断裂力学复习题(实际)解答(课件)

断裂力学复习题

1．裂纹按几何特征可分为三类,分别是（穿透裂

纹）、（表面裂纹）和（深埋裂纹）。按力学特征也可分为三类，分别是（张开型）、（滑开型）和（撕开型）。

2．应力强度因子是与（外载性质）、（裂纹）及

（裂纹弹性体几何形状）等因素有关的一个量。材料的断裂韧度则是（应力强度因子）的临界值，是通过（实验）测定的材料常数。

3．确定应力强度因子的方法有：（解析法），（数

值法），（实测法）。

4．受二向均匀拉应力作用的“无限大”平板，

具有长度为2a 的中心贯穿裂纹，求应力强度因子ⅠK 的表达式。

【解】将x 坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在

裂纹中心，则上图所示问题的边界条件为：

① 当y = 0，x → ∞时，σσσ==y x ；

② 在y = 0，a x <的裂纹自由面上，

0,0==xy y τσ；而在a x >时，随a x →，∞→y σ。

可以验证，完全满足该问题的全部边界条件的解

析函数为

22Ⅰ )(a

z z z Z -=σ （1） 将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有

z =ζ+a 或ζ= z －a ，

代入（1），可得：

)2()

()(I a a Z ++=ζζζσζ

于是有：

a

a a a a K πσζζσπζζζσπζζζ=++?=++?=

→→)2()(2lim )2()

(2lim 00Ⅰ

5．对图示“无限大”平板Ⅱ型裂纹问题，求应

力强度因子ⅡK 的表达式。

【解】将x 坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在

裂纹中心，则上图所示问题的边界条件为：

① 当y = 0，x → ∞时，ττσσ===xy y x ，0；

② 在y = 0，a x <的裂纹自由面上，0,0==xy y τσ；而在a x >时，随a x →，∞→xy τ。

可以验证，完全满足该问题的全部边界条件的解

析函数为

2

2Ⅱ )(a z z z Z -=τ （1） 将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有

z =ζ+a 或ζ= z －a ，

代入（1），可得： )

2()()(Ⅱa a Z ++=ζζζτζ 于是有：

a a a a a K πτζζτπζζζτπζζζ=++?=++?=→→)

2()(2lim )2()(2lim 00Ⅱ

6．对图示“无限大”平板Ⅲ型裂纹问题，求应

力强度因子ⅢK 的表达式。

【解】将x 坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在

裂纹中心，则上图所示问题的边界条件为：

① 当y = 0，x → ∞时，l yz y x ττσσ===，0；

② 在y = 0，a x <的裂纹自由面上，

0,0==xy y τσ；而在a x >时，随a x →，∞→yz τ。

可以验证，完全满足该问题的全部边界条件的解

析函数为

2

2Ⅲ )(a z z z Z l -=τ （1） 将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有

z =ζ+a 或ζ= z －a ，

代入（1），可得： )

2()()(Ⅲa a Z l ++=ζζζτζ 于是有：

a a a a a K l l l πτζζτπζζζτπζζζ=++?=++?=→→)

2()(2lim )2()(2lim 00Ⅲ

7．“无限大”平板中，在长度为2a 的中心贯穿

裂纹表面上，距裂纹中点为x =±b 处各作用一对集中力p ，求应力强度因子I

K 的表达式。

【解】对图示裂纹问题，取解析函数的表达式为：

222222I )(2)(a

z b z b a pz z Z ---=π （1） 可以验证，该解析函数满足这个裂纹问题的下述

边界条件：

① 在z →∞处，0,0,0===xy y x τσσ； ②在0,0,,===

③ 如果切出xy 坐标系第一象限的薄平板，在x

轴所在的截面上，内力的总和应该等于劈开力p ，即?∞

a y dx t σ=p （其中，t 是薄平板的厚度）。

将坐标原点移到裂纹右尖端后，新坐标为

a z -=ζ，代入（1）式得：

)

2(])[()(2)(222

2I a b a b a a p Z +-+-+=ζζζπζζ 于是有：

)

(22])[()(22lim )

2(])[()(22lim 222222022220I b a a p a b a b a a p a b a b a a p K -=+-+-+=+-+-+=→→πζζπζπζζζπζπζζζ

8．在“无限大”平板的裂纹表面上，从

a x a x a x a x ==-=-=到和从到11的这两部分裂纹面上，受均匀分布的张力p 作用，试求裂纹尖端应力强度因子ⅠK 的表达式。（不讲）

【解】取微分段dx ，其上作用的张力为dp =pdx ，利用距裂纹中点为x =±b 处各作用一对集中力p 时应力强度因子的结果可得，这个微分段上的张力在裂纹尖端处的应力强度因子为

)

(222I x a a pdx dK -=π 于是有： ?-=a a x a a p d x K 1)(222I π （1） 令θθθθd a dx a x a a x cos ,cos ,sin 2

2==-=则，代入

（1）式可得

??

