福利经济学第一定理：数学证明

附录2A.1：偏好，效用函数和需求函数

如果消费者的偏好是理性的．．．（完备的和传递的．．．．．．．），连续的．．．

，那么就存在着一个能代表该偏好的连续效用函数．．．．．．:L

u +→R R 。其中L 表示消费集的维度，也就是商品的种类，除非做特别说明，我们总是假定2L =，即消费者消费1x 和2x 两种商品。我们还假定偏好是单调．．的和凸的．．．．，则效用函数u 是递增的和拟凹的．．．．．．．

。给定上述假定，我们能够得到一组形状良好的无差异曲线，如图2A －1，消费者的无差异曲线是一组凸向原点的曲线，离原点越远，其代表的效用水平越高1。

图2A －1 无差异曲线

一个常用的符合上述假定的效用函数是柯布－道格拉斯效用函数，其形式是：

1212(,)u x x Ax x αβ

=

其中0,01,01A αβ><<<<。显然，u 是连续的，递增的，凹的。 一个理性的消费者面临的问题是在约束条件下追求效用最大化．．．．．．．．．．．．．。其约束条件为：

1122p x p x w +≤

其中，12,p p 为两种商品的市场价格，w 则表示消费者的财富（或收入）。给定偏好的单调性，这一约束一定是紧的，也就是1122p x p x w +=。

则消费者的效用最大化问题可以描述为： 12max (,)x u x x

1122..s t p x p x w +=

上述问题的拉格朗日函数可以写为：

121122(,)()L u x x w p x p x λ=+--

这一问题的一阶条件为：

11u p x λ?=?，22

u

p x λ?=? 假定效用函数是凹的，上述条件是充分必要的。两式相除，得到：

1

关于偏好，以及偏好与效用效用函数关系的进一步讨论，参见马斯－克莱尔等人，《微观经济理论》，中国

社会科学出版社，2001年版；瓦里安，《微观经济学（高级教程）》，经济科学出版社，1997年版。

O

x 1

x

2

1212

u u

p p x x ??=?? 上式意味着消费者实现效用最大化的条件是消费两种商品最后一单位的边际效用之比等于两种商品的价格之比。

我们还定义消费者无差异曲线斜率的绝对值为边际替代率（MRS ），表示给定效用水平保持不变（比如u ），少消费一单位商品1，必须增加消费多少单位的商品2，即2

1

dx MRS dx =-

。无差异曲线的数学形式为：12(,)u x x u =，表示使消费者的效用水平达到u 的所有商品组合，两位全微分，得到

12120u u dx dx du x x ??+==??，这样我们就得到，212

1dx u

u

x x dx ??-=??。这一结果表明，边际替代率（MRS ）等于边际效用之比。

解上述问题，得到消费者效用最大化的解：

*1112(,,)x x p p w = *2212(,,)x x p p w =

上面两个式子就是消费者的（马歇尔）需求函数，表示当市场价格和财富分别为

12,,p p w 时，消费者愿意消费的（效用最大化的）商品1x 和2x 的数量。

显然，**

12112212(,)[(,,),(,,)]u x x u x p p w x p p w =为给定价格和财富水平为12,,p p w 时

消费者所能达到的最大效用，我们令：

12112212(,,)[(,,),(,,)]v p p w u x p p w x p p w =

12(,,)v p p w 是一个复合函数，我们将其称为间接效用函数，它表示随着价格和财富水平的

变化，消费者所能够实现的最大效用的变化。

下面我们给出两个特例： 特例1：柯布－道格拉斯偏好

消费者的效用最大化问题为： 12max x Ax x αβ

1122..s t p x p x w +=

一阶条件为：1121A x x p αβαλ-=和1

122A x x p αββλ-=，两式相除得到：

21

12

x p x p αβ=

将约束条件代入，可以得到：()*

11w x p ααβ=+，()*

22

w x p βαβ=+。

特例2：拟线性偏好

如果消费者的偏好是拟线性的，那么她的效用函数的形式为：1212(,)()u x x x x φ=+，

这时，给定相对价格不变，消费者愿意消费的商品2x 的数量*

2x 是唯一．．的，无论消费者的财富水平怎样变化（只要保证*22w p x ≥）。为了说明这一点，我们来求消费者的最大化问题： 12max ()x x x φ+

1122..s t p x p x w +=

一阶条件是：11p λ=，22'()x p φλ=，得到：221'()x p p φ=，则*

1221'()x p p φ-=，

这意味*

2x 仅仅是相对价格的函数，与财富水平无关。给定相对价格不变，财富的变化只会

改变消费者对1x 的消费数量，而不会改变她对2x 的消费数量。

假定22()ln x x φ=，则有：*212x p p =，*

111x w p =-。

拟线性偏好非常重要，在公共经济学，特别是公共产品和外部性理论中有广泛的应用。

附录2A.2：生产集，生产函数，成本函数和生产可能性边界

现在我们考察企业的行为。企业总是在特定的技术约束下将投入品转化为产品，从而可行的生产计划总是受到特定技术的约束。我们把在技术上可行的所有的投入和产出组合（生产计划）的集合称作生产集．．．

