平行四边形知识归纳总结及答案

一、选择题

1．已知点A （4，0），B （0，﹣4），C （a ，2a ）及点D 是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD 的长的最小值为（ ） A ．

65

5

B ．

125

5

C ．32

D ．42

2．如图，正方形ABCD 的边长为定值，E 是边CD 上的动点（不与点C ，D 重合），AE 交对角线BD 于点F ， FG AE ⊥交BC 于点G ，GH BD ⊥于点H ，连结AG 交BD 于点N ．现给出下列命题：① AF FG =；②DF DE =；③FH 的长度为定值；④GE BG DE =+；⑤222BN DF NF +=．真命题有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

3．如图，菱形ABCD 中，4, 120AB ABC =∠=，点E 是边AB 上一点，占F 在BC 上，下列选项中不正确的是( )

A ．若4AE CF +=，则ADE BDF ??≌

B ．若, DF AD DE CD ⊥⊥， 则23EF =

C ．若DEB DFC ∠=∠,则BEF ?的周长最小值为423+

D ．若D

E D

F =，则60ADE FDC ?∠+∠=

4．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AC 上的一点，且AB=AE ，过点A 作AF ⊥BE ，垂足为F ，交BD 于点G ，点H 在AD 上，且EH ∥AF.若正方形ABCD 的边长为2，下列结论：①OE=OG ；②EH=BE ；③AH=222-，其中正确的有（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

5．如图，在菱形ABCD 中，两对角线AC 、BD 交于点O ，AC =8，BD =6，当△OPD 是以PD 为底的等腰三角形时，CP 的长为（ ）

A ．2

B ．

185

C ．

75

D ．

52

6．正方形ABCD ，CEFG 按如图放置，点B ，C ，E 在同一条直线上，点P 在BC 边上，

PA PF =，且APF 90∠=?，连接AF 交CD 于点M ，有下列结论：EC BP =①；BAP GFP ∠∠=②；222

1AB CE AF 2

+=

③；APF

ABCD CEFG S S 2S +=正方形正方形④．其中

正确的是（ ）

A ．①②③

B ．①③④

C ．①②④

D ．①②③④

7．如图，正方形ABCD 的边长为10，8AG CH ==，6BG DH ==，连接GH ，则线

段GH 的长为（ ）

A ．

83

B ．22

C ．

145

D ．1052-

8．如图，点E 是正方形ABCD 外一点，连接AE 、BE 和DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝3．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②EB ⊥ED ；③点B 到直线AE 的距离为7；④S 正方形ABCD ＝8+14．则正确结论的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片，使AD 落在BC 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB ，AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论①∠AGD ＝110.5°；②S △AGD ＝S △OGD ；③四边形AEFG 是菱形；④BF ＝2OF ；⑤如果S △OGF ＝1，那么正方形ABCD 的面积是12+82，其中正确的有（ ）个．

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

10．如图，已知△ABC 的面积为12，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BF=4CF ，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

二、填空题

11．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、

P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积

依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．

12．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点

E ，若27CD

F ∠=?，则DAB ∠的度数为____________．

13．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=?．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．

14．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =23，点E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．

15．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．

16．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=?，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．

17．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于点O ，在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB’C ，若四边形ABCD 的面积为24cm 2，则翻折后重叠部分（即S △ACE ) 的面积为________cm 2．

18．已知：一组邻边分别为6cm 和10cm 的平行四边形ABCD ，DAB ∠和ABC ∠的平分线分别交CD 所在直线于点E ，F ，则线段EF 的长为________cm ．

19．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为

t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．

20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．

三、解答题

21．综合与探究

如图1,在ABC ?中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题: （1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=?

