医药数理统计第六章习题(检验假设和t检验)
第四章 抽样误差与假设检验
练习题
一、单项选择题
1. 样本均数的标准误越小说明 A. 观察个体的变异越小 B. 观察个体的变异越大
C. 抽样误差越大
D. 由样本均数估计总体均数的可靠性越小
E. 由样本均数估计总体均数的可靠性越大
2. 抽样误差产生的原因是
A. 样本不是随机抽取
B. 测量不准确
C. 资料不是正态分布
D. 个体差异
E. 统计指标选择不当
3. 对于正偏态分布的的总体, 当样本含量足够大时, 样本均数的分布近似 为
A. 正偏态分布 C. 正态分布 E. 标准正态分布 4. 假设检验的目的是 A. 检验参数估计的准确度
C. 检验样本统计量与总体参数是否不同
D. 检验总体参数是否不同
E. 检验样本的P 值是否为小概率
5. 根据样本资料算得健康成人白细胞计数的95%可信区间为7.2×109
/L ～ 9.1×109
/L ，其含义是
A. 估计总体中有95%的观察值在此范围内
B. 总体均数在该区间的概率为95%
C. 样本中有95%的观察值在此范围内
D. 该区间包含样本均数的可能性为95%
B. 负偏态分布 D. t 分布 B. 检验样本统计量是否不同
E.该区间包含总体均数的可能性为95%
答案：E D C D E 、计算与分析
1. 为了解某地区小学生血红蛋白含量的平均水平，现随机抽取该地小学生 450 人，算得其血红蛋白平均数为 101.4g/L ，标准差为 1.5g/L ，试计算该地小 学生血红蛋白平均数的 95%可信区间。 ［参考答案］
样本含量为 450，属于大样本，可采用正态近似的方法计算可信区间。
95%可信区间为
下限： X －u .S =101.4- 1.960.07=101.26(g/L) 上限：X +u .S =101.4+ 1.960.07=101.54(g/L)
即该地成年男子红细胞总体均数的 95%可信区间为 101.26g/L ～101.54g/L 。
2. 研究高胆固醇是否有家庭聚集性，已知正常儿童的总胆固醇平均水平是 175mg/dl ，现测得100 名曾患心脏病且胆固醇高的子代儿童的胆固醇平均水平为 207.5mg/dl ，标准差为 30mg/dl 。问题：
① 如何衡量这100 名儿童总胆固醇样本平均数的抽样误差？ ② 估计100 名儿童的胆固醇平均水平的95%可信区间；
③ 根据可信区间判断高胆固醇是否有家庭聚集性，并说明理由。 ［参考答案］ ① 均数的标准误可以用来衡量样本均数的抽样误差大小，即 S = 30 mg/dl, n = 100
② 样本含量为 100 ，属于大样本，可采用正态近似的方法计算可信区间。
X = 207.5 ， S =30，n =100，S = 3，则95%可信区间为 下限： X －u .S = 207.5 - 1.96 3 = 201.62 (mg/dl) 上限：X +u .S = 207.5 + 1.96 3 = 213.38 （mg/dl ）
X =101.4 ， S =1.5，n =450，
S 1.5 n = 450
= 0.07
S 30
n 100
= 3.0
故该地 100 名儿童的胆固醇平均水平的 95% 可信区间为
201.62mg/dl ～ 213.38mg/dl。
③因为100 名曾患心脏病且胆固醇高的子代儿童的胆固醇平均水平的 95%可信区间的下限高于正常儿童的总胆固醇平均水平175mg/dl，提示患心脏病且胆固醇高的父辈，其子代胆固醇水平较高，即高胆固醇具有一定的家庭聚集性。
（李康）
第五章t检验
练习题
一、单项选择题
1. 两样本均数比较,检验结果P0.05说明
A. 两总体均数的差别较小
B. 两总体均数的差别较大
C. 支持两总体无差别的结论
D. 不支持两总体有差别的结论
E. 可以确认两总体无差别
2. 由两样本均数的差别推断两总体均数的差别, 其差别有统计学意义是指
A. 两样本均数的差别具有实际意义
B.两总体均数的差别具有实际意义
C.两样本和两总体均数的差别都具有实际意义
D.有理由认为两样本均数有差别
E.有理由认为两总体均数有差别
3.两样本均数比较,差别具有统计学意义时,P值越小说明
A. 两样本均数差别越大
B. 两总体均数差别越大
C. 越有理由认为两样本均数不同
D. 越有理由认为两总体均数不同
E. 越有理由认为两样本均数相同
4.减少假设检验的Ⅱ类误差，应该使用的方法是
A. 减少Ⅰ类错误
B. 减少测量的系统误差
C. 减少测量的随机误差
D. 提高检验界值
E. 增加样本含量
5．两样本均数比较的t检验和u检验的主要差别是
A. t检验只能用于小样本资料
B. u检验要求方差已知或大样本资料
C. t检验要求数据方差相同
D. t检验的检验效能更高
E. u检验能用于两大样本均数比较
答案：D E D E B
、计算与分析
1. 已知正常成年男子血红蛋白均值为 140g/L，今随机调查某厂成年男子 60 人，测其血红蛋白均值为 125g/L，标准差 15g/L。问该厂成年男子血红蛋白均值与一般成年男子是否不同？
［参考答案］因样本含量n>50（n＝60），故采用样本均数与总体均数比较的u 检验。
（1）建立检验假设, 确定检验水平
H0 := 0，该厂成年男子血红蛋白均值与一般成年男子相同
H1：1，该厂成年男子血红蛋白均值与一般成年男子不同
=0.05
（2）计算检验统计量
u = X -= X -=140-125=7.75
（3）确定P值，做出推断结论
7.75>1.96,故P<0.05,按α=0.05水准，拒绝H 0 ,接受H1,可以认为该厂成年男子血红蛋白均值与一般成年男子不同，该厂成年男子血红蛋白均值低于一般成年男子。
2. 某研究者为比较耳垂血和手指血的白细胞数，调查12名成年人，同时采取耳垂血和手指血见下表，试比较两者的白细胞数有无不同。
表成人耳垂血和手指血白细胞数（10g/L）
编号 耳垂血 手指血 1 9.7 6.7 2 6.2 5.4 3 7.0 5.7 4 5.3 5.0 5 8.1 7.5 6 9.9 8.3 7 4.7 4.6 8 5.8 4.2 9 7.8 7.5 10 8.6 7.0 11
6.1
5.3
12
9.9
10.3
［参考答案］
本题为配对设计资料，采用配对t 检验进行分析 1）建立检验假设, 确定检验水平
H 0：d
=0，成人耳垂血和手指血白细胞数差异为零 H 1：
d
0，成人耳垂血和手指血白细胞数差异不为零
=0.05
（2） 计算检验统计量 d =11.6,d 2 = 20.36 d = d n = 11.6 12 = 0.967
t ＝3.672>t 0.05/2,11，P < 0.05，拒绝 H 0，接受 H 1，差别有统计学意义，可以 认为两者的白细胞数不同。
