第八章 恒定电流的磁场(二)

一. 选择题

[ C ]1. （基础训练2）三条无限长直导线等距地并排安放，导线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别载有1 A ，2 A ，3 A 同方向的电流．由于磁相互作用的结果，导线Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ单位长度上分别受力F 1、F 2和F 3，如图所示．则F 1与F 2的比值是：

(A) 7/16． (B) 5/8． (C) 7/8． (D) 5/4．

提示：设导线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的电流强度分别为321,,I I I ，产生的磁感应强度分别为

321,,B B B ，相邻导线相距为

a ，则

a a I a

I

l I B l I B l I F a a I a I

l I B l I B l I F πμπμπμπμπμπμ0103022122322203020113112111222 ,47222=

??? ??-=-==

??? ???+=+=

式中3A.I A,2I 1A,I ,1 ,132121=====m l m l 故8/7/21=F F .

[ D ]2. (基础训练6)两个同心圆线圈，大圆半径为R ，通有电流I 1；小圆半径为r ，通有电流I 2，方向如图．若r << R (大线圈在小线圈处产生的磁场近似为均匀磁场)，当它们处在同一平面内时小线圈所受磁力矩的大小为 (A)

R

r

I I 22

210πμ． (B)

R

r I I 22

210μ．

(C)

r

R

I I 22

210πμ． (D) 0．

提示：大圆电流在圆心处的磁感应强度为，方向垂直纸面朝内

2R

I B 1

01μ=；小

圆电流的磁矩为方向垂直纸面朝内，

,222

r I p m π=所以，小圆

电流受到的磁力矩为

012=?=B p M m

[ B

]3.（自测提高4） 一个动量为p 的电子，沿图示方向入射

并能穿过一个宽度为D 、磁感强度为B (方向垂直纸面向外)的均匀磁场区域，则该电子出射方向和入射方向间的夹角为

(A) p eBD 1cos -=α． (B) p

eBD

1sin -=α．

F 1

F 2F 3

1 A

2 A

3 A

ⅠⅡⅢ

O r

R I 1

I 2

(C) ep

BD 1

sin

-=α． (D) ep

BD 1

cos -=α．

提示：

[ B ]4.（自测提高5）如图，在一固定的载流大平板附近有一载流小线框能自由转动或平动．线框平面与大平板垂直．大平板的电流与线框中电

流方向如图所示，则通电线框的运动情况对着从大平板看是：

(A) 靠近大平板． (B) 顺时针转动．

(C) 逆时针转动． (D) 离开大平板向外运动．

提示：

。

可知正确答案为

所以，从该力矩的方向

的方向转动。朝着转向外场该力矩将使小线框的中受到一磁力矩：小线框在大平板的磁场B B p ,

m

B p M B m ?=

二. 填空题

1．（基础训练14）如图11-33，在粗糙斜面上放有一长为l 的木制圆柱，已知圆柱质量为m ，其上绕有N 匝导线，圆柱体的轴线位于导线回路平面内，整个装置处于磁感强度大小为B 、方向竖直向上的均匀磁场中．如果绕组的平面与斜面平行，则当通过回路的电流I =___)2/(NlB mg ____时，圆柱体可以稳定在斜面上不滚动．

提示：圆柱体所受合力为零，所以有θsin mg f =，式

中的θ为斜面的倾角。

以圆柱体的轴线为转轴，则圆柱体所受的合力矩为零。而合力矩=摩擦力矩和磁力矩的矢量和，即0sin =-θB p Rf m ，式中的磁矩为)2(Rl NI p m =，联立三个式子求解，即得答案。

2．（基础训练15）电子质量m ，电荷e ，以速度v 飞入磁感强度为B 的匀强磁场中，v

与B

的夹角为θ ，电子作螺旋运动，螺旋线的螺距h =__)/(cos 2eB mv θπ_，半径R

=__)/(sin eB mv θ___．

提示

I 1

I 2

图11-33

3. （基础训练16）有半导体通以电流I ，放在均匀磁场B 中，其上下表面积累电荷如图所示．试判断它们各是什么类型的半导体？

提示：

空穴带正电。

型半导体是空穴导电，

电子带负电；型半导体是电子导电，的情况。才能符合图示电荷积累流子在运动，

力的方向，判断何种载

根据载流子所受洛伦兹p n

4. （基础训练19）如图，一个均匀磁场B 只存在于垂直于图面的P 平面右侧，B

的方向垂

直于图面向里．一质量为m 、电荷为q 的粒子以速度v 射入磁场．v

在图面内与界面P 成某

一角度．那么粒子在从磁场中射出前是做半径为___

qB

mv ___的圆周运动．如果q > 0时，粒

子在磁场中的路径与边界围成的平面区域的面积为S ，那么q < 0时，其路径与边界围成的平面区域的面积是___S qB mv -???

?

??2

π____． 提示：（1）R

v

m

qvB 2

=，所以qB

mv R =

；（2）参见下图。

v

5. （基础训练20）如图，一根载流导线被弯成半径为R 的

1/4圆弧，放在磁感强度为B 的均匀磁场中，则载流导线ab 所受磁场的作用力的大小为，方向___沿y 轴正向____。

提示：如图，电流从a 流向b.

