东南大学高数上03至期末试卷附答案
03～10级高等数学（A ）（上册）期末试卷
2003级高等数学（A ）（上）期末试卷
一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程
?
+-=y
x t x dt e
1
2
确定，则
==0
x dx
dy
（ ）
.e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A
2．曲线41
ln 2+-+
=x x
x y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A
3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ）
4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ）
.
2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( *
***x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+===
二、填空题（每小题3分，共18分）
1．_____________________)(lim 2
1
=-→x x
x x e
2．若)(cos 21arctan
x f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dx
dy
3．设,0,
00
,1sin )(?????=≠=α
x x x
x x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。
4．若dt t t x f x ?
+-=
2
32
4
)(，
则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线x
xe
y -=的拐点是__________
6．微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y 三、计算下列各题（每小题6分，共36分）
1．计算积分
dx x x
?+2
3
2)1(arctan 2．计算积分dx x
x
x ?5
cos sin 3. 计算积分
dx e x x ?
-2
32
4. 计算积分?
π
+0
cos 2x
dx
5.设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f ，求x
x dt
du u f t x
t
x sin ))((lim 3
?
?→
6.求微分方程0)2(22
2
=+-dx y x xydy 的通解 四.（8分）求微分方程x
xe y y y 223-=+'-''满足条件0,000
='===x x y y
的特解
五.（8分）设平面图形D 由x y x 22
2
≤+与x y ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积。
六.（7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C:???-=+=t
t y t
t x 252
2与x 轴所围成，试求其质量m 七.（7分）设函数)(x f 在],[a a -上有连续的二阶导数，且0)0(=f ，证明：至少存在一
点],[a a -∈ξ，使得)(3
)(3
ξ''=?
-f a dx x f a
a
2004级高等数学（A ）（上）期末试卷
一. 填空题（每小题4分，共20分） 1．函数()???
?
??
??+=x x f 11的间断点 是第 类间断点.
2. 已知()x F 是()x f 的一个原函数,且()()2
1x
x xF x f +=,则()=x f . 3.
()()
=-+?--x x x x x
d e e
11
1
2005
.
4. 设()t u u x f x
t
d d 10sin 1
4????
? ??+=
,则()=''0f .
5. 设函数()()01d 23
>+=
?
x t
t x f x x
,则当=x 时,取得最大值.
二. 单项选择题(每小题4分,共16分)
1. 设当0x x →时,()()x x βα,都是无穷小()()0≠x β,则当0x x →时,下列表达式中不一定为无穷小的是 [ ]
(A)()()
x x βα2 (B)()()x x x 1sin 2
2βα+ (C)()()()x x βα?+1ln (D)()()x x βα+
2. 曲线()()
211
arctan
e 21
2
+-++=x x x x y x
的渐近线共有 [ ] (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
3. 微分方程x
x y y y 2e 2=-'-''的一个特解形式为=*
y [ ] (A) ()x
x b ax 22
e
+ (B) x
ax 2e (C) ()x
b ax 2e
+ (D) ()x
x b ax 2e
+
4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,?,则必有
()()??
≤b
a
d
c
x x f x x f d d .
(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有
()()??
+=T
T
a a
x x f x x f 0
d d .
(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)
1. ()()3
2
d cos ln lim
x
t
t t x
x ?+→
2. 设函数()x y y =是由方程2e 2
2
=-+xy
y y x 所确定的隐函数,求曲线()x y y =在点
()2,0处的切线方程.
3.
x x x x d cos cos 0
42?
-π
4. ?
∞
+1
3
d arctan x x
x
5. 求初值问题 ()()??
?
??-='=+=+''210,10sin y y x x y y 的解.
1
Y
x
y ln =
四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小.
五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()b
a a
b a b +->2ln
. 六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件
()()()0d 1
10=+-
+'?x
t t f x x f x f 且()10=f ,试证: 当0≥x 时,有 ()1e
≤≤-x f x
成立.
七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且
()()0d tan d 1
1
11
==??--x x x f x x f ,
证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .
2005级高等数学（A ）（上）期末试卷
一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）
1． 220
6
sin d lim
x x t t x
→=? ；
2．曲线3
2
2(1)x y x =+的斜渐近线方程是 ；
3．设()y y x =是由方程ln ln y y x =所确定的隐函数，则d d y
x
= ； 4．设f 在区间[0,]π上连续，且0
()sin ()d f x x f x x π
=+
?
，则()f x = ；
5．设2
1,0
()e ,0
x x x f x x ?+
(2)d f x x -=? ；
6．
2
sin d cos x
x x x
π
π
-
=+? ； 7．曲线ln y x =相应于13x ≤≤的一段弧长可用积分 表示；
8．已知1e x y -=与22e x
y =分别是微分方程0y ay by '''++=的两个特解，则常数
a = ，常数
b = ；
9．0()0f x ''=是曲线()y f x =以点00(,())x f x 为拐点的 条件。
二．计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 1．设220
()sin d x f x t x t t =
-?
，求()f x '
2．2e 1
d e 4
x x
x -+? 3．240
sin sin d x x x x π
-?
4．
2
1
d 221
x x x x +∞
-+?
三．（本题满分9分）设有抛物线2
:(0,0)y a bx a b Γ=->>，试确定常数a 、b 的值，使得（1）Γ与直线1y x =-+相切；（2）Γ与x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积最大。
四．（本题共2小题，满分14分） 1．（本题满分6分）求微分方程(
)
2
2
2e 1d e d 0x x x y x y -+=的通解。
2．（本题满分8分）求微分方程22e x
y y x '''-=+满足初始条件9
(0)2,(0)4
y y '==
的特解。 五．（本题满分7分） 第4页 试证：（1）设e u >，方程ln x x u =在e x >时存在唯一的实根()x u ；
（2）当u →+∞时，
1()x u 是无穷小量，且是与ln u
u
等价的无穷小量。 六．（本题满分6分）证明不等式：11
1
ln 2111ln 2135
21
n n n +<++++
<+--， 其中n 是大于1的正整数。
2006级高等数学（A ）（上）期末试卷
一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．2
e d lim
(cos 1)
x
t x x t
x x →-=-? ；
2．曲线2
3
1x t
y t ?=+??=??
在2t =对应的点处的切线方程为 ； 3．函数()ln(1)f x x x =-+在区间 内严格单调递减；
4．设()y y x =是由方程ln 1xy y -=所确定的隐函数，则(0)y '= ；
5． 51
2224111d 1x x x x x x x -??--+-= ?++??
? ； 6．设)(x f 连续，且
2
01(2)d arctan 2
x
tf x t t x -=?，已知1)1(=f ,则21()d f x x =? ； 7．已知)(x y y =在任意点x 处的增量α++?=?2
1x x
y y ，当0→?x 时，α是x ?的
高阶无穷小，已知π=)0(y ，则_____)1(=y ；
8．曲线1ln e y x x ??
=+
???