d 2-(d )2
20.36 - (11.6)2
12 12-1
= 0.912 d S d n
0.967 0.912 12
= 3.672
S
d
d -
d -0 d
F 0.05(12,14)=2.53>1.19，F
3. 分别测得 15 名健康人和 13 名Ⅲ度肺气肿病人痰中 1
抗胰蛋白酶含量
(g/L)如下表，问健康人与Ⅲ度肺气肿病人
1抗胰蛋白酶含量是否不同？
表 健康人与Ⅲ度肺气肿患者 α1 抗胰蛋白酶含量(g/L)
健康人 Ⅲ度肺气肿患者
2 2 4 4 2
3 6 9 7 6 9 3 5 7 3 3 9
3.6 3.4 3.7 5.4 3.6 6.8
4.7 2.9 4.8
5.6 4.1 3.3 4.3
［参考答案］
由题意得， X = 2.067,S = 1.015；X = 4.323, S =1.107 本题是两个小样本均数比较，可用成组设计t 检验，首先检验两总 体方差是否相等。
H 0:12
＝22
，即两总体方差相等 H 1:
1
2
≠
2
2
，即两总体方差不等
＝0.05
S 2 1.015
1）建立检验假设, 确定检验水平
H0: 1 = 2 ，健康人与Ⅲ度肺气肿病人1抗胰蛋白酶含量相同
H1： 1 2，健康人与Ⅲ度肺气肿病人 1 抗胰蛋白酶含量不同
=0.05
2）计算检验统计量
2 (n1 -1)S1 + (n2 -1)S2 = c n + n - 2
(X1-X2)-0 | X1-X2 | t =S=S =5.63
（3）确定P值，做出推断结论
t＝5.63> t，P < 0.001，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可认为健康人与Ⅲ度肺气肿病人α1抗胰蛋白酶含量不同。
4.某地对241例正常成年男性面部上颌间隙进行了测定，得其结果如下表，问不同身高正常男性其上颌间隙是否不同？
身高 (cm) 例数均数标准差
161～116 0.2189 0.2351
172～125 0.2280 0.2561
［参考答案］本题属于大样本均数比较，采用两独立样本均数比较的u检验。
由上表可知，
n
=116 ，X =0.2189 , S =0.2351
n
=125 ，X =0.2280 , S =0.2561
1）建立检验假设, 确定检验水平
H0: 1 = 2 ，不同身高正常男性其上颌间隙均值相同H1： 1 2，不同身高正常男性其上颌间隙均值不同=0.05
S X1-X2
2) 计算检验统计量
u=X1-X2=X1-X2 =0.91
S X1-X2 S1 /n1 + S2 /n2
3)确定P值，做出推断结论
u＝0.91<1.96,故P>0.05,按α=0.05水准，不拒绝H0, 差别无统计学意义，尚不能认为不同身高正常男性其上颌间隙不同。
5.将钩端螺旋体病人的血清分别用标准株和水生株作凝溶试验，测得稀释倍数如下表，问两组的平均效价有无差别？
表钩端螺旋体病患者凝溶试验的稀释倍数
标准株 100 200 400 400 400 400 800 1600 1600 1600 3200 3200 3200 水生株100 100 100 200 200 200 200 400 400 800 1600
［参考答案］
本题采用两独立样本几何均数比较的t检验。
t＝2.689>t0.05/2,22，P<0.05，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可认为
两组的平均效价有差别。
6.为比较男、女大学生的血清谷胱甘肽过氧化物酶(GSH-Px)的活力是否相同，某医生对某大学18～22岁大学生随机抽查男生48名，女生46名，测定其血清谷胱甘肽过氧化酶含量(活力单位)，男、女性的均数分别为96.53和93.73，男、女性标准差分别为
7.66和14.97。问男女性的GSH-Px是否相同？
［参考答案］
由题意得n =48 ，X = 96.53 ，S =7.66
n =46 ，X =93.73 ，S =14.97
本题是两个小样本均数比较，可用成组设计t检验或t'检验，首
先检验两总体方差是否相等。
H0:12＝22，即两总体方差相等
H1:12≠22，即两总体方差不等
＝0.05
F =
S 2 = 7.66 =3.82 S 2 14.972
F =3.82> F 0.05（47，45），故P <0.05，差别有统计学意义，按＝0.05水
准，拒 绝H 0，接受H 1，故认为男、女大学生的血清谷胱甘肽过氧化物酶的活力总体方差不 等，不能直接用两独立样本均数比较的t 检验，而应用两独立样本均数比较的t' 检验。
X - X 2
t '= X
1-X
2 =1.53， t'
0.05/2
＝2.009，t' P >0.05，按α=0.05 S 2 S 2 1 + 2 n 1 n 2 水准，不拒绝H 0, 差别无统计学意义，尚不能认为男性与女性的GSH-Px 有差别。 第三章 假设检验 课后作业参考答案 某电器元件平均电阻值一直保持Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测 得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布， 试在显著水平下确定这批元件是否合格。 解： {}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ，其中()2 /40cm kg =σ。现从一 批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比， X 较μ大20(2/cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提 高 解： (1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为 习题五 1 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，因素A 表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为5. 假设样本观测值(1,2,3,4)ij y j =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= . 检验的问题：01251:,:i H H μμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.1 单因素方差分析表 ‘*’ . 