高数总结：基本初等函数图像及其性质
基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；
α
1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；
2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数
n
m
时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；
4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。 三、指数函数x a y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ； [无界函数] 1.指数函数的图象： 2. 1）当1>a 时函数为单调增,当10< 1 ( 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10< 的图像越远离y 轴。 4.指数的运算法则（公式）； a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥； (1) n m n m a a a +=? (2) n m n m a a a -=÷ (3) () () m n nm n m a a a == (4) ()n n n b a a b = b.根式的性质； (1) ()a a n n = ； (2)当n 为奇数时， a a n n = 当n 为偶数时， ? ??<-≥==)0(0) (a a a a a a n n c.分数指数幂； (1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界] 1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。 对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x a y =的图象 关于直线 x y =对称。 2.常用对数：N 10log 的对数叫做常用对数，为了简便，N 的常用对数记作N lg 。 3.自然对数：使用以无理数7182.2=e 为底的对数叫做自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简 记作N ln 。 4.对数函数的图象： 5.对数函数的性质； 1）对数函数的图形为于y 轴的右方，并过点(1,0)； 2）当1>a 时，在区间(0,1)，y 的值为负，图形位于x 的下方；在区间(1, +∞)，y 值为正，图形位于x 轴上方，在定义域是单调增函数。1 x a )1(>a )10(< 6.（选，补充）对数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个对数函数 x y a log =，x y a 1log = 的函数图像关于x 轴对称。 b.1. 当1>a 时，a 值越大， x x f a log )(= 的图像越靠近x 轴； b.2. 当) 10(< 的图像越远离x 轴。 7.对数的运算法则（公式）； a.如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： ()N M MN a a a log log log += N M N M a a a log log log -= M n M a n a log log = b.对数恒等式： N a N a =log )010(>≠>N a a ，且 c.换底公式： (1)b N N a a b log log log = （1,0≠>a a ，一般常常 换为e 或10为底的对数,即b N N b ln ln log = 或 b N N b lg lg log = ） (2)由公式和运算性质推倒的结论： b m n b a n a n log log = d.对数运算性质 (1)1的对数是零，即01log =a ；同理01ln =或01lg = (2)底数的对数等于1，即1log =a a ；同理1ln =e 或110lg = x a x a 1 x 2x x 3log )(=x 2 1 x x 3 1log )(= 五、三角函数 1.正弦函数x y sin =,有界函数，定义域) , (+∞ -∞ ∈ x，值域]1 ,1 [+ - ∈ y 图象：五点作图法：0， 2 π ，π， 2 3π ，π2 2.余弦函数x y cos =，有界函数，定义域) , (+∞ -∞ ∈ x，值域]1 ,1 [+ - ∈ y 图象：五点作图法：0， 2 π ，π， 2 3π ，π2 3.正、余弦函数的性质； 性质 函数 x y sin =) (Z k∈ x y cos =) (Z k∈定义域R 值域[-1,1] [-1,1] 奇偶性奇函数偶函数 周期性π2 = Tπ2 = T 对称中心)0, (πk)0, 2 ( π πk 对称轴 2 π π+ =k x)0, 2 ( π π+ k 单调性 在? ? ? ?? ? + - ∈ 2 2, 2 2 π π π πk k x上是增函数 在? ? ? ?? ? + + ∈ 2 3 2, 2 2 π π π πk k x上是减函数 在[]π π πk k x2, 2- ∈上是增函数 在[]π π π+ ∈k k x2, 2上是减函数最值 2 2 π π+ =k x时，1 max = y 2 2 π π+ =k x时，1 min - = y πk x2 =时，1 max = y π π+ =k x2时，1 min - = y x y tan =的图像 x y cot =的图像 6.正、余切函数的性质； 8.余割函数x x y sin 1 csc ==，无界函数，定义域{})(,Z k k x x ∈≠π，值域 1csc ≥x 9.正、余割函数的性质； x y sec =的图像 x y csc =的图像 六、反三角函数 1.反正弦函数 x y arcsin =，无界函数，定义域[-1,1]，值域],0[π A.反正弦函数的概念：正弦函数 x y sin =在区间?? ? ? ??-2,2ππ上的反函数称为反正弦函数，记为x y arcsin = 2.反余弦弦函数 x y arccos =，无界函数，定义域[-1,1]，值域],0[π B.反余弦函数的概念：余弦函数 x y cos =在区间 π,0上的反函数称为反余弦函数，记为 y = x y arcsin =的图像 x y arccos =的图像 3.反正、余弦函数的性质； 4.反正切函数 x y arctan =，有界函数，定义域),(+∞-∞∈x ,值域?? ? ??-2,2ππ C.反正切函数的概念：正切函数 x y tan =在区间?? ? ??-2,2ππ上的反函数称为反正切函数，记为 x y arctan = 5.反余切函数 x arc y cot =，有界函数，定义域),(+∞-∞∈x ,值域()π,0 D.