，通常用Y 表示。如图2A －2，假定只有一种投入品z ，一种产品y ，图中的阴影部分就是生产集。通常，我们假定生产集是一个非空的闭集，也就是说生产集包括它的边界，这条边界线所确定的函数就是生产函数．．．．

，用()y f z =表示。这样，我们就可以把生产集Y 写成：{}(,):()0,0Y z y y f z z =-≤≥。我们还假定生产集是凸的，也就是任意两个可行的生产计划的线性组合一定是可行的。可以证明，对于单一产出的技术，生产集是凸的等价于生产函数()y f z =是凹的2。

图2A －2 生产集

为了考察企业在成本约束下的最优投入品组合，我们现在假定存在两种投入要素，1z 和

2z ，生产函数为12(,)y f z z =。企业面临的问题是给定成本约束，选择最优的投入品组合，

使其产出最大化，即：

12max (,)z f z z 1122..s t z z c ωω+=

其中，c 为企业的最高成本约束，12,ωω分别为两种投入品的市场价格。一阶条件是

11f z λω??=和22f z λω??=。

假定生产函数是凹的，上述条件是充分必要的。两式相除，得到：

11

22

f z f z ωω??=

??

2

关于生产集及其与生产函数的关系的进一步讨论参见马斯－克莱尔等人，《微观经济理论》；瓦里安，《微观经济学（高级教程）》。

上式表明两种要素的边际产出之比（即边际技术替代率MRTS ）等于要素价格之比。

上述生产最大化问题的一个对偶问题是成本最小化问题，给定产出约束，即：

1122min z z z ωω+

..s t

12(,)f z z y =

其中，y 为企业的最低产出约束。一阶条件同样是11f z λω?=和22f z λω?=，将其代

入约束条件，可以解得：

*1112(,,)z z y ωω= *2212(,,)z z y ωω=

上面两个式子就是所谓的条件要素需求函数．．．．．．．．

。令： 12(,,)c y ωω＝12

*

*12z z ωω+＝11122212(,,)(,,)z y z y ωωωωωω+ 则12(,,)c y ωω为企业的成本函数．．．．，表示给定要素价格和产出要求下的最小成本。如果生产函数是凹的，可以证明成本函数对于产量y 是凸的。

现在我们转向企业的利润最大化问题，即在给定产品和投入品市场价格的前提下，选择产量使利润最大化。上述问题可以表示为：

12max (,,)y py c y ωω-

这一问题的一阶条件是p c y =??，由于目标函数对y 是凹的，这一条件是充分必要的。

意味着利润最大化的条件是选择产量使边际成本等于价格。

现在我们考虑两种产品的情况，为了和上节一致，分别用1x 和2x 表示这两种产品。生

产函数分别为：112112(,)x f z z =和222212(,)x f z z =，

可以分别解得两种产品的要素需求函数：

*12(,,)j j l l j z z x ωω=， 1,2;1,

2l j == 假定投入品总量分别为1z 和2z ，且被完全充分利用，则有：

12121122(,,)(,,)l l l z z x z x ωωωω=+， 1,2

l = 图2A －3画出了所有可能的两种产品生产组合（我们不考虑负产出），称为生产可能性．．．．．

集．，其中FF 曲线被称为生产可能性边界．．．．．．．

，它表示当资源（所有投入品）被充分利用时，两种产品所有的可能性组合，也就是，随着其中一种产品的产量变化，另一种产品所能获得的最大产量的变化轨迹。

图2A －3 生产可能性集

我们将生产可能性边界的斜率的绝对值定义为边际转换率．．．．．

（MRT ），表示当资源充分利用时，多生产一单位1x ，需要放弃多少单位的2x 。一般用生产转换函数12(,)0F x x =来表示生产可能性边界，则生产可能性集就可以写作：{}