的斜渐近线方程是 ； 9．若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解312e ,e x x
y y ==，则该方程为
.
二.计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 1．计算不定积分
2
arccos d x x x x
-? 2．计算定积分
20
sin d x x x π?
3．计算反常积分
()21
1
d 1x x x +∞
+?
4．设 31
()d 1x t G x t t
=+?，求 10
()d G x x ?
三．（本题满分7分）求曲线ln cos 1
sin 2
x t
y t =??
?=??自0t =到4t π=一段弧的长度。 （第3页） 四．（本题共2小题，第1小题7分，第2小题9分，满分16分） 1．求微分方程(
)2
sin cot yy x y
x '=-的通解。
2．求微分方程sin y y x x ''+=+的特解，使得该特解在原点处与直线3
2
y x =相切。 五．（本题满分7分）设1a ≤，求积分121
()e d x I a x a x -=
-?
的最大值。 （第4页）
六．（本题满分6分）设函数)(x f 在]4,2[上存在二阶连续导数，且0)3(=f ，证明：至少存在一点]4,2[∈ξ，使得 42
()3
()d f f x x ξ''=?
。
2007级高等数学（A ）（上）期末试卷
5．设5()22y y x x ππ??=<< ? ???
是由方程2200e d cos d 0y x t
t t t -=??确定的隐函数，则()y x 的单调增加区间是，单调减少区间是； 6．曲线2e x
y x -=的拐点坐标是，渐进线方程是；
7．2222lim 3123n n
n n n n n n →∞??
+++
= ?+++?
?
；
8．
(
)
231cos2cos sin d x x x x π
π
-++=?；
二.计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，满分21分） 10.
2220
2d x x x x -? 11．()
arctan 1d x x +?
三（13）．（本题满分8分）设2
0e ,()0,x x x f x x x ?≥?
=?
21e ,02()10
,2
x x F x x x ??≥?=?
（1）问)(x F 是否为)(x f 在),(∞+-∞内的一个原函数？为什么？（2）求
()d f x x ?.
四（14）．（本题满分7分）设2sin()()d x
x xt f x t t =
?，求2
0()
lim x f x x →. 一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．(
)
2
10
lim e x
x x x
→-=；
2．设1sin
x
y x
=，则d y =；
3．已知(3)2f '=，则0
(3)(3)
lim sin 2h f h f h
→--=；
4．对数螺线e θ
ρ=在2
π
θ=
对应的点处的切线方程是；
9．二阶常系数线性非齐次微分方程2sin y y x ''+=的特解形式为
*y =.
12。
2
e cos d x x x π+∞
-?
五（15）．（本题满分6分）求微分方程(cos sin 2)d d 0y x x x y +-=的通解.
六（16）．（本题满分8分）设()f x 、()g x 满足()(),()2e ()x
f x
g x g x f x ''==-，且
(0)0,(0)2f g ==，求20
()()d 1(1)g x f x x x x π??- ?++??
?. 七（17）．（本题满分8分） 设直线)10(<<=a ax y 与抛物线2
y x =所围成的图形面积为
1S ，它们与直线1x =所围成的图形面积为2S .（1）试确定a 的值，使12S S +达到最小，
并求出最小值.（2）求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 八（18）．（本题满分6分）设12()sin d x x
f x t t +=
?
，求证：当0x >时，1
()f x x
<
.
2008级高等数学（A ）（上）期末试卷
5．二阶常系数线性非齐次微分方程265e x
y y y '''+-=的特解形式是*
y = ；
6．设θ是常数，若对0x ?>，有
ln d ln 2x
x t t x θ??
= ???
?，则θ= ；
8．设()f x 是连续函数，且0
()sin ()d f x x f x x π
=+
?
，则0
()d f x x π
=? ；
二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）
一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．函数1
1()2d (0)x
F x t x t ??=
-> ???
?
的单调增加区间为 ； 2．已知20
6
arctan()d lim
1t t x ax x
t
→=?，则a = ；
3．曲线32
635y x x x =-++的拐点是 ；
4．曲线3
2
3(2)
x y x =+的斜渐近线的方程是 ； 7．
240
sin d x x π=?
；
9．设21()cos d x
f x t t =?
，则1
()d f x x =?
.
10．00d lim (1cos )x t t x x →-? 11. ()
2
2240
4(1)sin(1)d x x x x x -+--?
12．已知()f x 的一个原函数为(1sin )ln x x +，求()d xf x x '?
(0)(0),(0)(0),(0)(0)p f p f p f ''''''===。
14。
40
1sin 2d 1sin 2x
x x
π
-+?
三（15）．（本题满分8分）求微分方程sin 2e x
y y x ''+=+满足初始条件0
1x y
==，
0x y ='
=的特解.
四（16）．（本题满分7分）设函数f 在区间[0,)+∞上连续，且恒取正值，若对(0,)x ?∈+∞，
f 在[0,]x 上的积分（平）均值等于(0)f 与()f x 的几何平均值，试求()f x 的表达式.
五（17）．（本题满分7分） 在xOy 平面上将连接原点(0,0)O 和点(1,0)A 的线段OA （即
区间[0,1]）作n 等分，分点记作,0k k P n ??
???
，1,2,,1k n =-，过k P 作抛物线2y x =的切
线，切点为k Q ，（1）设三角形k k P Q A ?的面积为k S ，求k S ；（2）求极限1
1
1lim n k n k S n -→+∞=∑.
六（18）．（本题满分6分）试比较21-与()
ln 12+的大小，并给出证明.（注：若通过比较这两个数的近似值确定大小关系，则不得分）
七（19）．（本题满分6分）设()f x 在区间[0,2]上连续可导，(0)(2)0f f ==，求证：
20
02
()d max ()x f x x f x ≤≤'≤?
.
2009级高等数学（A ）（上）期末试卷
1．函数1
()[]
f x x x =
-的定义域是 ，值域是 ； 13．设2
2
sin ()2d ,()1x x t f x t p x ax bx c t
+=+
=+++?
，求常数a 、b 、c ，使得
2．设,0,1()1,
1x x f x x a x >≠?
=-??=?，当a = 时，()f x 在1x =处连续；
3．曲线2
2(1)
x y x =+的斜渐进线的方程是 ；
4．
()2
12
1
1d x x
x -+
-=?
；
5．函数22
(1)e d x t y t t =-?
的极大值点是x = ；
6．
d (1)
x
x x =-?
；
7．设()y y x =是由2
1
e d 0x y
t x t +--
=?
所确定的函数，则
d d x y x
== ；
8．曲线族12e e x x
xy C C -=+（1C ,2C 为任意常数）所满足的微分方程是 ；
9．1
1lim sin n n k k
n n π→∞==∑ .
二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）
10．2ln sin d sin x
x x
? 11. 2d (7)2x x x +∞+-? 12．20cos(sin )cos lim
(1cos )x x x x x →-- 13．0d 2cos 2x
x
π+? 14。设2
()arcsin(1)f x x '=-，(0)0f =，计算1
()d f x x ?.