查表0.95(4,15) 3.06F =，因为0.953.9496(4,15)F F =>，或p = 0.02199<0.05， 所以拒绝0H ，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异. 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 试检验在四种不同催化剂下平均得率有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，设因素A 表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为4 . 假设样本观测值(1,2,...,)ij i y j n =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= .其中 样本容量不等，i n 分别取值为6，5，3，4 . 检验的问题：012341:,:i H H μμμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.2 单因素方差分析表 查表0.95(3,14) 3.34F =，因为0.952.4264(3,14)F F =<，或p = 0.1089 > 0.05， 所以接受0H ，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 . 3 试验某种钢的冲击值（kg ×m/cm2），影响该指标的因素有两个，一是含铜量A ， 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？（=0.05） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用. 设因素,A B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为12. 假设样本观测值(1,2,3,1,2,3,4)ij y i j ==来源于正态总体2 ~(,),1,2,3,ij ij Y N i μσ= 1,2,3,4j = .记i α?为对应于i A 的主效应；记j β?为对应于j B 的主效应； 检验的问题：（1）10:i H α?全部等于零，11 :i H α?不全等于零； （2）20:j H β?全部等于零，21:j H β?不全等于零； 计算结果： 表5.3 双因素无重复试验的方差分析表 查表0.95(2,6) 5.143F =，0.95(3,6) 4.757F =，显然计算值,A B F F 分别大于查表值， 或p = 0.0005，0.0009 均显著小于0.05，所以拒绝1020,H H ，认为含铜量和试验温度都会对钢的冲击值产生显著影响作用. 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量： 北航2010《应用数理统计》考试题及参考解答 09B 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而12 15(,,)X X X 是来自X 的样本，则22 110 22 11152() X X U X X ++=++服从的分布是_______ . 解：(10,5)F ． 2，?n θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：??lim (), lim Var()0n n n n E θθθ→∞ →∞ ==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2 χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ . 解：推断各因素对试验结果影响是否显著． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计?β 的协方差矩阵?βCov()=_______ . 解：1?σ-'2Cov(β) =()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设总体~(1,9)X N ，129(,, ,)X X X 是X 的样本，则___B___ . （A ） 1~(0,1)3X N -； （B ）1 ~(0,1)1X N -； （C ） 1 ~(0,1) 9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的； （B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ . 习题1 1.1 解：由题意95.01=? ?? ???<--u x p 可得： 95.0=??? ???????????<-σσn n u x p 而 ()1,0~N u x n σ ??? ??-- 这可通过查N(0,1)分布表，975.0)95.01(2195.0=-+=??? ? ??????????<--σσn n u x p 那么 96.1=σ n ∴2296.1σ=n 1.2 解：(1)至800小时，没有一个元件失效，则说明所有元件的寿命>800小时。 {}2.10015.0800 0015.00800 | e 0015.0800--∞ +-=∞ +-==>?e e dx x p x x 那么有6个元件，则所求的概率() 2.76 2 .1--==e e p (2)至300小时，所有元件失效，则说明所有元件的寿命<3000小时 {}5.430000 0015.03000 0015.001|e 0015.03000----=-== 因为~()i X P λ,所以 112233{,,}P X x X x X x ≤≤≤ 112233{}{}{}P X x P X x P X x =≤≤≤1233123!!! x x x e x x x ++-λ λ= 其中,0,1,2, ,1,2,3k x k == (2) 123{(,,)|0;1,2,3}k x x x x k χ=≥= 因为~()i X Exp λ,其概率密度为,0 ()0,0 x e x f x x -λ?λ≥=? ? 所以,1233 1 (,,)() f x x x b a = -,其中;1,2,3k a x b k ≤≤= (4) 123{(,,)|;1,2,3}k x x x x k χ=-∞<<+∞= 因为~(,1)i X N μ, 其概率密度为(2(),()x f x x 2 -μ) -=-∞<<+∞ 所以,3 1 1 (212332 1 (,,)(2)k k x f x x x e π2=- -μ)∑=,其中;1,2,3k x k -∞<<+∞= 解：由题意可得：()?? ???