初中数学 抛物线知识点归纳总结与经典习题

抛物线经典结论和例题

抛

物

线

)

0(22>=p px

y

)

0(22>-=p px

y

)

0(22>=p py

x

)

0(22>-=p py

x

定义

平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫

做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 {MF

M

=点M 到直线l 的距离}

范围 0,x y R ≥∈

0,x y R ≤∈

,0x R y ∈≥

,0x R y ∈≤

对称性

关于x 轴对称

关于y 轴对称

焦点

(

2

p

,0) (2

p -,0) (0,

2

p ) (0,2

p -

) 焦点在对称轴上

顶点 (0,0)O

离心率 e =1

准线 方程 2

p x -

= 2

p x =

2

p y -

= 2

p y =

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

顶点到准

2

p x

y

O l

F

x

y

O

l F

l

F x y O

x

y O l F

线的距离 焦点到准线的距离

p

焦半径

11(,)A x y

12

p AF x =+

12

p AF x =-+

12

p AF y =+

12

p AF y =-+

焦 点弦 长

AB

12()x x p ++

12()x x p -++

12()y y p ++

12()y y p -++

焦点弦

AB 的几条性质

11(,)

A x y 22(,)

B x y

以AB 为直径的圆必与准线l 相切

若AB 的倾斜角为α，则22sin p

AB α

=

若AB 的倾斜角为α，则22cos p

AB α

=

2

124

p x x = 212y y p =-

112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p

++===?? o

x ()22,B x y F

y ()11,A x y

切线 方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+

1. 直线与抛物线的位置关系 直线

，抛物线

，

，消y 得：

（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，

Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线

，)0( p

① 联立方程法：

???=+=px

y b

kx y 22

?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出

b

x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，

2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长

2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a

k ?+=2

1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+

=a

k ?+=2

1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=

， 2

2

10y y y += ② 点差法：

设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得

1212px y = 22

22px y = 将两式相减，可得

)(2))((212121x x p y y y y -=+-所以

2

121212y y p

x x y y +=

--

a. 在涉及斜率问题时，2

12y y p

k AB +=

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，

021*******y p

y p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =，

同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点

),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p

x p x p x x k AB 0

021222==+=

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

一、抛物线的定义及其应用

例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．

(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；

(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

例2、设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( ) A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

二、抛物线的标准方程和几何性质

例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是( ) A．4 B．3 3 C．4 3 D．8

例4、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l 于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为( )

A．y2＝3

2

x B．y2＝9x C．y2＝

9

2

x D．y2＝3x

三、抛物线的综合问题

例5、已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

例6、已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD·EB的最小值

例7、已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F

的距离为2，直线l：y＝－1

2

x＋b与抛物线C交于A，B两点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．

练习题

1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于( ）A．1 B．4 C．8 D．16

2．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )

A．－17

16

B．－

15

16

C.

7

16

D.

15

16

3．(2011·辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，

|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )

A.3

4

B．1 C.

5

4

D.

7

4

4．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A．相离B．相交C．相切D．不确定5．已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B 两点，则||FA|－|FB||的值等于( ) A．4 2 B．8C．8 2 D．16

6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( ) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2)

7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝( )

A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 8．抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，抛物线的方程（）

A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x

9以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______．10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．

11．已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|FA| ＋|FB| ＝________.

12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

若x1＋x2＝6，那么|AB|等于________

13．根据下列条件求抛物线的标准方程：

(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；

(2)过点P(2，－4)．

14．已知点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点A 的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OM

与OP的夹角为π

4

，求△POM的面积．

解析

一、抛物线的定义及其应用

例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.

由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．

于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到

F (1,0)的距离之和最小．显然，连结AF 交曲线于P 点，则所求的最小值为|AF |，即为

5.

(2)如图，自点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4.

例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即p ＝4，根据已 知只要|FM |>4即可．根据抛物线定|FM |＝y 0＋2由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．

二、抛物线的标准方程和几何性质

例3、设点A (x 1，y 1)，其中y 1>0.由点B 作抛物线的准线的垂线，垂足为B 1.则有 |BF |＝|BB 1|；又|CB |＝2|FB |，因此有|CB |＝2|BB 1|，cos ∠CBB 1＝|BB 1||BC |＝

1

2，∠CBB 1＝π

3.即直线AB 与x 轴的夹角为π3.又|AF |＝|AK |＝x 1＋p

2＝4，因此y 1＝4sin π3

＝2

3，因此△AKF 的面积等于1

2|AK |·y 1＝1

2

×4×2

3＝4 3.