? ??=????????? ??-==--?--a a a p a a a p a d a a p K a

a a

a 1111)(sin )(sin

I cos 2 sin 22cos cos 2111πππθθθπ

9．在“无限大”平板的裂纹表面上，从a

x a x =-=到的这两部分裂纹面上，受均匀分布的张力p 作用，试求裂纹尖端应力强度因子ⅠK 的表达式。

【解】取微分段dx ，其上作用的张力为dp =pdx ，

利用利用距裂纹中点为x =±b 处各作用一对集中力p 时应力强度因子的结果可得，这个微分段上的张力在裂纹尖端处的应力强度因子为

)

(222I x a a

pdx dK -=π 于是有： ?-=a

x a a p d x K 022I )(2π （1） 令θθθθd a dx a x a a x cos ,cos ,sin 22==-=则，代入（1）

式可得 a

p a p

a d

a a

p K a a a πππθθθπ===?

--2

2cos cos 2)(sin )0(sin I 11 10．试用迭加原理求如图所示裂纹问题的裂尖应

力强度因子ⅠK 的表达式。

（a ） （b ）

【解】该受力图可以看成是图（a ）和图（b ）两

种受力情况的线性迭加。而图（b ）构件的受力与裂纹表面平行，因此它所对应的应力强度因子ⅠK =0，因此，原图构件的应力强度因子与图（a ）的应力强度因子相等。前面已经求得图（a ）的应力强度因子为a πσ，因此，原图构件的应力强度因子为

a K Ⅰπσ=

11．中心具有穿透裂纹的厚板条（平面应变情

况），远端承受均匀拉伸作用，板的宽度为200mm ，裂纹长度为80mm ，板的材料为铝合金，其IC K =38MN

／m 3/2，计算此板条的临界载荷。

【解】这是一个中心具有贯穿裂纹的有限宽板条

拉伸问题，其应力强度因子为

a K πασ=I

式中的α为几何形状因子，经查表得

W

a tg a W ππα= 式中的a 为裂纹半长度，W 为板宽。

裂纹处于临界状态时所作用的应力就是构件的

临界载荷，设其为C σ，将C σσ=代入I K 的表达式，并令

IC I K K =

得 IC C K W

a tg a W a =πππσ 于是有

)M N m (7992.00402.038－2IC C ．．=??

? ??=?=ππππσtg W a tg a W a K 这就是说，在所给条件下，当板的拉伸应力达到

－2MNm 799．时，裂纹发生失稳扩展。

12．某种合金钢在不同回火温度下，测得性能如

下：

275°回火时，52,MN/m 1780IC 2S ==K σMN ／m 3/2；

600°回火时，100,MN/m 1500IC 2S ==K σMN ／m 3/2。 设应力强度因子为a K πσ11I ．

=，且工作应力为S 50σσ．=。试求两种温度下构件的容限裂纹尺寸a ，并确定选用哪种材料较好。

【解】当IC I K K =时，对应的裂纹尺寸a 就是容

限裂纹尺寸，记为C a 。此时有IC 11K a =πσ．，于是得： 2

IC C 111??? ??=σπ．K a 当275°回火时，

mm m a 9000090178050115212

C ．．．．==??? ????=π， 当600°回火时，

mm m a 66400466015005.01.110012

C ．．==??? ????=π。 从强度指标看这种合金钢275°回火温度略优于

600°回火温度，但从断裂韧性指标来看， 600°回火温度比275°回火温度好得多。事实上，构件中90．mm 的裂纹是难以避免的，因此从全面考虑，应选600°的回火温度。

13．要设计一个高强度材料的压力容器，设计许

用应力[σ]=1400MN/2

m ，采用的无损探伤设备只能发现大于1mm 深度的裂纹。因此可以假定容器内壁焊

缝热影响区沿母线方向（这是最不利的位置和最不利方向）存在深度a = 1mm ，长度c =2a 的表面浅裂纹。现有A 、B 两种材料，其屈服极限S σ分别为2100MN/2m 和1700MN/2m ；其焊缝热影响区的平面

应变断裂韧度IC K 分别为546．

MN ／m 3/2和477．MN ／m 3/2。全面考虑，应选择哪一种材料？

【解】从静强度分析：

材料A 的强度储备为 511400

2100][)(．===σσA S A n 材料B 的强度储备为 2211400

1700][)(．===σσB S B n 两种材料均满足强度要求，但A 材料强度储备高于B 材料。

从断裂力学的观点分析：所给的问题可以理想化

为半“无限大”体具有表面半椭圆形裂纹受均匀拉伸应力作用的情况，其应力强度因子可写为

a K πασ=I

式中的α为几何形状因子，查表可得)

(1121k E ．=α，考虑到裂尖处由于高度的应力集中引起的小塑性区，α可修正为

Q

1121．=α 式中2

12221,212.0)(??????????? ??-=???????