∞ <<=--，其它00,21)(i 2ln i i 2 2 i x e x x f u x σσπ 则∏ == n i x f x x f 1 i n i )(),...(＝??? ????=∞<<∏=∑--=，其它0,...1,0,1 n )2()(ln 212n 1 2 i 2 i x x e i n i i u x n i σπσ 习题三 1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2 (4.55,0.108)X N :.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？ 解 由题意知 2~(4.55,0.108),5,0.05X N n α==，1/20.975 1.96u u α-==，设立统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒绝域为 {}00K x c μ=->，临界值 1/2 1.960.108/0.0947c u α-==?=， 由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体的均值有显著性变化. 设立统计原假设 2222 0010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时 22220.0250.9751 1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑% 2210.02520.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ==== 拒绝域为 {} 222200201//K s c s c σσ=><%%或 由于22 0/ 3.167 2.567S σ=>%，所以拒绝0H ，总体的方差有显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为x =950h .已知该种元件寿命2(100,)X N σ:，问这批元件是否合格（0.05α=）？ 解 由题意知 2(100,)X N σ:，设立统计原假设 0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<== 拒绝域为 {}00K x c μ=-> 临界值为 0.050.0532.9c u u =?=?=- 由于 050x c μ-=-<，所以拒绝0H ，元件不合格. 3 某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其重量分别为510，505，498，503，492，502，497，506，495（g ），假定罐头重量服从正态分布. 问 (1)机器工作是否正常（0.05α=）？ 2）能 习题五 1 某钢厂检查一月上旬内的五天中生产的钢锭重量，结果如下：(单位：k g) 日期重旦量 1 5500 5800 5740 5710 2 5440 5680 5240 5600 4 5400 5410 5430 5400 9 5640 5700 5660 5700 10 5610 5700 5610 5400 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？ ( =0.05) 解根据问题，因素A表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为 5. 2 假设样本观测值y j(j 123,4)来源于正态总体Y~N(i, ),i 1,2,...,5 检验的问题：H。：i 2 L 5, H i : i不全相等. 计算结果： 注释当=0.001表示非常显著，标记为*** '类似地，=0.01，0.05，分别标记为 查表F0.95(4,15) 3.06，因为F 3.9496 F0.95(4,15)，或p = 0.02199<0.05 ，所 以拒绝H。，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 解 根据问题，设因素A表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为 4 . 2 假设样本观测值y j(j 1,2,..., nJ来源于正态总体Y~N(i, ), i 1,2,...,5 .其中样本容量不等，n分别取值为6，5，3，4 . 日产量 操作工 查表 F O .95（3,14） 3.34，因为 F 2.4264 F °.95（3,14），或 p = 0.1089 > 0.05， 所以接受H 。，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 3 试验某种钢的冲击值（kg Xm/cm2 ）,影响该指标的因素有两个，一是含铜量 A ,另 一个是温度 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？ （ =0.05 ） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用 设因素A,B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为 12. 2 假设样本观测值y j （i 1,2,3, j 1,2,3,4）来源于正态总体 Y j ~N （j , ）,i 1,2,3, j 1,2,3,4 .记i 为对应于A 的主效应；记 j 为对应于B j 的主效应； 检验的问题：（1） H i 。： i 全部等于零，H i — i 不全等于零； （2） H 20 : j 全部等于零，H 21： j 不全等于零； 计算结果： 查表F 0.95（2,6） 5.143 ,局.95（3,6） 4.757 ,显然计算值F A , F B 分别大于查表值, 或p = 0.0005 , 0.0009均显著小于0.05，所以拒绝H i°,H 20，认为含铜量和试验温度 都会对钢的冲击值产生显著影响作用 . 