三（15）．（本题满分8分）求微分方程22e x
y y x '''-=+满足初始条件(0)1y =，
5
(0)4
y '=
的特解. 四（16）．（本题满分8分）设函数()y f x =在区间[0,1]上可导，在(0,1)内恒取正值，且满足2
()()3xf x f x x '=+，又由曲线()y f x =与直线1,0x y ==所围成的图形S 的面积为
2，求函数()f x 的表达式，并计算图形S 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.
五（17）．（本题满分6分） 已知方程2
2ln(1)2
x x a -+=在区间(1,1)-内存在两个互异的实根，试确定常数a 的取值范围.
六（18）．（本题满分6分）设()f x 在区间[0,1]上非负、连续，且满足20
()12()d x f x f t t ≤+?
,
证明：对[0,1]x ?∈，有()1f x x ≤+.
七（19）．（本题满分6分）设[,]f C l l ∈-，()f x 在0x =处可导，且(0)0f '≠， （1）求证：(0,),(0,1)x l θ?∈?∈，使得
()d ()d [()()]x x f t t f t t x f x f x θθ-+=--?
?
（2）求极限0
lim x θ+→.
2010级高等数学（A ）（上）期末试卷
一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分3 6分）
1．2lim ()()x
x x x a x b →∞??= ?--??
； 2．曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)处的切线方程是 ；
3．曲线32
21x y x =+的渐近线方程是 ；
4．若曲线3
2
1y x ax bx =+++有拐点(1,0)-，则 b = ； 5．函数ln(12)y x =-在0x =处的n 阶导数()
(0)n y = ；
6．设可导函数()y y x =由方程2
20
e d sin d x y x
t t x t t +-=?
?确定，则
d d x y x
== ；
7．2
0cos d x x x π=?
；
8．
12
1
d 1
x x x x -=-+?
；
9．微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的特解是 . 二.(本题共4小题，每小题7分,满分28分) 10．求极限 20
(sin sin(sin ))sin lim
1cos x x x x
x
→--. 11．求反常积分211d (1)x x x +∞+?.
12．求定积分
e
1
sin(ln )d x x ?
. 13．求不定积分
1
d sin 2cos x x x ?.
三(14)．（本题满分7分）设sin ,02
(),0,()0,2
x x f x x x g x x ππ
?
≤≤??=≥=??>??，分别求02x π≤≤与
2
x π
>
时积分
()()d x f t g x t t -?
的表达式.
四（15）．（本题满分8分）求由sin ,02y x x y x x π??
==≤≤ ??
?
所围图形的面积及此图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.
五（16）．（本题满分7分）求微分方程322e x
y y y x '''-+=满足初值条件(0)0y =，(0)0y '=的特解.
六（17）．（本题满分8分）设函数()y y x =由参数方程2
2(1)()x t t t y t ??=+>-?=?
所确定，其中()
t ?具有二阶导数，且5(1),(1)62??'==，已知22d 3
d 4(1)
y x t =+，求函数()t ?.
七（18）．（本题满分6分）设[,]f C a b ∈，,M m 分别是()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值，证明：至少存在一点[,]a b ξ∈，使得：()d ()()b a
f x x M a m b ξξ=-+-?
.
答案：
特别说明：以下内容仅供参考，其实解答题和证明题中，解法很多，并且有些解法比下面提供的参考答案更简洁。在一些参考答案后，我写了些说明，有些没写。还是希望同学们自己多动脑筋，多思考，多多地动手、动笔去推导去计算。在复习阶段，相互间多讨论，多交流交流。别的同学有疑问向你求解释时，请耐心的
解答（大学时光很宝贵，大学同学间的友情也弥足珍贵。每一个人都有困难的时候，说不定什么时候，就换作你自己要寻求别人的帮助。这是我作为过来人的体会）。当然，问题确实很繁琐时，可以建议他直接找我讨论。谢谢大家。祝大家复习愉快，考试取得各自理想的成绩，回家开开心心过大年。
2003级高等数学（A ）（上）期末试卷答案
一、单项选择题（每小题4分，共16分）1． C ２．Ｂ 3． D 4．C 二、（每小题3分，共18分） 1．1
2
e ； 2． 2(cos )
2
12sin 1
f x x f f e x '--???+； 3． 2α>； 4．(2,0)
(2,)-+∞ ，(,2)(0,2)-∞-； 5． 2(2,2)e -； 6．2123()x C C C x e -++
三、（每小题6分，共36分） 1．
2
2
arctan 111+
+++x x C x x ； 2.
3
4
111tan tan 4cos 124
--+x x C x ； 3.
21322--e ； 4．
3
π ； 5．2-； 6．解为22
(ln ||)y x x C =+。 四、所求特解2222(2)x
x
x
y e e x x e =-++. 五、2
22
3=
-
V ππ. 六、44
3
=m ρ. 七、 由2211
()(0)(0)()(0)()22
f x f f x f x f x f x ηη''''''=++
=+(η在0与x 之间)知2211[(0)()]()22()a
a a
a
a a
f x f x dx f f x dx x dx ηη---'''''==+?
??；又因f C ''∈，所以f ''在
[,]a a -上存在最大值M 和最小值m ，于是222() ([,])mx f x Mx x a a η''≤≤∈-,所以
2
22
()a a
a a
a
a mx dx f x dx Mx dx η---''≤≤?
?
?32322()33
a a a m f x dx a M η-''?≤≤?，由推广的积
分中值定理知，
[,]a a ξ?∈-使得2
3
2()()3
a
a
f x dx a f ηξ-''''=?
，
即3
()()3
a a a f xd x f ξ-''=?． Note ：还有别的解法。如“变动的观点”，构造函数()()x
a
F x f t dt -=
?
，原问题等价于证：
[,]a a ξ?∈-，使3
()()3
a F a F ξ'''=.
2004级高等数学（A ）（上）期末试卷答案
一. （每小题4分，共20分） 1．0, 一；2．
2
1x Cx +； 3． 1
e 4-； 4． 1； 5．
3
4
3
。 二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1． A; ２．Ｂ 3． D; 4．C. 三. (每小题7分,共35分) 1.
16 2.(略) 3.2π 4. 12 5. cos sin cos 2
x
y x x x x =-+- 四.(8分) 2
1e
=ξ是旋转体的体积最小的点.
五.(7分) 提示：设
t a b =,原不等式等价于2(1)
ln ,11
t t t t ->>+, 即等价于 ()(1)ln 2(1)0,
1f t t t t t =+-->>。
（用函数单调性证明） Note ：还有别的构造函数的方法，也有其它解法
六.(7分) 提示：把所给方程转化为微分方程，求解得e ()1x
C f x x
-'=+；
再用函数的单调性和定积分的性质即可。 七.(7分) 提示：记1
()()d x
F x f t t -=?