①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．

②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由． （2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ?的外部,则当

ACB =∠_______时,CF BD ⊥．

22．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ． （1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时， ①BCF ∠= ；

②,,BC CD CF 之间数量关系为 ．

（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．

（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，

1

3

CD BC =

，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．

．

23．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ．

（1）操作发现：

①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个 三角形； ②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为 ． （2）深入探究：

在矩形ABCD 中，AB 3BC ＝3 ①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；

②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．

24．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接

DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．

（1）求证：GF GC =；

（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．

25．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=?分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点

F ．

（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；

（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由； （3）已知2,BC =

求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．

26．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ． （1）如图①．求证：OE ＝OF ；

（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线

段，使它与EP相等，并加以证明；

（3）如图③，若△ABO是等边三角形，AB＝4，点F在BC边上，且BF＝4．则CF OF

＝

（直接填结果）．

27．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．

（1）求证：四边形BFEP为菱形；

（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动．

①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；

②如果限定P、Q分别在线段BA、BC上移动，直接写出菱形BFEP面积的变化范围．28．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段AC，同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有∠ADB和∠ACB，此时∠ADB＝

∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在CB同侧有∠BAC和∠BDC，此时∠BAC＝∠BDC。请再找一对这样的角来＝

（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF 的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由。

（3）在第（2）题的条件下，若此时AB＝3，BD＝2，求BC的长。

?是边长为3的等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与29．如图，ABC

?是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，交直线点B、C重合），ADE

AC于点F，连接BE．

（1）判断四边形BCFE的形状，并说明理由；

（2）当DE AB

⊥时，求四边形BCFE的周长；

（3）四边形BCFE能否是菱形？若可为菱形，请求出BD的长，若不可能为菱形，请说明理由．

30．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：

（1）PC＝cm．（用t的代数式表示）

（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？

（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而

通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝

42，对比两种情

况即可求得CD最小值.

【详解】

解：如图，由题意点C在直线y＝2x上，

如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣4，

∵AF＝FB，

∴点F坐标为（2，﹣2），

∵CF⊥直线y＝2x，

设直线CF为y＝﹣1

2

x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1

∴直线CF为y＝﹣1

2

x﹣1，

由

2

1

1

2

y x

y x

=

?

?

?

=--

??

解得

2

5

4

5

x

y

?

=-

??

?

?=-

??

，

∴点C坐标（

2

5

-，

4

5

-）．

∴CD＝2CF＝2

22

24

22

55

????

++-+

? ?

????

125

．

如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝42125

5

，

∴CD

125

故选：B．

【点睛】

本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD最短.

2．C

解析：C 【分析】

根据题意，连接CF ，由正方形的性质，可以得到△ABF ≌△CBF ，则AF=CF ，∠BAF=∠BCF ，由∠BAF=∠FGC=∠BCF ，得到AF=CF=FG ，故①正确；连接AC ，与BD 相交于点O ，由正方形性质和等腰直角三角形性质，证明△AOF ≌△FHG ，即可得到EH=AO ，则③正确；把△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，则证明△MAG ≌△EAG ，得到MG=EG ，即可得到EG=DE+BG ，故④正确；②无法证明成立，即可得到答案. 【详解】 解：连接CF ，

在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABF=∠CBF=45°， 在△ABF 和△CBF 中，

45AB BC ABF CBF BF BF =?

?

∠=∠=???=?

， ∴△ABF ≌△CBF （SAS ）， ∴AF=CF ，∠BAF=∠BCF ， ∵FG ⊥AE ，

∴在四边形ABGF 中，∠BAF+∠BGF=360°-90°-90°=180°， 又∵∠BGF+∠CGF=180°， ∴∠BAF=∠CGF ， ∴∠CGF=∠BCF ∴CF=FG ， ∴AF=FG ；①正确； 连接AC 交BD 于O ．

∵四边形ABCD 是正方形，HG ⊥BD ， ∴∠AOF=∠FHG=90°，

∵∠OAF+∠AFO=90°，∠GFH+∠AFO=90°， ∴∠OAF=∠GFH ， ∵FA=FG ， ∴△AOF ≌△FHG ， ∴FH=OA=定值，③正确；

如图，把△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，

∴AM=AE ，BM=DE ，∠BAM=∠DAE ， ∵AF=FG ，AF ⊥FG ， ∴△AFG 是等腰直角三角形， ∴∠FAG=45°，

∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°， ∴∠MAG=∠FAG ， 在△AMG 和△AEG 中，

45AM AE EAG MAG AG AG =?