是___n___型，

__p____型

B

图11-37

6. （自测提高10）如图所示，一半径为R ，通有电流为I 的圆形回路，位于Oxy 平面内，圆心为O ．一带正电荷为q 的粒子，以速度

v

沿z 轴向上运动，当带正电荷的粒子恰好通过O 点时，作用于圆形

回路上的力为___0____，作用在带电粒子上的力为____0___．

提示：,0I =?=B v q F

带电粒子受力 I B 为圆电流在

O 点

的磁感应强度。

向，

的方向沿回路的切线方可知，根据q 2

0q B 4 r

e v q B r

?=πμ 也为零。回路受力??=∴q B l

Id F

7. （自测提高12）磁场中某点处的磁感强度为)SI (20.040.0j i B

-=，一电子以速

度j i 6

6100.11050.0?+?=v (SI)通过该点，则作用于该电子上的磁场力F 为

__)(10814

N k -?__．(基本电荷e =1.6×10-19C)

8.（自测提高14）如图11-53，半径为R 的空心载流无限长螺线管，单位长度有n 匝线圈，导线中电流为I 。今在螺线管中部以与轴成α角的方向发射一个质量为m ，电量为q 的粒子，则该粒子初速度必须小于或等于__αμmsin nIqR 0__,才能保证不与螺线管壁相撞。

提示：设粒子运动的半径为R ’，则要求R ≤R'，即

R nI q mv qB

mv ≤=

=

⊥)

(sin R'0μα，所以α

μmsin nIqR

0≤

v .

三. 计算题

1．（基础训练24）一通有电流I 1 (方向如图)的长直导线，旁边有一个与它共面通有电流I 2 (方向如图)每边长为a 的正方形线圈，线圈的一对边和长直导线平行，线圈的中心与长直导线间的距离为

a 23(如

图)，在维持它们的电流不变和保证共面的条件下，将它们的距离从a 2

3变为a 25

，求磁场对正方形线圈所做的功．

I 1

I 2

图11-53

解： )(122m m I A Φ-Φ=

其中 ??

??-=?=

Φadr r

I

S d m πμ2B 101

式中1B

为长直导线I 1产生的磁感应强度。

所以 π

μπ

μ22

ln 2102101a I r

dr

a I a

a

m -

=-=Φ?

π

μπ

μ223ln 21032102a I r

dr a I a

a

m -

=-=Φ?

3

4ln

2210π

μa

I I A =

∴

磁场对正方形线圈作正功。

2. （自测提高18）如图所示线框，铜线横截面积S = 2.0 mm 2，其中OA 和DO ＇两段保持水平不动，ABCD 段是边长为a 的正方形的三边，它可绕OO ＇轴无摩擦转动．整个导线放在匀强磁场B 中，B

的方向竖直向上．已知铜的密度ρ = 8.9×103 kg/m 3，当铜线中的电流I =10 A 时，导线处于平衡状态，AB 段和CD

段与竖直方向的夹角α =15°．求磁感强度B

的大小．

解：线圈的电流如图所示，才能保持平衡。此时，对转轴OO ’的合力矩为零。即三条

边的重力矩和BC 边的安培力的力矩的矢量和为零。 重力矩： αααs i n s i n 2

s i n 2

m g a a mg

a mg

M

mg

++=，

其中m 为一条边的质量： as m ρ=

αραsin 2sin 22

sg a mga M

mg

==∴

BC 边的安培力的力矩：αcos Fa M =安，其中安培力IBa F =

αcos 2

IBa

M

=∴安

平衡时，合力矩为零，即 0=-安M M mg 得 )(10

3.92B 3

T I

gstg -?==α

ρ

3. (自测提高20)在一回旋加速器中的氘核，当它刚从盒中射出时，其运动半径是R=32.0cm ，加在D 盒上的交变电压的频率是γ=10MHz 。试求：(1)磁感应强度的大小；(2)氘核射出时的能量和速率(已知氘核质量m=3.35×10-27kg)

解：（1）),/(1001.210103214.32227

72s m R T

R v ?=????===-γππ

（2）)(3.1)

(1 2' 2,'

212

T c v m q

q

m B m qB T

=-=

=

=

=

γπγππγ

)(10

02.31'10

2

2

2

J c c v m c m E -?=?

?

?

??-=

=

【附加题】（自测提高21）

如图11-59所示，两根相互绝缘的无限直导线1和2绞接于O 点，两导线间夹角为θ，通有相同的电流I ，试求单位长度导线所受磁力对O 点的力矩。

解：如图，在导线1上距离O 点l 处取

电流元l Id

作为受力分析的对象。

导线2在该处产生的磁场为

θπμπμsin 2 2002l I r I B ==，方向垂直纸面朝外；

方向如图。

其大小所受安培力为：

,sin 2,2

02

2θ

πμl dl I IdlB

dF B l Id F d l Id =

=?=∴

方向垂直纸面朝内。

其大小为点的力矩为：对,

sin 2,O 2

0dl I

l dF dM F d l M d F d ?=?=?=θ

πμ

所以，单位长度导线所受合力矩的方向也是垂直纸面朝内，其大小为：

θ

πμsin 22

0I

dl

dM M =

=

同理，导线2单位长度导线所受磁力对O 点的力矩θ

πμsin 22

0I

M =

，方向垂直纸面朝外。

2

图11-59