，再用Rolle 定理。 Note ：也有其它解法
2005级高等数学（A ）（上）期末试卷答案
一．1．13；2．112x -；3．1(1ln )x y +；4．2sin 1x π
+-；5．1
e 3+；6．0；7．2
311d x x x +?；8．1,2--；9．非充分非必要。
二． 1．()sin f x x x '= 2．()21e 1arctan
ln 14e 228-+++x x C 3．2
π
4．ln(12)+ 三． 23a =
，34b =。 四．1．222e e x x y C x --=+； 2．21(1)
1e 124x x x y x +??=+-+ ???
五．（1）提示：设()ln =-f x x x u ，用零点定理及函数的单调性；（2）提示：用夹逼定理。 六．设k 为正整数，111
1,
212121
k x k k x k <≤+≤<+--，三边积分得1111d 212121
k k x k x k +<<+--?，左边关于1,2,,1k n =-相加得：
11111
d ln 21352121
n x n n x +++<=---?，右边关于1,2,,k n =相加得：
111111
1d ln 21352121
n x n n x +++++>=+--?，所以
111
ln 2111ln 213521
n n n +<++++<+--
Note ：也可以用数学归纳法+中值定理去证
2006级高等数学（A ）（上）期末试卷答案
一. 1．23；2．37=-y x ；3．(1,0)-；4．2
e -；5．2π；6．34；7．4e π
π；8．1=+y x e
；
9．430y y y '''-+=。 二. 1. ()
2
arccos -+x
C 2. 4π 3.
1ln 22 4. (
)
2
213
--
三．()
2ln 124S =+- 四．1.22
2csc sin 3=+y C x x 2. sin cos 2
x y x x x =+- 五．()22max 311e e 44
I I -=-=
+ 六．证：0)3(=f ，2()
()(3)(3)(3)2
f f x f x x η'''=-+-，(2,4)η∈，由于()f x ''在]4,2[上连续，
()f x ''在]4,2[上存在最大值M 和最小值m ，故
222
()(3)(3)(3)222
m f M x x x η''-≤-≤-，从而
44422221()d (3)(3)d ()(3)d 323
m M
f x x f x x f x x η'''≤=-+-≤
???, 即42
3
()d m f x x M ≤≤?
，
由介值定理知至少存在一点]4,2[∈ξ，使得4
2
()3()d f f x x ξ''=? Note ：还有别的解法。参见03年的第七题。
2007级高等数学（A ）（上）期末试卷答案
一. 1．1
2
e ； 2．1s i n 21
111s i n c o s l n d ??-? ???
x
x
x x x x x x ；
3． 1-； 4． 2e +=x y π
； 5． 35,22?? ? ???ππ， 3,22?? ? ???
ππ； 6． ()2
1,e -， 0=y ； 7．39π； 8． 42； 9. cos sin +Ax x Bx x
二. 10. 58
π
； 11．()()
arctan 1ln 22+-++++x x x x x C ； 12。21e 2--π
三 (1) )(x F 不是)(x f 在),(∞+-∞内的一个原函数，因为1
(0)(00)02
F F =
≠-=， )(x F 在),(∞+-∞内不连续. (2) 2
21e ,02
()d 11,022
x C x f x x x C x ?+≥??=?
?++
四．2
()lim
1→=x f x x
五．s i n
e 2(1s i n )=-+x y C x 六．由已知条件知()()2e x
f x f x ''+=，解出()sin cos e x
f x x x =-+，
从而可求出
20
()()1e d 1(1)1??+-= ?+++??
?
g x f x x x x π
π
π. Note ：求积分时，可采取保持一个不动（比如
()
1g x x
+不动），然后让另一个等价变形（朝着保持不动的那一项方向等价变形）。当然还有别的方法，如凑微分等。
七．(1) 3 1
2
2
12 0 1
()()()()d ()d 323
=+=-+-=
-+??a
a a a S a S a S a ax x x x ax x 122
62-??= ???
S 是最小值. (2) 21
30
+=x V π 八．提示：令2
=u t ，则22
22(1)31cos cos(1)1cos ()d 214+??+=-- ?+???x x x x u
f x u x x u
22(1)3111111
()d 214+??<++= ?+???x x f x u x x x u
2008级高等数学（A ）（上）期末试卷答案
一. 1． 10,4?
? ???
； 2．3； 3．(2,5)-； 4．1433=
-y x ； 5．2e x Ax ；6．2e ； 7. 3
4
π ；
8．
21-π
； 9. 1
sin12-
二. 10.2
3； 11.π 12.sin (cos 1sin )ln +--+x x x x x C
13. 32a =, 0b =, 2c = 14. 1
ln 22
三． 1sin cos e 22
x x
y x x =--+ 四．由题意得
01()d (0)()x
f t t f f x x
=?，0x >，0()d (0)()x
f t t x f f x =?，
记()f x y =，则两端对x 求导知3
222
(0)y y y x x f '+=，解得()
2
(0)()1(0)f f x C f x
=
+。
五.(1) 设(,)k k k Q x y ，则由题意得2222241,,1212k k k k k k k k k x y S y n n n n n
????===-=- ? ????? (2) 21112
2011111lim 2lim 12(1)d 6n n k n n k k k k S x x x n n n n --→+∞→+∞==??=-=-= ??
?∑∑?
六. 设2
1()ln(1)2
f x x x x =+-+ （或()ln(1)1
f x x x =+-+）， 由函数单调性可得 ()
21ln 12-<+ Note ：也有别的解法，而且解法很多
七．法1：
222
20
()d ()d(1)(1)()(1)()d f x x f x x x f x x f x x '=
-=---?
?
?
2
02
02
1d max ()max ()x x x x f x f x ≤≤≤≤''≤-=?
法2: 212
1
()d ()d ()d f x x f x x f x x =+?
??
对10()d ,f x x ?
()(0)()f x f f x ξ'=+，再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放缩。
对
2
1
()d ,f x x ?
()(2)()(2)f x f f x η'=+-，再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放缩。
法3:（函数的观点，将
20
()d f x x ?
是某个函数在一些定点处的取值,比如令
1
()()x
F x f t d t =?
，将
()F x 分别在01x =和02x =处一阶Taylor 展开（带Lagrange 余项，即20000()
()()()()()2
F F x F x F x x x x x ξ'''=+-+-,ξ介于x 和0x 间）
，然后在所得两式中都取1x =，再做相应的运算。 Note ：构造函数的方法也不是唯一的。
2009级高等数学（A ）（上）期末试卷答案
一. 1．\R Z ，(1,)+∞； 2． 1- 3．11
22
y x =- 4． 2； 5． 0； 6． 2arcsin x C +； 7． e 1-； 8． 20xy y xy '''+-=； 9． 2
π
.
二. 10．cot lnsin cot ---+x x x x C ； 11.