?

∠=∠=???=?

， ∴△AMG ≌△AEG ， ∴MG=EG ，

∵MG=MB+BG=DE+BG ， ∴GE= DE+BG ，故④正确；

如图，△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，记F 的对应点为P ，连接BP 、PN ， 则有BP=DF ，∠ABP=∠ADB=45°， ∵∠ABD=45°， ∴∠PBN=90°， ∴BP 2+BN 2=PN 2，

由上可知△AFG 是等腰直角三角形，∠FAG=45°， ∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°， ∴∠MAG=∠FAG ， 在△ANP 和△ANF 中，

45AP AF EAG MAG AN AN =?

?

∠=∠=???=?

， ∴△ANP ≌△ANF ， ∴PN=NF ， ∴BP 2+BN 2=NF 2， 即DF 2+BN 2=NF 2， 故⑤正确；

根据题意，无法证明②正确， ∴真命题有四个， 故选C. 【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形．

3．D

解析：D 【分析】

A.正确，只要证明ADE BDF ?即可；

B.正确，只要证明,DF BC ⊥进而得到EDF 是等边三角形，进而得到结论；

C.正确，只要证明DBE DCF ?得出DEF 是等边三角形，因为BEF 的周长为

4BE BF EF BF CF EF BC EF EF ++=++=+=+，所以等边三角形DEF 的边长

最小时，BEF 的周长最小，只要求出DEF 的边长最小值即可； D.错误，当EF AC 时，DE DF =，由此即可判断.

【详解】

A 正确，理由如下：

=120ABCD ABC ∠?四边形是平行四边形， 4,60,AD DC BC AB ABD DBC ∴====∠=∠=?

ADB BDC ∴、都是等边三角形， ,60,AD BD DAE DBF ∴=∠=∠=?

4,4,AE CF BF CF +=+= ,AE BF ∴=

,,AD BD DAE DBF =∠=∠又

.ADE BDF ∴?

B 正确，理由如下：

,,DF AD AD BC ⊥ ,DF BC ∴⊥

DBC 是等边三角形，

30,BDF DF ∴∠=?=

=

同理30,BDE DE ∠=?=

,60,DE DF EDF ∴=∠=?

EDF ∴是等边三角形，

EF DE ∴==

C 正确，理由如下：

,,,DBE DCF DEB DFC DB DC ∠=∠∠=∠= ,DBE DCF ∴?

,,,DE DF BDE CDF BE CF ∴=∠=∠=

60,EDF BDC ∴∠=∠=?

DEF ∴是等边三角形， BEF 的周长为：

4BE BF EF BF CF EF BC EF EF ++=++=+=+，

∴等边三角形DEF 边长最小时，BEF 的周长最小， ∴

当DE AB ⊥时，DE 最小为

BEF ∴的周长最小值为4+.

D 错误，当EF AC 时，D

E D

F =，此时ADE FDC ∠+∠时变化的不是定值，故错误.

故选D. 【点睛】

本题主要考查全等的判定的同时，结合等边三角形的性质，涉及到最值问题，仔细分析图形，明确图形中的全等三角形是解决问题的关键.

4．D

解析：D

【分析】

根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质即可分别求证判断.

【详解】

在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOG=∠BOE，AC⊥BD

∵AF⊥BE，∴∠EAF+∠BEO=∠BEO+∠OBE=90°，

∴∠OAG=∠OBE，∴△OAG≌△OBE，故OE=OG，①正确；

∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB，

∵EH∥AF∴HE⊥BE，

∴∠AEF+∠AEH=∠ABE+∠CBE,∴∠AEH=∠CBE

又∵AE=AB=CB,∠HAE=∠ECB=45°，∴△AEH≌△CBE，

∴EH=BE，②正确；

∵△AEH≌△=

∴AH=CE=AC-AE=，③正确.