12121,2(,):(,)0,0x x F x x x ≤≥且。我

x 1

x 2

F

们通常假定生产可能性集是一个凸集，假定12(,)F x x 是一个凸函数。对生产转换函数两边全微分，得到：

1212

0F F dx dx x x ??+=?? 这意味着：

2121

dx F

F

MRT x x dx ??=-=??。另外，经济学中还有一个常用的结论，就是边际转换率等于边际成本之比。现在我们来证明这个结论：

两种产品的成本函数可以表示为：

1211122212(,,)(,,)(,,),j j j j j j c x z x z x ωωωωωωωω=+1,2j =

则有：

121212

121122111211122221212122(,,)(,,)[(,,)(,,)][(,,)(,,)]

c x c x z x z x z x z x ωωωωωωωωωωωωωω+=+++ 在生产可能性边界上，投入品被充分利用，这意味着：

121212112212(,,)(,,)c x c x z z ωωωωωω+=+

令上式两边对12(,)x x 全微分，得到：

12

1212

0c c dx dx x x ??+=?? 这意味着：1

2

21

2

1dx c c MRT x x dx ??=-=

??。

2.1.2 福利经济学第一定理：数学证明

本节我们对福利经济学第一定理给出一个简化的数学证明。读者应该将本节和附录2A.1和2A.2结合起来学习。

首先我们给出帕累托最优的数学条件。假定存在两个消费者A 和B ，两个企业1和2，分别生产商品1x 和2x 。假定有两种投入品1z 和2z ，但投入品不能直接用于消费。 生产函数分别为：111112(,)x f z z =和222212(,)x f z z =。我们用12(,)0F x x =表示生产可

能性边界。

我们用1A x 和2A x 表示A 消费两种产品的数量，用1B x 和2B

x 表示B 消费的数量，则： A B

j j j x x x +=， 1,2

j = 所谓帕累托最优配置是指在不损害其他人的效用的前提下使任何个人的效用达到最大。因此，一个帕累托最优问题可以写成： 12max (,)A A A

x u x x

12..(,)B B B

s t u x x u ≥

12(,)0F x x ≤

在单调性假设下，上述约束实际上都是紧的。这一问题的拉格朗日函数是：

121212(,)[(,)](,)A A A B B B

L u x x u u x x F x x λμ=---

一阶条件是：

11

A A

u F

x x μ??=?? (2.1)

22A A

u F

x x μ??=?? (2.2)

11B B u F

x x λμ

??=?? (2.3)

22

B B u F

x x λμ

??=?? (2.4)

我们假定效用函数是凹的，生产转换函数是凸的，则上述一阶条件是充分必要的。将(2.5)和(2.6)两式相除，得到：

1212

A

A A

A

u u F

F

x x x x ????=???? (2.5)

将(2.7)和(2.8)两式相除，得到：

121

2

B B B

B

u u F

F x x x x ????=???? (2.6)

(2.9)和(2.10)式意味着：A

B

MRS MRS MRT ==（参见附录），这就是我们在上一节给出的帕累托最优的条件。

下面我们证明完全竞争市场的一般均衡配置（以下简称竞争性．．．均衡．．）是满足上述帕累托条件的。一般而言，竞争性市场的本质特征是价格接受，这就要求存在非常多的消费者和生产者，而我们的模型只有两个消费者，两个生产者，为此，我们可以把两个消费者理解为两群消费者，同理，把两个生产者理解为两群生产者。我们假定投入品禀赋属于消费者，分别用A l z 和B l z （1,2l =）表示，满足：A B l l l z z z +=（1,2l =）。

假定消费者拥有企业利润，其利润份额用i j θ（,i A B =，1,2j =）表示，满足：1A B j j θθ+=（1,2j =）

。 所谓竞争性均衡，是指一组资源配置******1*1*2*2*

1212121212{(,),(,);,;(,),(,)}

A A

B B x x x x x x z z z z 和一组价格****1212{,;,}p p ωω，使得：

（1）生产者利润最大化条件：对每一个企业j ，*j x 满足：

********

1212(,,)max (,,)j j j j j x j j j p x c x p x c x ωωωω-=-， 1,2

j = 我们假定成本函数是凸的，则上述条件等价于：

*12*

(,,)

j j j

j

c x p x ωω?=

?， 1,2j =

将上面两式相除，得到：

1

1*2*

*

*121122212

(,,)(,,)

c x c x p p MRT x x ωωωω??=

=??

(2.7)

（2）消费者效用最大化条件：对每一个消费者i ，**

12(,)i i x x 满足：

**1212(,)max (,)i i i i i i

x u x x u x x =， ,i A

B =

2

*******

11

22

11

22

121

..[(,,)]i

i i i i j j j j j j s t p x p x z z p x c x ωωθωω=+≤++-∑

我们假定效用函数是凹的，成本函数是凸的，则上述条件等价于：

**

*12(,)

(1)i i i i j j i

j

u x x p x λθ?=-?， ,i A B =，1,2j = 将上面四式分别相除，得到：

**

**

**12121

2

12

(,)

(,),,i i i i i i i

i i

u x x u x x p p MRS i A B x x ??=

==??

(2.8)

（3）市场出清条件：***j A B j j x x x +=（1,2j =），1*2

*l l l z z z +=（1,2l =）

。 (2.11)和(2.12)式意味着A B

MRS MRS MRT ==，这和帕累托最优的充要条件是一致的，这表明竞争性市场的均衡配置是帕累托最优的。这就证明了福利经济学第一定理。