反余切函数的概念：余切函数 x y cot =在区间()π,0上的反函数称为反余切函数，记为 x arc y cot = x y arctan =的图像 x arc y cot =的图像 6.反正、余弦函数的性质； 三角函数公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=。 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y = αtan 余切：y x =αcot 正割：x r = αsec 余割：y r =αcsc 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系：1csc sin =?α α，1sec cos =?αα，1cot tan =?αα 商数关系：αααcos sin tan =，α α αsin cos cot = 平方关系：1cos sin 22 =+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+ 三、诱导公式 x 轴上的角，口诀：函数名不变，符号看象限； y 轴上的角，口诀：函数名改变，符号看象限。 四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= -五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = α α α2tan 1tan 22tan -= ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 二倍角的余弦公式常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 22cos 1cos 2αα+= ，22sin 1sin 2 αα+=，α αααα2cos 12sin 2sin 2cos 1tan +=-= 六、三倍角公式 ) 3sin()3sin(sin 4sin 4sin 33sin 3 απ απααα+-=-=)3 cos()3cos(cos 4cos 3cos 43cos 3 απ απααα+-=-=)3tan()3tan(tan tan 31tan tan 33tan 2 3απ απααααα+-=--= 七、和差化积公式 2 cos 2 sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ 2 sin 2 cos 2sin sin β αβ αβα-+=- 2 cos 2 cos 2cos cos β αβ αβα-+=+ 2 sin 2 sin 2cos cos β αβ αβα-+-=- 八、辅助角公式 )sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a 其中：角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同， 2 2sin b a b += ?，2 2cos b a a += ?，a b =?tan 九、三角函数的周期公式 函数)sin(?ω+=x A y ，R x ∈及函数)cos(?ω+=x A y ，R x ∈(A,?ω,,为常数，且 0,0>≠ωA ) 周期： ω π 2= T 函数)tan(?ω+=x A y ，Z k k x ∈+ ≠,2 π π(A,?ω,,为常数，且0,0>≠ωA ) 周期： ω π = T 十、正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB C ?外接圆半径） 十一、余弦定理 A bc c b a cos 22 2 2 ?-+= B ac c a b cos 2222?-+= C ab b a c cos 2222?-+= 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 第十二讲 基本初等函数 一：教学目标 1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质； 2、理解基本初等函数的性质； 3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数 二：教学重难点 教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用； 教学难点：基本初等函数基本性质的应用 三：知识呈现 1.指数与指数函数 1).指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）()s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n m n a a =； （5）m n n m a a -= （6）,||,n n a n a a n ?=??奇偶 2). 指数函数：形如(01)x y a a a =>≠且 2.1）对数的运算： 1、互化：N b N a a b log =?= 2、恒等：N a N a =log 3、换底： a b b c c a log log log = 指数函数 0 推论1 a b b a log 1log = 推论2 log log log a b a b c c ?= 推论3 log log m n a a n b b m =)0(≠m 4、N M MN a a a log log log += log log log a a a M M N N =- 5、M n M a n a log log ?= 2）对数函数： 3.幂函数 一般地，形如 a y x =（a R ∈）的函数叫做幂函数，其中 a 是常数 1)性质： (1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1, 1); 对数函 数 0 第1章 函 数 §1.1 函数的概念与性质 1. 绝对值与不等式（0>a ，0b >） （1）x x x -≤≤；x y x y x y -≤±≤+ （2 ）2 112 a b a b +≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值） 一般地，1212111n n x x x n n x x x +++≤≤ +++ （3）{}max ,22a b a b a b -+=+；{}min ,22 a b a b a b -+=- 2. 函数概念与性质 对变量D x ∈的每一个确定值，变量y 按某确定规则f ，都有且只有一确定值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为()y f x =，D x ∈。 注意：定义域D 和对应规则f 是函数相等的两要素。 （1）无关性 ()()y f x f t == D t x ∈, （2）单调性 1212,,x x I x x ?∈< 1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ≤???≥? ?单调递增单调递减；1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ??严格单增严格单减 （3）奇偶性 ()() ()()()()f x f x f x y f x f x f x -=???-=-??为偶函数，对称于轴为奇函数，对称于原点 注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。 （4）周期性 若()()f x T f x +=，0T >，则称为)(x f 的周期。 （5）有界性 若D x ∈?，M x f ≤)(，()0>M ，则称)(x f 在D 上有界。 常用有界函数：sin 1x ≤，cos 1x ≤，(,)-∞+∞； 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 函数名 一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 解析式 )0()(≠+=a b ax x f )0()(≠= k x k x f 图像 定义域 R R {}0|≠x x R 值域 R ） ，（∞+0 必过点 ）（b ,0 ） ，（c 0 ) 1,(1,--k k ） （ ） （1,0 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 在R 上单增 )2-a b -∞，（为减 ),2+∞-a b （为增 ）为减，（0-∞）为减，（∞+0 为减 为增，101<<>a a 最大最小值 在R 不存在最大最小值 开口向上有最小值 a b a c y 442min -= 不存在最大最小值 在R 上不存在最大最小值 奇偶性 非奇非偶函数 为奇函数00≠=b b 偶函数 为非奇非为偶函数，00≠=b b 奇函数 非奇非偶函数 对称性 为常数。 对称， 函数图像关于直线任何一点对称；关于图像上t t x a y +=1 - 对称 直线函数图像关于 a b x 2-= 函数图像关于原点对称； 对称。 直线和关于 对称，直线图像关于x y x y -== 既不成中心对称也不成轴对称。 渐近线 无 无 . 00==y x 直线或者直线 .0=y 直线 ) 0()(2≠++=a c bx ax x f ) 10()(≠=a a a x f x 且＞0＞a ＞a 0 ＞k ) ,44[ 2 +∞-a b a c ），（），（∞+?∞00-x a y =) 10(<a x y O 1 函数名 对数函数 幂函数的一个例子 双钩函数 含绝对值函数 解析式 ) 10(log ≠>=a a y x a 且 ) 0(≥=x x y b a b x a x y <-+-=设为了研究方便 图像 O 1 y x ) 10(log <<=a y x a ) 1(log >=a y x a O y x x y =1 1 定义域 ()∞+，0 [)∞+，0 0}x |{x ≠ R 值域 R [) ∞+，0 (][) ∞+∞，，ab ab 22--Y [)+∞-,a b 必过点 ）（0,1 () 1,1 )2,(2,ab a b ab a b -- ）（ ) ,(,a b b a b a --）（ 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 单调递减。 单调递增。，, 101<<>a a 为增函数 定义域内 递增。递减，，递减，递增，，???? ??+∞???? ????? ? ? ????? ??∞,00,---a b a b a b a b (][)函数。 上为常值为增函数。 为减函数。 ，],[,-b a b a +∞∞ 最大最小值 无最大最小值 最小值为 0min =y ，无最 大值 无最大最小值 a b y -=min 奇偶性 非奇非偶 非奇非偶 奇函数 对称性 既不是轴对称也不是中心对称 既不是轴对称也不是中心对称 关于原点成中心对称 关 于 直 线 2 b a x += 对称。 渐近线 直线x=0 ax y =和0=x O y x a b a b -ab 2ab 2-O y x a b a b -的情况 只了解中学研究方便通常 ） （00>>+=b a x b ax y 为偶函数0=+b a 高等数学公式大全及常 见函数图像 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 高等数学公 式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 基本初等函数及图形 (1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数） (2) 幂函数 μ x y =，μ是常数； (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称； 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 正切函数 x y tan =， 2π π+ ≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ， 余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ； 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1* >∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上， )1a 0 a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为．底．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log —对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． ◆ 指数式与对数式的互化 幂值 真数 ＝ b 高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin 一、一次函数与二次函数 （一）一次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 定义域 (),-∞+∞ 对称轴 2b x a =- 顶点坐标 24,24b ac b a a ??-- ??? 值域 24,4ac b a ??-+∞ ? ?? 24,4ac b a ??--∞ ? ?? 单调区间 ,2b a ? ?-∞- ? ? ?递减 ,2b a ??- +∞ ??? 递增 ,2b a ? ?-∞- ? ? ?递增 ,2b a ?? - +∞ ??? 