例4．分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1、B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |得|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，又|AA 1|＝|AF |＝3，

∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，∴F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝1

2|AA 1|＝3

2，故抛物线的方程为y 2＝3x .

三、抛物线的综合问题

例5、(1)直线AB 的方程是y ＝2

2(x －p

2

)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px

＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p

4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝

4，从而抛物线方程是y 2＝8x .

(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－2

2，y 2＝4

2，从而A (1，－2

2)，B (4,4

2)；

设 OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,4

2)＝(4λ＋1,4

2λ－2

2)．

又y 23＝8x 3，即[2

2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)．

即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2. 例6、 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有

x －12＋y 2－|x |＝1.化简得

y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.

所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由

?????

y ＝k x －1y 2＝4x

，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. (7分)

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4

k

2，

x 1x 2＝1. (8分)

因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1

k

. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得

x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)·(x 4＋1)

＝ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 (11分) ＝1＋(2＋4

k 2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋1

k 2)≥8＋4×2

k 2·

1

k 2

＝16.

当且仅当k 2＝1k

2，即k ＝±1时， AD ·EB 取最小值16.

例7 、(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p

2

，由抛物线定义和已知条件可知

|MF |＝1－(－p 2)＝1＋p

2＝2，解得p ＝2, 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x .

(2)联立?????

y ＝－12x ＋b ，y 2＝4x

消去x 并化简整理得y 2＋8y －8b ＝0.

依题意应有Δ＝64＋32b >0，解得b >－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋

y 2＝－8，y 1y 2＝－8b ，设圆心Q (x 0，y 0)，则应用x 0＝x 1＋x 2

2

，y 0＝

y 1＋y 2

2

＝－

4.

因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，所以圆的半径为r ＝|y 0|＝4. 又|AB |＝x 1－x 2

2

y 1－y 22＝1＋4y 1－y 22＝

5[

y 1＋y 22－4y 1y 2]＝5

64＋32

b

所以|AB |＝2r ＝5

64＋32b ＝8，解得b ＝－8

5

.

所以x 1＋x 2＝2b －2y 1＋2b －2y 2＝4b ＋16＝48

5

，

则圆心Q 的坐标为(245，－4)．故所求圆的方程为(x －24

5

)2＋(y ＋4)2＝16.

练习题：

1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a

4)，双曲线的上焦点为(0,2)，

依题意则有a

4

＝2解得a ＝8.

2．解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝1

16.设M (x 0，y 0)，则由

抛物线的定义，可知1

16－y 0＝1?y 0＝－15

16

.

3．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12

(|AF |＋|BF |)－1

4＝3

2－1

4＝5

4

.

4．解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝1

2(|AA 1|＋|BB 1|)

＝12(|AF |＋|BF |)＝1

2

|AB |＝半径，故相切． 5．解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由???

??

y ＝x －2，y 2＝8x

，消去y 得

x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝

(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝

144－16＝8

2.

6．解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴

P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.答案：B

7．解析：设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝ ( )

A ．4 3

B ．8

C ．8

3 D ．16

8．解析：由准线方程x ＝－2，可知抛物线为焦点在x 轴正 ，半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为 y 2＝2px ＝8x

9．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8. 所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.

10．解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，则准线为y ＝－a

4.∵Q (－3，m )在抛物线上，∴9＝am .而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离，∴|m －(－a

4)|＝5.

将m ＝9

a 代入，得|9a ＋a

4

|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18，∴所求抛物线的方程为

x 2＝±2y ，或x 2＝±18y . 11．解析：由???

??

y 2＝4x

2x ＋y －4＝0

，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为

A 、

B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以|

FA | ＋| FB | ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝7

12．解析：因线段AB 过焦点F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |.又由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.

13．解析：双曲线方程化为x 29－y 2

16

＝1，左顶点为(－3,0)，由题设抛物线方程为

y 2＝－2px (p >0)，则－

p

2

＝－3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝－12x . (2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .

14．解：设点M (y 214，y 1)，P (y 22

4，y 2)，∵P ，M ，A 三点共线，∴k AM

＝k PM ，

即

y 1y 214＋1

＝

y 1－y 2y 214－y 224

，即

y 1

y 21＋4

＝

1

y 1＋y 2，∴y 1y 2＝4.

∴ OM · OP ＝y 214·y 22

4＋y 1y 2＝5.∵向量 OM 与 OP 的夹角为π

4

，∴| OM |·|OP |·cos π4＝5.∴S △POM ＝12| OM | ·| OP | ·sin π4＝5

2.