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量: 检验的问题：H 0： 1 计算结果： H i : i 不全相等 应用数理统计答案 学号： 姓名： 班级： 目录 第一章数理统计的基本概念 (2) 第二章参数估计 (14) 第三章假设检验 (24) 第四章方差分析与正交试验设计 (29) 第五章回归分析 (32) 第六章统计决策与贝叶斯推断 (35) 对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社 第一章 数理统计的基本概念 1.1 解：∵ 2 (,)X N μσ ∴ 2 (,)n X N σμ ∴ (0,1)N 分布 ∴(1)0.95P X P μ-<=<= 又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 2 2 1.96n σ= 1.2 解：(1) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为： 800 0.00150 1.2 (800)1(800) 10.0015x P X P X e dx e -->==-<=-=? ∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2 ()P e e --== (2) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为： 3000 0.00150 4.5 (3000)0.00151x P X e dx e --<===-? ∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56 (1)P e -=- 1.4 解： i n i n x n x e x x x P n i i 1 2 2 )(ln 2121)2(),.....,(1 22 =-- ∏∑ = =πσμσ 1.5证： 2 1 1 2 2)(na a x n x a x n i n i i i +-=-∑∑== ∑∑∑===-+-=+-+-=n i i n i i n i i a x n x x na a x n x x x x 1 2 2 2 2 11) ()(222 a) 证： ) (1111 1+=+++=∑n n i i n x x n x ) (1 1 )(1 1 11n n n n n x x n x x x n n -++=++=++ 第 三 章 作 业 参 考 答 案 2、解：计算矩估计：2 1)1(1 ++= +?= ? αααα dx x x EX ， 令 X EX =++= 2 1αα ，解得 1 2-1?1-=X X α ； 计算极大似然估计：α α αα α)()1()1()()(1 1 1 ∏∏∏ ===+=+= = n i i n n i i n i i x x x f L )ln()1ln()(ln 1 ∏=++=?n i i x n L ααα0 )ln(1 )(ln 1 =++= ??? ∏=n i i x n L αα α 解得 ) ) ln(1(?1 2∏=+-=n i i x n α ； 将样本观测值代入，得到估计值分别为0.3077?1=α ，0.2112?2=α。 6、 解：（1）由例3.2.3可知，μ的极大似然估计分别为 X =μ ?， 05.0)(1)(=-Φ-=>μA A X P )645.1(95.0)(Φ==-Φ?μA 645 .1+=?μA ，由46页上极大似然估计的不变性可知645.1??+=μA ； （2）由例3.2.3可知，2 σμ，的极大似然估计分别为 ∑=-= =n i i X X n X 1 2 2 ) (1 ??σ μ，， 05.0)( 1)(=-Φ-=>σ μ A A X P )645.1(95.0)( Φ==-Φ?σ μ A σ μ645.1+=?A ，由46页上极大似然估计的不变性可知σμ?645.1??+=A 。 8、解：计算2 2 2 2222)()()(σσ μC n S CE X E CS X E -+ =-=-，由题意则有 2 2 2 2 μσ σ μ=-+ C n ，解得n C 1= 。 4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm ）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49 试用W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平05.0=α） （参考数据：） 4-45. 解：数据的顺序统计量为： 10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82 所以 6131 .0][)()1(5 1 ) (=-= -+=∑k k n k k x x a L ， 又 5264.10=x ， 得 38197 .0)(11 1 2 =-∑=i i x x 故 984.0) (11 1 2 2 =-= ∑=i i x x L W ， 又 当n = 11 时，85.005.0=W 即有 105.0< 研究生 习题2： 2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=， 试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2 χ分布。 2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η 所以 )1,0(~3 1 N η ， )1,0(~3 2 N η )2(~)(3 1332 22212 22 1χηηηη+=??? ??+??? ?? 由于 2 22 1ηηη+= 因此 当 3 1=c 时，)2(~2 χηc 。 2-8. 设 ),,,(1021ξξξΛ为)3.0,0(2 N 的一个样本，求 ? ?? ???>∑=101244.1i i P ξ 。（参考数据：） 2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(2 1021N ξξξξΛ=， 所以 )1,0(~3 .0N ξ ， 即有)10(~3.0210 12 χξ∑=?? ? ??i i 所以 ??? ???>∑=101244.1i i P ξ??????>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ??????>=∑=10122163.0i i P ξ ? ?? ???≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-= 2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{} 20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样 本均值。