????? ??-=c a k k E Q S σσ，)(k E 为第

二类完整椭圆积分。可查表得到。

取许用应力[σ]作为容器的工作应力，也就是取

σ=[σ]=1400MN/2m ，则

321)(2120)(2122．．=???

????????? ??-=A S A k E Q σσ 261)(2120)(2122．．=???

????????? ??-=B S B k E Q σσ A

IC A A K m MN Q a K )(/7532100101400121121)(23I >=?==．．．．ππσ

B

IC B B K m MN Q a K )(/77626100101400121121)(23I <=?==．．．．．ππσ

由此可见，本问题中选择B 材料比选择A 材料优

越，它既满足强度要求，又有合适的抗断裂能力。如果此时仅按传统设计思想而不从断裂力学的观点分析，选用A 种材料，必然会导致容器低应力脆断。

14．简述用有限单元法计算应力强度因子的方

法。

（1）位移法

有限元位移法计算裂尖K 因子

无限大平板上的Ⅰ型裂纹的裂尖处的位移分量

为：

???

??????????-+=??????+-=2cos 212sin 222sin 212cos 222I 2I θκθπθκθπr G K v r G K u 当

0=θ时，应有： )1(22-=κπ

r G K u I （1） 其中，???-+-=平面应变平面应力 43 )1/()3(μμμκ G 是材料的剪切弹性模量。

用有限元法可以得出裂纹尖端区域 0=θ线上r

不同的一些结点的位移值u ，将各点的r 和u 值分别代入（1）式，就可得到这些结点对应的不同的应力

强度因子*I K ，称为各结点的表观应力强度因子。即： r

Gu K πκ212I -=*

将各点的*I K 作为纵坐标，将各点的r 作为横坐标，

把这些点画在直角坐标系中，然后用最小二乘法拟合，绘出最佳直线，然后将这条直线外推到r =0处，与纵坐标轴相交所得的截距M ，就是裂纹尖端的I

K 值。

（b ）应力法

“无限大”平板的Ⅰ型裂纹裂尖处沿y 轴的应

力为

??? ??+=23sin 2sin 12cos 2I θθθπσr

K y 在 0=θ线上各点沿y 轴的应力为 r

K y 2I πσ= （1） 用有限元法可以得出裂纹尖端区域 0=θ线上r

不同的一些结点的y σ，将各点的r 和y σ值分别代入（1）式，得到这些结点对应的表观应力强度因子为：

r K y 2I πσ=*

与位移法类似，将有限元法算得的 0=θ线上各点

的*I

K 作为纵坐标，将各点的r 作为横坐标，把这些点画在直角坐标系中，然后用最小二乘法拟合，绘出最佳直线，然后将这条直线外推到r =0处，与纵坐标轴相交所得的截距M ，就是裂尖的I K 值。

15．简述用光弹性法测应力强度因子的方法。

对于Ⅰ型裂纹，在裂尖附近处的应力分量为

????

?????=??? ??+=??? ??-=23cos 2sin 2cos 223sin 2sin 12cos 223sin 2sin 12cos 2I I I θθθπτθθθπσθθθπσr K r

K r K xy y x 由材力中的应力圆知识可得

22max )()2

(xy y x τσστ+-= 22

1max σστ-=

而由平面应力~光学定律可得：

h

nf =-21σσ 其中 n ~光弹性模型上被测点处的等差线条纹级数；

f ~光弹性材料的材料条纹值（N/m.条）；

h ~光弹性试件的厚度(m)。

以上各式联立得： ??

? ??=h nf r K θπsin 2I （1）

Ⅰ型裂纹等差线条纹图 *ⅠK —r 曲线

通过平面光弹性实验可以得到等差线条纹图，由

该图可测得任意一个点，例如i 点对应的极坐标i

i r θ和及其条纹级次i n ，而f 和h 均可由实验测得，将i n 、

i i r θ和代入（1）式，可得该点对应的表观应力强度因子*ⅠK ，

沿某一固定角度θ测出一系列点的i i n r 和，分别代入

（1）式，就可以得到一系列*ⅠK ，将这一系列实验数

据画在*ⅠK —r 座标系中，然后用回归法拟合出最佳*Ⅰ

K —r 曲线，再外推至r = 0处，就可得到ⅠK 。即

I I 0lim K K r =*→

16．线弹性断裂力学的断裂判据与材料力学的强

度条件有何异同?

