 2p 2p p y1 y2 2y o y o x2 2py(p 0)，若直线l与抛 物线相交于A、B两点，点M(X。, y o)是弦AB的 中点，则有k AB 捲X2 2X o X o 2p 2p p (注意能用这个公式的条件：1)直线与抛物线 有两个不同的交点，2)直线的斜率存在，且不 等于零) 抛物线专题复习 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2 122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 抛物线练习 1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值 时，点P 的坐标为 2、已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 3、直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为 4、设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为 60，则OA 为 5、抛物线2 4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ， AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是 6、已知抛物线2 :8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ?的面积为 7、已知双曲线22 145 x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 8、在平面直角坐标系xoy 中，有一定点(2,1)A ,若线段OA 的垂直平分线过抛物线2 2(0)y px p =>则该抛物线的方程是 。 9、在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 10、抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 11、已知抛物线y 2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 12、已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线2 2(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量 抛物线知识点总结 导读：平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。下面导师为大家带来的是初中数学知识点归纳之抛物线。以下是“抛物线知识点总结”希望能够帮助的到您！ 抛物线 y = ax^2 + bx + c (a≠0) 就是y等于a乘以x 的平方加上 b乘以x再加上 c 置于平面直角坐标系中 a > 0时开口向上 a (a=0时为一元一次函数) c>0时函数图像与y轴正方向相交 c c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 (当然a=0且b≠0时该函数为一次函数) 还有顶点公式y = a(x+h)* 2+ k ,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a)) 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值和对称轴 抛物线标准方程：y^2=2px (p>0) 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 大家看过初中数学知识点归纳之抛物线，要知道其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。。接下来还有更多更全的初中数学知识点大全等着大家来记忆呢。 初中数学知识点总结：平面直角坐标系 下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的`数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合 三个规定： ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 ②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 双曲线 平面内到两个定点, 的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为22 22(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线 2222 1x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 54 ； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -。 解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a ==54 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425 y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= ( 3,A -在双曲线上 ∴(2 2 3 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且 点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。 解：直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离 1d = ， 同理得到点（-1，0）到直线l 的距离 2d = 抛物线知识点整理-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 抛物线方程 1 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 焦点 准线 范围 对称轴轴轴 顶点（0，0） 离心率 焦点 注：①顶点. ②则焦点半径;则焦点半径为. ③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. ④（或）的参数方程为（或）（为参数）. 空间直线知识点总结 1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点;平行直线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×)(可能两条直线平行，也可能是点和直线等) ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 ③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定只有直线，也可以是其他图形) ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.(×)(并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段) ⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面. 2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) 3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等(如下图). (二面角的取值范围) (直线与直线所成角) (斜线与平面成角) (直线与平面所成角) (向量与向量所成角 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角(或直角)相等. 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交(共面)垂直和异面垂直. 是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内. (或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面)高中数学双曲线抛物线知识点总结
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