3π； 12. 13； 13. 3
π； 14. 1
42π-
三．22111()(1)e 242x
y x x x =-+++四．2()23f x x x =+，()123017223d 6
V x x x ππ=+=?
五．设2
2()ln(1)2
x f x x a =-+-, 则max (0)0f f a ==->， min 1(1)ln 202f f a =±=
--<，故常数a 的取值范围是：1
ln 202
a -<<。 六．令0
()()d x F x f t t =
?
,则
()
112()
F x F x '≤+,不等式两边对x 积分,得12()1F x x +-≤,
即0
()12
()d 12()1x f x f t t F x x ≤+=+≤+?
七．(1) 记0
()()d ()d -=
+?
?
x x F x f t t f t t ，用Lagrange 中值定理
(2) 由(1)得
2
()d ()d ()(0)()(0)x x f t t f t t
f x f f x f x x x θθθθθ-+---??=+ ?-??
??
，
因此0
2
000
()d ()d ()()
2(0)lim lim
lim 2x x x x x f t t f t t
f x f x f x x
θ+
+
+
-→→→+--'==??
01()(0)()(0)lim (0)2x f x f f x f f x x +→---??'=
+= ?-??
. 由于(0)0f '≠，所以01lim 2x θ+
→=。
2010级高等数学（A ）（上）期末试卷答案
一。填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分) 1．e
a b
+；2．1y x =+；3．2y x =；4．6；5． 2(1)!n
n -?-；6．1-；7．4π-；
8．23
-；9．1xy =.
二．(本题共4小题，每小题7分,满分28分) 10．解 2330
00(sin sin(sin ))sin sin sin(sin )sin 1
lim
2lim 2lim 1cos (sin )3
x x t x x x x x t t x x t →→→---===-. 11．解
2
21
22221
1111111
d d()ln ln 2(1)21212
x x x x x x x x +∞
+∞+∞
??=-==
?+++??
?
?. 12．解
ln e
1
1
010
11sin(ln )d e sin d e (sin cos )(e(sin1-cos1)+1)22
t x
t t x x t t t t ==
=-=??. 13．解2111111
d d csc dtan sec csc d sin 2cos 2sin cos 222x x x x x x x x x x x ===+?
???
11sec ln tan 222x x C =++（或11
sec ln csc cot 22
x x x C =+-+）. 三(14)．（本题满分7分） 解0
()()d ()()d x t u
x x f t g x t t f x u g u u -=-=
-?
?
，
当02
x π
≤≤时，因0u x ≤≤，故0x u -≥，于是
原式000
()sin d cos (cos sin )sin x x x
x u u u x u u u u x x =-=-+-=-?
.
当2
x π
>时，
原式20
2
()sin d ()0d x
x u u u x u u π
π=
-+-?
?220
cos (cos sin )
1x u
u u u x π
π
=-+-=-
所以，
sin ,02
()()d 1,2
x x x x f t g x t t x x ππ?
-≤≤??-=??->
???
四（15）．（本题满分8分） 解 2
2
(1sin )d 18A x x x π
π=
-=
-?
，
4
2
222
2
220
(sin )d (1cos 2)d 248
8
V x x x x x x x π
ππ
πππ=-=
+=
-
??
五（16）．（本题满分7分）解212e e (2)e x x x
y C C x x =+-+，由(0)0y =，(0)0y '=，得
12C =-，22C =，22e 2e (2)e x x x y x x =-+-+.
六（17）．（本题满分8分）解 d ()
d 2(1)y t x t ?'=+，223d (1)()()3d 4(1)4(1)y t t t x t t ??'''+-==++， 2(1)()()3(1)t t t t ??'''+-=+，解得1()(1)3(1)t C t t t ?'=+++，由(1)6?'=，得
10C =，于是()3(1)t t t ?'=+，3223()2
t t t C ?=++，由5
(1)2?=，得20C =，于是
323
(),12
t t t t ?=+>-.
七（18）．（本题满分
6
分）证 设()()()F x M x a m b x =-+-，则
()(),()
(F a m b a F b M b a =-=-，于是
()()d ()b
a
F a f x x F b ≤≤?，因此至少存在一点
[,]a b ξ∈，使得()()d b a
F f x x ξ=?，此即()d ()()b
a
f x x M a m b ξξ=-+-?.
最新东南大学微机试卷-期末-AB
东南大学考试卷 考试科目微机系统与接口考试形式闭卷试卷类型 B卷 考试时间长度120分钟共 5 页得分 一、填空或选择填空（35分） 1. 8086/8088段寄存器的功能是_____________, 某一时刻程序最多可以指定访问________个存储段。 A1.用于计算有效地址B1. 用于存放段起始地址及计算物理地址 C1.分段兼容8080/8085指令D1. 方便分段执行各种数据传送操作 A2. 3 B2. 4 C2. 6D2. 64K E2.初始化时程序指定 2．8086/8088系统中复位信号RESET的作用是使_______ A. 处理器总线休眠 B.处理器总线清零 C. 处理器和协处理器工作同步 D. MPU恢复到机器的起始状态并重新启动 3. 在默认情况下, ADD [DI+100], DI指令中目标操作数存放在______寄存器指定的存储段中，指令执行时将完成______ 个总线操作周期。 A1. CS B1. DS C1. ES D1. SS A2. 0 B2. 1 C2. 2 D2. 3 4. 8086/8088CPU用指令ADD对两个8位二进制数进行加法运算后，结果为14H，且标志位CF＝1，OF＝1，SF=0，此结果对应的十进制无符号数应为_____ A. 20 B. –20 C. –236 D.276 5．堆栈是内存中的一个专用区域，其一般存取规则是_________ A.先入先出(FIFO) B.先入后出（FILO） C.按字节顺序访问 D.只能利用PUSH/POP指令读写 6. 在下列指令中，使堆栈指针变化8字节的指令是_____. A. PUSHA B. CALL 4000：0008H C. RET 8 D.SUB SP,8
同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
期末高等数学(上)试题及答案
1 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分） （本小题5分） 3 求极限 lim 一3x - x 2 2x 3 （本小题5分） 求 X 2 2 dx. （1 x ） （本小题5分） （本小题5分） 设函数y y （x ）由方程y 5 in y 2 x 6 所确定，求鱼. dx （本小题5分） 求函数y 2e x e x 的极值 （本小题5分） 2 2 2 2 求极限lim & ° （2x ° （3x ° 辿」 x （10x 1）（11x 1） （本小题5分） cos2x d x. sin xcosx 二、解答下列各题 （本大题共2小题，总计14分） 3 . ---------- 求 x . 1 xdx . 5 sin x , 2—dx. 0 8 sin 2 x （本小题5分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 x 2的单调区间 设 x(t) e kt (3cos 4sin t), 求 dx . 12x 16 9x 2 12x .1 arcs in x 求极限 limarctan x x （本小题5分） 求—^dx. 1 x （本小题5分） 求—x .1 t 2 dt . dx 0 （本小题5分） 求 cot 6 x esc 4 xdx. （本小题5分） 求-1 1 , 求 cos dx. x x 5分） ［曲2确定了函数y es int 5分） （本小题 设 x y （本小 y(x),求乎 dx