（参考数据：） 2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212( -Φ--Φ=)2 1 ()21(-Φ-Φ= 1)2 1 (2-Φ=3830.016915.02=-?= 由于 )4,1(~N ξ ， 所以 )1,0(~21 1 16 21N -=-ξξ {} 20≤≤ξP ????? ?-≤-≤-=21122112110ξP ? ?? ???≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-?=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2 N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的 绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2 N ξ， 所以 )1,0(~2 80 100 20 80 N -= -ξξ 所以 {}380>-ξP {} 3801≤--=ξP ?? ? ?????? ?≤--=232801ξP ? ?? ???≤ -≤--=23280 231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-= 2-25. 设总体ξ的密度函数为 ?? ?<<=其它 102)(x x x p 取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求： （1） 顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）??? ? ??>21)3(ξP 。 2-25解：（1）由 ()()[][])()(1)(! !1! )(1)(x p x F x F k n k n x p k n k k -----= ξ 所以 当 10< 2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，则U = 服从的分布是_______ . 解：(9)t ． 2，设1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计，且1?θ比2?θ有效，则1?θ与2 ?θ的期望与方差满足_______ . 解：1212 ????()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___. 解：秩和检验、游程总数检验． 4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是?β=_______ . 解：1?-''X Y β= ()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设12(,,,)(2)n X X X n ≥ 为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2 S 为样本方差，则 ____D___ . （A ）(0,1)nX N ； （B ）2 2()nS n χ ； （C ） (1)()n X t n S - ； （D ）2 12 2 (1)(1,1)n i i n X F n X =--∑ . 2，若总体2(,)X N μσ ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量n 增大，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ . （A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方 清华大学应用数理统计课后习题及答案 习题三 1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2 (4.55,0.108)X N :.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？ 解 由题意知 2 ~(4.55,0.108),5,0.05X N n α==，1/20.975 1.96u u α-==，设立 统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒 绝 域 为 {} 00K x c μ=->，临界值 1/2 1.960.108/0.0947c u α-==?=， 由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体的均值有显著性 变化. 设立统计原假设 2 2 2 2 0010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时 22220.0250.9751 1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑% 22 10.02520.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ==== 拒绝域为 {} 222200201//K s c s c σσ=><%%或 由于2 2 / 3.167 2.567S σ=>%，所以拒绝0H ，总体的方差有显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为 x =950h .已知该种元件寿命2(100,)X N σ:，问这批元件是否合格 （0.05α=）？ 解 由题意知 2 (100,)X N σ:，设立统计原假设 0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<== 拒绝域为 {} 00K x c μ=-> 习题一 1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X . 解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ， 11223344555 11 1 55(1) (,,,,)()(1)(1)i i n x x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏ 其中：5 1 15i i x x ==∑ 2）对总体~()X P λ 11223344555 1 1 555 1 (,,,,)()! ! i x n i i i i i x i i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λ λ λλ-==-========== ∏∏ ∏ 其中：5 1 15i i x x ==∑ 3）对总体~(,)X U a b 55 11511 ,,1,...,5 (,,)()0i i i i a x b i f x x f x b a ==?