答：线弹性断裂力学的断裂判据为：

iC i K K =（i = Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）

其中，K i 叫i 型裂纹的应力强度因子。它们反映

了i 型裂纹尖端应力场的强弱程度。是与外载性质、裂纹及裂纹弹性体几何形状等因素有关的一个量。

而K iC 是K i 的临界值，称为材料的断裂韧度，是

材料常数，通过实验测定。

材料力学的强度条件为： s σσ=

其中，σ叫工作应力。它反映了构件某点应力场

的强弱程度。是与外载大小、方向、作用点及构件几何形状等因素有关的一个量。

而s σ是σ的临界值，称为材料的屈服极限，是材

料常数，通过实验测定。

两者的相同之处是：

（1）形式类似。都是以某量达到临界值的形式

表述的；且该量都与外载性质及弹性体几何形状有关。而临界值都是材料常数。

（2）临界值iC K 和s σ都通过实验测定。

两者的差别是：

材料力学的强度条件是在材料为无缺陷的均匀

连续体的前提下得到的，它没有考虑构件中存在的各种缺陷，因此，按强度条件设计的构件在许多情况下并不安全。

而线弹性断裂力学的断裂判据则考虑了构件中

的缺陷造成的应力集中，是从裂纹的平衡、扩展和失稳规律出发得到的，因此，按断裂判据设计的构件更符合实际情况。

17．I K 和C K I 有何不同?

答：K Ⅰ叫Ⅰ型裂纹的应力强度因子。它们反映了

Ⅰ型裂纹尖端应力场的强弱程度。是与外载性质、裂纹及裂纹弹性体几何形状等因素有关的一个量。

而K ⅠC 是K Ⅰ的临界值，称为材料的断裂韧度，

是材料常数，通过实验测定。

相应的应力强度因子断裂判据为： C ⅠⅠK K =

其物理意义是：

当裂纹的应力强度因子＜材料的断裂韧度时，系

统处于静止状态，裂纹不扩展；

当裂纹的应力强度因子＞材料的断裂韧度时，裂

纹失稳扩展，直至断裂；

当裂纹的应力强度因子=材料的断裂韧度时，裂

纹处于不稳定平衡状态。

18．高强度铝合金厚板，中心具有长度为80mm

的穿透裂纹，板的宽度为200mm ，在垂直于裂纹方向受到均匀拉伸作用。当裂纹发生失稳扩展时，施加的

拉伸应力F σ=100MN ／m 2，试计算：

（1）材料的断裂韧性值?

（2）当板为“无限大”时，断裂失效应力为多

少?

（3）当板的宽度为120mm 时，断裂失效应力又

为多少?

【解】（1）这是一个中心具有贯穿裂纹的有限宽

板条拉伸问题，其应力强度因子为

a K πασ=I

式中的α为几何形状因子，经查表得

W

a tg a W ππα= 式中的a 为裂纹半长度，W 为板宽。

令F σσ=，代入I K 的表达式，得

138200

4020100IC ．．=??==ππππσtg W a tg a W a K F MN ／m 3/2。

（2）当板为“无限大”时，断裂失效应力为

)M N /m (510704

01431382IC ．．．．=?==a K F πσ （3）当板的宽度为120mm 时，断裂失效应力为：

)MN/m (683120

401201382IC ．．．=??==ππππσtg W a tg a W a K F

19．高硅的镍铬钼钢，回火温度与材料的屈服极

限s σ和断裂韧度C K I 的关系如下表。设构件存在表面

半椭圆裂纹，深度a =2mm ，裂纹的深长比c

a 2=0.25，构件在垂直于裂纹平面的远方受拉应力

σ=1100MN/m 2作用，取安全系数n =1.2，试选择回火

温度。

【解】从静强度分析：

回火温度为275℃时的强度储备为：

6.11100

1780)(℃275℃275===σσS n ， 回火温度为500℃时的强度储备为：

26.11100

1390)(℃500℃500===σ

σS n ， 回火温度为600℃时的强度储备为：

36.11100

1500][)(℃600℃600===σσS n 三种回火温度均满足强度要求，但275℃时的强

度储备高于其它两种温度。

从断裂力学的观点分析：所给的问题可以理想化

为半“无限大”体具有表面半椭圆形裂纹受均匀拉伸应力作用的情况，其应力强度因子可写为

a K πασ=I

式中的α为几何形状因子，查表可得)

(112.1k E =α，考虑到裂尖处由于高度的应力集中引起的小塑性区，α可修正为

Q 112.1=α 式中21222])(1[],)(212.0)([c

a k k E Q S -=-=σσ]，)(k E 为第

二类完整椭圆积分。可查表得到。

取σ=[σ]=1100MN/2m ，则 386.1])17801100(212.02111.1[]))((212.0)([2122212℃2752℃

275=-=-=S k E Q σσ； 334.1])13901100(212.02111.1[]))((212.0)([2122212℃5002℃

500=-=-=S k E Q σσ； 353.1])15001100(212.02111.1[]))((212.0)([21

22212℃6002℃

600=-=-=S k E Q σσ；