（本大题6分） 设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根 一学期期末高数考试（答案） 、解答下列各题 （本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分） lim 」^ x 2 12x 18 2、（本小题3分） (1 2 1 d(1 x ) 2 (1 x 2)2 1 1 2 1 x 2 3、（本小题3分） 故 limarctan x 4、（本小题3分） dx dx 」 dx dx 1 x x In 1 x c. 5、 (本小题3分) 原式 2x 1 x 4 6、 (本小题4分) .6 4 cot x csc xdx cot 6 x(1 cot 2 x)d(cot x) 1、（本小题7分） 某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿 2、（本小题7分） 2 求由曲线y -和y 2 三、解答下列各题 ，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省? 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 8 沿， 体积. 解:原式 lim x 2 6x 3x 2~ 2 12 18x 12 c. 因为 arctanx —而 limarcsin 2 x .1 x arcs in x
东南大学_数学建模试卷_09-10-3A(含答案)
东 南 大 学 考 试 卷（A 卷） 课程名称 数学建模与数学实验 考试学期 09-10-3 得分 适用专业 理工各专业 考试形式 开卷闭卷半开卷 考试时间长度 120分钟 （可 带 计 算 器 ） 题目 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 批阅人 注：以下各题只需计算到小数点后两位。 一 填空与选择（每题3分，共30分） 1 已知113,(mod19)02A A -?? ==???? 则 。 2 已知一组(1,1),(2,1),(3,2)-观测数据，则其分段线性插值多项式为 。 3 根据一组等距节点的观测数据分析知其2阶差分波动最小，则其最合适的拟合多项式阶数是 。 4 已知微分方程'()0.005(1/10000)(0)2000 x t x x x =-?? =?，则其变化率最大时间为 。 5考虑V olterra 模型'0.050.001'0.10.0001x x xy y x xy =-?? =-+?， 则,x y 的周期平均值为 x y ?? ? ??? = 6 已知非线性差分方程 21(2)n n n x bx x +=-的正平衡点稳定 （b>0）， 则参数b 的取值范围为 。 7 记123 ()((),(),())a k a k a k a k =考虑马氏链 0.40.30.3(1)()0.40.40.2(0)(0.3.0.4.0.3)0.30.20.5a k a k a ?? ??+==?????? ，，其正平衡点为 。 自 觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效 密 封 线 学号 姓名
8 轮渡船上甲板总面积为A 。它能运载小轿车，每辆小轿车所占甲板面积为C ，能运载卡车，每辆卡车所占甲板面积为 L 。每辆小轿车要付渡船费p 元；每辆卡车要付q 元。调度想知道在渡船上运载多少辆小轿车(x) 和多少辆卡车(y)才能获取最大的利润？ 下列哪一个选项给出利润函数及需满足的约束条件？ （ ） A. yq xp +，满足 A xL yC ≤+ B. yq xp +，满足 A yL xC ≤+ C. ))((q p y x ++， 满足A yL xC ≤+ D. ))((q p y x ++ ，满足A L C y x ≤++))(( 9 下面哪一个选项最接近小轿车从静止开始起步的的速度变化模型？ （ ） A t e --1 B 2 )1(t - C 2t t - D 1t e -+ 10 模型检验是建模过程中的必要步骤，以下哪一个选项不是常见的模型检验过程。（ ） A 已知数据回代 B 分析参数变化对结果影响 C 与相关模型作对比分析 D 对未来趋势作预测 二 (10分) 假设某种物资有10个产地，5个销售地，第i 个产地产量为 i a ，第j 个销售地 的需求量为 j b ，其中 105 1 1 i j i j a b ==≥∑∑。由产地i 到销售地j 的距离为 ij d ，问如何安排运输， 才能既满足各地销售要求，又使运输总吨公里数（吨公里指运输量×路程）最少？请建立该问题的数学模型(不需求解，记产地i 到销售地j 的运输量为ij x )
高等数学上期末试卷(含答案)
一． 选择题：（每小题3分，共15分） 1. 若当0x →时，arctan x x -与n ax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B. 13 C. 3- D. 1 3 - 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3 ()f x x = C. ()e e x x f x -=+ D. 1,10 ()0,01 x f x x -≤≤?=?<≤? 3. 如果()e ,x f x -=则(ln ) d f x x x '=? ( )B A. 1C x - + B. 1 C x + C. ln x C -+ D. ln x C + 4. 曲线y x = 渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为 偶函数，则 [()()]d a a f x g x x -''''+=?( ) D A. ()()f a g a ''+ B. ()()f a g a ''- C. 2()f a ' D. 2()g a ' 二． 填空题：（每小题3分，共15分） 1. 要使函数22 32()4 x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = . 14 2. 曲线2 e x y -=在区间 上是凸的. (,22 - 序号
3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+ 4. 曲线2 3 1x t y t ?=+?=?在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5. 定积分1 1 (cos x x x -+=? . π2 三．解下列各题：（每小题10分，共40分） 1．求下列极限 （1）22011lim .ln(1)x x x →?? -??+? ?. 解：原式=2240ln(1) lim x x x x →-+ …………..2分 2302211lim .42 x x x x x →-+== ………….3分 （2）()2 2 2 20 e d lim e d x t x x t t t t -→?? . 解：原式= () 2 2 2 20 2 e d e lim e x t x x x t x --→?? ………….3分 2 2 00 0e d e =2lim 2lim 2.1 x t x x x t x --→→==? …………..2分 2. 求曲线0π tan d (0)4 x y t t x =≤≤?的弧长. 解： s x x == …………..5分 π π440 sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+? ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++?求()d .f x x ?