故选D

【点睛】

此题主要考查正方形的性质与线段的证明，解题的关键是熟知正方形的性质定理及全等三角形的判定与性质.

5．C

解析：C

【解析】

【分析】

过O作OE⊥CD于E．根据菱形的对角线互相垂直平分得出OB，OC的长，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出CD，然后根据三角形的面积公式求出OE．在Rt△OED中，利用勾股定理求出ED．根据等腰三角形三线合一的性质得出PE，利用CP=CD-PD即可得出结论．【详解】

过O作OE⊥CD于E．

∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OB

1

2

=BD

1

2

=?6=3，

OA=OC

1

2

=AC

1

2

=?8=4，AC⊥BD，由勾股定理得：CD===5．

∵1

2

OC×OD=

1

2

CD×OE，∴12=5OE，∴OE=2.4．在Rt△ODE中，

DE=1.8．

∵OD =OP ，∴PE =ED =1.8，∴CP =CD -PD

=5-1.8-1.8=1.4=75

．

故选C ． 【点睛】

本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求出OE 的长是解题的关键．

6．D

解析：D 【分析】

①由同角的余角相等可证出EPF BAP ?，由此即可得出EF BP =，再根据正方形的性质即可得出①成立；②根据平行线的性质可得出GFP EPF ∠=∠，再由EPF BAP ∠=∠即可得出②成立；③在Rt ABP ?中，利用勾股定理即可得出③成立；④结合③即可得出④成立． 【详解】

解：①90EPF APB ∠+∠=?，90APB BAP ∠+∠=?，

EPF BAP ∴∠=∠，

在EPF ?和BAP ?中，

EPF BAP FEP PBA PA PF ∠=∠??

∠=∠??=?

， ()EPF BAP AAS ∴???，

EF BP ∴=，

四边形CEFG 为正方形，

EC EF BP ∴==，即①成立；

②//FG EC ，

GFP EPF ∴∠=∠，

又EPF BAP ∠=∠，

BAP GFP ∴∠=∠，即②成立；

③由①可知EC BP =，

在Rt ABP ?中，222AB BP AP +=，

PA PF =，且90APF ∠=?，

APF ∴?为等腰直角三角形， 22222AF AP FP AP ∴=+=，

222222

1

2

AB BP AB CE AP AF ∴+=+==，即③成立；

④由③可知：222AB CE AP +=，

2APF ABCD CGFE S S S ?∴+=正方形正方形，即④成立．

故成立的结论有①②③④． 故选：D ．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是逐条分析五条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，

通过证明三角形全等以及利用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关键．

7．B

解析：B 【分析】

延长DH 交AG 于点E ，利用SSS 证出△AGB ≌△CHD ，然后利用ASA 证出

△ADE ≌△DCH ，根据全等三角形的性质求出EG 、HE 和∠HEG ，最后利用勾股定理即可求出HG ． 【详解】

解：延长DH 交AG 于点E

∵四边形ABCD 为正方形

∴AD=DC=BA=10，∠ADC=∠BAD=90° 在△AGB 和△CHD 中

AG CH BA DC BG DH =??

=??=?

∴△AGB ≌△CHD

∴∠BAG=∠DCH ∵∠BAG ＋∠DAE=90° ∴∠DCH ＋∠DAE=90° ∴CH 2＋DH 2=82＋62=100= DC 2 ∴△CHD 为直角三角形，∠CHD=90° ∴∠DCH ＋∠CDH=90° ∴∠DAE=∠CDH ， ∵∠CDH ＋∠ADE=90° ∴∠ADE=∠DCH 在△ADE 和△DCH 中

ADE DCH AD DC

DAE CDH ∠=∠??

=??∠=∠?