≤≤=?==-??? ∏∏ L ，其他 4）对总体~(,1) X Nμ () ()() 2 555 5/22 2 15 1 11 1 (,,)()=2exp 2 i x i i i i i f x x f x x μ πμ - -- = == ?? ==-- ? ?? ∑ ∏ L 2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形. 解设(=0,1,2,3,4) i i代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1： 经验分布函数的定义式为： 解：由题意可知，样本数据来自于服从指数分布的总体假设检验：H0：θ≥1100，H1：θ<1100;α=0.05 其拒绝域的形式为:χ2≤χ2α2n=χ20.0520=31.41 统计量为χ2=2nx θ=20?942.8 1100 =17.14<31.41 所以拒绝H0,所以不能够认为这批货物平均寿命不低于1100h 程序代码： function [ d ] = kaf( A,T,a ) %UNTITLED2 Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here n=length(A); c=sum(A)/n; x=chi2inv(1-a,n); X=2*n*c/T; if x 解：假设检验：H0：μ≥μ0=1000，H1：μ<μ0;α=0.05 因为本题是左侧检验问题，故其拒绝域为：Z=0 σ/n ≤?z0.025=?1.96 而统计量Z=0 σ/n = 100/24 =-3.9754<-1.96 所以拒绝H0 程序代码：function [ d ] = kaf( A,u,a,s ) %UNTITLED2 Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here n=length(A); c=sum(A)/n; z=norminv(a/2); Z=(c-u)*sqrt(n)/s; if z 应用数理统计试题 1．设15,,X X 是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个()1,2,,5i X i = 都服从()0,1.N (1)试给出常数c ,使得()22 12c X X +服从2χ公布,并指出它的自由度; (2)试给出常数,d 使得 服从t 分布,并指出它的自由度. 2．设总体X 的密度函数为 ???<<+=其他, 01 0,)1();(x x x f ααα 其中1->α是未知参数, ),,(1n X X 是一样本, 试求: (1) 参数α的矩估计量; (2) 参数α的最大似然估计量. 3．有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间(单位：小时): 26.7， 22.0， 24.1， 21.0， 27.2， 25.0， 23.4. 根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？()0.05.α= 4．若总体X 服从正态分布() 22.1,1N ，样本n X X X ,,,21 来自总体X ，要使样本均值X 满足不等式{}95.01.19.0≥≤≤X P ，求样本容量n 最少应取多少？ 5．在某种产品表明进行腐蚀刻线实验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 对应的一 （1）预测腐蚀时间75s 时，腐蚀深度的范围（α-1＝95%）； （2）若要求腐蚀深度在10～20um 之间，问腐蚀时间应如何控制？ 6．简述方差分析,主成分分析的基本思想 附：统计查表数据 0.025(6) 2.447t =，0.025(7) 2.365t =，(1.96)0.975Φ= 参考答案： 1.设15,,X X 是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个()1,2,,5i X i = 都服从()0,1.N (1)试给出常数c ,使得() 22 12c X X +服从2χ公布,并指出它的自由度; (2)试给出常数,d 使得服从t 分布,并指出它的自由度. 解 (1)由于()()()22 21212~0,1,~0,1, ~2X N X N X X +χ故 因此1c =,1222 X X +服从自由度为2的2χ分布. (2)由于()()~0,11,2,5i X N i = 且独立,则()12~0,2X X N + ()~0,1N 而 ()22223453X X X ++=χ ()~3,t ()~3t 所以d =自由度为3. 2. 设总体X 的密度函数为 ???<<+=其他, 01 0,)1();(x x x f ααα 其中1->α是未知参数, ),,(1n X X 是一样本, 试求: 习题三 1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2 (4.55,0.108)X N .现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？ 解 由题意知 2 ~(4.55,0.108),5,0.05X N n α==，1/20.975 1.96u u α-==，设立 统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒 绝 域 为 {} 00K x c μ=->，临界值 1/2 1.960.108/0.0947c u α-==?=， 由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体的均值有显著性 变化. 设立统计原假设 2 2 2 2 0010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时 2 222 0.0250.9751 1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑ 22 10.02520.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ==== 拒绝域为 {} 2222 00201//K s c s c σσ=><或 由于22 0/ 3.167 2.567S σ=>，所以拒绝0H ，总体的方差有显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为 x =950h .已知该种元件寿命2(100,)X N σ，问这批元件是否合格（0.05α=）？ 解 由题意知 2 (100,)X N σ，设立统计原假设 0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<== 拒绝域为 {} 00K x c μ=-> 临界值为 0.050.0532.9c u u =?=?=- 由于 050x c μ-=-<，所以拒绝0H ，元件不合格. 第一章 数理统计的基本概念 P26 1.2 设总体X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，1X ，2X ，…，n X 为X 的子样，求最大顺序统计量()n X 与最小顺序统计量()1X 的分布函数与密度函数。 解：(){}{}()12n n i n F x P X x P X x X x X x F x =≤=≤≤≤=???? ，，，. ()()()()1n n n f x F x n F x f x -'=??=??????. (){}{}1121i n F x P X x P X x X x X x =≤=->>> ，，，. {}{}{}121n P X x P X x P X x =->>> {}{}{}121111n P X x P X x P X x =-?-≤??-≤??-≤??????? ()11n F x =-?-??? ()()()()1111n f x F x n F x f x -'=??=?-???? ?. 1.3 设总体X 服从正态分布()124N ， ，今抽取容量为5的子样1X ，2X ，…，5X ，试问： （i ）子样的平均值X 大于13的概率为多少？ （ii ）子样的极小值（最小顺序统计量）小于10的概率为多少？ （iii ）子样的极大值（最大顺序统计量）大于15的概率为多少？ 解：()~124X N ， ，5n =，4 ~125 X N ?? ∴ ?? ?，. （i ） {}{ } ()13113111 1.1210.86860.1314P X P X P φφ???? ???>=-≤=-=-=-=-=. （ii ）令{}min 12345min X X X X X X =，，，，，{}max 12345max X X X X X X =，，，，. {}{}{}min min 125101*********P X P X P X X X <=->=->>> ，，， {}{}{}55 5 1 1 11011101110i i i i P X P X P X ===->=-?- 习题三 2.设总体的分布密度为： (1),01 (;)0, x x f x ααα+<<=???其它 1(,,)n X X 为其样本，求参数α的矩估计量1?α 和极大似然估计量2?α .现测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数α的估计值 . 解 计算其最大似然估计： ()() 11 1 1 1 (,)11ln (,)ln(1)ln n n n n i i i i n n i i L x x x x L x x n x α α αααααα===??=+=+??=++∏∏∑ 11 21 ln (,)ln 01?10.2112 ln n n i i n i i d n L x x x d n x ααααα====+=+=--=∑∑ 其矩估计为： ()1 3.40.10.20.90.80.70.766 X = +++++= 3077 .01 21?,212) 1()1(11 01 21=--==++=++=+=?++X X X x dx x EX αααααααα 所以：12112??,11ln n i i X n X X α α=?? ?- ?==-+- ? ?? ? ∑， 12??0.3077,0.2112αα≈≈. 3. 设元件无故障工作时间X 具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为： 如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计. .解 最大似然估计： 1 1 (,),ln ln i n x n nx n i L x x e e L n nx λλλλλλλ--====-∏ 7 11120000?ln 0,,2010001000 i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1 ?0.05X λ ==. 4. 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为： 1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948 设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率. 解 设灯泡的寿命为x ,2 ~(,)x N μσ,极大似然估计为：2 21 1??,()n i i x x x n μ σ===-∑ 根据样本数据得到：2??997.1,17235.81μ σ== . 经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075. 5. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布)，其化验结果如下： 试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？ 解 设x 为每升水中大肠杆菌个数，~ ()x P λ，Ex λ=，由3题（2）问知，λ的 最大似然估计为x ，所以 ().150/1*42*310*220*117*0?=++++==X L λ 所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大 . 7. 设1234,,,X X X X 是总体X 的样本，设有下述三个统计量： 123411 1 6 3 ?()()X X X X a ++=+应用数理统计吴翊李永乐第三章假设检验课后作业参考答案
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