2014-2015(1)微积分(上)期末试卷A答案(1)
（3）若00()0()0f x f x '''=<，，则下列结论正确的是（ A ） A 0x 是()f x 的极大值点 ， B 00(,())x f x 是()f x 的拐点 ， C 0x 是()f x 的间断点 ， D 0x 是()f x 的极小值点 。 （4）若在区间I 上，()0()0f x f x '''><， ，则曲线y=f(x)在I 上是（ D ） A 单调减的凹弧 ， B 单调增的凹弧 ， C 单调减的凸弧 ， D 单调增的凸弧 。 （5）设(),()(0,1)ln x x a f x a g x a a a ==>≠则（ C ） A ()()g x f x 是的不定积分 ， B ()()g x f x 是的导函数 ， C ()()g x f x 是的一个原函数 ， D ()()f x x 是g 的一个原函数 。 三、计算题：（共9小题，每题5分，共45分）（要求写出计算过程） （1）已知arccos ,y x x =求：0 ' x y ='； （2）已知)0(arcsin 2222 2>+-=a a x a x a x y ，求：dy
（3） 设(sin )(cos )x y x x = ，求： dy dx （4）求极限：30(cos sin )(1) lim sin x x x x x e x x →-- （5 ）计算：2 （6）计算：12 x e dx x ? （7）计算：求2 1 4dx x -?． 解：
（8）计算：cos x e xdx -? 解：cos cos cos (sin )x x x x e xdx xde e x e x dx ----=-=-+-??? cos sin cos sin cos x x x x x e x xde e x e x e xdx -----=-+=-+-??---2’ 12cos (sin cos )x x x x x x C --∴=-+?e d e -------------------2’ （9）计算：dx x ? 所以，当3x >时， 当3x <-时，同理可得： 四、应用题：（10分）（要求写出计算过程） 设大型超市通过测算，已知某种手巾的销量Q (条)与其成本C 的关系为 23()100060.003(0.01)C =+-+Q Q Q Q (元), 现每条手巾的定价为6元, 求使利润最大的销量. 解： 利润函数为 ()L Q 236()10000.003(0.01)C ==-+-Q -Q Q Q -----2’， 求导2()0.0060.03(0.01)L '=-Q Q Q ------------2’， 令()0L '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为2000=Q --------2’， 因此使利润最大的销量为2000条。------------------2’
东南大学2014学年数学建模与数学实验考试卷(A卷)
东南大学2014学年数学建模与数学实验考试卷（A 卷） 课程名称 数学建模与数学实验 考试学期 得分 适用专业 理工各专业 考试形式 开卷闭卷半开卷 考试时间长度 120分钟 （可带计算器） 自 觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效
注：以下各题只需计算到小数点后两位。 一 填空与选择（每题3分，共30分） 1 已知113,(mod19)02A A -??==???? 则 。 2 已知一组(1,1),(2,1),(3,2)-观测数据，则其分段线性插值多项式为 。 3 根据一组等距节点的观测数据分析知其2阶差分波动最小，则其最合适的拟合多项式阶数是 。 4 已知微分方程'()0.005(1/10000)(0)2000 x t x x x =-??=?，则其变化率最大时间为 。 5考虑V olterra 模型'0.050.001'0.10.0001x x xy y x xy =-??=-+? ， 则,x y 的周期平均值为 x y ?? ? ??? = 6 已知非线性差分方程 21(2)n n n x bx x +=-的正平衡点稳定 （b>0）， 则参数b 的取值范围为 。 7 记123 ()((),(),())a k a k a k a k =考虑马氏链 0.40.30.3(1)()0.40.40.2(0)(0.3.0.4.0.3)0.30.20.5a k a k a ????+==?????? ，，其正平衡点为 。
8 轮渡船上甲板总面积为A 。它能运载小轿车，每辆小轿车所占甲板面积为C ，能运载卡车，每辆卡车所占甲板面积为 L 。每辆小轿车要付渡船费p 元；每辆卡车要付q 元。调度想知道在渡船上运载多少辆小轿车(x) 和多少辆卡车(y)才能获取最大的利润？ 下列哪一个选项给出利润函数及需满足的约束条件？ （ ） A. yq xp + ，满足 A xL yC ≤+ B. yq xp +，满足 A yL xC ≤+ C. ))((q p y x ++， 满足A yL xC ≤+ D. ))((q p y x ++ ，满足A L C y x ≤++))(( 9 下面哪一个选项最接近小轿车从静止开始起步的的速度变化模型？ （ ） A t e --1 B 2)1(t - C 2t t - D 1t e -+ 10 模型检验是建模过程中的必要步骤，以下哪一个选项不是常见的模型检验过程。（ ） A 已知数据回代 B 分析参数变化对结果影响 C 与相关模型作对比分析 D 对未来趋势作预测 二 (10分) 假设某种物资有10个产地，5个销售地，第i 个产地产量为i a ，第j 个销售地的需求量为j b ，其中10511i j i j a b ==≥∑∑。由产地i 到销售地j 的距离为ij d ，问如何安排运输， 才能既满足各地销售要求，又使运输总吨公里数（吨公里指运输量×路程）最少？请建立该问题的数学模型(不需求解，记产地i 到销售地j 的运输量为ij x )
微积分期末测试题及答案
微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.
高等数学(级数)期末试卷
《高等数学》--级数期末考试试卷 班级 学号 姓名 一、填空：本大题共8小题，每题2分，共16分。 1、写出几何级数 ，通项为 。 2、写出调和级数 ，通项为 。 3、写出p 级数 ，第100项为 。 4、设级数1 n n u ∞ =∑收敛于s ，a 为不等于零的常数，则级数1 n n au ∞ ==∑ 。 5、已知级数1 2!n n n ∞ =∑收敛，则2lim !n n n →∞= 。 6、若级数1 n n u ∞=∑发散，则原级数1 n n u ∞ =∑ （填敛散性）。 7、将函数()sin f x x =展开成马克劳林级数为 。 8、将函数()cos f x x =展开成幂级数为 。 二、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题意要求的。 9、lim 0n n u →∞ =是级数 1 n n u ∞ =∑收 敛的------------------------ --------------------------------------------------------------------------------------------（ ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 既非充分又非必要条件
10、设级数1 n n u ∞=∑收敛，级数1 n n v ∞=∑发散，则级数1 ()n n n u v ∞ =+∑------（ ） A 、收敛 B 、绝对收敛 C 、发散 D 、敛散性不定 11、下列级数收敛的是----------------------------------------------------（ ） A 、1n n ∞ =∑ B 、1ln n n ∞ =∑ C 、11n n n ∞ =+∑ D 、1 1 (1)n n n ∞ =+∑ 12、下列级数的发散的是-------------------------------------------------（ ） A 、1n ∞ = B 、111 248+++ C 、0.001 D 、13 ()5n n ∞ =∑ 13、若级数1 n n u ∞ =∑收敛，n s 是它的前n 项部分和，则1 n n u ∞ =∑的和为（ ） A 、n s B 、n u C 、lim n n s →∞ D 、lim n n u →∞ 14、幂级数0! n n x n ∞ =∑的收敛区间为 -----------------------------------（ ） A （-1，1） B 、(0,)+∞ C 、(,)-∞+∞ D 、（1，2） 15、被世界公认的微积分的创始人为----------------------------（ ） A 、阿基米德和刘徽 B 、牛顿和庄子 C 、莱布尼兹和牛顿 D 、欧拉 16、若幂级数0n n n a x ∞ =∑的收敛区间为(1,2)-则-------------------（ ） A 、在1x =-处收敛 B 、在4x =处不一定发散 C 、在2x =处发散 D 、在0x =处收敛
东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)
东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
03～10级高等数学（A ）（上册）期末试卷 2003级高等数学（A ）（上）期末试卷 一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程 ? +-=y x t x dt e 1 2 确定，则 ==0 x dx dy （ ） .e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A 2．曲线41 ln 2+-+ =x x x y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A 3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ） 4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ） . 2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( * ***x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+=== 二、填空题（每小题3分，共18分） 1．_____________________)(lim 2 1 =-→x x x x e 2．若)(cos 21arctan x f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dx dy 3．设,0, 00 ,1sin )(?????=≠=α x x x x x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。
同济大学版高等数学期末考试试卷
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???