∴△ADE ≌△DCH

∴AE=DH=6，DE=CH=8，∠AED=∠DHC=90°

∴EG=AG －AE=2，HE= DE －DH=2，∠GEH=180°－∠AED=90° 在Rt △GEH 中，

=故选B ． 【点睛】

此题考查是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．

8．C

解析：C 【分析】

①易知AE ＝AP ，AB ＝AD ，所以只需证明∠EAB ＝∠PAD 即可用SAS 说明△APD ≌△AEB ； ②易知∠AEB ＝∠APD ＝135°，则∠BEP ＝∠AEB ﹣∠AEP ＝135°﹣45°＝90°，所以EB ⊥ED ；

③在Rt △BEP 中利用勾股定理求出BE

，根据垂线段最短可知B 到直线AE 的距离

；则③错误；

④要求正方形的面积，则需知道正方形一条边的平方值即可，所以在△AEB 中，∠AEB ＝135°，AE ＝1，BE

A 作AH ⊥BE 交BE 延长线于H 点，在Rt △AH

B 中利用勾股定理AB 2＝BH 2+AH 2即可． 【详解】

∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝AB ，∠DAB ＝90°． ∴∠DAP+∠BAP ＝90°． 又∠EAP+∠BAP ＝90°， ∴∠EAP ＝∠DAP ．

又AE＝AP，

∴△APD≌△AEB（SAS）．

所以①正确；

∵AE＝AP，∠EAP＝90°，

∴∠APE＝∠AEP＝45°，

∴∠APD＝180°﹣45°＝135°．

∵△APD≌△AEB，

∴∠AEB＝∠APD＝135°，

∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，

即EB⊥ED，②正确；

在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP＝222

AE AP

+=，

在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE＝227

BP EP

-=．

∵B点到直线AE的距离小于BE，所以点B到直线AE的距离为7是错误的，所以③错误；

在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝1，BE＝7，

如图所示，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点．

在等腰Rt△AHE中，可得AH＝HE＝

2

2

AE＝

2

2

．

所以BH＝

2

7

2

+．

在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2＝BH2+AH2，

即AB2＝（

2

7

2

+）2+（

2

2

）2＝14，

所以S正方形ABCD＝14．

所以④正确．

所以只有①和②、④的结论正确．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决复杂几何图形时要会分离

图形，分离出对解决问题有价值的图形单独解决．

9．B

解析：B

【分析】

①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD＝∠ADO＝45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG 的度数，从而求得∠AGD；

②证△AEG≌△FEG得AG＝FG，由FG＞OG即可得；

③先计算∠AGE＝∠GAD+∠ADG＝67.5°，∠AED=∠AGD－∠EAG=67.5°，从而得到∠AGE＝∠AED，易得AE=AG，由AE＝FE、AG＝FG即可得证；

④设OF＝a，先求得∠EFG＝45°，易得∠GFO＝45°，在Rt△OFG中，GF

a，

从而可证得BF＝EF＝GF

；

⑤由S△OGF＝1求出a2，再表示出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠EAG=∠GAD＝∠ADO＝45°，∠AOB=90°，

由折叠的性质可得：∠ADG＝1

2

∠ADO＝22.5°，

∴∠AGD＝180°－∠GAD－∠ADG＝112.5°，

故①错误；

由折叠的性质可得：AE＝EF，∠AEG＝∠FEG，

在△AEG和△FEG中，

AE FE

AEG FEG

EG EG

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△AEG≌△FEG（SAS），

∴AG＝FG，

∵在Rt△GOF中，AG＝FG＞GO，

∴S△AGD＞S△OGD，故②错误；

∵∠AGE＝∠GAD+∠ADG＝67.5°，∠AED=∠AGD－∠EAG=67.5°，∴∠AGE＝∠AED，

∴AE＝AG，

又∵AE＝FE，AG＝FG，

∴AE＝EF＝GF＝AG，

∴四边形AEFG是菱形，故③正确；

设OF＝a，

∵△AEG≌△FEG，

∴∠EFG＝∠EAG=45°，

又∵∠EFO＝90°，

∴∠GFO＝45°，