递减 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递 增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =- 时，2max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2 高等数学基本公式、概念和方法 一．函数 1．函数定义域由以下几点确定 （１）0)(;) (1 ≠= x f x f y （２）0)(;)(2≥=x f x f y n （其中n 为正整数） （３）0)(:)(log >=x f x f y a 。 （４）1 )(1);(arccos 1)(1);(arcsin ≤≤-=≤≤-=x f x f y x f x f y （５）函数代数和的定义域，取其定义域的交集． （６）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定． 2．判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的． （１） 若)(),()(x f x f x f =-是偶函数，若)(),()(x f x f x f -=-是奇函数． （２） 若)(x f y =的图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．如x y x y cos ..2 ==等。 若)(x f y =的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数．如x y x y x y sin (3) === ３． 将函数分解成几个简单函数的合成． 由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系．函数与常数的四则运算，不必另设一层关系． 二．极限与连续 1．主要概念和计算方法： （１）．A x f x f A x f x x x x x x ==?=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0 （２）．若0)(lim 0 =→x f x x （极限过程不限），则当0x x →时)(x f 为无穷小量。 （3）．若)()(lim 00 x f x f x x =→，则函数在0x 处是连续的。 即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。 若上述三条至少一条不满足，则0x 是函数的间段点。 （4）．间断点的分类：设0x 是函数的间断点 若左、右极限均存在，则0x 称为第一类间断点。 若左、右极限至少有一个是无穷大，则0x 称为第二类间断点。 （5）．重要公式：条件0)(lim =x ?（极限过程不限） 函数的表示方法 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数； 2、 了解简单的分段函数，并能简单应用； 一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法 如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。 例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x = ≥等等都是用解析式表示函数关系的。 特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。 解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。 2、列表法： 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。 例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒： 列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用到实际生产和生活中。 列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法： 用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。 例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。 特别提醒： 图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。 图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。 第三章 基本初等函数（Ⅰ） 一、指数和指数函数 ①指数 1、定义：n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。规定：1 a a = 2、整数指数幂的运算法则： m n m n a a a + ?= () n m m n a a = (),0m m n n a a m n a a -=>≠ ()m m m ab a b =? 规定：()010a a =≠，；()1 0n n a a a -= ≠ 3、平方根：如果2 x a =，则x 叫做a 的平方根 当0a >时，有两个平方根，互为相反数，记作：a ±（a 为算术平方根） 当0a = 时，00= 当0a <时，在实数范围内没有平方根 立方根：如果3 x a =，则x 叫做a 的立方根（或三次方根） 在实数范围内a 只有一个立方根，记作3a 举例382=，382-=-，311 273 - =- n 次方根：如果n x a =（,1,a R n n N +∈>∈） ，则x 叫做a 的n 次方根 注意：（1）偶次方根： 正数的偶次方根有两个，互为相反数，记作：,,n n a a - （0,a a >为偶数）负数的偶次方根在实数范围内不存在 （2）奇次方根：正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为n a （3）算术根： 正数的正n 次方根叫做的a 的n 次算术根 4、根式：当n a 有意义时，n a 叫做根式，n 叫做根指数 5、根式性质：（1） () ()1,n n a a n n N +=>∈； （2）,,n n a n a a n ??=??? 为奇数为偶数 6、分数指数幂性质：（1）()10n n a a a = >； （2）()() ()11 ,0m m m n m m n n n n a a a a a a ??=== => ??? ；（3）11 m n m n m n a a a - = =(完整版)六大基本初等函数图像及其性质
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