东南大学往年高数期末考试试题及答案-8篇整合
东南大学往年高数期末考试试题及答案-8篇 整合 https://www.360docs.net/doc/3915314036.html,work Information Technology Company.2020YEAR
2 东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷） 一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．2 2lim sin 1 x x x x →∞ =+ 2 ； 2．当0x →时 ,()x α=2()x kx β=是等价无穷小,则 k = 3 4 ; 3．设()1sin x y x =+，则d x y π == d x π- ； 4．函数()e x f x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为 ()223e e 2e(1)(1)(1)2 x x x ο+-+ -+- ； 5．已知函数3 2e sin , 0()2(1)9arctan ,0 x a x x f x b x x x ?+
(完整word版)同济大学版高等数学期末考试试卷
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
高等数学(上)期末试卷
精品文档 2009—2010学年第一学期 《高等数学I(一)》课程考试试卷(A 卷)参考答案及评分标准 注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟 3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名： 一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）. 1.设()lim 1t t x f x t →+∞? ?=+ ??? ()0x ≠，则=)3(ln f 3 . 2.设x e x sin +是()f x 的一个原函数，则()f 'x = sin x e x - ． 3.曲线1662 3-+=x x y 的拐点坐标是 ()2,0- . 4.若0 21 2 1A dx x -∞= +? ，则A = 1π ． 5．2 1 lim(2)cos 2 x x x →-=- 0 . 二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）. 将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中. 1．已知函数()f x 的定义域为[]12,-，则函数()()()22F x f x f x =++的定义域为（ ）. A ．[]30,-； B ．[]31,-； C ．112,??-????； D ．102,?? -???? . 2．3x =是函数1 ()arctan 3f x x =-的（ ）. A ．连续点； B ．可去间断点； C ．跳跃间断点； D ．第二类间断点. 3．当0→x 时，1ax e -与x 2sin 等价，则a =（ ）. A ．1 ； B ．2 ； C ．2- ； D ． 2 1. 4．函数()2 1sin ,00 ,0x x f x x x ?≠?=??=? 在0=x 处（ ）. A ．有定义但不连续； B ．连续但不可导； C ．连续且可导； D ．不连续且不可导. 5.下列等式中正确的是（ ）． A ． ()()b a d f x dx f x dx =?； B . ()()()x a d f x dx f x f a dx =-? ； C ．()()d f x dx f x dx =?； D . ()()f x dx f x '=? . 6．函数()21x f x x =+（ ）. A ．在(),-∞+∞内单调增加； B ．在(),-∞+∞内单调减少； C ．在()11,-内单调增加； D ．在()11,-内单调减少. 7．若()f u 可导，且() x y f e =，则（ ）. A ．()x dy f e dx '=； B ．() x x dy f e e dx '=； C ．()x x dy f e e dx =； D ．()x x dy f e e dx ' ??=?? . 8． 20 |1|x dx -=? （ ）. A ．0 ； B ．2 ； C ．1 ； D ．1-. 9．方程sin y x '''=的通解是( ). A .21231cos 2y x C x C x C =+ ++； B .21231 sin 2 y x C x C x C =+++； C .1cos y x C =+； D .2sin 2y x =. 10.曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴围成的图形的面积为（ ）． A ．10()x e ex dx -? ； B ．1 (ln ln )e y y y dy -? ； C ．1 ()e x x e xe dx -? ； D ． 10 (ln ln )y y y dy -? ．
东南大学数学建模试卷10-11-2A做
东 南 大 学 考 试 卷（A 卷） 课程名称 数学建模与数学实验 考试学期 2010-2011-2 得分 适用专业 各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟 （考试可带计算器） 所有数值结果精度要求为保留小数点后两位 一．填空题：（每题2分，共10分） 1. 用Matlab 做AHP 数学实验，常用的命令有 ， 等等。 2. 矩阵A 关于模36可逆的充要条件是： 。 3. 泛函332230()()2()3J x x t t x t t dt ??=++???&取极值的必要条件为 。 4. 请补充一致矩阵缺失的元素136A ?? ?= ? ???。 5. 请列出本人提交的上机实验内容（标题即可） 。 二．选择题：（每题2分，共10分） 1. 在下列Leslie 矩阵中，能保证主特征值唯一的是 ( ) A. 0230.20000.40?? ? ? ???； B. 0 1.200.10000.30?? ? ? ???； C. 0070.30000.10?? ? ? ???； D.以上都对 2. 下列论述正确的是 （ ） A.判断矩阵一定是一致矩阵 B.正互反矩阵一定是判断矩阵 C.能通过一致性检验的矩阵是一致矩阵 D.一致矩阵一定能通过一致性检验 3. n 阶Leslie 矩阵有 个零元素。 （ ） A.不超过2(1)n -； B.不少于2(1)n -； C.恰好2(1)n -； D.恰好21n - 4. Matlab 软件内置命令不可以 （ ） A.求矩阵的主特征值 B. 做曲线拟合; C. 求解整数线性规划 D. 求样条插值函数 5. 关于等周问题，下面的描述不正确的有 （ ） A.目标泛函可以表示为最简泛函； B.条件泛函为最简泛函； C.条件泛函取值为常数； D. 函数在区间两个端点处可以取任意值 三．判断题（每题2分，共10分） 1. 马氏链模型中，矩阵一定有特征值1。 （ ） 2. 插值函数不要求通过样本数据点。 （ ） 3. Matlab 软件内置命令程序可以直接求解0-1整数线性规划问题。 （ ）
[整理]东南大学高等数学期中期末试卷.
-------------
------------- ------------- (A) ∑ ∞ =1 21 n n (B) ∑∞ =??? ??+111ln n n (C) ()n n n n n ??? ??+-∑∞ =111 (D) ∑?∞=+1 1 04 d 1n n x x x 4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,?,则必有 ()()?? ≤b a d c x x f x x f d d . (B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()?? +=T T a a x x f x x f 0 d d . (D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分) 1. ()()30 2 0d cos ln lim x t t t x x ?+→. 2. 判断级数 ∑∞ =-1 354n n n n 的敛散性. 3. x x x x d cos cos 04 2?-π. 4. ?∞+13 d arctan x x x . 5. 求初值问题 ()()?? ? ??-='=+=+''210,10sin y y x x y y 的解. 四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕 x 轴旋转所得旋转体的体积最小 五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()b a a b a b +-> 2ln . 六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件 ()()()0d 1 10=+- +'?x t t f x x f x f 且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e ≤≤-x f x 成立. 七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且 ()()0d tan d 1 1 11 ==??--x x x f x x f , x ln
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .